5-1 可換群の直積分解と標数 0 の単冪群
可換なアフィン代数群は、半単純な元の全体と単冪な元の全体という二つの閉部分群に分かれ、群はその直積に同型になる。前者は対角化可能群で、すでに指標群で分類されているので、可換アフィン代数群の構造は可換な単冪群の構造に帰着する。本頁はこの分解を示したうえで、標数 0 では可換な単冪群が加法群の積に同型であることを指数と対数で証明し、正標数ではそれが連結ですらないことがあることを確かめる。
前提知識: Jordan分解, 単冪群, 対角化可能群, 行列の指数関数, 線形代数群
この頁で示すこと
$K$ を代数的閉体、$p$ をその標数指数（標数が $0$ でなければ標数、$0$ なら $1$）とする。アフィン代数群は一般線形群の閉部分群に同型な代数群で、その元が半単純（単冪）であるとは、ある（したがってすべての）実現で像が半単純（単冪）な行列であることをいう（本書『4-2 準同型と閉部分群と Jordan 分解』）。$G_s$、$G_u$ は $G$ の半単純な元、単冪な元の全体である。単冪群とは、すべての元が単冪な代数群である。有理準同型は代数群の射である群準同型と読む（本書が足した仮定の読み）。
本頁の主結果は次の三つである。
- 可換なアフィン代数群の直積分解（原論文 Théorème 4）：可換なアフィン代数群 $G$ について、$G_s$ と $G_u$ は閉部分群で、積写像 $G_s\times G_u\to G$、$(s,u)\mapsto su$ は代数群の同型である。$G_s$ は対角化可能群、$G_u$ は可換な単冪群である。［条件付き：本書『4-2 準同型と閉部分群と Jordan 分解』の主結果「閉部分群は半単純部分と単冪部分を含む」と「半単純・単冪は実現によらない」による］
- 標数 0 の可換単冪群（原論文 n° 5 の注意）：$p=1$ なら、可換な線形代数群で元がすべて単冪なものは、加法群の積 $K^d$ に代数群として同型であり、とくに連結である。［完結］
- 正標数の非連結な可換単冪群（原論文 n° 5 の注意）：$p\ne1$ なら、位数 $p$ の巡回群は可換な単冪群として一般線形群の中に実現され、連結でない。［完結］
主結果 1 は、各元の半単純部分が群の中にあるという定理 3 と、半単純・単冪が実現によらないこと（線形代数群への帰着に使う）に依るので条件付きである。$G_s$、$G_u$ が閉であることは、原論文のように準同型の像として示すのではなく、準同型の核として示すので、像の閉性は使わない。主結果 2 は本書『4-1 乗法的 Jordan 分解と単冪性』の完結した主結果と、冪零作用素の指数と対数の恒等式だけで閉じる。主結果 3 は正標数の二項定理だけで閉じる。
背景と動機
原論文 Gro56 の最後の節 n° 5 は「可換なアフィン代数群」と題され、まず定理 4 を置く（印字 4-12）。前節で、アフィン代数群の各元は半単純な元と単冪な元の可換な積に一意に分解されることが分かった（本書『4-2 準同型と閉部分群と Jordan 分解』）。ただし一般の群では、半単純な元の全体も単冪な元の全体も部分群にならない。群が可換なら、二つの元の分解がそれぞれ掛け合わされるので、分解が群の構造と両立し、群そのものが二つの部分群に割れる。これが定理 4 である。
証明は、前節の補題 3 の結論、すなわち可換な群では各元をその半単純部分に送る写像が対角群への有理準同型になることを引いて、数行で終わる。原論文は続けて注意を置き、可換アフィン代数群の構造は、定理 4 と n° 3 の対角化可能群の理論により、可換な単冪群の構造に帰着されると述べる。そのうえで、標数 $0$ ではそのような群は $K^n$ に同型だと「Proposition 4 から容易に」従うとし、標数が $0$ でなければ連結とは限らないと例 $\mathbf Z/(p)$ を挙げる。注意はさらに、正標数の連結 2 次元の場合、Chevalley による分類、加法群の自己準同型へと進むが、その部分は本書『5-2 正標数の可換単冪群と加法多項式』で扱う。
