4-1 乗法的 Jordan 分解と単冪性
有限次元の空間の自己同型を、互いに可換な半単純な部分と単冪な部分の積にただ一通りに分ける。そのうえで、単冪であることが群の言葉でどう見えるかを標数ごとに調べる。正標数では単冪な元はちょうど位数が標数の冪の元であり、標数 0 では加法群の有理表現はちょうど冪零な作用素の指数関数で、単冪な元はそのような表現の像に入る。原論文の対数の級数は係数の分母を落としており、補って読む。
前提知識: Jordan分解, 冪零行列, 単冪行列, 行列の指数関数, 加法群, 有理表現
この頁で示すこと
$K$ を代数的閉体、$p$ をその標数指数（標数が $0$ でなければ標数、$0$ なら $1$）、$V$ を $K$ 上の有限次元ベクトル空間、$r=\dim V$ とする。$\mathrm{End}(V)$ は $V$ の自己準同型の代数、$\mathrm{GL}(V)$ は自己同型の群である。自己準同型 $x$ の加法的 Jordan 分解を $x=x_s+x_n$（$x_s$ は半単純、$x_n$ は冪零、互いに可換）と書く（下の引用する事実 1）。
本頁の主結果は次の五つである。
- 単冪な自己準同型は可逆（原論文 n° 4 の単冪の定義に添えた主張）：恒等写像と冪零な自己準同型の和は可逆である。［完結］
- 乗法的 Jordan 分解（Proposition 3）：自己同型 $x$ は、互いに可換な半単純な $x_s$ と単冪な $x_u$ の積 $x=x_sx_u$ にただ一通りに書け、$x_s$ は加法的 Jordan 分解の半単純部分、$x_u=1+x_s^{-1}x_n$ である。$x$ と可換な自己準同型は $x_s$、$x_u$ と可換である。［完結］
- 可換な元の分解（Proposition 3 の系）：互いに可換な自己準同型 $x$、$y$ について $(xy)_s=x_sy_s$、互いに可換な自己同型について $(xy)_u=x_uy_u$ で、半単純かつ単冪な自己準同型は恒等写像である。［完結］
- 正標数の単冪性（Proposition 4 a)）：$p\ne1$ なら、自己準同型が単冪であることと、位数が有限で $p$ の冪であることは同値である。［完結］
- 標数 0 の加法群の有理表現（Proposition 4 b)）：$p=1$ なら、加法群 $K$ の有理表現はちょうど冪零な $n$ による $t\mapsto\exp(tn)$ で、$n$ は表現で一意に定まり、$n\ne0$ なら像への代数群の同型である。自己準同型 $x$ が単冪であることは、$x$ を像に含む $K$ の有理表現があることと同値で、$x\ne1$ ならその像は $x$ を含む最小の閉部分群である。［完結。本書が足した仮定：有理表現を代数群の射である群準同型と読む］
主結果 1〜4 は線形代数だけで閉じ、本書『0-3 線形代数と群の道具』の加法的 Jordan 分解、可換な作用素の同時三角化、正標数の二項定理を引く。主結果 5 は、それに加えて冪零作用素の指数と対数の恒等式、加法群と一般線形群の座標環、$K$ の真の閉部分集合が有限であることを使う。どれも本書が完結の証明に使ってよい側に置いた事実で、原論文が Zariski 位相で述べる二つの段（二つの表現の一致と、像の最小性）も、1 変数の多項式の零点の有限性で閉じる。
背景と動機
原論文 n° 4「半単純元と単冪元」は、代数群の元の Jordan 分解を目標とする節である（印字 4-08〜4-11）。最初に、有限次元の $V$ の自己準同型 $x$ が半単純であることを、$x$ の生成する単位的部分代数の上で $V$ が半単純加群であることと定め、$K$ が代数的閉なのでそれは対角化可能と同じだと断る。続けて加法的 Jordan 分解 $x=x_s+x_n$ を「よく知られた事実」として想起し、$x$ が可逆なら $x_u=1+x_s^{-1}x_n$ とおいて $x=x_sx_u$ と書けることを述べる。単冪な自己準同型を恒等写像と冪零な自己準同型の和と定め、それは「したがって必然的に可逆」と一言添える（印字 4-08）。
Proposition 3 は乗法的な分解の一意性で、その系は可換な自己準同型の積の分解が成分ごとの積になることである。ここまでは線形代数の整理で、原論文の証明も数行である。
Proposition 4 は単冪性を群の言葉で特徴づける（印字 4-09〜4-10）。正標数では単冪な元は位数が $p$ の冪の元にほかならず、標数 0 では加法群 $K$ の有理表現の像に入る元にほかならない。後者の証明で原論文は冪零作用素の指数と対数を使い、「形式的冪級数の恒等式」に訴える。この特徴づけが次の頁の要になる。有理準同型は位数を保ち、加法群の有理表現を加法群の有理表現に移すので、単冪な元を単冪な元に移す（本書『4-2 準同型と閉部分群と Jordan 分解』）。そこから半単純・単冪という性質が群の実現の選び方によらないことが出て、アフィン代数群の元の Jordan 分解が定義できる。
