2-2 正規部分群を核とする表現

アフィン代数群の閉正規部分群は、ある有理表現の核にちょうど一致する。原論文はこれを Chevalley の定理の系として十行ほどで示すが、その証明の「部分群が正規だから重さの空間が群全体で不変」という一段は偽であり、単項行列の群がその反例になる。本頁は、重さ空間の直和分解と、区分対角な自己準同型の代数への共役作用を使って証明を立て直し、群が連結または可換なら原論文の一段もそのまま通ることを示す。
前提知識: 線形代数群, 正規部分群, 有理表現, 指標, 反傾表現, テンソル積

この頁で示すこと

$K$ を代数的閉体とする。$G$ はアフィン代数群、$A(G)$ はその正則関数の代数、$L_sf(t)=f(s^{-1}t)$ は左正則表現で、$H$ は $G$ の閉正規部分群とする。本書『2-1 半不変式による閉部分群の切り出し』の主結果「閉部分群の半不変式による切り出し」により、$H$ を左移動で同時に半不変にする元の全体として切り出す $F_1,\dots,F_n\in A(G)$ と、$H$ の上の共通の重さ $\lambda$ が定まる。
本頁の主結果は次の二つである。

1. 正規部分群を核とする有理表現（原論文 Théorème 1 の系、証明を替えたもの）：アフィン代数群の閉正規部分群 $H$ に対し、核がちょうど $H$ に等しい $G$ の有理表現がある。［条件付き：本書『2-1 半不変式による閉部分群の切り出し』の主結果「閉部分群の半不変式による切り出し」、本書『1-1 行列係数と有限性の補題』の主結果「正則関数の移動の有限性（アフィンの場合）」による］原論文の証明の一段は反例「単項行列の群と対角部分：原論文の構成の核は部分群より小さい」で破れる。
2. 重さが共役で動かない場合の原論文の議論（Théorème 1 の系の証明）：$G$ が連結または可換なら、重さ $\lambda$ は $G$ の共役で動かず、$F_i$ とその左移動の張る空間の上で $H$ はちょうどスカラーで作用する元の全体になり、原論文の構成した表現 $\check u\otimes u$ の核が $H$ に等しい。［条件付き：本書『2-1 半不変式による閉部分群の切り出し』の主結果「閉部分群の半不変式による切り出し」、本書『1-1 行列係数と有限性の補題』の主結果「正則関数の移動の有限性（アフィンの場合）」による。連結の場合に使う「連結な群の指数有限の閉部分群は全体」は頁内で連結の定義から示し、可換の場合は共役が自明なのでこれも要らない］
   主結果 1 の証明は、前頁の定理を引いたあとは、重さ空間の直和（相異なる指標の一次独立性）と区分対角な代数の可換子という初等的な線形代数だけで閉じる。札が条件付きなのは前頁の定理が Hilbert の基底定理・零点定理・積の座標環の定理を引くためである。原論文の証明の一段が偽であることは、主張の偽ではなく証明の段の偽で、主張は正しいので主結果の札には数えない。原論文の印字は注意に、それを破る群は反例に置く。

背景と動機

原論文 Gro56 は、定理 1（本書『2-1 半不変式による閉部分群の切り出し』）の直後に、閉正規部分群は有理表現の核になるという系を置く（印字 4-04）。有理表現の核は閉正規部分群なので、系はその逆を述べている。この系があれば、アフィン代数群の閉正規部分群による商を、その表現の像という線形代数群として実現する道が開ける。原論文の後の段では、系は可換な群、とくにトーラスで使われ、トーラスの閉部分群が有限個の指標の核の共通部分であること（本書『3-1 トーラスの関数環と閉部分群』）の出発点になる（本書はその主張を別の経路で示し、原論文の道筋はその頁の注意で述べる）。
原論文の証明は次の筋である。定理 1 の半不変式 $F_i$ とその左移動の張る有限次元の空間 $E$ をとり、$H$ のもとで重さ $\lambda$ をもつ関数の部分空間 $E_0$ を考える。$E_0$ は $F_i$ を含み、「$H$ が正規だから」$G$ で不変であり、ゆえに $E$ 全体に等しい。すると $H$ の元は $E$ にスカラーで作用し、逆にスカラーで作用する元は $F_i$ を半不変にするので $H$ に属する。スカラーで作用する元の全体は $\check u\otimes u$ の核なので、これが求める表現である。
この筋の弱いところは、$E_0$ が $G$ で不変だという一段である。$g\in G$ は重さ $\lambda$ の関数を、重さ $\lambda^g(h)=\lambda(g^{-1}hg)$ の関数に移す。$H$ が正規であることは $\lambda^g$ が $H$ の指標であることを保証するが、$\lambda^g=\lambda$ までは保証しない。本頁の例と反例の節で、生成元を $b$ 一つにとって原論文の構成を文字どおり行うと $E_0\ne E$ となり、作られる表現の核が $H$ より真に小さくなる群を示す。そのうえで、$E$ を重さ空間の直和に分け、$G$ がその直和成分を入れ替えることを見込んだ表現を作って、系を証明する。

