0-3 線形代数と群の道具

(1)〜(4) は加群の基本事実として引く（Bou58 の半単純加群の章の型）。(5) は要点のみ述べる。(3) により、$N^n$ の部分加群の組成因子は $N$ の組成因子のどれかと同型で、$M^m$ の商加群の組成因子は $M$ の組成因子のどれかと同型である。二つを合わせて同型類の集合は一致する。$N$ が半単純なら $N^n$ も、その部分加群 $M$ も半単純で、$M$ が半単純なら $M^m$ も、その商 $N$ も半単純である（(2)）。

段 1（単純な $K[x]$ 加群は 1 次元）．$S$ を単純な $K[x]$ 加群とする。$S$ は有限次元で $K$ は代数的閉なので、$x$ は $S$ に固有ベクトル $v$ をもち、$Kv$ は部分加群である。単純性から $S=Kv$ である。
段 2（(a) と (b)）．(a) なら $V$ は単純部分加群の直和で、段 1 からそれは $x$ で不変な直線の直和であり、各直線の生成元が固有ベクトルの基底をなす。(b) なら固有ベクトルの張る直線は単純部分加群で、$V$ はその和なので半単純である。
段 3（(b) と (c)）．(b) なら相異なる固有値を $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ として、$\prod_i(x-\lambda_i)$ は基底の各固有ベクトルを消すので $0$ で、最小多項式はこれを割り重根をもたない。(c) なら最小多項式は $\mu=\prod_i(T-\lambda_i)$（$\lambda_i$ は相異なる）で、多項式 $\prod_{j\ne i}(T-\lambda_j)$（$1\le i\le m$）の最大公約元は $1$ なので、$1=\sum_ia_i(T)\prod_{j\ne i}(T-\lambda_j)$ となる多項式 $a_i$ がある。$v=\sum_ia_i(x)\prod_{j\ne i}(x-\lambda_j)v$ の第 $i$ 項は $(x-\lambda_i)$ を掛けると $\mu(x)=0$ の倍になるので $\ker(x-\lambda_i)$ に入る。ゆえに $V$ は固有空間の和で、(b) が成り立つ。

段 1（共通の固有ベクトル）．$\dim V$ についての帰納法による。$\mathcal F$ の元がすべてスカラーなら任意の $v\ne0$ でよい。スカラーでない $x\in\mathcal F$ があれば、その固有値 $\lambda$ の固有空間 $V_\lambda$ は $0$ でも $V$ でもなく、$y\in\mathcal F$ は $x$ と可換なので $yV_\lambda\subset V_\lambda$ である。$V_\lambda$ に帰納法の仮定を当てる。
段 2（安定な旗）．共通の固有ベクトル $v_1$ をとり $V_1=Kv_1$ とする。$\mathcal F$ が $V/V_1$ に誘導する可換な族に帰納法を当て、得られた旗を $V$ に引き戻す。
段 3（同時対角化）．スカラーでない $x\in\mathcal F$ の固有空間分解 $V=\bigoplus_\lambda V_\lambda$ の各 $V_\lambda$ は $\mathcal F$ で安定である。対角化可能な作用素の安定な部分空間への制限は対角化可能である（制限の最小多項式は重根のない多項式を割る。上の定理（半単純と対角化可能））。各 $V_\lambda$ に帰納法を当てる。得られた基底で $\mathfrak B$ の元は対角行列の多項式なので対角であり、基底ベクトルの張る直線は単純な $\mathfrak B$ 部分加群、$V$ はその直和なので半単純である。補空間の存在は上の定理（半単純加群の基本）の (1) による。
段 4（積と和）．(2) の基底で可換な半単純作用素は同時に対角行列になり、積と和も対角である。(1) の基底で可換な冪零作用素は同時に上三角行列になり、対角成分は固有値なので $0$ である。対角成分が $0$ の上三角行列の和・差はまたそうで冪零である。可換な単冪作用素は同時に対角成分が $1$ の上三角行列になり、その積もそうなので単冪である。

