2-2 イデアルの演算と根基

$I+J$ について、$(a+b)-(a'+b')=(a-a')+(b-b')$ は再び $I+J$ に入り、$r(a+b)=ra+rb$ も入ります。$I\cap J$ は、差と外からの積が $I,J$ の両方に留まるのでイデアルです。$IJ$ も有限和の差と外からの積で同じ形を保つためイデアルです。
$a\in I$ は $a=a+0$ と書けるので $I\subset I+J$、同様に $J\subset I+J$。$I,J$ を含むイデアル $K$ は全 $a+b$ を含むので $I+J\subset K$。従って最小です。
$a_kb_k$ は $a_k\in I$ へ $b_k$ を掛けたものなので $I$ に入り、同様に $J$ にも入ります。有限和も両方に入るため $IJ\subset I\cap J$。□

常に $IJ\subset I\cap J$ でした。逆包含を示します。$a\in I,b\in J$ で $a+b=1$ と取ります。$x\in I\cap J$ なら
$$ x=x(a+b)=xa+xb. $$
$x\in J,a\in I$ なので $xa\in IJ$、$x\in I,b\in J$ なので $xb\in IJ$。従って $x\in IJ$ で、$I\cap J\subset IJ$。□

$a\in I$ なら $a^1\in I$ なので $I\subset\sqrt I$。$x\in\sqrt I$、$r\in R$ で $x^m\in I$ とすると
$$ (rx)^m=r^mx^m\in I, $$
よって $rx\in\sqrt I$。
$x,y\in\sqrt I$ とし、$x^m\in I,y^n\in I$ とします。二項展開
$$ (x-y)^{m+n-1} =\sum_{k=0}^{m+n-1} \binom{m+n-1}{k}x^k(-y)^{m+n-1-k} $$
を見ます。各項で $k\ge m$ または $m+n-1-k\ge n$ の少なくとも一方が成り立ちます。前者なら $x^m$、後者なら $y^n$ を因子にもつため各項は $I$ に入ります。従って和も $I$ に入り、$x-y\in\sqrt I$。部分加群判定と同じ形の条件が揃い、$\sqrt I$ はイデアルです。□

$$ (r+I)^n=0+I \quad\Longleftrightarrow\quad r^n+I=I \quad\Longleftrightarrow\quad r^n\in I. $$
ある $n\ge1$ についてこの条件が成り立つことが、それぞれnilpotent性と $r\in\sqrt I$ の定義です。□

$$ I+J=(\gcd(18,30))=(6), $$
$$ I\cap J=(\operatorname{lcm}(18,30))=(90), $$
$$ IJ=(18\cdot30)=(540). $$
$I+J$ の式はBézout恒等式、共通部分は両方の倍数全体、積は生成元の積から従います。□

$$ 72=2^3\cdot3^2 $$
なので、$a^n$ が72で割り切れるためには $a$ が2と3で割り切れる必要があり、これは $6\mid a$ と同値です。逆に $6\mid a$ なら $a^3$ は $2^3\cdot3^3$ で割り切れ、特に72で割り切れます。従って
$$ \sqrt{(72)}=(6). $$
□

$x\in\sqrt{\mathfrak p}$ なら、ある $n\ge1$ で $x^n\in\mathfrak p$。素性を $x^n=x\cdot x^{n-1}$ に適用すると $x\in\mathfrak p$ または $x^{n-1}\in\mathfrak p$。後者なら同じ議論を繰り返し、最終的に $x\in\mathfrak p$ を得ます。従って $\sqrt{\mathfrak p}\subset\mathfrak p$。常に逆包含があるので等号です。□