定義と準備

$G$ の元が重さを入れ替える様子を記述するために、正規部分群の指標の共役と、重さ空間を置く。

$(\chi^g)^{g'}(h)=\chi^g(g'^{-1}hg')=\chi(g^{-1}g'^{-1}hg'g)=\chi^{g'g}(h)$ なので、$\chi\mapsto\chi^g$ は $G$ の $H$ の指標全体への左作用である。$h_0\in H$ については $\chi^{h_0}(h)=\chi(h_0^{-1}hh_0)=\chi(h_0)^{-1}\chi(h)\chi(h_0)=\chi(h)$ で、$H$ 自身は指標を動かさない。$G$ が可換なら、どの $g$ も指標を動かさない。

$E$ がこのように分かれると、$u(g)$ は直和成分を $\chi\mapsto\chi^g$ に従って入れ替える。そこで、各成分を保つ自己準同型の全体を考え、$G$ をその上に共役で作用させる。$H$ の元は各成分の上でスカラーなので、この作用で自明になる。

$\varphi\in\mathcal A$ なら、$u(g)\varphi u(g)^{-1}$ は $E_{\chi^g}$ を $u(g)^{-1}$ で $E_\chi$ に戻し、$\varphi$ で $E_\chi$ の中に移し、$u(g)$ で $E_{\chi^g}$ に送るので、各 $E_{\chi^g}$ を保つ。$\chi\mapsto\chi^g$ は $X$ の置換なので、$\rho(g)\varphi\in\mathcal A$ である。すなわち $\mathcal A$ は $\rho$ で不変で、$\rho_{\mathcal A}$ は $G$ の $\mathcal A$ の上の表現である。$X$ が一点なら $\mathcal A=\mathrm{End}(E)$ で、$\rho_{\mathcal A}=\rho$ である。
$\rho$ の核を調べるには、区分対角な代数と可換な自己準同型が何かを知ればよい。これは本書『0-3 線形代数と群の道具』の定理「全行列環と区分対角な代数の可換子」にある。

最後に、表現の有理性を確かめる道具を思い出す。$\mathrm{End}(E)$ は $E'\otimes E$ と $x'\otimes x\mapsto(y\mapsto\langle y,x'\rangle x)$ で同一視され、このとき
$$\bigl(\check u(g)x'\bigr)\otimes\bigl(u(g)x\bigr)\ \longmapsto\ \bigl(y\mapsto\langle u(g)^{-1}y,x'\rangle\,u(g)x\bigr)=u(g)\circ(\text{もとの写像})\circ u(g)^{-1}$$
となるので、$\rho$ は原論文の表現 $\check u\otimes u$ そのものである。$u$ の基底に関する行列を $F(g)$ とすると、$\rho(g)$ の行列単位に関する成分は $F_{ik}(g)F_{lj}(g^{-1})$ の形の積で、$u$ が有理なら正則関数である。ゆえに $\rho$ は有理表現で（本書『1-1 行列係数と有限性の補題』の主結果「有理性の判定」）、不変な部分空間 $\mathcal A$ への制限 $\rho_{\mathcal A}$ も、$\mathcal A$ の基底を $\mathrm{End}(E)$ の基底に延ばして行列を見れば成分が正則なので、有理表現である。

引用する事実

次の二つは前の頁の主結果で、証明は繰り返さない。1 は第 0 章の標準的な定理（Hilbert の基底定理、零点定理、アフィン集合の積の座標環）に依るので、それを使う本頁の主結果は条件付きになる。

