4-2 準同型と閉部分群と Jordan 分解

有理準同型が半単純な元を半単純な元へ、単冪な元を単冪な元へ移すことを示し、そこから、アフィン代数群の元が半単純であるか単冪であるかは一般線形群への実現の選び方によらないことを導く。続いて、一般線形群の閉部分群はその各元の半単純部分と単冪部分を含むという原論文の定理 3 を、元の生成する閉部分群を三角化し、対角部分への準同型の像で有限位数の元が稠密であることに帰着させて証明する。こうして任意のアフィン代数群の元は、半単純な元と単冪な元の可換な積に一意に分解される。
前提知識: Jordan分解, 線形代数群, 対角化可能群, 同時対角化, Zariski位相

この頁で示すこと

$K$ を代数的閉体、$p$ をその標数指数（標数が $0$ でなければ標数、$0$ なら $1$）とする。$V$ は有限次元の $K$ ベクトル空間で、$\mathrm{GL}(V)$ の元 $x$ の加法的 Jordan 分解を $x=x_s+x_n$、乗法的 Jordan 分解を $x=x_sx_u$（$x_u=1+x_s^{-1}x_n$）と書く。$y\in\mathrm{GL}(V)$ について $G(y)$ は $y$ を含む $\mathrm{GL}(V)$ の閉部分群すべての共通部分、すなわち $y$ を含む最小の閉部分群である。有理準同型は代数群の射である群準同型と読む（本書が足した仮定の読み）。
本頁の主結果は次の七つである。

1. 有理準同型は半単純元・単冪元を保つ（原論文 Proposition 4 の系 1）：線形代数群 $G\subset\mathrm{GL}(V)$ から $\mathrm{GL}(V')$ への有理準同型 $f$ は、$G$ の半単純な元を半単純な元へ、単冪な元を単冪な元へ移す。［条件付き：本書『3-2 指標群との双対性』の主結果「指標は正則関数の基底」による。単冪な元についての部分は完結］
2. 半単純・単冪は実現によらない（系 1 の帰結として述べる定義）：アフィン代数群の元の像が半単純（単冪）であるかどうかは、線形代数群への同型の選び方によらない。［条件付き：1 による。単冪についての部分は完結］
3. 単冪元の生成する閉部分群（原論文 Proposition 4 の系 2）：単冪な $x\in\mathrm{GL}(V)$ と、$p$ と素な正の整数 $m$ について $G(x)=G(x^m)$ である。［完結。足した仮定：$m$ は正の整数］
4. 三角化と半単純部分（原論文 Lemme 3）：余次元 1 の部分空間の列 $0=V_0\subset\dots\subset V_r=V$ が自己準同型の集合 $G$ の各元 $g$ とその半単純部分 $g_s$ で安定で、$g_s$ の全体が可換なら、$V$ の基底があって、各 $g$ の行列は三角で、$g_s$ の行列はその対角部分である。［完結］
5. 閉部分群は半単純部分と単冪部分を含む（原論文 Théorème 3）：$\mathrm{GL}(V)$ の閉部分群 $G$ の各元 $x$ について、$x_s$ と $x_u$ は $G$ に属する。［条件付き：準同型の像が閉部分群であること（本書『0-2 アフィン代数的集合と代数群』）を引用。本書『3-3 有限位数の元の稠密性』の主結果「有限位数の元の稠密性」（完結）にも依る。足した仮定：位数 $m$ は正の整数］
6. アフィン代数群の Jordan 分解（Théorème 3 の帰結として述べる定義）：アフィン代数群 $G$ の各元は、可換な半単純元 $x_s\in G$ と単冪元 $x_u\in G$ の積 $x=x_sx_u$ に一意に書け、この分解は実現によらない。半単純元の集合 $G_s$ と単冪元の集合 $G_u$ について $G_s\cap G_u=\{e\}$、$G_sG_u=G_uG_s=G$ である。［条件付き：2・5 による］
7. 有理準同型と Jordan 分解（原論文 Théorème 3 の系）：アフィン代数群の有理準同型 $f\colon G\to G'$ について $f(x)_s=f(x_s)$、$f(x)_u=f(x_u)$ で、$f(G)$ の半単純（単冪）な元は $G$ の半単純（単冪）な元の像である。［条件付き：1・6 による］
   主結果 3・4 は、本書『4-1 乗法的 Jordan 分解と単冪性』の完結した主結果と線形代数、$K$ の真の閉部分集合が有限であること（本書『0-2 アフィン代数的集合と代数群』）だけで頁の中で閉じる。主結果 1 は、半単純な元についての部分で対角化可能群の有理表現が対角化できることを引くので条件付きになり、単冪な元についての部分は完結である。主結果 5 は、原論文が理由を書かずに使う「準同型の像は閉部分群」と、前章の稠密性の定理を引く。主結果 6・7 はそれらを組み合わせるだけである。