本頁が扱うのは、定理 4 と、注意の前半の標数による対比である。標数 $0$ では、単冪な元は冪零な作用素の指数で書け、対数で冪零な作用素に戻る。可換な単冪群では対数が群の積を和に変えるので、群は冪零な作用素のなすベクトル空間と同じものになる。正標数ではこの道具が使えず、単冪な元は位数が $p$ の冪の元になって、有限群も単冪群になる。
定義と準備
主結果 1 の同型を述べるために、代数群の直積を定めておく。
$G_1$、$G_2$ を代数群とする。積の代数的集合 $G_1\times G_2$ に成分ごとの積 $(a,b)(a',b')=(aa',bb')$ を入れたものを直積という。$G_1\subset\mathrm{GL}(V_1)$、$G_2\subset\mathrm{GL}(V_2)$ が線形代数群なら、$G_1\times G_2$ は区分対角な行列 $\mathrm{diag}(a,b)$ の全体として $\mathrm{GL}(V_1\oplus V_2)$ の閉部分群と同一視され、線形代数群である。
最後の同一視で、$\mathrm{diag}(a,b)$ の全体が閉であるのは、非対角の区画が $0$ であることと、各区画が $G_1$、$G_2$ の定義方程式を満たすことが、行列成分の多項式の等式で書けるからである。座標環が $A(G_1)\otimes A(G_2)$ であることは本書『0-2 アフィン代数的集合と代数群』の定理（アフィン代数的集合の基本定理）の (5) だが、本頁では使わない。本頁で使う射の判定は、行列成分がどれも正則関数である写像は射であるという標準的な空間の座標環の記述（同じ頁の命題（標準的な空間の座標環）の (4)）だけである。
次に、前の頁の結果のうち本頁で引くものをまとめる。
代数群 $U$ が単冪群であるとは、アフィン代数群であって、そのすべての元が単冪であることをいう。$U$ が線形代数群 $U\subset\mathrm{GL}(V)$ なら、これは $U$ の元がすべて単冪な行列（固有値がすべて $1$）であることと同じである。
原論文の n° 5 の注意の括弧内にあるこの定義の印字の読みは、本書『5-3 共役作用の分解』の注意（原論文の証明の読みと印字）で述べる（主張に影響しない文法の誤植である）。
線形代数群 $U\subset\mathrm{GL}(V)$ の元がすべて単冪であることは行列についての条件で、実現によらないという本書『4-2 準同型と閉部分群と Jordan 分解』の主結果（そこでの札は条件付きだが、単冪についての部分は完結）を経由しなくても意味をもつ。主結果 2・3 はこの行列の形で述べ、完結させる。
本頁で引く本書の主結果は次のとおりである。本書『4-2 準同型と閉部分群と Jordan 分解』からは、主結果「閉部分群は半単純部分と単冪部分を含む」「半単純・単冪は実現によらない」（札はどちらも条件付き）と、系「可換な線形代数群の半単純部分をとる写像」（可換な部分群 $G\subset\mathrm{GL}(V)$ について、ある基底で各元が三角で半単純部分がその対角部分になり、$y\mapsto y_s$ は対角群への準同型で、$G$ が閉なら有理準同型であること。完結した主結果「三角化と半単純部分」から出る）を引く。本書『4-1 乗法的 Jordan 分解と単冪性』からは、完結した主結果「乗法的 Jordan 分解」「正標数の単冪性」「標数 0 の加法群の有理表現」を引く。
引用する事実
次の事実は証明せずに引く。どちらも本書の頁の主結果で、そこでの札は［条件付き］である。事実 1 の札は、準同型の像の閉性に依ることから来る（対角化可能群の有限位数の元の稠密性にも依るが、そちらは完結である。出典は Hum75、Bor91 で、該当箇所は本頁では確認していない）。事実 2 の札は、半単純な元についての部分が対角化可能群の有理表現の対角化可能性（本書『3-2 指標群との双対性』の主結果「指標は正則関数の基底」）に依ることから来る。単冪な元についての部分は完結である。
- 閉部分群は半単純部分と単冪部分を含む（本書『4-2 準同型と閉部分群と Jordan 分解』の主結果、原論文 Théorème 3）：$\mathrm{GL}(V)$ の閉部分群 $G$ の各元 $x$ について、$x_s$ と $x_u$ は $G$ に属する。