原論文の印字には、この頁の範囲で読み替えの要る箇所がいくつかある。主張の元と表現に同じ文字 $u$ を使うこと、加法群の群演算を積で書いた一か所、そして対数の級数から係数 $1/k$ が落ちていることである。最後のものは、そのままでは指数と対数が逆にならない（下の反例「印字の対数の級数では指数と対数が逆にならない」）。本書は近くの文が正しい性質を与えていることから誤植と読み、$1/k$ を補う。
定義と準備
半単純・単冪の定義は本書『0-3 線形代数と群の道具』と同じだが、本頁で閉じるように繰り返しておく。
$x\in\mathrm{End}(V)$ の生成する単位的部分代数を $K[x]$ と書く。$x$ が半単純であるとは、$V$ が $K[x]$ 加群として半単純であることをいう。$K$ は代数的閉なので、これは $x$ が対角化可能であることと同値である。$x$ が冪零であるとは、ある $k\ge1$ で $x^k=0$ となることをいう（このとき $x^r=0$）。$x$ が単冪であるとは、$x-1$ が冪零であること、すなわち $x=1+n$（$n$ は冪零）と書けることをいう。これは $x$ の固有値がすべて $1$ であることと同値である。
最後の同値は、$x-1$ が冪零なら固有値は $0$ に $1$ を足したもので、逆に固有値がすべて $1$ なら特性多項式は $(T-1)^r$ で、Cayley–Hamilton の定理により $(x-1)^r=0$ となることによる。
次に、標数 0 の主結果で使う指数と対数を置く。原論文の対数の級数は係数 $1/k$ を欠くが、本書は補った形で定める（下の注意（印字の読み（Proposition 3・Proposition 4）））。
$p=1$ とする。冪零な $n\in\mathrm{End}(V)$ と単冪な $y\in\mathrm{End}(V)$ に
$$\exp n=\sum_{k=0}^{r-1}\frac{n^k}{k!},\qquad\log y=\sum_{k=1}^{r}(-1)^{k+1}\frac{(y-1)^k}{k}$$
とおく。$n^r=0$、$(y-1)^r=0$ なので、どちらも形式的冪級数 $\exp T=\sum_{k\ge0}T^k/k!$、$\log(1+T)=\sum_{k\ge1}(-1)^{k+1}T^k/k$ に代入したものに等しい。冪零な $n$ について $u_n(t)=\exp(tn)$（$t\in K$）とおく。
加法群 $K$ は、座標環 $K[X]$ をもつ代数群である（本書『0-2 アフィン代数的集合と代数群』の例（加法群と乗法群））。その有理表現を次の意味で使う。
代数群 $G$ の $V$ 上の有理表現とは、群準同型 $u\colon G\to\mathrm{GL}(V)$ で、代数的集合の射であるものをいう（本書が足した仮定の読み）。$G=K$（加法群）のときは、基底をとった行列成分 $t\mapsto F_{ij}(t)$ がすべて $A(K)=K[X]$ の元、すなわち $t$ の多項式であることと同じである。$x\in\mathrm{GL}(V)$ について、$x$ を含む $\mathrm{GL}(V)$ の閉部分群すべての共通部分を $G(x)$ と書き、$x$ を含む最小の閉部分群という。閉集合の共通部分は閉で、部分群の共通部分は部分群なので、$G(x)$ は閉部分群である。
加法群の有理表現が行列成分の多項式性で言い換えられることは、一般線形群への射が行列成分の正則性で判定されることと、$A(K)=K[X]$ であることによる（本書『0-2 アフィン代数的集合と代数群』の命題（標準的な空間の座標環）の (1)(4)）。$G(x)$ を共通部分として定めるのは、冪 $\{x^m\}_{m\in\mathbf Z}$ の閉包との一致を使わずに済ませるためである（下の注意（最小の閉部分群と冪の閉包））。
引用する事実
次の事実は本書の第 0 章の頁で示した初等的な事実で、本書の基準では完結の証明に使ってよい側に置いている。
- 加法的 Jordan 分解（本書『0-3 線形代数と群の道具』の定理（加法的 Jordan 分解））：$x\in\mathrm{End}(V)$ は $x=x_s+x_n$（$x_s$ は半単純、$x_n$ は冪零、互いに可換）とただ一通りに書け、$x_s$、$x_n$ は $x$ の多項式である。$x$ と $x_s$ の固有値は重複度を込めて同じで、$x$ が可逆なら $x_s$ も可逆で、$x_s^{-1}$ は $x_s$ の多項式である。
- 可換な作用素の族（同じ頁の定理（可換な作用素族の同時三角化と同時対角化））：互いに可換な自己準同型の族には、すべての元で安定な完全旗がある。互いに可換な半単純な自己準同型の積と和は半単純、互いに可換な冪零な自己準同型の和と差は冪零、互いに可換な単冪な自己準同型の積は単冪である。
