4-1 素イデアルと極大イデアル
整数を素数 $p$ で割った剰余環は体ですが、合成数 $n$ で割ると零因子が現れます。この違いは、割る相手であるイデアル $(p)$ と $(n)$ の性質として表現できます。商が整域になるイデアルが素イデアル、商が体になるイデアルが極大イデアルです。
二つの定義
可換環 $R$ の真のイデアル $\mathfrak p$ が
$$
ab\in\mathfrak p
\quad\Longrightarrow\quad
a\in\mathfrak p\text{ または }b\in\mathfrak p
$$
を満たすとき、$\mathfrak p$ を素イデアルという。
可換環 $R$ の真のイデアル $\mathfrak m$ が、
$$
\mathfrak m\subset I\subset R
$$
を満たすイデアル $I$ として $\mathfrak m,R$ しかもたないとき、$\mathfrak m$ を極大イデアルという。
「素」は積の情報、「極大」はイデアル全体の包含関係の情報です。一見別の定義ですが、商環を通すと整域と体の関係に翻訳されます。
体をイデアルで特徴づける
可換環 $K$ が体であることと、$K$ のイデアルが $\{0\}$ と $K$ だけであることは同値である。
$K$ を体とし、非零イデアル $I$ を取ります。$0\ne a\in I$ なら $a^{-1}\in K$ で、吸収性から
$$
1=a^{-1}a\in I.
$$
従って $I=K$。よってイデアルは二つだけです。
逆にイデアルが $\{0\},K$ だけだとします。$0\ne a\in K$ に対し単項イデアル $(a)$ は非零なので $(a)=K$。従って $1\in(a)$ で、ある $b\in K$ が $ba=1$ を満たします。すべての非零元が逆元をもつので $K$ は体です。□
商による特徴づけ
可換環 $R$ と真のイデアル $I$ に対し、次が成り立つ。
- $I$ が素イデアルであることと $R/I$ が整域であることは同値。
- $I$ が極大イデアルであることと $R/I$ が体であることは同値。
まず1を示します。$I$ を素イデアルとし
$$
(a+I)(b+I)=0+I
$$
とします。これは $ab\in I$ を意味します。素性から $a\in I$ または $b\in I$、従って $a+I=0+I$ または $b+I=0+I$。よって $R/I$ は零因子をもたず整域です。
逆に $R/I$ が整域で $ab\in I$ とします。商では
$$
(a+I)(b+I)=0+I.
$$
零因子がないので一方の因子が0、すなわち $a\in I$ または $b\in I$。従って $I$ は素イデアルです。
次に2を示します。$I\subset J\subset R$ であるイデアル $J$ に対し
$$
J/I=\{a+I:a\in J\}
$$
は $R/I$ のイデアルです。逆に $R/I$ のイデアル $L$ の標準射影による逆像
$$
\pi^{-1}(L)=\{a\in R:a+I\in L\}
$$
は $I$ を含む $R$ のイデアルです。この二操作は互いに逆で、$I$ を $0$、$R$ を $R/I$ に対応させます。
$I$ が極大なら、$R/I$ のイデアルは $0,R/I$ だけです。体のイデアルの補題から $R/I$ は体。逆に $R/I$ が体ならそのイデアルは $0,R/I$ だけなので、対応する $I$ を含むイデアルは $I,R$ だけ。従って $I$ は極大です。□
可換環の極大イデアルは素イデアルである。
$\mathfrak m$ が極大なら $R/\mathfrak m$ は体。体は整域なので、商による特徴づけから $\mathfrak m$ は素イデアルです。□
逆は一般に成り立ちません。$\mathbb Z$ の零イデアル $(0)$ は、$\mathbb Z/(0)\cong\mathbb Z$ が整域なので素イデアルですが、$\mathbb Z$ は体でないので極大ではありません。
$\mathbb Z$ の素・極大イデアル
$\mathbb Z$ のイデアルは $(n)$（$n\ge0$）だけでした。
$\mathbb Z$ の素イデアルは
$$
(0)\quad\text{および}\quad(p)\ (p\text{ は素数}),
$$
極大イデアルは $(p)$（$p$ は素数）である。
$\mathbb Z/(0)\cong\mathbb Z$ は整域なので $(0)$ は素。素数 $p$ に対し $\mathbb Z/(p)=\mathbb F_p$ は体なので $(p)$ は極大、従って素です。
$n>1$ が合成数なら $n=ab$ と $1< a,b< n$ に書けます。商 $\mathbb Z/(n)$ で $[a],[b]$ は非零ですが積は0なので整域ではなく、$(n)$ は素でありません。
$(0)$ は $(0)\subsetneq(2)\subsetneq\mathbb Z$ なので極大でありません。$(1)=\mathbb Z$ は真のイデアルでないため、素でも極大でもありません。以上ですべてを尽くします。□
多項式環の例
体 $K$ 上で評価写像の核は $(x-c)$ でした。商は
$$
K[x]/(x-c)\cong K
$$
で体なので、$(x-c)$ は極大イデアルです。
一方、二変数多項式環 $K[x,y]$ で $(x)$ を考えると
$$
K[x,y]/(x)\cong K[y].