- 半単純・単冪は実現によらない（本書『4-2 準同型と閉部分群と Jordan 分解』の主結果、原論文 Proposition 4 の系 1 の帰結）：アフィン代数群の元の像が半単純（単冪）であるかどうかは、線形代数群への実現の選び方によらない。
事実 1・2 は主結果 1 にだけ使う（事実 2 は段 1 の線形代数群への帰着に使う）。主結果 2・3 は外から何も引かない。線形代数の事実（加法的 Jordan 分解、可換な作用素族の同時三角化、冪零作用素の指数と対数、正標数の二項定理）は本書『0-3 線形代数と群の道具』の初等的な代数で、完結の証明に使う。
主結果と証明
可換なアフィン代数群の直積分解
前の頁の系（可換な線形代数群の半単純部分をとる写像）は、可換な群では $y\mapsto y_s$ が準同型であることを言っていた。定理 3 によりその値は群の中にあるので、群はそれ自身の中へ半単純部分をとる準同型をもつ。
$G$ を可換なアフィン代数群とする。$G_s$ と $G_u$ は $G$ の閉部分群で、積写像
$$G_s\times G_u\to G,\qquad(s,u)\mapsto su$$
は代数群の同型である。その逆は $y\mapsto(y_s,y_u)$ である。さらに $G_s$ は対角化可能群で、$G_u$ は可換な単冪群である。
段 1（線形代数群への帰着）．実現 $\varphi\colon G\to G_1\subset\mathrm{GL}(V)$ をとる。$\varphi$ は代数群の同型で、本書『4-2 準同型と閉部分群と Jordan 分解』の定義（アフィン代数群の半単純元と単冪元）と引用する事実 2（半単純・単冪は実現によらない）により、$x\in G$ が半単純（単冪）であることと $\varphi(x)$ が半単純（単冪）な行列であることは同値である。ゆえに $\varphi$ は $G_s$、$G_u$ を $(G_1)_s$、$(G_1)_u$ に移すので、$G=G_1$ は $\mathrm{GL}(V)$ の可換な閉部分群としてよい。
段 2（半単純部分をとる準同型）．本書『4-2 準同型と閉部分群と Jordan 分解』の系（可換な線形代数群の半単純部分をとる写像）により、$V$ の基底があって、その基底に関する対角行列の群を $D$ とすると、$\sigma\colon G\to D$、$y\mapsto y_s$ は有理準同型である。引用する事実 1 により $y_s\in G$ なので、$\sigma$ は $G$ から $G$ への有理準同型である。
段 3（単冪部分をとる準同型）．$\tau\colon G\to G$、$\tau(y)=y\,\sigma(y)^{-1}$ とおく。$y=y_sy_u$ なので $\tau(y)=y_u$ である。$\tau$ は積と逆元と $\sigma$ の合成なので射であり、$G$ が可換なので $\tau(yz)=yz\,\sigma(y)^{-1}\sigma(z)^{-1}=\tau(y)\tau(z)$ で準同型である。
段 4（核としての閉性）．$y\in G$ について、$y$ が単冪であることと $y_s=1$ であることは同値である。実際、$y$ が単冪なら $y=1\cdot y$ は半単純な元と単冪な元の可換な積なので、乗法的 Jordan 分解の一意性（本書『4-1 乗法的 Jordan 分解と単冪性』の主結果「乗法的 Jordan 分解」）により $y_s=1$ で、逆に $y_s=1$ なら $y=y_u$ は単冪である。同様に、$y$ が半単純であることと $y_u=1$ であることは同値である。ゆえに $G_u=\ker\sigma$、$G_s=\ker\tau$ である。核は一点 $\{1\}$ の逆像で、$\sigma$、$\tau$ の座標から $1$ の成分を引いたものの共通零点なので閉であり、準同型の核なので部分群である。