背景と動機

原論文 Gro56 の n° 4 は、自己準同型の半単純・単冪の定義と加法的 Jordan 分解の想起から始まり、一つの自己同型の乗法的 Jordan 分解（Proposition 3）と、単冪性の特徴づけ（Proposition 4）を与える（本書『4-1 乗法的 Jordan 分解と単冪性』）。正標数では単冪な元とは位数が $p$ の冪の元であり、標数 $0$ では単冪な元 $x\ne1$ は加法群のある有理表現の像に入って、その像が $x$ を含む最小の閉部分群になる。本頁が扱うのは、その後半、印字 4-10 から 4-11 の部分である。
ここで問われているのは、Jordan 分解が群の構造にどう乗るかである。線形代数の Jordan 分解は一つの行列についての分解で、行列が属する群は関係しない。ところが代数群の元を扱うには、二つのことが要る。一つは、分解が一般線形群への埋め込み方によらないこと、もう一つは、分解の成分がもとの群の中にとどまることである。原論文は前者を Proposition 4 の系 1 から「実現によらずに半単純な元・単冪な元を語れる」と引き出し、後者を定理 3 として証明する。
定理 3 の証明は、この講演の中でもっとも工夫のある議論の一つである。群 $G$ を元 $x$ の生成する閉部分群 $G(x)$ に取り替えて可換にし、可換な作用素の族を三角化する基底をとると、各元をその半単純部分へ送る写像が対角群への有理準同型になる（Lemme 3）。その像は対角化可能群なので、有限位数の元が稠密である（本書『3-3 有限位数の元の稠密性』）。$G$ は閉なので、有限位数の元が $G$ に入ることを確かめれば足り、有限位数の元については単冪部分の冪で話が済む（Proposition 4 の系 2）。ここで二度目に使われる（一度目は本書『3-3 有限位数の元の稠密性』の主結果「対角化可能な正規部分群は中心的」）。
原論文の紙面では、Lemme 3 は定理 3 の証明の途中に置かれ、「Notons le」で頁が終わった次の頁が補題の見出しで始まる。欠頁ではなく組版の都合である（本書『0-4 記号と約束』）。本頁では補題を先に置き、定理の証明を通して書く。

定義と準備

本頁の議論は、一般線形群の中で半単純な元・単冪な元の定義から始まる。自己準同型についての定義と加法的 Jordan 分解は本書『0-3 線形代数と群の道具』にあるが、ここで短く繰り返す。

乗法的 Jordan 分解の一意性と、$x$ と可換な自己準同型が $x_s$、$x_u$ と可換であることは、本書『4-1 乗法的 Jordan 分解と単冪性』の主結果「乗法的 Jordan 分解」である。本頁では同じ頁の次の完結した主結果も引く：互いに可換な自己準同型について $(xy)_s=x_sy_s$、可換な自己同型について $(xy)_u=x_uy_u$、半単純かつ単冪な自己準同型は恒等であること（主結果「可換な元の分解」）、$p\ne1$ なら単冪であることと位数が有限で $p$ の冪であることが同値であること（主結果「正標数の単冪性」）、$p=1$ なら加法群の有理表現はちょうど冪零な $n$ による $t\mapsto\exp(tn)$ で、単冪な $x\ne1$ はある有理表現の像に入り、その像が $G(x)$ であること（主結果「標数 0 の加法群の有理表現」）。
次に、元の生成する最小の閉部分群を定める。原論文は定理 3 の証明の冒頭で「$y$ を含む最小の代数群」と一言で導入する（印字 4-10）。