- 冪零作用素の指数と対数（同じ頁の定理（冪零作用素の指数と対数））：$p=1$ とする。冪零な $n$ について $\exp n$ は単冪で、単冪な $y$ について $\log y$ は冪零であり、$\log(\exp n)=n$、$\exp(\log y)=y$ である。冪零な $n$ について $\exp((s+t)n)=\exp(sn)\exp(tn)$、$\exp(0)=1$ である。
- 正標数の二項定理（同じ頁の定理（正標数の二項定理））：$p\ne1$、$q=p^a$ とすると、可換環の中で $(\alpha+\beta)^q=\alpha^q+\beta^q$ で、$\zeta\in K$ が $\zeta^q=1$ を満たせば $\zeta=1$ である。
- 1 変数の多項式と加法群の閉部分集合（本書『0-2 アフィン代数的集合と代数群』の命題（標準的な空間の座標環）の (1) とその証明、命題（1 次元の場合と積の稠密性）の (1)、本書『0-3 線形代数と群の道具』の最後の段落）：無限集合の上で消える 1 変数の多項式は $0$ である。$p=1$ で $t_0\ne0$ なら $\mathbf Zt_0$ は無限集合である。$K$ の真の閉部分集合は有限である。
主結果と証明
加法的 Jordan 分解は和の分解で、群の元を扱うには積の分解に直す必要がある。まず、積の分解の単冪な因子がいつも可逆であることを確かめる。
乗法的 Jordan 分解
単冪な自己準同型 $x=1+n$（$n$ は冪零）は可逆で、その逆は $\sum_{k=0}^{r-1}(-n)^k$ である。
$n^r=0$ なので $(1+n)\sum_{k=0}^{r-1}(-n)^k=1-(-n)^r=1$ で、$n$ と $\sum_k(-n)^k$ は可換なので、左からの積も $1$ である。
原論文はこれを定義の直後に「したがって必然的に可逆」と書く。固有値がすべて $1$ なので行列式が $1$ である、と言ってもよい。これで単冪な元はすべて $\mathrm{GL}(V)$ に入り、群の元の分解の因子になれる。
$x\in\mathrm{GL}(V)$ とする。
- 半単純な $x_s$ と単冪な $x_u$ で、$x_sx_u=x_ux_s$、$x=x_sx_u$ となるものがただ一組ある。
- $x_s$ は加法的 Jordan 分解 $x=x_s+x_n$ の半単純部分に等しく、$x_u=1+x_s^{-1}x_n$ である。
- $x$ と可換な自己準同型は $x_s$、$x_u$ と可換である。
$x_s$ を $x$ の半単純部分、$x_u$ を $x$ の単冪部分という。
段 1（存在）．引用する事実 1 の加法的 Jordan 分解 $x=x_s+x_n$ をとる。$x$ は可逆なので $x_s$ も可逆で、$x_s^{-1}$ は $x_s$ の多項式、したがって $x$ の多項式である。とくに $x_s^{-1}$ は $x_n$ と可換で、$(x_s^{-1}x_n)^r=x_s^{-r}x_n^r=0$ だから $x_s^{-1}x_n$ は冪零である。$x_u=1+x_s^{-1}x_n$ は単冪で、$x$ の多項式なので $x_s$ と可換であり、$x_sx_u=x_s+x_n=x$ である。
段 2（一意性）．$x=su$ を 1 の条件を満たす分解とし、$u=1+m$（$m$ は冪零）と書く。$s$ と $u$ は可換なので $s$ と $m$ も可換で、$x=s+sm$ である。$sm$ は可換な $s$、$m$ の積で $(sm)^r=s^rm^r=0$ なので冪零であり、$s$ と可換である。ゆえに $x=s+sm$ は $x$ の、半単純で冪零と可換な部分との和への分解で、加法的 Jordan 分解の一意性（引用する事実 1）から $s=x_s$、$sm=x_n$ である。したがって $u=s^{-1}x=x_s^{-1}(x_s+x_n)=1+x_s^{-1}x_n$ で、分解は段 1 のものに一致する。これで 1 と 2 が示された。
段 3（可換性）．$y\in\mathrm{End}(V)$ が $x$ と可換なら、$y$ は $x$ の多項式である $x_s$、$x_n$、$x_s^{-1}$ と可換なので、$x_u=1+x_s^{-1}x_n$ とも可換である。
原論文の証明は段 2 の一意性だけを書き、存在は加法的な分解の想起で済んだとする（印字 4-08）。段 2 の要点は、積の分解 $x=su$ が和の分解 $x=s+s(u-1)$ に書き直せることで、乗法的な分解の一意性は加法的な分解の一意性に帰着する。
次の系は、可換な元どうしの積の分解が成分ごとの積になることを言う。これは後の頁で、可換な群の元の半単純部分の全体が部分群になることの根拠になる（本書『5-1 可換群の直積分解と標数 0 の単冪群』）。
- $x,y\in\mathrm{End}(V)$ が可換なら、$(xy)_s=x_sy_s$ で、$(xy)_n=x_sy_n+x_ny_s+x_ny_n$ である。