段 5（像）．$\sigma(y)=y_s$ は半単純で $G$ に属するので $\sigma(G)\subset G_s$ で、$y\in G_s$ なら $\sigma(y)=y$ なので $\sigma(G)=G_s$ である。同様に $\tau(G)=G_u$ である。
段 6（直積との同型）．$\pi\colon G_s\times G_u\to G$、$\pi(s,u)=su$ は、$G$ が可換なので準同型で、座標が $s$、$u$ の行列成分の多項式なので射である。$\rho\colon G\to G_s\times G_u$、$\rho(y)=(\sigma(y),\tau(y))$ も射で、$\pi\rho(y)=y_sy_u=y$ である。$s\in G_s$、$u\in G_u$ について $su=us$ で $s$ は半単純、$u$ は単冪なので、Jordan 分解の一意性により $(su)_s=s$、$(su)_u=u$、すなわち $\rho\pi(s,u)=(s,u)$ である。ゆえに $\pi$ は逆が射である全単射な準同型、すなわち代数群の同型である。
段 7（成分の性質）．$G_s=\sigma(G)$ の元は段 2 の基底で対角行列なので、$G_s$ は $D\cong K^{*r}$ の部分群で、$G$ の閉部分群なので $\mathrm{GL}(V)$ で閉、したがって $D$ の閉部分群である。ゆえに $G_s$ は対角化可能群である。$G_u$ は可換で、元はすべて単冪なので、可換な単冪群である。
証明で条件付きの入力は二つで、段 1 の「半単純・単冪は実現によらない」と、段 2 の「$y_s\in G$」（定理 3）である。前者は主結果を線形代数群 $G\subset\mathrm{GL}(V)$ の形で述べれば要らない（包含写像を実現にとればよい）が、後者はその形でも残る。$G_s$ と $G_u$ が閉であることは、段 4 のとおり準同型の核として出るので、準同型の像が閉であるという一般論は要らない。
原論文の定理 4 の証明（印字 4-12）は、補題 3 の帰結として $x\mapsto x_s$ が $G$ から $G$ への有理表現で「明らかに $G$ から $G_s$ の上への」ものであり、したがって $x\mapsto x_u=xx_s^{-1}$ は $G$ から $G_u$ の上への有理表現であると述べ、「ゆえに $G_s$ と $G_u$ は $G$ の閉部分群である」と続ける。この「ゆえに」は、有理準同型の像が閉部分群であることを理由に使っているように読める。本書は段 4 で $G_u$、$G_s$ をそれぞれ $\sigma$、$\tau$ の核として示し、像の閉性を使わなかった。像が $G_s$、$G_u$ であることは段 5 で確かめた。積写像とその逆 $x\mapsto(x_s,x_u)$ が互いに逆な有理準同型であることは原論文のとおりである。
こうして原論文の注意の最初の一文のとおり、可換アフィン代数群の構造は二つの部分に分かれる。一方の対角化可能群は、トーラスと位数が $p$ と素な有限アーベル群の積に同型で、指標群によって分類されている（本書『3-1 トーラスの関数環と閉部分群』、本書『3-2 指標群との双対性』）。残るのは可換な単冪群で、その様子は標数によってまったく違う。
標数 0 の可換単冪群
標数 $0$ では、単冪な元の対数は冪零な作用素で、可換な単冪な元の対数は積を和に変える。これで可換な単冪群はベクトル空間と同じものになる。
$p=1$ とし、$U\subset\mathrm{GL}(V)$ を可換な線形代数群で、元がすべて単冪なものとする。$\mathrm{End}(V)$ の部分集合 $L=\{\log y:y\in U\}$ は $K$ 部分空間で、$\exp\colon L\to U$ は加法群 $L$ から $U$ への代数群の同型である。とくに $d=\dim L$ とすると $U$ は $K^d$ に代数群として同型で、連結である。
この証明は、本書『4-1 乗法的 Jordan 分解と単冪性』の完結した主結果「標数 0 の加法群の有理表現」と、本書『0-3 線形代数と群の道具』の定理（冪零作用素の指数と対数）の恒等式、標準的な空間の座標環だけを使うので、札は完結である。
