4-3 開はめ込みの点ごとの判定

段 1（局所環の射の一意性）．点 $t\in T$ について、$k$ 代数の射 $\mathcal O_{T,t}\to\mathcal O_{P,*}$ はちょうど一つあることを示す。$\mathcal O_{P,*}$ は $k$ 代数として $k$ に同型なので、$k$ 代数の射 $\mathcal O_{T,t}\to k$ がちょうど一つあることを示せばよい。本書『0-4 解析空間』の定理「局所環の剰余体」により剰余体 $\mathcal O_{T,t}/\mathfrak m_t$ は $k$ 代数として $k$ に同型なので、射影とこの同型の合成が一つの射を与える。逆に $\varphi\colon\mathcal O_{T,t}\to k$ を $k$ 代数の射とすると、$\varphi$ は $k\cdot1$ を $k$ に写すので全射で、核は極大イデアルであり、局所環の極大イデアルはただ一つなので $\ker\varphi=\mathfrak m_t$ である。ゆえに $\varphi$ は $k$ 代数の射 $\psi\colon\mathcal O_{T,t}/\mathfrak m_t\to k$ を経由する。$\mathcal O_{T,t}/\mathfrak m_t$ は $k$ に同型なのでその元はすべて $c\cdot1$（$c\in k$）の形で、$\psi(c\cdot1)=c$ と決まる。したがって $\varphi$ はただ一つである。
段 2（(1)）．本書『0-4 解析空間』の補題「一点の解析空間と終対象」の (1) により、射 $P\to T$ は、点 $t\in T$ と $k$ 代数の射 $\mathcal O_{T,t}\to\mathcal O_{P,*}=k$ の組と一対一に対応し、$t$ は射の像の点である。段 1 により、各 $t$ について第 2 成分はただ一つなので、$a\mapsto a(*)$ は全単射である。
段 3（(2)）．$e_t$ は一点 $t$ の空間なので、(1) を $e_t$ に当てると $\mathrm{Hom}(P,e_t)$ は一点である。$e_t$ も $P$ と同じ仮定を満たす（環は $\mathcal O_{T,t}/\mathfrak m_t\cong k$）ので、源を $P$ または $e_t$、行き先を $P$ または $e_t$ とする (1) により、$\mathrm{Hom}(e_t,P)$、$\mathrm{Hom}(P,P)$、$\mathrm{Hom}(e_t,e_t)$ も一点である。ゆえに$P\to e_t\to P$ と $e_t\to P\to e_t$ は恒等射であり、ただ一つの射 $P\to e_t$ は同型である。これと $i_t$ の合成は像が $t$ の射なので、(1) の単射性により、像が $t$ の射はこれだけである。

段 1（ファイバー積）．本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」の (1) により、開集合 $V'=g^{-1}(U)$ の開部分空間は、射 $V'\to U$（$g$ の制限）と包含 $V'\to T'$ によって $j$ と $g$ のファイバー積である。
段 2（経由すれば像は $U$ に入る）．$g=j\circ g'$ とすると、組 $(g',\mathrm{id}_{T'})$ は $j\circ g'=g\circ\mathrm{id}_{T'}$ を満たすので、ファイバー積の普遍性により $s\colon T'\to V'$ で、包含との合成が $\mathrm{id}_{T'}$ になるものがある。すると $T'$ の各点は $V'$ に入り、$g(T')\subset U$ である。
段 3（像が $U$ に入れば経由する）．$g(T')\subset U$ なら $V'=T'$ で、その開部分空間の構造は $\mathcal O_{T'}$ そのものなので、包含 $V'\to T'$ は恒等射である。段 1 のもう一方の射影 $g'\colon T'=V'\to U$ は $j\circ g'=g$ を満たす。
段 4（一意性と $S$ 射）．$j$ は部分環付き空間の包含なので単射（monomorphism）である（本書『0-4 解析空間』の定理「解析空間の開部分空間とはめ込み」の (3)）。ゆえに $g'$ は一意である。$g$ が $S$ 射なら $p_T\circ j\circ g'=p_T\circ g=p_{T'}$ なので、$g'$ は $S$ 射である。

1. 本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」の (1)(3) により、ファイバー積は $(\mathrm{An})$ に、$Y'$ の開部分空間として存在し、構造射を合わせたものが $\mathbf C$ のファイバー積である（本書『0-2 圏と前層』の補題「スライス圏」の (2)）。同じ命題の (1) により、どの選び方でも射影は開はめ込みで、$S$ 射なので $\mathcal S_{\mathrm{ouv}}$ に属する。ファイバー積の存在は、本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』の定義「積とファイバー積が存在するという約束」の意味でも同じである（同じ頁の定理「前層の圏の極限と表現可能性」）。
2. 開はめ込みは、開部分空間への同型と包含の合成である（本書『0-4 解析空間』の定理「解析空間の開部分空間とはめ込み」の (3)）。同型は、全体という開部分空間への同型と恒等射の合成なので開はめ込みである。開はめ込み $j\circ\psi$（$\psi$ は開部分空間 $V$ への同型、$j$ は包含）に同型 $\phi$ を右から合成した $j\circ(\psi\circ\phi)$ も、左から合成した $\phi\circ j\circ\psi$ も、それぞれ $V$ と開部分空間 $\phi(V)$ への同型と包含の合成である。