- $x,y\in\mathrm{GL}(V)$ が可換なら、$(xy)_u=x_uy_u$ である。
- 半単純かつ単冪な自己準同型は恒等写像である。
段 1（成分の可換性）．$x_s$、$x_n$ は $x$ の多項式、$y_s$、$y_n$ は $y$ の多項式で、$x$ と $y$ は可換なので、$x_s,x_n,y_s,y_n$ は互いに可換である。$x$、$y$ が可逆なら、$x_u$、$y_u$ もそれぞれ $x$、$y$ の多項式（上の定理（乗法的 Jordan 分解）の証明の段 1）なので、これらとも互いに可換である。
段 2（1 の証明）．$xy=(x_s+x_n)(y_s+y_n)=x_sy_s+(x_sy_n+x_ny_s+x_ny_n)$ である。引用する事実 2 により $x_sy_s$ は半単純である。右の括弧の各項は、可換な作用素と冪零な作用素の積なので冪零で（$(ab)^r=a^rb^r$）、互いに可換なので和も冪零である。括弧は $x_sy_s$ と可換である。加法的 Jordan 分解の一意性から 1 が出る。
段 3（2 の証明）．段 1 により $xy=x_sx_uy_sy_u=(x_sy_s)(x_uy_u)$ で、$x_sy_s$ は半単純、$x_uy_u$ は可換な単冪の積なので単冪（引用する事実 2）、両者は可換である。$xy$ は可逆なので、上の定理（乗法的 Jordan 分解）の一意性から $(xy)_s=x_sy_s$、$(xy)_u=x_uy_u$ である。
段 4（3 の証明）．$x$ が半単純なら対角化でき、単冪なら固有値はすべて $1$ なので、対角化した行列は単位行列で、$x=1$ である。
原論文の系（印字 4-08）は「$x$ と $y$ が可換な二つの自己準同型なら」として $(xy)_s=x_sy_s$ と $(xy)_u=x_uy_u$ を並べる。しかし単冪部分 $x_u=1+x_s^{-1}x_n$ は $x$ が可逆なときにしか定義されていないので、第 2 式は可換な自己同型について読む。第 1 式は、上の定理の 1 のとおり自己準同型のままで成り立つ。原論文は系の後に、半単純かつ単冪な自己準同型が恒等写像であることを「注意しておく」と添える。本書はこれを上の定理の 3 に含めた。
これで、互いに可換な自己同型の集まりの中では、半単純部分をとる操作と単冪部分をとる操作がどちらも積を保つことが分かった。可換性を外すとこれは成り立たない（下の反例「可換性を外すと分解は積を保たない」）。残るのは、単冪という線形代数の性質が、群の言葉ではどう見えるかである。
正標数の単冪性
正標数では、単冪性は位数だけで判定できる。
$p\ne1$ とする。$x\in\mathrm{End}(V)$ について、次の二つは同値である。(a) $x$ は単冪である。(b) $x$ は可逆で、ある $a\ge0$ について $x^{p^a}=1$ である（すなわち $x$ の位数は有限で $p$ の冪である）。
段 1（(b) から (a)）．$x^{p^a}=1$ とし、$\zeta$ を $x$ の固有値とすると、固有ベクトルに当てて $\zeta^{p^a}=1$ である。引用する事実 4 により $\zeta=1$ で、$x$ の固有値はすべて $1$、すなわち $x$ は単冪である。
段 2（(a) から (b)）．$x=1+n$、$n^r=0$ とする。$p^a\ge r$ となる $a$ をとる。$1$ と $n$ は可換なので、引用する事実 4 の二項定理を $K[n]$ の中で使うと $x^{p^a}=1+n^{p^a}=1$ である。上の定理（単冪な自己準同型は可逆）により $x$ は可逆で、位数は $p^a$ を割るので $p$ の冪である。
正標数では、単冪であることは位数という群の言葉だけで言い表せた。標数 0 では位数による判定は使えないので（二項定理の段 2 が崩れる）、群の言葉での特徴づけには、位数の代わりに加法群の表現が現れる。
標数 0 の加法群の有理表現
$p=1$ とし、$K$ を加法群とみる。
- $K$ の有理表現 $u\colon K\to\mathrm{GL}(V)$ の像の元はすべて単冪である。
- 冪零な $n$ について、$u_n(t)=\exp(tn)$ は $K$ の有理表現である。$n=0$ なら $u_n$ は自明である。$n\ne0$ なら、$u_n(K)$ は $\mathrm{GL}(V)$ の閉部分群で、$u_n$ は $K$ から $u_n(K)$ への代数群の同型である。
- $K$ の任意の有理表現 $u$ について、$n=\log u(1)$ は冪零で $u=u_n$ である。$u=u_n=u_{n'}$ なら $n=n'$ である。
- $x\in\mathrm{End}(V)$ が単冪であることと、$x$ を像に含む $K$ の有理表現があることは同値である。$x\ne1$ なら、$x$ を像に含む $K$ の有理表現 $u$ について $u(K)=G(x)$ である。