段 1（和で閉じる）．$y,z\in U$ は可換で単冪なので、指数と対数の定理の (3) により $\log(yz)=\log y+\log z$ である。$yz\in U$ なので $L$ は和で閉じる。$\log1=0\in L$ で、$\log y+\log y^{-1}=\log1=0$ から $-\log y=\log y^{-1}\in L$ である。ゆえに $L$ は加法部分群である。
段 2（スカラー倍で閉じる）．$y\in U$、$y\ne1$ をとる。本書『4-1 乗法的 Jordan 分解と単冪性』の主結果「標数 0 の加法群の有理表現」により、冪零な $n\ne0$ と $t_0\in K$ があって $y=\exp(t_0n)$、かつ $\{\exp(tn):t\in K\}=G(y)$ である。$U$ は $y$ を含む閉部分群なので $G(y)\subset U$ で、すべての $t\in K$ について $\exp(tn)\in U$、したがって $\log\exp(tn)=tn\in L$ である。$y\ne1$ なので $t_0\ne0$ で、$\log y=t_0n$ だから、$K\log y=Kn\subset L$ である。$y=1$ なら $K\log y=0\subset L$ である。段 1 と合わせて $L$ は $K$ 部分空間である。
段 3（群の同型）．指数と対数の定理の (1) により $\exp\colon L\to U$ と $\log\colon U\to L$ は互いに逆な写像である。$L$ の元は $U$ の元の多項式なので互いに可換で、同じ定理の (2) により $\exp(a+b)=\exp a\exp b$ である。ゆえに $\exp$ は加法群 $L$ から $U$ への群の同型である。
段 4（代数群の同型）．$L$ の基底 $\ell_1,\dots,\ell_d$ と、$\mathrm{End}(V)$ 上の一次形式 $\lambda_1,\dots,\lambda_d$ で $\lambda_i(\ell_j)=\delta_{ij}$ となるものをとる。$E\colon K^d\to U$、$E(t)=\exp(\sum_it_i\ell_i)$ は、冪零な作用素の指数が有限和なので行列成分が $t$ の多項式で、射である。逆写像 $y\mapsto(\lambda_i(\log y))_i$ は、$\log y$ が $y$ の多項式（有限和）なので、行列成分の多項式で、$U$ の上の正則関数を成分にもつ射である。ゆえに $E$ は $K^d$ から $U$ への代数群の同型である。
段 5（連結性）．本書『0-2 アフィン代数的集合と代数群』の命題（標準的な空間の座標環）の (1) により $A(K^d)=K[X_1,\dots,X_d]$ で、これは整域である。$K^d$ が二つの真の閉部分集合 $Z_1$、$Z_2$ の和なら、$Z_i$ で消える $0$ でない多項式 $f_i$ がとれ、$f_1f_2$ は $K^d$ 全体で消えるので $0$ となって整域であることに反する。ゆえに $K^d$ は既約で、とくに連結である（二つの交わらない空でない閉集合の和なら、それは二つの真の閉部分集合の和である）。同型 $E$ で $U$ も連結である。
段 2 が証明の要で、単冪な元が一つあれば、それを通る加法群の像がまるごと群に入るので、対数の像は直線を含む。可換性は段 1 で、対数が積を和に変えるためにだけ使った。非可換な単冪群では $\log(yz)=\log y+\log z$ が成り立たないので段 1 の論法は使えず、$\exp$ も加法群 $L$ からの準同型にならない。ただし $L$ が部分空間であること自体は壊れない。たとえば $p=1$ で $U$ を $3$ 次の対角成分 $1$ の上三角行列の群とし、$y=1+aE_{12}+bE_{23}+cE_{13}$ とすると、$(y-1)^2=abE_{13}$、$(y-1)^3=0$ なので $\log y=aE_{12}+bE_{23}+(c-ab/2)E_{13}$ で、$(a,b,c)$ が $K^3$ を動くと $L$ は狭義上三角行列の全体、すなわち部分空間である。