2-4 安定性と射のクラス

段 1（ファイバーの比較）．$\mathbf C/S$ の対象 $(T,p_T)$ と $\eta\in G_{/S}(T,p_T)=G(T)$ をとる。$u_{/S}$ の $\eta$ の上のファイバーは $(\mathbf C/S)/(T,p_T)$ 上の前層で、その対象 $((U,p_U),q)$（$q\colon U\to T$ は $S$ 射）での値は $\{x\in F(U):u(x)=G(q)(\eta)\}$ である。本書『0-2 圏と前層』の補題「スライス圏」の (3) により、$((U,p_U),q)\mapsto(U,q)$ は圏の同型 $(\mathbf C/S)/(T,p_T)\cong\mathbf C/T$ で、射の上では恒等写像である。この同一視で、上の値は $u$ の $\eta\in G(T)$ の上のファイバー $F_\eta$ の $(U,q)$ での値そのもので、制限の写像もどちらも $F$ の制限である。
段 2（表す組）．$u$ は表現可能なので $F_\eta$ は $\mathbf C/T$ 上で組 $((Z,z),\zeta)$ で表される。圏の同型で対象 $(Z,z)$ に当たるのは $((Z,p_T\circ z),z)$ で、射の集合も一致するので、この対象と同じ元 $\zeta$ の組が $u_{/S}$ のファイバーを表す。

段 1（点ごとの形）．本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』の主結果「前層の圏の極限と表現可能性」の (a) により、$u$ と $w$ のファイバー積は、各 $T$ で集合のファイバー積 $\{(x,y')\in F(T)\times G'(T):u(x)=w(y')\}$ をとったもので与えられる。本書『0-2 圏と前層』の補題「極限の普遍性と一意性」の (1) により、$F'$ はこれと射影を保つ同型で結ばれるので、$F'(T)$ をこの集合、$u'$ を第 2 射影としてよい（ファイバーは同型で移る）。
段 2（ファイバーの比較）．$\mathbf C/S$ の対象 $(T,p_T)$ について、$\eta=w(S)(\eta')$ とおくと、
$$F'_{\eta'}(T)=\{(x,y'):u(x)=w(y'),\ y'=G'(p_T)(\eta')\}$$
で、$y'$ は $\eta'$ から決まり、そのとき条件 $u(x)=w(G'(p_T)(\eta'))=G(p_T)(w(\eta'))=G(p_T)(\eta)$ は $x\in F_\eta(T)$ と同じである（$w$ の自然性）。したがって $(x,y')\mapsto x$ は全単射 $F'_{\eta'}(T)\to F_\eta(T)$ で、制限はどちらも $F$ と $G'$ の制限なので $T$ について自然である。本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の補題「成分ごとに全単射な前層の射は同型」により $F'_{\eta'}\cong F_\eta$ である。
段 3（表現可能性）．$u$ は表現可能なので $F_\eta$ は表現可能で、段 2 の同型で $F'_{\eta'}$ も表現可能である。$S$、$\eta'$ は任意なので $u'$ は表現可能である。