段 1（像は単冪）．$u(K)$ は可換なので、引用する事実 2 により $u(K)$ のすべての元で安定な完全旗 $0=V_0\subset V_1\subset\dots\subset V_r=V$ があり、それに適合した基底で $u(t)$ はすべて上三角行列である。その第 $i$ 対角成分 $\chi_i(t)$ は $u(t)$ が $1$ 次元の $V_i/V_{i-1}$ に誘導する作用で、$\chi_i\colon K\to K^*$ は群準同型、すなわち $\chi_i(s+t)=\chi_i(s)\chi_i(t)$ である。$u$ は有理的なので $\chi_i$ は $t$ の多項式で、値はすべて $K^*$ に入るので $K$ の上に零点をもたない。$K$ は代数的閉なので定数でない多項式は零点をもつから、$\chi_i$ は定数で、$\chi_i(0)=1$ より $\chi_i=1$ である。ゆえに $u(t)$ は対角成分がすべて $1$ の上三角行列で、単冪である。
段 2（$u_n$ は有理表現）．$n^r=0$ なので $u_n(t)=\sum_{k=0}^{r-1}t^kn^k/k!$ の行列成分は $t$ の多項式である。引用する事実 3 により $u_n(t)$ は単冪で可逆、$u_n(s+t)=u_n(s)u_n(t)$、$u_n(0)=1$ なので、$u_n$ は $K$ から $\mathrm{GL}(V)$ への群準同型で、行列成分が多項式なので有理表現である。$n=0$ なら $u_n(t)=1$ である。
段 3（像は閉）．$n\ne0$ とする。多項式写像 $L\colon\mathrm{End}(V)\to\mathrm{End}(V)$ を $L(y)=\sum_{k=1}^r(-1)^{k+1}(y-1)^k/k$ で定める（単冪な $y$ では $L(y)=\log y$）。$\mathrm{End}(V)$ 上の一次形式 $\ell_1,\dots,\ell_{r^2-1}$ で、共通の核がちょうど直線 $Kn$ になるものをとる。
$$C=\{y\in\mathrm{GL}(V):(y-1)^r=0,\ \ell_j(L(y))=0\ (1\le j\le r^2-1)\}$$
とおくと、条件は $y$ の行列成分の多項式の等式なので、$C$ は $\mathrm{GL}(V)$ の閉集合である。$C=u_n(K)$ を示す。$u_n(t)$ は単冪で、$L(u_n(t))=\log\exp(tn)=tn\in Kn$（引用する事実 3）なので $u_n(K)\subset C$ である。逆に $y\in C$ なら $y$ は単冪で $\log y=L(y)\in Kn$、$\log y=tn$ と書けて $y=\exp(\log y)=\exp(tn)=u_n(t)$ である。ゆえに $u_n(K)=C$ は閉で、準同型の像なので部分群である。
段 4（逆写像は射）．$\ell(n)=1$ となる一次形式 $\ell$ をとり、$\psi(y)=\ell(L(y))$ とおく。$\psi$ は行列成分の多項式なので、$u_n(K)$ の上の正則関数、すなわち射 $u_n(K)\to K$ である。$\psi(u_n(t))=\ell(tn)=t$ なので、$u_n$ は単射で $\psi$ はその逆写像である。$u_n$ と $\psi$ はどちらも射で、$u_n$ は準同型なので、$u_n$ は $K$ から閉部分群 $u_n(K)$ への代数群の同型である。これで 2 が示された。
段 5（有理表現は指数の形）．3 を示す。段 1 により $x=u(1)$ は単冪なので、$n=\log x$ は冪零で、$u_n(1)=\exp(\log x)=x=u(1)$ である（引用する事実 3）。$u$ と $u_n$ はどちらも準同型なので、整数 $m$ について $u(m\cdot1)=x^m=u_n(m\cdot1)$ である。$u(t)-u_n(t)$ の各行列成分は $t$ の多項式で、無限集合 $\mathbf Z\cdot1$（引用する事実 5）の上で消えるので $0$ である。ゆえに $u=u_n$ である。$u_n=u_{n'}$ なら $n=\log u_n(1)=\log u_{n'}(1)=n'$ である。
段 6（単冪性の特徴づけ）．4 の前半を示す。$x$ が単冪なら $n=\log x$ について $u_n(1)=x$ で、$x$ は有理表現 $u_n$ の像に入る。逆は段 1 である。