一方 $y=1+E_{12}$、$z=1+E_{23}$ では $yz=1+E_{12}+E_{23}+E_{13}$ で $\log(yz)=E_{12}+E_{23}+\tfrac12E_{13}\ne E_{12}+E_{23}=\log y+\log z$ となり、ずれ $\tfrac12E_{13}$ は $\tfrac12[\log y,\log z]$ に等しい。非可換な場合、$L$ は冪零な行列からなる Lie 環になり、群の積は $L$ の上で Baker–Campbell–Hausdorff の公式で書ける（「その後の発展」）。
主結果は線形代数群の形で述べたが、アフィン代数群 $U$ がある実現で元がすべて単冪な行列になるなら、その実現を通して同じ結論が $U$ について成り立つ。実現によらずに「単冪群」と言えることは本書『4-2 準同型と閉部分群と Jordan 分解』の主結果「半単純・単冪は実現によらない」（単冪についての部分は完結）に依るが、上の定理はその主結果を使っていない。
原論文の注意（印字 4-12）は、標数 $0$ の可換単冪群が $K^n$ に同型であることを「Proposition 4 から容易に従う」と一文で述べ、証明を書かない。上の証明は、Proposition 4 b)（本書『4-1 乗法的 Jordan 分解と単冪性』の主結果「標数 0 の加法群の有理表現」）から段 2 の「直線がまるごと入る」を引き、可換な単冪な元の対数の加法性を加えて閉じた。後者は原論文が Proposition 4 の証明で使う形式的冪級数の恒等式と同じ種類のものである。
正標数の非連結な可換単冪群
正標数では、単冪な元は位数が $p$ の冪の元なので、有限群が単冪群になりうる。原論文は例として $\mathbf Z/(p)$ を挙げるだけで、どう実現するかは書かない。
$p\ne1$ とし、$x=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\in\mathrm{GL}(2,K)$ とする。$x$ の冪の全体 $U=\{x^k\}$ は、位数 $p$ の巡回群に同型な $\mathrm{GL}(2,K)$ の閉部分群で、可換な単冪群であり、連結でない。
段 1（冪の計算）．$N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ とすると $N^2=0$ で、$x^k=(1+N)^k=1+kN=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}$（$k\ge0$）である。$k$ は $K$ の中では素体 $\mathbf F_p$ の元として読まれるので、$x^p=1$ で、$0\le k< p$ の $x^k$ は相異なる。ゆえに $U=\{x^k:0\le k< p\}$ は位数 $p$ の巡回群である。
段 2（閉部分群）．$U$ は有限集合で、一点は行列成分の方程式の零点なので閉、有限集合は閉である。部分群なので $U$ は $\mathrm{GL}(2,K)$ の閉部分群、すなわち線形代数群である。
段 3（可換な単冪群）．$U$ は巡回群なので可換で、元 $\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}$ は固有値がすべて $1$ なので単冪である（本書『4-1 乗法的 Jordan 分解と単冪性』の主結果「正標数の単冪性」とも合う。位数が $p$ の元は単冪である）。
段 4（非連結）．$U$ は $p\ge2$ 個の点からなる。$\{1\}$ とその補集合はどちらも有限集合なので閉で、空でなく交わらず、和は $U$ である。ゆえに $U$ は連結でない。