段 1（同型）．$u$ を同型とし、$\eta\in G(S)$ をとる。$F_\eta(T)$ は $u(T)^{-1}(G(p_T)(\eta))$ のただ一点からなるので、$F_\eta$ から $\mathbf C/S$ 上の一点集合への定数前層 $c_{/S}$ へのただ一つの射は、成分ごとに全単射で、本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の補題「成分ごとに全単射な前層の射は同型」により同型である。$c_{/S}$ は $\mathbf C/S$ の終対象 $(S,\mathrm{id}_S)$ で表される（本書『2-1 制限と底変換』の主結果「終対象と定数関手」）ので、$F_\eta$ も表現可能である。
段 2（合成のファイバー）．$\zeta\in H(S)$ をとる。$v\circ u$ のファイバーを $F^{vu}_\zeta$、$v$ のファイバーを $G^v_\zeta$ と書く。$(T,p_T)$ での値は $F^{vu}_\zeta(T)=\{x\in F(T):v(u(x))=H(p_T)(\zeta)\}$、$G^v_\zeta(T)=\{y\in G(T):v(y)=H(p_T)(\zeta)\}$ で、$u$ は $F^{vu}_\zeta$ を $G^v_\zeta$ に写す。この射を $u_\zeta$ と書く。$x\in F(T)$ が $F^{vu}_\zeta(T)$ に入ることは $u(x)\in G^v_\zeta(T)$ と同じなので、各 $T$ で $F^{vu}_\zeta(T)$ は $F(T)$ と $G^v_\zeta(T)$ の $G(T)$ 上のファイバー積である。圏 $\mathbf C/S$ で本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』の主結果「前層の圏の極限と表現可能性」の (a) を使えば、$\mathbf C/S$ 上の前層の正方形
$$\begin{array}{ccc}F^{vu}_\zeta&\longrightarrow&F_{/S}\\ {\scriptstyle u_\zeta}\downarrow&&\downarrow{\scriptstyle u_{/S}}\\ G^v_\zeta&\longrightarrow&G_{/S}\end{array}$$
（横は包含）はカルテシアンである。
段 3（表現可能性）．上の補題（表現可能な射のスライス圏への制限）により $u_{/S}$ は圏 $\mathbf C/S$ の上で表現可能で、上の定理（表現可能な射の底変換）を圏 $\mathbf C/S$ で使えば $u_\zeta$ も表現可能である。$v$ は表現可能なので $G^v_\zeta$ は $\mathbf C/S$ 上で表現可能である。本書『2-3 表現可能な関手の間の射』の主結果「普遍元の上のファイバーが関手を決める」を圏 $\mathbf C/S$ と射 $u_\zeta$ に当てると、$F^{vu}_\zeta$ は $\mathbf C/S$ 上で表現可能である。$S$、$\zeta$ は任意なので $v\circ u$ は表現可能である。

段 1（(α) なら (β)）．$\mathbf C/S$ のファイバー積は $\mathbf C$ のファイバー積に構造射を与えたもので、一方が存在すれば他方も存在する（本書『0-2 圏と前層』の補題「スライス圏」の (2)）。(α) の下では $\mathbf C$ のどの射も底変換可能なので、$\mathbf C/S$ のどの射も底変換可能である。なお、$\mathbf C$ の射 $Y'\to Y$ は、$Y$ が $S$ 上の対象なら合成で $Y'$ を $S$ 上の対象とみた $S$ 射になるので、$S$ 射が $\mathbf C/S$ で底変換可能であることと $\mathbf C$ で底変換可能であることは同じである。以下 (β) を仮定する。
段 2（設定）．$\eta\in G(S)$ をとり、$\zeta=v(S)(\eta)\in H(S)$ とおく。主結果 2 の証明の段 2 と同じく、$u$ は $\mathbf C/S$ 上の前層の射 $u_\zeta\colon F^{vu}_\zeta\to G^v_\zeta$ を与える。$v\circ u$ と $v$ が表現可能なので、$F^{vu}_\zeta$、$G^v_\zeta$ は $\mathbf C/S$ 上で表現可能である。
段 3（$u_\zeta$ は表現可能）．(β) により、表す組について $u_\zeta$ に対応する $S$ 射は底変換可能である。本書『2-3 表現可能な関手の間の射』の主結果「表現可能な射と関手の表現可能性」を圏 $\mathbf C/S$ で使うと、$u_\zeta$ は圏 $\mathbf C/S$ の上で表現可能である。
段 4（$u_\zeta$ のファイバーとして $F_\eta$ を読む）．$v(\eta)=\zeta=H(\mathrm{id}_S)(\zeta)$ なので、$\eta$ は $G^v_\zeta$ の $\mathbf C/S$ の終対象 $(S,\mathrm{id}_S)$ での値の元である。$u_\zeta$ の $\eta$ の上のファイバーは $(\mathbf C/S)/(S,\mathrm{id}_S)$ 上の前層で、この圏は本書『0-2 圏と前層』の補題「スライス圏」の (3) により $\mathbf C/S$ そのものである（$(S,\mathrm{id}_S)$ への $S$ 射は構造射だけである）。その $(T,p_T)$ での値は
$$\{x\in F^{vu}_\zeta(T):u(x)=G(p_T)(\eta)\}=\{x\in F(T):u(x)=G(p_T)(\eta)\}=F_\eta(T)$$
である。左の等号は、$u(x)=G(p_T)(\eta)$ なら $v(u(x))=H(p_T)(v(\eta))=H(p_T)(\zeta)$ となって $x\in F^{vu}_\zeta(T)$ が自動的に成り立つことによる。制限はどちらも $F$ の制限である。段 3 により $u_\zeta$ は表現可能なので、このファイバー、すなわち $F_\eta$ は $\mathbf C/S$ 上で表現可能である。$S$、$\eta$ は任意なので $u$ は表現可能である。