$G(y)$ は冪の全体 $\{y^k\}_{k\in\mathbf Z}$ の Zariski 閉包に一致するが、本頁はこの一致を使わない。使うのは共通部分としての定義と、次の二つの観察だけである。

1 は、原論文が定理 3 の証明で「$G$ を $G(x)$ に取り替えると $G$ は可換になる」と一言で済ませる段に当たる。閉包の言葉で言えば「可換な部分群の閉包は可換」という一般論（本書『0-2 アフィン代数的集合と代数群』の定理（閉部分群と単位成分の基本）の (1)）だが、一つの元が生成する場合には中心化群の閉性だけで閉じる。
最後に、主結果 1・2 を述べるための言葉を置く。

引用する事実

次の事実は証明せずに引く。1・2 は本書の頁の主結果で、そこでの札は 1 が［条件付き］、2 が［完結］である。3 は本書『0-2 アフィン代数的集合と代数群』に集めた代数群の一般論の一つで、出典は Hum75、Bor91 だが、該当箇所は本頁では確認していない。

1. 対角化可能群の有理表現（本書『3-2 指標群との双対性』の主結果「指標は正則関数の基底」、原論文 n° 3 の系 3 a)）：対角化可能群の有理表現はすべて対角化可能である。
2. 有限位数の元の稠密性（本書『3-3 有限位数の元の稠密性』の主結果「有限位数の元の稠密性」、原論文 Proposition 2）：対角化可能群 $D$ の位数有限の元の全体は $D$ で稠密である。
3. 準同型の像の閉性（本書『0-2 アフィン代数的集合と代数群』の定理（準同型の像と次元の公式）の (1)）：代数群の有理準同型の像は閉部分群である。
   事実 1 は主結果 1 の半単純な元についての部分にだけ、事実 2・3 は主結果 5 にだけ使う。このほかに使うのは、本書『4-1 乗法的 Jordan 分解と単冪性』の完結した主結果（上に挙げたもの）、本書『0-3 線形代数と群の道具』の線形代数（可換な作用素族の同時三角化と同時対角化、加法的 Jordan 分解、正標数の二項定理）、本書『0-2 アフィン代数的集合と代数群』の命題（1 次元の場合と積の稠密性）である。

主結果と証明

前章までで、アフィン代数群は線形代数群として実現でき（本書『1-2 アフィン代数群は線形群』）、対角化可能群の有理表現は対角化できることが分かっている。これを Jordan 分解の二つの成分に当てはめるのが最初の定理である。

有理準同型と半単純元・単冪元

単冪な元についての段 3・段 4 は、本書『4-1 乗法的 Jordan 分解と単冪性』の完結した主結果だけで閉じる。半単純な元についての段 2 だけが、対角化可能群の有理表現の対角化可能性という前章の条件付きの主結果に依る。二つの場合の議論が標数で分かれるのは、単冪性の特徴づけそのものが標数で分かれるからである。
原論文の証明（印字 4-10）は、上の段 1 に当たる所で「$x$ の生成する $G$ の閉部分群 $H$ は対角化可能群」と書き、$H$ を冪の閉包として扱う。本書は $G(x)$ を共通部分として定義したので、それが対角群に含まれることは定義から直ちに出て、閉包についての一般論を要しない。