$$
$K[y]$ は整域ですが体ではありません。従って $(x)$ は素イデアルですが極大イデアルではありません。具体的にも
$$
(x)\subsetneq(x,y)\subsetneq K[x,y]
$$
という中間イデアルがあります。
一変数多項式の既約元
体 $K$ 上の非定数多項式 $f$ が既約であるとは、$f=gh$ なら $g,h$ の一方が定数単元となることでした。
体 $K$ と非定数多項式 $f\in K[x]$ に対し、次は同値である。
- $f$ は既約。
- $(f)$ は極大イデアル。
- $K[x]/(f)$ は体。
2と3の同値は商による特徴づけです。
$f$ を既約とし、$g+(f)\ne0$ を取ります。これは $f\nmid g$ を意味します。$f$ が既約なので $\gcd(f,g)=1$。Bézout恒等式から
$$
u(x)f(x)+v(x)g(x)=1
$$
となる $u,v\in K[x]$ が存在します。商で $(f)$ を0とすれば
$$
(v+(f))(g+(f))=1+(f),
$$
よって任意の非零類が逆元をもち、商は体です。
逆に $f$ が可約で $f=gh$、$g,h$ がともに非定数とします。$\deg g,\deg h<\deg f$ なので $g,h$ は $(f)$ に入らず、商で非零です。しかし
$$
(g+(f))(h+(f))=f+(f)=0+(f).
$$
商に零因子があるので体ではありません。従って3なら1です。□
たとえば $x^2+1$ は $\mathbb R[x]$ で既約なので $(x^2+1)$ は極大で、商は $\mathbb C$。しかし $\mathbb C[x]$ では
$$
x^2+1=(x-i)(x+i)
$$
と可約なので同じ形のイデアルは素ですらありません。既約性は係数体に依存します。
$\mathbb Z/12\mathbb Z$ の素イデアルをすべて求め、それらが極大でもあることを示せ。
$\mathbb Z/12\mathbb Z$ のイデアルは12を割る $d$ に対する $([d])$ です。商を使うと
$$
(\mathbb Z/12\mathbb Z)/([d])\cong\mathbb Z/d\mathbb Z
$$
となります。これが整域になるのは $d$ が素数のときで、12の素因数は2,3。従って素イデアルは
$$
([2]),\qquad([3]).
$$
各商はそれぞれ $\mathbb F_2,\mathbb F_3$ という体なので、両方とも極大です。□
$\mathbb Z[x]$ のイデアル $(x)$ が素だが極大でないことを示せ。
定数項を取る準同型 $\mathbb Z[x]\to\mathbb Z$ の核は $(x)$ で、第一同型定理から
$$
\mathbb Z[x]/(x)\cong\mathbb Z.
$$
$\mathbb Z$ は整域なので $(x)$ は素。一方 $\mathbb Z$ は体ではないので $(x)$ は極大でありません。実際
$$
(x)\subsetneq(2,x)\subsetneq\mathbb Z[x]
$$
です。□
$x^2+1$ が $\mathbb Q[x]$ で既約であることを示し、$(x^2+1)$ が極大イデアルであると結論せよ。
二次多項式が可約なら一次因子をもち、$\mathbb Q$ に根をもちます。しかし有理数 $q$ に対して
$$
q^2+1>0
$$
なので根はありません。従って $x^2+1$ は既約です。既約多項式が生成するイデアルについての命題から $(x^2+1)$ は極大で、商 $\mathbb Q[x]/(x^2+1)$ は体です。□
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