段 7（像は最小の閉部分群）．$x\ne1$ とし、$x=u(t_0)$ とする。段 5 により $u=u_n$ で、$n\ne0$（さもなくば $u$ は自明で $x=1$）、$t_0\ne0$ である。段 3 により $u_n(K)$ は $x$ を含む閉部分群なので、$G(x)\subset u_n(K)$ である。逆向きを示す。$C'=u_n^{-1}(G(x))$ は $K$ の部分群である。$G(x)$ は $A(\mathrm{GL}(V))=K[X_{ij},\det^{-1}]$ のある元たちの共通零点で、それらを $u_n$ で引き戻すと、$\det u_n(t)=1$ なので $t$ の多項式になる。$C'$ はその共通零点なので閉である。$C'$ は $t_0$ を含むので $\mathbf Zt_0$ を含み、これは無限集合である。$K$ の真の閉部分集合は有限なので（引用する事実 5）$C'=K$、すなわち $u_n(K)\subset G(x)$ である。ゆえに $u(K)=u_n(K)=G(x)$ である。
段 1 は $p=1$ を使っていない。正標数でも、加法群の有理表現の像はすべて単冪である。$p=1$ が効くのは、指数と対数が定義できる段 2〜段 4 と、$\mathbf Z\cdot1$ が無限になる段 5・段 7 である。正標数ではこの二つがどちらも壊れる（下の反例「正標数では加法群の表現は整数点で決まらない」）。
原論文は「$x$ を含む最小の閉部分群」を定義せずに使う。本書は $G(x)$ を、$x$ を含む閉部分群の共通部分として定めた。一般には $G(x)$ は冪 $\{x^m\}_{m\in\mathbf Z}$ の閉包に一致し、これは部分群の閉包が部分群であるという代数群の一般論に依る（本書『0-2 アフィン代数的集合と代数群』の定義（元の生成する最小の閉部分群）の後）。上の定理の 4 の場合は、この一致も初等的に確かめられる。$u_n$ は $K$ から閉集合 $u_n(K)$ への同相なので、$\{x^m\}=u_n(\mathbf Zt_0)$ の閉包は $u_n$ による $\mathbf Zt_0$ の閉包の像で、$\mathbf Zt_0$ は無限なので閉包は $K$、ゆえに冪の閉包は $u_n(K)=G(x)$ である。本書の以後の頁で $G(x)$ が可換であることを使う段（本書『4-2 準同型と閉部分群と Jordan 分解』）は、一般の場合の一致に依らず、$\mathrm{GL}(V)$ の中の中心化群が閉であることから可換性を直接に示す。
原論文の印字には、次の読み替えを施した（印字 4-08〜4-10）。(a) Proposition 4 b) の主張は「像が $u$ を含む有理表現 $u$」と打つが、像が含むべき元は主張の $x$ で、$u$ は表現の名なので $x$ と読む。証明の a) でも元が $u$ と呼ばれており、同じく $x$ と読む。a) の主張の「soit」には取消線のような線が掛かっているが、判読でき、文意は変わらない。(b) 証明の b) で、1 次元の商への作用を与える多項式 $P$ を「$P(st)=P(s)P(t)$」とするが、加法群の群演算は和なので $P(s+t)=P(s)P(t)$ と読む。$P$ は零点をもたない多項式なので定数で、どちらの式からも $P=1$ が出るので、結論に影響しない。(c) 対数の級数を、一か所目は $\log x$ の定義で $\sum_{k\ge1}(-1)^{k+1}m^k$、二か所目は $\log u_n(t)=\sum_{k=1}^r(-1)^{k+1}(u_n(t)-1)^k$ と、どちらも係数 $1/k$ なしに打つ。同じ段が「$\exp(\log(1+N))=1+N$ は形式的冪級数の恒等式」と書き、この恒等式は $1/k$ のある級数でしか成り立たない（下の反例「印字の対数の級数では指数と対数が逆にならない」）。印字の形に理由は添えられていないので、本書は誤植と読み、$1/k$ を補った。二か所目の「$tn$ は $u_n(t)$ の多項式」という結論は、$1/k$ を補っても変わらない。(d) Proposition 3 の系の第 2 式は、上の注意（系の第 2 式は自己同型について読む）のとおりである。
これで、単冪な元は、正標数では位数が $p$ の冪の元として、標数 0 では加法群の有理表現の像に入る元として、どちらも群の言葉で捉えられた。有理準同型で移すと、位数が $p$ の冪であることは保たれ、加法群の有理表現は合成でまた加法群の有理表現になる。この特徴づけから、有理準同型が単冪な元を単冪な元に移すことが出る。それが本書『4-2 準同型と閉部分群と Jordan 分解』の最初の主結果である。
例と反例
まず、一つの行列で乗法的な分解を書き出し、標数によって単冪部分の生成する群がどう違うかを見る。
$V=K^3$、$\lambda,\mu\in K^*$、$\lambda\ne\mu$ とし、$E_{12}$ を $(1,2)$ 成分だけが $1$ の行列として
$$x=\begin{pmatrix}\lambda&1&0\\0&\lambda&0\\0&0&\mu\end{pmatrix}=\mathrm{diag}(\lambda,\lambda,\mu)+E_{12}$$