成分がすべて単射なら、$u\circ v=u\circ v'$ から成分ごとに $v(T)=v'(T)$ が出る。逆に $u$ が単射で、$x,x'\in F(T)$ が $u(T)(x)=u(T)(x')$ を満たすとする。本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の主結果「米田の対応」の $\beta$ で $x$、$x'$ に対応する射 $\beta(x),\beta(x')\colon h_T\to F$ をとると、同じ頁の補題「米田の対応の自然性」により $u\circ\beta(x)=\beta(u(T)(x))=\beta(u(T)(x'))=u\circ\beta(x')$ である。$u$ は単射なので $\beta(x)=\beta(x')$ で、米田の対応の全単射性から $x=x'$ である。

段 1（(a)）．$g\circ i_{t'}\colon e_{t'}\to T$ は像が $t$ の射である。上の補題（一点の空間からの射は点で決まる）の (2) を $P=e_{t'}$ に当てると、像が $t$ である射 $e_{t'}\to T$ は、ただ一つの同型 $\varphi\colon e_{t'}\to e_t$ と $i_t$ の合成だけである。ゆえに $g\circ i_{t'}=i_t\circ\varphi$ で、$g_{t'}=\varphi$ とおけばよい。$\mathrm{Hom}(e_{t'},e_t)$ は一点なので、$g_{t'}$ は一意である。
段 2（(b)）．$e_t$、$e_{t'}$ の構造射は $p_T\circ i_t$、$p_{T'}\circ i_{t'}$ である（上の定義（点の部分空間と点での値）の (2)）。$g$ が $S$ 射なら $p_T\circ i_t\circ g_{t'}=p_T\circ g\circ i_{t'}=p_{T'}\circ i_{t'}$ で、$g_{t'}$ は $S$ 射である。$i_t$、$i_{t'}$ が $S$ 射であることは定義による。
段 3（(c)）．同じ補題の (2) により、$\mathrm{Hom}(e_{t'},e_{t''})$ はただ一つの元 $\psi$ からなり、$\psi$ は同型である。したがって $S$ 同型があるのは $\psi$ が $S$ 射のときだけで、そのとき $S$ 同型は $\psi$ だけである。$\psi$ が $S$ 射であることは $p_{T''}\circ i_{t''}\circ\psi=p_{T'}\circ i_{t'}$ を意味する。両辺は $e_{t'}$ から $S$ への射で、左辺の像は $p_{T''}(t'')$、右辺の像は $p_{T'}(t')$ である。同じ補題の (1) により、$e_{t'}$ からの射は像の点で決まるので、両辺が等しいことは $p_{T''}(t'')=p_{T'}(t')$ と同値である。

段 1（値の式）．上の定理（点の部分空間の関手性）の (a)(b) により $g\circ i_{t'}=i_t\circ g_{t'}$ は $S$ 射の等式なので、$G$ が反変であることから
$$\eta'_{t'}=G(i_{t'})(G(g)(\eta))=G(g\circ i_{t'})(\eta)=G(i_t\circ g_{t'})(\eta)=G(g_{t'})(G(i_t)(\eta))=G(g_{t'})(\eta_t)$$
である。
段 2（像の比較）．$g_{t'}$ は $\mathbf C$ の同型である（同じ定理の (a)(b)。逆射も $S$ 射になる）。したがって $F(g_{t'})\colon F(e_t)\to F(e_{t'})$ と $G(g_{t'})\colon G(e_t)\to G(e_{t'})$ は全単射である。$u$ の自然性 $u(e_{t'})\circ F(g_{t'})=G(g_{t'})\circ u(e_t)$ と $F(g_{t'})$ の全射性から、$u(e_{t'})$ の像は $G(g_{t'})$ による $u(e_t)$ の像の像に等しい。$G(g_{t'})$ は単射なので、$G(g_{t'})(\eta_t)$ がこの集合に入ることは、$\eta_t$ が $u(e_t)$ の像に入ることと同値である。
段 3（集合の等式）．段 1・2 により、$t'\in T'_{\eta'}$ は $g(t')\in T_\eta$ と同値である。

