3-2 指標群との双対性

対角化可能群をその有理指標の群で記述し、群と指標群の反変的な対応を完成させる。指標が正則関数の基底であること、指標群がねじれの位数の標数と素な有限生成アーベル群で点を復元すること、閉部分群と指標群の部分群の対応、有理準同型と指標群の準同型の対応を示す。原論文が構造を定義せずに扱った商は、指標による像として明示する。
前提知識: 対角化可能群, 指標群, 代数的トーラス, 有限生成アーベル群, 有限アーベル群の双対

この頁で示すこと

$K$ は代数的閉体、$p$ はその標数指数である。$D$、$D'$ は対角化可能群（対角行列の群 $D(n)$ のある閉部分群に同型な代数群）、$\hat D$ は $D$ の有理指標（有理準同型 $D\to K^*$）の群で、加法的に書く。$A\subset D$ に対し $A^\circ\subset\hat D$ は $A$ の上で $1$ になる指標の群、$B\subset\hat D$ に対し $B^\circ\subset D$ は $B$ のすべての指標が $1$ になる点の群である。$D$ から $D'$ への有理準同型の全体は各点ごとの積で群をなし、加法的に書く。有理準同型 $u\colon D\to D'$ の転置 ${}^tu\colon\hat D'\to\hat D$ は $\chi\mapsto\chi\circ u$ である（下の定義）。
本頁の主結果は次の六つである。

1. 転置の規則（原論文 n° 3 の転置の定義に添えた主張）：${}^t(uv)={}^tv\,{}^tu$、${}^t\mathrm{id}=\mathrm{id}$、${}^t(u+v)={}^tu+{}^tv$ が成り立つ。［完結］
2. 指標は正則関数の基底（Théorème 2 の系 3 a)）：$\hat D$ は $A(D)$ の基底であり、$D$ の有理表現はすべて対角化可能である。［条件付き：アフィン集合の積の座標環がテンソル積であることを引用］
3. 指標群の形と点の復元（系 3 b)）：$\hat D$ は有限生成アーベル群で、ねじれ部分の位数は $p$ と素である。逆にそのような群はどれも、ある対角化可能群の指標群に同型である。自然な写像 $D\to\mathrm{Hom}(\hat D,K^*)$ は全単射である。［完結］
4. 閉部分群と指標群の部分群の対応（系 3 c)）：$A\mapsto A^\circ$ と $B\mapsto B^\circ$ は、$D$ の閉部分群の全体と、$\hat D/B$ が $p$ ねじれをもたない $\hat D$ の部分群 $B$ の全体との間の、互いに逆な全単射である。対応する $A$ について、商 $D/A$ の指標群は $A^\circ$ に、$A$ の指標群は制限によって $\hat D/A^\circ$ に同型である。［条件付き：商の指標群の部分は準同型の像が閉部分群であることを、部分群の指標群の部分は主結果 2 と閉部分集合への座標環の制限が全射であることを引用。全単射の部分は頁内で閉じる。本書が足した仮定：商 $D/A$ は指標による像と同一視する］
5. 対角化可能の二つの定義の整合（n° 3 冒頭の括弧内の予告）：$\mathrm{GL}(n,K)$ の閉部分群 $G$ について、$G$ が対角化可能群であることと、$G$ が $D(n)$ の部分群に共役であることは同値である。［条件付き：主結果 2 による。本書が足した仮定：対角化可能群の定義の部分群は閉部分群と読む］
6. 準同型の群と指標群の準同型の群（系 4）：$u\mapsto{}^tu$ は、$D$ から $D'$ への有理準同型の群から $\mathrm{Hom}(\hat D',\hat D)$ への群の同型である。［完結］
   主結果 1 は定義から直ちに出る。主結果 2〜6 は、対角化可能群がトーラスと有限アーベル群の積であること（本書『3-1 トーラスの関数環と閉部分群』の主結果「対角化可能群の構造」。完結）を出発点に、指標の一次独立性と有限アーベル群の双対という初等的な代数で組み立てる。主結果 3 はこの積の分解、トーラスの指標群が $\mathbf Z^n$ であること、有限群の指標の同一視（本書『0-2 アフィン代数的集合と代数群』の命題「標準的な空間の座標環」の (4)）と有限アーベル群の双対だけで閉じ、主結果 6 は主結果 1・3 と座標が正則な写像が射であることだけで閉じる。主結果 2 は積の座標環がテンソル積であることを引くので条件付きである。主結果 4 の全単射の部分は、原論文が Chevalley の定理の系を引く一歩を、$D$ を対角行列の群に埋め込んで本書『3-1 トーラスの関数環と閉部分群』の主結果「トーラスの閉部分群は指標の核」に帰着させるので、主結果 2 にも Chevalley の定理にも依らない。主結果 4 の残りでは、原論文が理由を書かずに済ませた二つの段（商の構造、部分群の指標が全体の指標の制限であること）に標準的な定理を一つずつ名指しして引く。主結果 5 は、原論文では定義の直後に予告として置かれているが、証明に主結果 2 を使うので主結果 2 の後に置く。