段 1（主結果 1・2 から）．$F\times_GH$ は点ごとに作ったもの（$(F\times_GH)(T)=\{(x,y):u(x)=v(y)\}$）をとる。別の選び方はこれと同型で移り合い、ファイバーも同型なので結論は変わらない。第 2 射影 $F\times_GH\to H$ は $u$ を $v$ に沿って底変換したものなので、上の定理（表現可能な射の底変換）により表現可能で、$v$ との合成が $w$ なので、上の定理（表現可能な射の合成）により $w$ は表現可能である。
段 2（ファイバーの直接の形）．$(T,p_T)$ での値は
$$(F\times_GH)^w_\eta(T)=\{(x,y):u(x)=v(y)=G(p_T)(\eta)\}=F^u_\eta(T)\times H^v_\eta(T)$$
である。本書『2-3 表現可能な関手の間の射』の主結果「表現するファイバーの底変換」により $X_\eta$ の構造射は底変換可能なので、$X_\eta\times_SZ_\eta$ が存在する。本書『0-2 圏と前層』の補題「スライス圏」の (2) により、これは $\mathbf C/S$ での $X_\eta$ と $Z_\eta$ の積である。したがって $S$ 射 $a\colon T\to X_\eta\times_SZ_\eta$ は $S$ 射の組 $(\mathrm{pr}_1\circ a,\mathrm{pr}_2\circ a)$ と一対一に対応し、それは二つの表す組により $F^u_\eta(T)\times H^v_\eta(T)$ の元 $(F(\mathrm{pr}_1\circ a)(\xi_\eta),H(\mathrm{pr}_2\circ a)(\zeta_\eta))$ と一対一に対応する。これは元 $(F(\mathrm{pr}_1)(\xi_\eta),H(\mathrm{pr}_2)(\zeta_\eta))$ を $a$ で引き戻したものである（$a=\mathrm{id}$ の場合からこの元は値の中にある）。ゆえにこの組がファイバーを表す。
段 3（有限個）．$n=0$ のとき空のファイバー積は $G$ 自身で、$G\to G$ は恒等射なので主結果 2 により表現可能である。$n\ge1$ では、$F_1\times_G\cdots\times_GF_n=(F_1\times_G\cdots\times_GF_{n-1})\times_GF_n$ と見て（本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』の主結果 (a) により点ごとに同じ集合になる）、$n$ についての帰納法で段 1 を当てればよい。

第 1 射影 $F\times_GH\to F$ は $v$ を $u$ に沿って底変換したものなので、上の定理（表現可能な射の底変換）により表現可能である。$F$ は表現可能なので、本書『2-3 表現可能な関手の間の射』の主結果「普遍元の上のファイバーが関手を決める」をこの射影に当てると、$F\times_GH$ は表現可能である。