標数 $0$ の定理と並べると対比がはっきりする。標数 $0$ では単冪な元 $x\ne1$ は位数が無限で、それを通る加法群の像が群に入るので、単冪群は連結なベクトル空間になった。正標数では同じ行列 $x$ の位数が $p$ で、$x$ の生成する閉部分群は $p$ 個の点しかもたない（本書『4-2 準同型と閉部分群と Jordan 分解』の反例「標数で割れる冪では系 2 は壊れる」）。原論文の注意はここから、正標数では連結でも加法群の積に同型とは限らないことへ進む。その例と、加法群の自己準同型が加法多項式であることは、本書『5-2 正標数の可換単冪群と加法多項式』で扱う。
例と反例
まず、定理 4 の可換性が外せないことを見る。
外すのは、$G$ が可換であるという仮定である。$\mathrm{GL}(2,K)$ の単冪な元 $a=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$、$b=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$ の積は $ab=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ で、トレースは $3$ である。$2\times2$ の単冪な行列は固有値が二つとも $1$ なのでトレースが $2$ で、$3=2$ となる体は無い（$3-2=1\ne0$）。ゆえにどの標数でも $ab$ は単冪でなく、$\mathrm{GL}(2,K)$ の単冪な元の全体 $\mathrm{GL}(2,K)_u$ は積で閉じない。$a$、$b$ の生成する閉部分群を $G$ としても同じで、$G_u$ は部分群でなく、定理 4 の結論は成り立たない。
次の例は、分解を具体的に書き下したものである。
$G=\Bigl\{\begin{pmatrix}a&c\\0&a\end{pmatrix}:a\in K^*,\ c\in K\Bigr\}\subset\mathrm{GL}(2,K)$ は、方程式 $X_{21}=0$、$X_{11}=X_{22}$ で定まる閉部分群で、可換である（$N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ として元は $a+cN$ と書け、$N^2=0$ なので $(a+cN)(a'+c'N)=aa'+(ac'+a'c)N$ は対称）。元 $y=a+cN$ の加法的 Jordan 分解は $y_s=a\cdot1$、$y_n=cN$ で、$y_u=1+a^{-1}cN$ である。ゆえに $G_s=\{a\cdot1\}\cong K^*$、$G_u=\{1+bN\}\cong K$ で、$(a\cdot1,1+bN)\mapsto a+abN$ が同型 $K^*\times K\cong G$ を与える。逆写像は $y\mapsto(y_{11}\cdot1,\ 1+y_{11}^{-1}y_{12}N)$ で、成分は行列成分と $y_{11}^{-1}$ の多項式である。$K^*$ の閉部分群 $\mu_d$（$p\nmid d$）に $a$ を制限すれば、$G_s\cong\mu_d$ が有限な例になる。
次の例は、標数 $0$ の定理の対数が座標をどう変えるかを示し、正標数との違いを次の頁へつなぐ。
$U=\Bigl\{u(t,s)=\begin{pmatrix}1&t&s\\0&1&t\\0&0&1\end{pmatrix}:t,s\in K\Bigr\}$ とする。$u(t,s)u(t',s')=u(t+t',\ s+s'+tt')$ で、右辺は $(t,s)$ と $(t',s')$ について対称なので、$U$ は可換で、方程式 $X_{12}=X_{23}$ で定まる対角成分 $1$ の上三角群の閉部分群である。元はすべて単冪である。(a) $p=1$ とする。$N=E_{12}+E_{23}$、$N^2=E_{13}$ とすると $u(t,s)-1=tN+sE_{13}$、$(u(t,s)-1)^2=t^2E_{13}$、$(u(t,s)-1)^3=0$ なので
$$\log u(t,s)=tN+\Bigl(s-\frac{t^2}2\Bigr)E_{13}.$$