1. 閉部分群の半不変式による切り出し（本書『2-1 半不変式による閉部分群の切り出し』の主結果）：アフィン代数群 $G$ の閉部分群 $H$ に対し、$F_1,\dots,F_n\in A(G)$ と $H$ の指標 $\lambda$ があって、$H=\{s:$ 各 $F_i$ が $L_s$ のもとで半不変$\}$、かつ $L_hF_i=\lambda(h)F_i$（$h\in H$、$1\le i\le n$）。
2. 正則関数の移動の有限性（アフィンの場合）（本書『1-1 行列係数と有限性の補題』の主結果）：$f\in A(G)$ の左移動の張る空間は有限次元で、その上の左移動の表現は有理表現である。

主結果と証明

これで、重さ空間の入れ替えを見込んだ表現を作る準備ができた。半不変式の左移動の張る空間は重さベクトルで張られ、$G$ はその重さを置換する。区分対角な代数への共役作用は、その置換を見たうえで $H$ だけを殺す。

系の証明の立て直し

段 5 で使ったのは、$u(g)$ が $E_\lambda$ の上でスカラーであることだけである。原論文は同じ結論を「$u(g)$ が $E$ 全体でスカラー」という強い条件から引き出そうとし、そのために $E=E_\lambda$ を必要とした。本書の構成では、$u(g)$ が重さ空間を入れ替えても、成分ごとにスカラーであれば $\rho_{\mathcal A}(g)=\mathrm{id}$ を妨げない代わりに、入れ替えそのものは $\rho_{\mathcal A}$ に映る。$X$ が一点なら $\mathcal A=\mathrm{End}(E)$ で、$\rho_{\mathcal A}$ は原論文の $\check u\otimes u$ に一致する。

重さが共役で動かない場合

原論文の一段を救う条件は、重さ $\lambda$ が $G$ の共役で動かないことである。これは $G$ が可換なら自明に成り立ち、$G$ が連結なら重さの置換が有限集合の上の連続な作用であることから出る。

段 3 は、本書『0-2 アフィン代数的集合と代数群』の定理「閉部分群と単位成分の基本」の (4)（連結な群の指数有限の閉部分群は全体）の、この場合の証明である。使ったのは、代数的集合の射が連続であること（射の定義）と、連結の定義だけである。
可換の場合は、本書『3-1 トーラスの関数環と閉部分群』の注意「原論文の道筋（系 1）：Chevalley の定理の系による証明」で使う（3-1 の主結果の証明はこれに依らない）。トーラスは可換なので、その閉部分群はどれも正規で、この定理により原論文の構成そのものが核 $H$ の表現を与える。その表現を対角化すれば、$H$ は有限個の指標の核の共通部分になる。連結でも可換でもない群では、次の節の反例のとおり原論文の構成は $H$ を取り逃がす。

例と反例

まず、原論文の構成がそのまま通る可換な場合を一つ計算し、次に、原論文の一段が破れる群で、原論文の構成と本書の構成を並べる。

次の群は、本書『0-2 アフィン代数的集合と代数群』の例「単項行列の群と単位成分」で閉部分群であることを確かめた群である。

この群は、連結性を外すと対角化可能な正規部分群が中心に入らないことの反例として、本書『3-3 有限位数の元の稠密性』にもう一度現れる。どちらの反例でも、単位成分の外の元 $w$ が対角部分を反転させることが要点である。

その後の発展

以下は後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書は文献の該当箇所を確かめていない）。

• 商のアフィン性（1960 年代〜）：閉正規部分群 $H$ による商 $G/H$ は、この系の表現の像として、アフィン代数群の構造をもつ。線形代数群の教科書 Borel Bor91（初版 1969 年）はこの形で商を扱い、群スキームの枠では Waterhouse Wat79（1979 年）が、正規部分群スキームによる商がアフィン群スキームになることを Hopf 代数の言葉で述べる。
• 証明の型：後代の教科書は、この系を重さ空間の直和分解と、その上の区分対角な自己準同型への共役作用によって示すとされる。本頁の証明はその型に当たるが、本書はどの教科書のどの箇所かを確かめていない。
• 反例の位置：原論文の一段を破る群は、二次形式 $xy$ を保つ $\mathrm{GL}(2,K)$ の元の全体、すなわち直交群 $\mathrm{O}(2)$ である（行列 $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ が $xy$ を保つ条件 $ac=bd=0$、$ad+bc=1$ は、本書『0-2 アフィン代数的集合と代数群』の例「単項行列の群と単位成分」の方程式と同値である）。単位成分は 1 次元のトーラスで、それを反転させる元をもつ。群が連結なら一段は救われるので、原論文の後の段が使う可換な場合（トーラス）には影響しない。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Gro56 の n° 2 の後半である。