とする。本書『0-3 線形代数と群の道具』の例（Jordan 分解の計算）により $x_s=\mathrm{diag}(\lambda,\lambda,\mu)$、$x_n=E_{12}$ で、上の定理（乗法的 Jordan 分解）の 2 から
$$x_u=1+x_s^{-1}x_n=1+\lambda^{-1}E_{12}$$
である。実際 $x_sx_u=x_s+E_{12}=x$ で、$x_s$ と $x_u$ は可換である。$E_{12}^2=0$ なので $x_u^m=1+m\lambda^{-1}E_{12}$（$m\in\mathbf Z$）である。$p\ne1$ なら $x_u^p=1$ で、上の定理（正標数の単冪性）のとおり $x_u$ の位数は $p$ である。さらに $\lambda$、$\mu$ が位数 $p$ と素な 1 の冪根で、それらの位数の最小公倍数を $e$ とすると、$x_s^e=1$、$x^e=x_s^ex_u^e=x_u^e\ne1$（$p\nmid e$）、$x^{ep}=1$ である。上の定理（乗法的 Jordan 分解）の一意性により、正の整数 $k$ について $x^k=1$ であることは $x_s^k=1$ かつ $x_u^k=1$、すなわち $e\mid k$ かつ $p\mid k$（上の定理（正標数の単冪性）により $x_u$ の位数は $p$ なので）と同値であり、これは $ep\mid k$ と同値である。ゆえに $x$ の位数は $ep$ で、半単純部分と単冪部分の位数に分かれる。$p=1$ なら $x_u^m\ne1$（$m\ne0$）で位数は無限であり、$n=\log x_u=\lambda^{-1}E_{12}$（$(x_u-1)^2=0$）について $x_u=u_n(1)$、上の定理（標数 0 の加法群の有理表現）の 4 により $G(x_u)=u_n(K)=\{1+tE_{12}:t\in K\}$ で、これは加法群に同型である。
次の反例は、原論文の印字の対数の級数を、そのまま使うとどうなるかを見る。
外すのは、上の定義（冪零作用素の指数と単冪作用素の対数）の対数の級数の係数 $1/k$ である。$p=1$、$V=K^3$ とし、$N$ を $Ne_1=0$、$Ne_2=e_1$、$Ne_3=e_2$ で定める。$N^2$ は $(1,3)$ 成分だけが $1$ の行列で、$N^3=0$ である。$x=1+N$ は単冪である。原論文の印字の級数 $\sum_k(-1)^{k+1}(x-1)^k$ は $N-N^2$ で、$(N-N^2)^2=N^2$ なので
$$\exp(N-N^2)=1+(N-N^2)+\frac{N^2}{2}=1+N-\frac{N^2}{2}$$
となる。これは $(1,3)$ 成分が $-1/2$ で、$x$（$(1,3)$ 成分は $0$）に等しくない。原論文が同じ段で使う「$\exp(\log(1+N))=1+N$」は、印字の級数では偽である。係数 $1/k$ を補った $\log x=N-N^2/2$ では、$(N-N^2/2)^2=N^2$ から $\exp(\log x)=1+N-N^2/2+N^2/2=x$ となり、恒等式が成り立つ。
次の反例は、上の定理（標数 0 の加法群の有理表現）の 2・3 から $p=1$ という仮定を外す。
外すのは $p=1$ という仮定である。$p\ne1$、$V=K^2$、$N=E_{12}$ とし、
$$u(t)=1+tN=\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix},\qquad u'(t)=1+t^pN=\begin{pmatrix}1&t^p\\0&1\end{pmatrix}$$
とおく。$N^2=0$ と正標数の二項定理 $(s+t)^p=s^p+t^p$ から、どちらも加法群 $K$ の有理表現である。整数点 $\mathbf Z\cdot1$ は素体 $\mathbf F_p$ で、その上では $t^p=t$ なので $u$ と $u'$ は一致するが、$t\notin\mathbf F_p$ では $u(t)\ne u'(t)$ である。したがって証明の段 5（整数点で一致すれば全体で一致）が壊れ、3 の「有理表現は $u(1)$ で決まる」が成り立たない。また、$K$ は代数的閉なので $t\mapsto t^p$ は全単射で、$u'$ は $K$ から $U(2)=\{1+bN\}$ への全単射な有理表現だが、代数群の同型ではない。逆写像 $1+bN\mapsto b^{1/p}$ が射なら、ある多項式 $P$ で $P(t^p)=t$（$t\in K$）となり、多項式 $P(X^p)-X$ は $K$ 全体で消えるので $0$ になるが、$P(X^p)$ には $X$ の 1 次の項が無いので矛盾する。したがって 2 の「自明か、像への同型か」も壊れる。さらに $x=u(1)=1+N$ の位数は $p$ で、$G(x)=\{1,x,\dots,x^{p-1}\}$（有限集合は閉）は像 $U(2)$ より真に小さい。$N^p\ne0$ となる冪零な $N$ では、指数の級数そのものが定義できない（本書『0-3 線形代数と群の道具』の反例（正標数では指数の級数を切れない））。