段 1（第 2 章の判定への帰着）．上の補題（開はめ込みのクラスの底変換での安定性）の (1) により、$\mathcal S_{\mathrm{ouv}}$ は $\mathbf C$ で底変換で安定である。本書『2-4 安定性と射のクラス』の主結果「底変換で安定な射のクラスの判定」の (c) を $\mathcal S_{\mathrm{ouv}}$ に当てると、「$F$ が表現可能で $u$ を表す射が $\mathcal S_{\mathrm{ouv}}$ に属する」ことは、次の (＊) と同値である。
(＊) すべての $T$ と $\eta\in G(T)$ について、ファイバー $F_\eta$ は、$\mathbf C/T$ の対象 $(Z,q)$ で $q\in\mathcal S_{\mathrm{ouv}}$ となるものによって表される。
同じ主結果の (b)（あるいは上の補題の (2)）により、左辺は $u$ を表す射の選び方に依らない。(＊) の $q$ は開部分空間 $U$ への同型 $\psi\colon Z\to U$ と包含 $j\colon U\to T$ の合成で、$\psi$ は $T$ 上の同型なので、$h_U\cong h_Z\cong F_\eta$ により $F_\eta$ は $(U,j)$ でも表される（本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の補題「表現の二つの言い方」）。したがって (＊) は次と同値である。
(＊＊) すべての $T$ と $\eta\in G(T)$ について、$T$ のある開集合 $U$ があって、$F_\eta$ は $U$ の開部分空間とその包含 $j$（$T$ 上の対象 $(U,j)$）で表される。
上の補題（開部分空間を経由する射）により、$T$ 上の対象 $(T',g)$ について $\mathrm{Hom}_T(T',U)$ は、$g(T')\subset U$ なら一点、そうでなければ空である。ゆえに (＊＊) の $U$ について、$F_\eta(T')$ は $g(T')\subset U$ なら一点、そうでなければ空である。
段 2（必要性）．(＊＊) を仮定し、$T$、$\eta$ と $U$ をとる。(a)：$x,x'\in F(T)$ が $u(T)(x)=u(T)(x')=\eta$ を満たせば、$x,x'$ はともに $F_\eta(T,\mathrm{id}_T)$ の元で、この集合は高々一点なので $x=x'$ である。(b)：点 $t\in T$ について、定義により $F_\eta(e_t,i_t)=\{x\in F(e_t):u(e_t)(x)=\eta_t\}$ なので、これが空でないことは $t\in T_\eta$ と同値である。一方、段 1 によりこれが空でないことは $i_t(e_t)=\{t\}\subset U$、すなわち $t\in U$ と同値である。ゆえに $T_\eta=U$ で、開集合である。(c)：$T_\eta=T$ なら $U=T$ なので、$\mathrm{id}_T(T)\subset U$ で $F_\eta(T,\mathrm{id}_T)$ は空でない。その元 $x$ は $u(T)(x)=\eta$ を満たす。
段 3（十分性：ファイバーの値）．(a)(b)(c) を仮定し、$T$、$\eta$ をとる。(b) により $U=T_\eta$ は開集合なので、その開部分空間と包含 $j\colon U\to T$ を考える。$T$ 上の対象 $(T',g)$ について $\eta'=G(g)(\eta)$ とおく。まず $F_\eta(T')$ は $u(T')^{-1}(\eta')$ に等しいので、(a) により高々一点である。$x\in F_\eta(T')$ があれば、各点 $t'\in T'$ で $u$ の自然性から $\eta'_{t'}=G(i_{t'})(u(T')(x))=u(e_{t'})(F(i_{t'})(x))$ は $u(e_{t'})$ の像に入り、$T'_{\eta'}=T'$ である。上の補題（点での値の引き戻し）により $g^{-1}(T_\eta)=T'$、すなわち $g(T')\subset T_\eta$ である。逆に $g(T')\subset T_\eta$ なら、同じ補題により $T'_{\eta'}=g^{-1}(T_\eta)=T'$ で、(c) を $T'$、$\eta'$ に当てると $u(T')(x)=\eta'$ となる $x$、すなわち $F_\eta(T')$ の元がある。以上で、$F_\eta(T')$ は $g(T')\subset T_\eta$ なら一点、そうでなければ空である。
段 4（十分性：表現）．$j(U)\subset U$ なので、段 3 により $F_\eta(U,j)$ はただ一つの元 $\zeta$ からなる。$T$ 上の対象 $(T',g)$ について、写像 $\mathrm{Hom}_T(T',U)\to F_\eta(T')$、$a\mapsto F_\eta(a)(\zeta)$ を考える。段 1 と段 3 により、両辺はともに $g(T')\subset T_\eta$ なら一点、そうでなければ空なので、この写像は全単射である。ゆえに $(U,\zeta)$ は $F_\eta$ を表し、$j\in\mathcal S_{\mathrm{ouv}}$ である。すなわち (＊＊) が成り立ち、段 1 により $F$ は表現可能で、$u$ を表す射は開はめ込みである。最後の主張は段 2 の $T_\eta=U$ による。