段 1（一般固有空間への分解）．$x$ の特性多項式を $\prod_{i=1}^m(T-\lambda_i)^{m_i}$（$\lambda_i$ は相異なる）とし、$V_i=\ker(x-\lambda_i)^{m_i}$ とおく。多項式 $(T-\lambda_i)^{m_i}$ は互いに素なので、上の定理（半単純と対角化可能）の段 3 と同じ Bézout の議論と、Cayley–Hamilton の定理 $\prod_i(x-\lambda_i)^{m_i}=0$ から $V=\sum_iV_i$ となり、同じ議論で和は直和である。$\dim V_i=m_i$ である。
段 2（存在）．中国剰余定理により、多項式 $P$ で、各 $i$ について $P\equiv\lambda_i\pmod{(T-\lambda_i)^{m_i}}$ となり、さらに $0$ がどの $\lambda_i$ とも異なるときは $P\equiv0\pmod T$ となるものがある。$0$ が固有値 $\lambda_i$ のときは第一の合同式から $P\equiv0\pmod T$ なので、どちらの場合も $P(0)=0$ である。$x_s=P(x)$ は各 $V_i$ に $\lambda_i$ 倍で作用するので対角化可能、すなわち半単純であり、$x_n=x-x_s=(T-P)(x)$ は各 $V_i$ の上で $x-\lambda_i$ に等しく冪零である。どちらも $x$ の定数項のない多項式なので互いに可換である。これで (1) の存在と (2) が出る。(3) は $x_s$ が $V_i$ に $\lambda_i$ で作用し $\dim V_i=m_i$ であることから出る。$x_s$ が可逆なら特性多項式の定数項が $0$ でないので、Cayley–Hamilton により $x_s^{-1}$ は $x_s$ の多項式である。
段 3（一意性）．$x=s+n$ を (1) の条件を満たす別の分解とする。$s$ と $n$ は互いに可換なので $x$ と可換で、したがって $x$ の多項式 $x_s$、$x_n$ とも可換である。$x_s-s=n-x_n$ の左辺は可換な半単純作用素の差なので半単純（上の定理（可換な作用素族の同時三角化と同時対角化）の (2)(3)。$-s$ も半単純）、右辺は可換な冪零作用素の差なので冪零である。半単純かつ冪零な作用素は、対角化したときの固有値がすべて $0$ なので $0$ である。ゆえに $s=x_s$、$n=x_n$ である。

$W$ の基底を $V$ の基底 $w_1,\dots,w_d,v_{d+1},\dots,v_n$ に延ばす。(1) この基底から作る $\Lambda^dV$ の基底の一つが $a$ なので $a\ne0$ である。$W$ の別の基底は $W$ の可逆な変換 $c$ で移り、対応する外積は $a$ の $\det c$ 倍になる。(2) $v=\sum_ic_iw_i+\sum_jc'_jv_j$ について $v\wedge a=\sum_jc'_j\,v_j\wedge w_1\wedge\dots\wedge w_d$ で、$v_j\wedge w_1\wedge\dots\wedge w_d$（$d< j\le n$）は $\Lambda^{d+1}V$ の基底の一部なので、$v\wedge a=0$ ⇔ すべての $c'_j=0$ ⇔ $v\in W$ である。$d=\dim V$ なら $\Lambda^{d+1}V=0$ で両辺とも $V$ である。(3) $(\Lambda^dg)(a)=gw_1\wedge\dots\wedge gw_d$ は、$d$ 次元の部分空間 $gW$ に (1) で対応する直線の生成元である。$gW=W$ なら (1) によりそれは $Ka$ に入る。逆に $(\Lambda^dg)(a)=ca$（$c\in K^*$）なら、(2) を $gW$ と $W$ に当てて $gW=\{v:v\wedge ca=0\}=W$ である。

1. 一次従属と仮定し、係数がすべて $0$ でない関係 $\sum_{i=1}^nc_i\chi_i=0$ のうち $n$ が最小のものをとる。$\chi_1\ne0$ なので $n\ge2$ である。$\chi_1(m)\ne\chi_2(m)$ となる $m\in M$ をとる。任意の $m'$ について $\sum_ic_i\chi_i(m)\chi_i(m')=0$ と $\chi_1(m)\sum_ic_i\chi_i(m')=0$ が成り立ち、差をとると $\sum_{i\ge2}c_i(\chi_i(m)-\chi_1(m))\chi_i=0$ で、$\chi_2$ の係数は $0$ でない。項の数が $n$ より少ない非自明な関係が得られ、最小性に反する。
2. 相異なる $\chi_1,\dots,\chi_n$ と $f_i\in E_{\chi_i}$ で $\sum_if_i=0$ とする。$E$ の上の任意の一次形式 $\ell$ について、$h$ を作用させてから $\ell$ をとると $\sum_i\ell(f_i)\chi_i(h)=0$（$h\in H$）なので、(1) によりすべての $\ell(f_i)=0$、ゆえに $f_i=0$ である。

1. 基底をとり行列単位 $e_{ij}$ と可換であることを書くと、$\varphi e_{ij}=e_{ij}\varphi$ の成分を比べて $\varphi$ は対角で対角成分がすべて等しい。(2) $E_\chi$ への射影 $\pi_\chi$ は $\mathcal A$ の元なので、$g\pi_\chi=\pi_\chi g$ から $gE_\chi\subset E_\chi$ である。$g$ の $E_\chi$ への制限は $\mathrm{End}(E_\chi)$ と可換なので、(1) によりスカラーである。