最後に、上の定理（可換な元の分解）から可換性を外す。
外すのは、$x$ と $y$ が可換であるという仮定である。$V=K^2$ とし、
$$x=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad y=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$$
とする。どちらも単冪なので $x_s=y_s=1$、$x_u=x$、$y_u=y$ である。$xy=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ の特性多項式は $T^2-3T+1$ である。$xy$ が単冪なら特性多項式は $(T-1)^2=T^2-2T+1$ のはずで、比べると $3=2$、すなわち $K$ の中で $1=0$ となり矛盾する。ゆえにどの標数でも $xy$ は単冪でなく、$(xy)_u\ne xy=x_uy_u$、また $(xy)_s\ne1=x_sy_s$ である（$(xy)_s=1$ なら $xy=(xy)_u$ は単冪）。実際 $yx=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\ne xy$ である。同じ二つの行列は、単冪な元の全体が一般には部分群をなさないことの例として、本書『5-1 可換群の直積分解と標数 0 の単冪群』にも現れる。
その後の発展
以下は後代の結果の紹介である（本書は文献を開いて確かめていない）。
- 群の元の Jordan 分解（1956〜1998 年）：本頁の乗法的な分解は、次頁で線形代数群の元の分解に持ち上がり、分解が群の実現によらないことが示される（本書『4-2 準同型と閉部分群と Jordan 分解』）。原論文が解説の対象とした Borel の論文 Bor56 の構造論はこの分解の上に立ち、Borel Bor91、Humphreys Hum75、Springer Spr98 の教科書では Jordan–Chevalley 分解として線形代数群論の最初の段に置かれる。完全体の上の群スキームの点についての同じ分解は Milne Mil17 にある。
- 標数 0 の単冪群と指数写像：本頁の主結果 5 は 1 次元の場合で、標数 0 では一般に、単冪な線形代数群とその Lie 環が指数写像と対数写像で代数的集合として同型になることが知られている（Humphreys Hum75、1975 年、Milne Mil17、2017 年）。本書『5-1 可換群の直積分解と標数 0 の単冪群』は、その可換な場合を本頁の主結果 5 から直接示す。
- 正標数の加法群の表現：上の反例のとおり、正標数の加法群の有理表現には $t\mapsto t^p$ のような Frobenius の冪が入り、一つの指数関数では書けない。群スキームの枠での加法群の表現と、正標数の単冪群の構造は Waterhouse Wat79、1979 年、Demazure–Gabriel DG70、1970 年にある。正標数の可換単冪群は本書『5-2 正標数の可換単冪群と加法多項式』で扱う。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Gro56 の n° 4 の前半である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（半単純・冪零・単冪）、引用する事実 1（加法的 Jordan 分解） | n° 4 冒頭の半単純の定義、加法的 Jordan 分解の想起、単冪の定義 | 4-08 |
| 定理（単冪な自己準同型は可逆） | 単冪の定義の直後の一文 | 4-08 |
| 定理（乗法的 Jordan 分解） | Proposition 3 とその証明 | 4-08 |
| 定理（可換な元の分解）、注意（系の第 2 式は自己同型について読む） | Proposition 3 の系と、その後の「注意しておく」の一文 | 4-08 |
| 定理（正標数の単冪性） | Proposition 4 a) とその証明 | 4-09 |
| 定義（冪零作用素の指数と単冪作用素の対数）、定義（加法群の有理表現と最小の閉部分群）、定理（標数 0 の加法群の有理表現）、注意（最小の閉部分群と冪の閉包） | Proposition 4 b) とその証明 | 4-09〜4-10 |
| 注意（印字の読み（Proposition 3・Proposition 4）） | Proposition 4 の主張と証明の元の名、$P(st)$、対数の級数、Proposition 3 の系 | 4-08〜4-10 |
参考文献
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