背景と動機

原論文 Gro56 は n° 3 の冒頭（印字 4-05）で対角化可能な代数群を「$D(n)$ の部分群に同型な代数群」と定め、括弧の中で、行列の群についてはこの呼び方が「$D(n)$ の部分群に共役」という先の呼び方と両立することが後の系 3 から分かる、と予告する。トーラスについて Théorème 2 とその系 1・系 2 を示したあと（本書『3-1 トーラスの関数環と閉部分群』）、印字 4-06 の系 3 で対角化可能群一般の指標群を三項目 a) b) c) にまとめ、印字 4-06〜4-07 でその証明を与える。続けて有理準同型の転置を定義し、転置の規則を「évidemment」で添え、系 4 を「すぐ確かめられる」として述べる（印字 4-07）。
系 3 と系 4 を合わせると、対角化可能群の圏と、ねじれの位数が $p$ と素な有限生成アーベル群の圏とが、$D\mapsto\hat D$ で反変的に同値になる。群の点は指標群の $K^*$ への準同型として復元され、閉部分群は指標群の部分群に、商は部分群に、準同型は準同型の転置に対応する。代数群についての問題を有限生成アーベル群の問題に翻訳するこの辞書は、後代の対角化可能群スキームと Cartier 双対の原型に当たる（この頁の「その後の発展」）。
原論文の証明は短い。a) は系 2 の積の分解と $A(F\times D_0)=A(F)\otimes A(D_0)$ から、b) は有限アーベル群の双対の古典的な事実から出る。c) の前半は系 1 と同じく Théorème 1 の系（閉正規部分群は有理表現の核）から、$B^{\circ\circ}=B$ は b) から出る。後半の二つの等式のうち、商の指標群が $A^\circ$ になることを原論文は「自明」とし、商 $D/A$ の代数群の構造を定義しない。部分群の指標群が $\hat D/A^\circ$ になることは二重双対の議論で示される。本頁は、$A^{\circ\circ}=A$ を Chevalley の定理を経ずに $D$ を対角行列の群に埋め込んでトーラスの場合に帰着させ、商を指標による像と同一視する読みを明示し、部分群の指標群を制限の全射性で直接に示す。

定義と準備

本頁で使う記号を、本書『3-1 トーラスの関数環と閉部分群』の定義と同じものとして述べ直す。

有理指標は $A(D)$ の元である（$K^*$ の座標関数の引き戻し）。$\ker\hat x$ は正則関数 $\hat x-1$ の零点集合なので閉で、$B^\circ$ は閉集合の共通部分として閉である。次に、準同型の群と転置を定める。

$D'$ は可換なので $u+v$ と $-u$ は準同型で、$x\mapsto(u(x),v(x))$ と $D'$ の積・逆元の合成なので射でもある。こうして $\mathrm{Hom}_{\mathrm{rat}}(D,D')$ はアーベル群になる。$\chi\circ u$ は有理準同型の合成なので有理指標で、${}^tu$ は定義される。${}^tu$ が群の準同型であることは、$(\chi+\chi')\circ u$ が $x\mapsto\chi(u(x))\chi'(u(x))$ であることから分かる。

引用する事実

次の事実は証明せずに引用する。事実 1・2・6 は本書の他の頁で［完結］とした結果である。事実 3 は本書の他の頁の主結果で、その先で Hilbert の基底定理・零点定理とアフィン集合の積の座標環の定理に依る（札は条件付き）。事実 3 は注意「原論文の証明の道と印字（系 3 c)）」でだけ使い、本頁の主結果の証明には使わない。事実 4 は標準的な定理で（AM69、Har77、Hum75、Bor91。本書『0-2 アフィン代数的集合と代数群』）、事実 5 は初等的な代数である（Art42、Lan02。本書『0-3 線形代数と群の道具』）。該当箇所は本頁では確認していない。