段 1（(a)）．定義により、$\mathcal S$ の元 $f\colon X\to Y$ はどの $Y'\to Y$ に沿ってもファイバー積をもつ。
段 2（(b)）．$(X';\varphi,\psi^{-1}\circ f\circ\varphi)$ は $f$ と $\psi$ のファイバー積である。実際、$f\circ\varphi=\psi\circ(\psi^{-1}\circ f\circ\varphi)$ で、$f\circ a=\psi\circ b$ を満たす $a\colon Z\to X$、$b\colon Z\to Y'$ について、$\varphi\circ z=a$ となる $z$ は $z=\varphi^{-1}\circ a$ だけで、そのとき $\psi^{-1}\circ f\circ\varphi\circ z=\psi^{-1}\circ f\circ a=b$ である。$\mathcal S$ は底変換で安定で、定義は選び方を問わないので、この選び方の射影 $\psi^{-1}\circ f\circ\varphi$ も $\mathcal S$ に属する。
段 3（選び方によらないこと）．$F$、$G$ を表す組を取り替えると、$u$ に対応する射は本書『2-3 表現可能な関手の間の射』の補題「対応する射の取り替え」の (1) の形 $\psi^{-1}\circ f\circ\varphi$ に変わるので、(b) により $\mathcal S$ に属するかどうかは変わらない。$F_\eta$ を表す二つの組の対象 $Z$、$Z'$ は、本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の主結果「普遍問題の解の一意性」を圏 $\mathbf C/S$ で使えば $S$ 同型 $\varphi\colon Z'\to Z$ で結ばれ、$Z'$ の構造射は $Z$ の構造射に $\varphi$ を合成したものなので、(b)（$\psi=\mathrm{id}_S$）により $\mathcal S$ に属するかどうかは変わらない。
段 4（(c) の前から後）．$F$ を $(X,\xi_X)$、$G$ を $(Y,\eta_Y)$ が表し、$u$ に対応する射 $f\colon X\to Y$ が $\mathcal S$ に属するとする。$\eta\in G(S)$ に対応する射を $p\colon S\to Y$ とする。(a) により $X\times_YS$ が存在し、本書『2-2 ファイバーと表現可能な射』の主結果「表現可能な関手の間の射のファイバー」により、$X\times_YS$ を第 2 射影で $S$ 上の対象とみたものが $F_\eta$ を表す。第 2 射影は $f$ を $p$ に沿って底変換したものなので $\mathcal S$ に属する。
段 5（(c) の後から前）．すべての $F_\eta$ が表現可能なので、$u$ は表現可能である。$S=Y$、$\eta=\eta_Y$ にとると、仮定により $F_{\eta_Y}$ は $\mathbf C/Y$ の対象 $(Z,z)$ と元 $\xi$ の組で表され、$z\in\mathcal S$ である。本書『2-3 表現可能な関手の間の射』の主結果「普遍元の上のファイバーが関手を決める」により、$(Z,\xi)$ は $F$ を表し、$z$ は組 $(Z,\xi)$、$(Y,\eta_Y)$ について $u$ に対応する射である。ゆえに $F$ は表現可能で、対応する射は $\mathcal S$ に属する。段 3 により、ほかの表す組についても同じである。

段 1（ファイバー積の存在と射影）．$f\colon X\to Y$ を $S$ 上のはめ込み、$g\colon Y'\to Y$ を $S$ 射とする。上の「引用する事実」の 2（本書『0-4 解析空間』の定理「はめ込みの底変換」）により、$(\mathrm{An})$ にファイバー積 $(P;a,f')$ が存在し、射影 $f'\colon P\to Y'$ ははめ込みで、$f$ が閉はめ込みなら閉はめ込み、開はめ込みなら開はめ込みである。$P$ に構造射 $p_{Y'}\circ f'$ を与えると、本書『0-2 圏と前層』の補題「スライス圏」の (2) により、$(P;a,f')$ は $(\mathrm{An})_{/S}$ でのファイバー積である。
段 2（どの選び方でも）．$(\mathrm{An})_{/S}$ でのファイバー積の別の選び方 $(P';a'',f'')$ は、本書『0-2 圏と前層』の補題「極限の普遍性と一意性」の (1) により、射影を保つ同型 $\varphi\colon P'\to P$ で $(P;a,f')$ と結ばれ、$f''=f'\circ\varphi$ である。引用する事実の 1（本書『0-4 解析空間』の定理「解析空間の開部分空間とはめ込み」）により、$f'$ は部分解析空間 $Q\subset Y'$ への同型 $\sigma\colon P\to Q$ と包含の合成で、$f''$ は同型 $\sigma\circ\varphi\colon P'\to Q$ と同じ包含の合成である。したがって $f''$ は $f'$ と同じ種類（同じ部分解析空間への）のはめ込みである。
段 3（開はめ込みの場合）．$f$ が開はめ込みのときは、段 1 の代わりに引用する事実の 3（本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」の (1)。$(\mathrm{An})_{/S}$ での形は同じ命題の (3)）により、逆像の開部分空間がファイバー積で、どの選び方でも射影は開はめ込みである。この場合は連作第 II 回の定理「はめ込みの底変換」を使わず、解析空間の定義とその直後の事実、環付き空間の貼り合わせだけで閉じる。