これで、原論文の言うとおり、アフィン代数群の元について実現を指定せずに半単純・単冪を語れる。原論文はこの主張を系 1 の直後に「系 1 から特に」とだけ書き、定義として述べる（印字 4-10）。本書はその主張の部分を上の定理とし、定義を次に置く。

$G$ が線形代数群 $G\subset\mathrm{GL}(V)$ そのものなら、包含写像が一つの実現なので、この定義は行列としての半単純・単冪と一致する。

単冪元の生成する閉部分群

定理 3 の証明の最後の一歩は、単冪な元の冪から元そのものへ戻る議論である。原論文はこれを Proposition 4 の系 2 とし、「$G(x)$ の明示的な構造から直ちに」とだけ書く（印字 4-10）。その構造とは、正標数では有限な巡回群、標数 $0$ では加法群の像である。

段 2 で要るのは $m$ が $p$ の冪と素であることだけで、段 4 で要るのは $m\ne0$ であることだけである。原論文の「$p$ と素な整数」は、正標数では $m=0$ を自動的に除く（$0$ は $p$ と素でない）が、標数 $0$ では $p=1$ なのですべての整数が「$p$ と素」になり、$m=0$ を除かない。$m=0$ では主張が壊れる（下の反例「零乗を許すと系 2 は壊れる」）。原論文がこの系を使うのは定理 3 の証明で $m$ が元の位数のときだけなので、本書は $m$ を正の整数と読む（本書が足した仮定）。

三角化と半単純部分

定理 3 の証明の中心は、可換な群の各元をその半単純部分へ送る写像が、ある基底で「対角部分をとる」写像になることである。原論文はこれを Lemme 3 として定理 3 の証明の途中に挟む（印字 4-11）。

段 4 は原論文が書かない段である。原論文は、補空間 $L_i$ の $0$ でない元を $e_i$ にとれば「十分である」と述べて終えるが、それで直ちに出るのは $g$ が三角で $g_s$ が対角であることまでで、$g_s$ が $g$ の対角部分であるには、冪零部分の対角成分が $0$ であることが要る。本書はこの段を補った。
補題の仮定のうち、$G_s$ が可換であることは外せない。外すと、どの基底でも $g_s$ が $g$ の対角部分にならない例がある（下の反例「半単純部分の可換性を外すと補題 3 は壊れる」）。この補題が効くのは、$G$ が可換な群の場合である。そのとき $g_s$ は $g$ の多項式なので $G\cup G_s$ は互いに可換な族で、安定な列は同時三角化で得られ、補題の仮定がすべて満たされる。

$\sigma$ が $y\mapsto y_s$ という、行列の多項式としては $y$ ごとに違う式で与えられる写像であるにもかかわらず、一つの基底で対角成分をとる写像として一様に書けることが要点である。原論文は「Lemme 3 から $g\mapsto g_s$ は対角群 $D(r)$ に値をとる有理表現 $u$ である」と一行で述べる（印字 4-11）。この系はその一行を証明したもので、本書の主結果には数えない。

閉部分群は半単純部分と単冪部分を含む

準備がそろったので定理 3 を示す。

証明の骨組みは、段 3 の「稠密な有限位数の元で閉な条件を確かめる」一歩である。閉な条件「$G$ に属する」を、対角化可能群 $\sigma(G)$ の位数有限の元だけで確かめればよく、位数有限の元については、単冪部分の冪が $G$ に入ることから単冪部分そのものが入ることを、単冪元の生成する閉部分群の定理で引き出せる。原論文は同じ型を Proposition 5 の系 2 でもう一度使う（本書『5-3 共役作用の分解』では別の道で示し、原論文の道は注意で述べる）。
条件付きの札は段 2 の像の閉性から来る。原論文は「$u(G)$ は $D(r)$ の閉部分群である」と理由を書かずに述べる（印字 4-11）。段 3 の稠密性は、対角化可能群の構造（本書『3-1 トーラスの関数環と閉部分群』）から本書『3-3 有限位数の元の稠密性』で閉じた［完結］の結果なので、条件を加えない。段 1 の可換性は、原論文が一般論として使う「可換な部分群の閉包は可換」を、中心化群の閉性で置き換えたので、ここでは引用しない。