ゆえに $L=KN\oplus KE_{13}$ で、上の定理（標数 0 の可換単冪群）の同型は $u(t,s)\mapsto(t,\ s-t^2/2)\in K^2$ である。実際 $(t+t')^2/2=t^2/2+t'^2/2+tt'$ なので、第 2 成分は $s+s'+tt'-(t+t')^2/2=(s-t^2/2)+(s'-t'^2/2)$ と加法的になる。座標 $(t,s)$ のままでは群の演算は和でなく、対数が非線形な座標の取り替えを与えている。(b) $p=2$ では $t^2/2$ が意味をもたない。実際、$u(1,0)^2=u(2,1)=u(0,1)\ne1$、$u(0,1)^2=u(0,2)=1$ なので、$u(1,0)$ の位数は $4$ である。一方 $K^2$ の元はどれも $2$ 倍すると $0$ になるので、この $U$ は連結 2 次元の可換単冪群で、$K^2$ とは抽象群としても同型でない。これは長さ 2 の Witt ベクトルの群の $p=2$ の場合で、本書『5-2 正標数の可換単冪群と加法多項式』で一般の $p$ について扱う。
その後の発展
以下は後代の結果の紹介である（本書が文献を開いて確かめていないものはそう書く）。
- 教科書の可換群の構造（Borel Bor91、初版 1969 年、Humphreys Hum75、1975 年、Springer Spr98、1998 年の第 2 版）：可換な線形代数群が半単純部分と単冪部分の直積になることは、線形代数群の一般論の標準的な定理として扱われ、連結可解群の構造論（Borel 部分群、単冪根基、Lie–Kolchin の定理）の入口に置かれる。原論文が冒頭で解説の対象とした Borel の論文 Bor56 の構造論もこの分解を使う。本書は該当箇所を確かめていない。
- 群スキームの枠（Demazure–Gabriel DG70、1970 年、Milne Mil17、2017 年）：完全体の上の可換なアフィン群スキームは、乗法的な部分（対角化可能群スキームに当たる）と単冪な部分の直積に分かれる。標数 $p$ では $\mu_p$ のような被約でない乗法的群スキームや、加法群の Frobenius 核のような被約でない単冪群スキームが現れる。標数 $0$ の単冪群と冪零 Lie 環の対応も、指数写像によって同じ本で扱われる。本書は確かめていない。
- 非可換な単冪群（同じ文献）：標数 $0$ の単冪群は、非可換でも指数写像で冪零 Lie 環と対応し、代数的集合としてはアフィン空間に同型である。積は Baker–Campbell–Hausdorff の公式（冪零なので有限和）で書ける。上の定理（標数 0 の可換単冪群）はその可換な場合に当たる。本書は確かめていない。
- 第 5 巻との関係：第 5 巻『Chern 類と離散群の線形表現』の頁『8-1 Milnor の定理の一般化：簡約群と可換群』は、複素代数群を構造論で可換群と半単純群に帰着させた。上の定理（可換なアフィン代数群の直積分解）は、その構造論の最初の一段に当たる。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Généralités sur les groupes algébriques affines. Groupes algébriques affines commutatifs Gro56 の n° 5 の前半である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定理（可換なアフィン代数群の直積分解）、注意（原論文の証明の読み（閉性と像）） | Théorème 4 とその証明 | 4-12 |
| 背景と動機（可換群の構造の単冪群への帰着） | n° 5 の注意の最初の一文 | 4-12 |
| 定義（可換な単冪群） | n° 5 の注意の括弧内の単冪群の定義 | 4-12 |
| 定理（標数 0 の可換単冪群）、注意（原論文の「容易に」の中身） | n° 5 の注意の標数 0 の段 | 4-12 |
| 定理（正標数の非連結な可換単冪群） | n° 5 の注意の例 $\mathbf Z/(p)$ | 4-12 |
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