1. 対角化可能群の構造（本書『3-1 トーラスの関数環と閉部分群』の主結果）：対角化可能群は、位数が $p$ と素な有限アーベル群 $F$ とトーラス $D_0\cong K^{*n}$ との積 $F\times D_0$ に代数群として同型である。逆に、そのような積は対角化可能群である。ここで有限群 $F$ は、有限個の点からなるアフィン代数的集合として代数群とみる（その構造は群の構造だけで決まる。同じ定理の前の断り）。
2. トーラスの指標と対角化の補題、有限集合の上の関数（本書『3-1 トーラスの関数環と閉部分群』の主結果「トーラスの正則関数と指標」、補題「指標の基底と表現の対角化」、主結果「対角化可能群の構造」の証明の段 2）：$A(K^{*n})$ は単項式を基底にもち、$\widehat{K^{*n}}\cong\mathbf Z^n$ は座標関数 $X_1,\dots,X_n$ を基底にもつ。$A(G)$ が有理指標からなる基底をもつ代数群 $G$ の有理表現は、すべて対角化可能である。有限個の点からなるアフィン代数的集合の上では、すべての関数が正則である。
3. 可換な群の閉部分群は有理表現の核（本書『2-2 正規部分群を核とする表現』の主結果「重さが共役で動かない場合の原論文の議論」の可換の場合）：可換なアフィン代数群の閉部分群 $H$ に対し、核がちょうど $H$ である有理表現がある。
4. アフィン代数的集合と代数群の標準的な定理：(a) アフィン代数的集合の積 $X\times Y$ の座標環は $A(X)\otimes_KA(Y)$ である。(b) 閉部分集合 $Z\subset X$ への制限 $A(X)\to A(Z)$ は全射である。(c) 代数群の有理準同型の像は閉部分群である。
5. 初等的な代数：相異なる指標（群から $K^*$ への準同型）は一次独立である。有限生成アーベル群は有限なねじれ部分と自由な部分の直和で、その部分群も有限生成である。位数 $N$ が $p$ と素な有限アーベル群 $F$ について、$\hat F=\mathrm{Hom}(F,K^*)$ は $F$ に同型で $|\hat F|=N$、自然な写像 $F\to\mathrm{Hom}(\hat F,K^*)$ は同型であり、$p\ne1$ なら $K^*$ は単位元以外に位数が $p$ の冪の元をもたない。
6. トーラスの閉部分群は指標の核（本書『3-1 トーラスの関数環と閉部分群』の主結果）：$K^{*n}$ の閉部分群は、有限個の有理指標（単項式）の核の共通部分である。
   有限群 $F$ については、事実 5 の $\hat F=\mathrm{Hom}(F,K^*)$（抽象群の準同型の群）と、本頁の意味の有理指標の群 $\hat F$ は一致する。$F$ は有限個の点からなるアフィン代数的集合なので、事実 2 の最後の文により $F$ から $K^*$ への写像の座標はすべて正則で、本書『0-2 アフィン代数的集合と代数群』の命題「標準的な空間の座標環」の (4) により、$F$ から $K^*=\mathrm{GL}(1,K)$ への準同型はすべて射、すなわち有理指標だからである。以下ではこの同一視を断りなく使う。

主結果と証明

まず転置の規則を定義から確かめ、次に指標が正則関数の基底であることと指標群の形を示す。この二つが、閉部分群の対応と準同型の対応の両方の土台になる。

転置の規則

原論文は三つの規則を「明らかに」の一語で添える。1 と 3 により、転置は群の準同型 $\mathrm{Hom}_{\mathrm{rat}}(D,D')\to\mathrm{Hom}(\hat D',\hat D)$ を与え、合成の順序を逆にする。これが同型であることが主結果 6 の内容である。

指標は正則関数の基底

トーラスでは有理指標が正則関数の基底であった（本書『3-1 トーラスの関数環と閉部分群』）。有限アーベル群では指標の個数が点の個数に等しいので、同じことが次元の比較で分かる。二つを積で合わせる。

2 は本書『3-1 トーラスの関数環と閉部分群』の補題をそのまま使ったもので、原論文は同じ段で Lemme 1・2 の系（本書『1-2 アフィン代数群は線形群』）を引く。条件付きの札が付くのは段 4 のテンソル積による。積の分解（引用する事実 1）は本書『3-1 トーラスの関数環と閉部分群』で完結であり、段 1〜3 は条件付きの入力を使わない。