アフィン代数群の Jordan 分解

定理 3 と実現によらないことを合わせると、Jordan 分解がアフィン代数群の元の分解として内在的に定まる。原論文はこれを定理 3 の直後に「定理 3 から次が出る」と述べ、定義として置く（印字 4-11）。

3 の $G_s$、$G_u$ は一般には部分群でない。たとえば一般線形群では単冪な元の積が単冪でないことがある（本書『5-1 可換群の直積分解と標数 0 の単冪群』の反例「可換性を外すと単冪元は部分群をなさない」）。$G$ が可換なら両者は閉部分群になり、$G$ はその直積になる。それが原論文の定理 4 で、本書『5-1 可換群の直積分解と標数 0 の単冪群』で扱う。
最後に、有理準同型が Jordan 分解と交換することを示す。原論文は定理 3 の系として述べ、「定義と Proposition 4 の系 1 の直接の帰結」とだけ書く（印字 4-11）。

これで、アフィン代数群の元の Jordan 分解は、群の中にとどまり、埋め込みによらず、有理準同型と交換する分解になった。可換な群ではこの分解が群の直積分解を与え、可換アフィン代数群の研究は対角化可能群と単冪群の研究に分かれる（本書『5-1 可換群の直積分解と標数 0 の単冪群』）。

例と反例

一般線形群の小さな部分群で、分解と定理 3 を確かめる。最初の例は、補題 3 の基底が標準の基底と違いうることを示す。

(a) の $x$ ひとつについては基底 $(e_1,e_2')$ が補題 3 の基底になるが、$B_2$ 全体に共通な基底はとれない。標数が $2$ でなければ、次の反例の $g_1$、$g_2$ は $B_2$ の元でそれを示す。

次の二つは、系 2 の「$p$ と素な正の整数」の二つの条件がそれぞれ外せないことを示す。

最後に、定理 3 の「閉」が外せないことを見る。

有理準同型との交換を、行列式で見ておく。

その後の発展

以下は後代の結果の紹介である（本書が文献を開いて確かめていないものはそう書く）。

• 教科書の Jordan–Chevalley 分解（Borel Bor91、初版 1969 年、Humphreys Hum75、1975 年、Springer Spr98、1998 年の第 2 版）：本頁の定理 3 とアフィン代数群の Jordan 分解は、線形代数群の一般論の基本定理として扱われる。後代の教科書では、座標環 $A(G)$ の上の右正則表現の局所有限性を使い、$A(G)$ の上の作用素としての Jordan 分解が余乗法を保つことから、閉部分群の中にとどまることを示す証明がよく使われる。原論文の、有限位数の元の稠密性を使う証明とは道筋が違う。本書は該当箇所を確かめていない。
• 完全体の上の分解（同じ教科書）：代数的閉体でない完全体の上でも、半単純を「最小多項式が重根をもたない」と読めば同じ分解が成り立ち、成分は基礎体の上の点になる。完全でない体の上では成分が基礎体の上に落ちないことがある。本書は確かめていない。
• 群スキームの枠（Milne Mil17、2017 年）：体の上の群スキームについて、元の分解に加えて、可換な群スキームが乗法的な部分と単冪な部分に分かれる形でも述べられる。本書は確かめていない。
• Chevalley の 1951 年の本（Che51）：標数 $0$ の代数群の半単純元・単冪元の扱いがある。原論文と独立か、原論文がそれを踏まえたかは、本書は確かめていない。
• Borel 1956（Bor56）：原論文が冒頭で解説の対象と予告する論文で、本頁の分解はそこで展開される構造論（Borel 部分群、単冪根基、可解群の構造）の道具になる。本書は該当箇所を確かめていない。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Généralités sur les groupes algébriques affines. Groupes algébriques affines commutatifs Gro56 の n° 4 の後半である。