1. $p\nmid d$ なら $X^d-1$ の微分 $dX^{d-1}$ は $K^*$ で消えないので $X^d-1$ は重根をもたず、$\mu_d$ は $d$ 個の元をもつ。体の乗法群の有限部分群は巡回群である（各 $m$ について $X^m=1$ の解は高々 $m$ 個なので、有限アーベル群の構造から巡回群になる）。$p\ne1$ なら $\zeta^{p^a}=1$ は $(\zeta-1)^{p^a}=\zeta^{p^a}-1=0$（下の定理（正標数の二項定理））と同じで $\zeta=1$、ゆえに $\zeta^{p^ad'}=1$ は $\zeta^{d'}=1$ と同じである。
2. $F$ を加法的に書き、$F\cong\bigoplus_i\mathbf Z/d_i$（$d_i\mid N$ なので $p\nmid d_i$）とする。$\mathrm{Hom}(\mathbf Z/d_i,K^*)=\mu_{d_i}\cong\mathbf Z/d_i$ で、直和について $\mathrm{Hom}$ は積になるので $\hat F\cong F$ である。$x\ne0$ の成分 $x_i\ne0$ について、$\mathbf Z/d_i$ の生成元を原始 $d_i$ 乗根に送る指標は $x_i$ で $1$ でない値をとる。これで $F\to\mathrm{Hom}(\hat F,K^*)$ は単射で、両辺の位数は $|F|$ なので同型である。
3. 上の定理（相異なる指標の一次独立性（Dedekind–Artin））により $\hat F$ の $|F|$ 個の元は一次独立で、関数の空間の次元は $|F|$ である。

1. $b^k=a$ は $K$ の中で解 $b$ をもち、$a\ne0$ なら $b\ne0$ である。積では成分ごとに根をとり、準同型 $\zeta$ の像では $\zeta(a)=\zeta(b)^k$ である。(2) 位数 $N$ の可除群の元 $a$ を $a=b^N$ と書くと、$b^N=e$ なので $a=e$ である。(3) は構造定理として引く（Fuc70 §23。本書は該当箇所を確かめていない）。

段 1（形式的冪級数の恒等式）．有理数係数の形式的冪級数環で $\exp T=\sum_{k\ge0}T^k/k!$、$\log(1+T)=\sum_{k\ge1}(-1)^{k+1}T^k/k$ とおく。二変数の形式的冪級数環で $\exp(S+T)=\exp S\exp T$ が成り立つ（両辺の $S^iT^j$ の係数はどちらも $1/(i!\,j!)$）。$f=\exp(\log(1+T))$ は形式的な微分で $f'=f/(1+T)$ を満たすので $(f/(1+T))'=0$ で、定数項を比べて $f=1+T$ である。$g=\log(\exp T)$ は $g'=\exp T/\exp T=1$、$g(0)=0$ なので $g=T$ である（標数 $0$ では微分が $0$ の冪級数は定数）。
段 2（代入）．$N^r=0$ なので、$T\mapsto N$ は形式的冪級数環から $\mathrm{End}(V)$ への環準同型を定める（次数 $r$ 以上の項は $0$ に行く）。可換な冪零 $a$、$b$ については $S\mapsto a$、$T\mapsto b$ が二変数の形式的冪級数環からの環準同型を定める。定数項のない冪級数 $L$ に冪零元を代入したものは冪零で、$\exp(L)$ への代入は $L$ への代入を $\exp$ に入れたものに等しい。段 1 の恒等式に代入すると (1)(2) が出る。
段 3（(3)）．$a=\log x$、$b=\log y$ は $x$、$y$ の多項式なので可換な冪零である。(2) により $\exp(a+b)=\exp a\exp b=xy$ で、(1) により $\log(xy)=a+b$ である。

1. $\binom pk=p!/(k!(p-k)!)$ の分子は $p$ で割れ、分母は割れない。$(\alpha+\beta)^p=\alpha^p+\beta^p$ を繰り返して $q=p^a$ の場合を得る。(2) (1) により $(X+Y)^m=(X^{p^a}+Y^{p^a})^{m'}$ で、展開した $X^{p^a}(Y^{p^a})^{m'-1}$ の係数は $m'$ である。$m'>1$ なのでこの単項式は $X^m$ とも $Y^m$ とも異なる。(3) $(\zeta-1)^{p^a}=\zeta^{p^a}-1=0$ で、$K$ は体なので $\zeta=1$ である。