指標群の形と点の復元

指標群の形は、積の分解と有限アーベル群の双対から読み取れる。同じ分解から、点が指標の値で復元されることも出る。

3 の単射性は、相異なる二点を分ける有理指標があること、すなわち指標が点を分けることを言う。全射性は、$\hat D$ から $K^*$ へのどの準同型も点での値として実現されることを言う。この二つが、次の閉部分群の対応と、準同型の対応の証明で使われる。

閉部分群と指標群の部分群

閉部分群の対応の後半は、商 $D/A$ の指標群について述べる。原論文は商の代数群の構造を定義していないので、先に本書の読みを定める。

$\pi$ の核は $\bigcap_j\ker\chi_j=A^{\circ\circ}$ で、下の定理の 1 によりこれは $A$ に等しい。したがって $\pi(D)$ は抽象群として $D/A$ と同一視でき、この読みは群としての商に代数群の構造を載せたものになっている。

これで対角化可能群の閉部分群は、指標群の部分群のうち商が $p$ ねじれをもたないものとちょうど対応し、部分群と商の指標群も指標群の側で計算できるようになった。$p$ ねじれの条件が外せないことは、この頁の反例「$p$ ねじれの条件を外すと対応が単射でなくなる」で見る。

対角化可能の二つの定義の整合

主結果 2 の対角化の結果から、原論文が冒頭で予告した二つの呼び方の整合が出る。

準同型の群と指標群の準同型の群

最後に、準同型が転置で指標群の準同型とちょうど対応することを示す。点が指標の値で復元されること（主結果 3）を、各点ごとに使う。

主結果 1 と合わせると、転置は合成の順序を逆にし、恒等写像を恒等写像に移すので、対角化可能群の有理準同型の全体と、指標群の準同型の全体とは、向きを逆にしてそっくり対応する。主結果 3 の 2 は、指標群の側のどの対象も実際に現れることを言い、こうして対角化可能群は、ねじれの位数が $p$ と素な有限生成アーベル群と反変的に同じものになる。

例と反例

はじめに $p$ ねじれの条件が外せないことを見て、次に小さな対角化可能群で対応を全部書き出す。最後の二つは、トーラスの自己準同型の計算と、対角化可能でない群で何が壊れるかである。

一覧の (iii) は、積 $\mu_2\times K^*$ の閉部分群が二つの因子の部分群の積に限らないことを示している。指標群の側では、それは $\mathbf Z/2\times\mathbf Z$ の「斜めの」部分群 $\langle(1,l)\rangle$ に当たる。

その後の発展

以下は後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書は文献を開いて確かめていない）。

• 対角化可能群スキーム（1962〜1970 年）：Demazure と Grothendieck の SGA 3 SGA3（セミナーは 1962〜64 年）と Demazure–Gabriel DG70 は、有限生成アーベル群 $M$ に群環 $K[M]$ を座標環とする群スキーム $D(M)$ を対応させ、$M\mapsto D(M)$ が有限生成アーベル群の圏と対角化可能群スキームの圏との反変同値になることを示した。本頁の主結果 2・3・6 は、その点の群での形に当たる。群スキームの枠では $M$ のねじれに制限が無く、標数 $p$ で $D(\mathbf Z/p)=\mu_p$ は被約でない位数 $p$ の群スキームになる。本頁の反例「$p$ ねじれの条件を外すと対応が単射でなくなる」で $p\mathbf Z$ に対応する閉部分群が無いのは、$\mu_p$ が点の枠組みでは一点に潰れることの影である。
• Cartier 双対：有限で可換な群スキームの Cartier 双対は、対角化可能群スキームと定数群スキームとを入れ替える。対角化可能群とその指標群の対応は、その最も簡単な場合である（Wat79、Mil17）。
• 教科書での扱い：Waterhouse Wat79（1979 年）は Hopf 代数の言葉で、対角化可能群を群環で座標環が張られるアフィン群スキームとして特徴づける。点の群の枠での同じ結果は Humphreys Hum75、Borel Bor91、Springer Spr98 にあり、閉部分群と指標群の部分群の対応も述べられている。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Généralités sur les groupes algébriques affines. Groupes algébriques affines commutatifs Gro56 の n° 3 の後半である。