3-1 有効エピと降下

段 1（同値の対）．本書『0-2 圏と前層』の補題「Hom は極限を保つ」により、対象 $T$ について $c\mapsto(\mathrm{pr}_1c,\mathrm{pr}_2c)$ は $(X\times_YX)(T)$ から集合のファイバー積 $\{(a,b)\in X(T)\times X(T): fa=fb\}$ への全単射である。したがって $(X\times_YX)(T)\to X(T)\times X(T)$ は単射で、像は写像 $a\mapsto fa$ の定める同値関係「$fa=fb$」のグラフである。
段 2（有効）．$f$ が有効エピなら、定義により $f$ は $\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2$ の余等化子で、$X/R=Y$、$q=f$ ととれる。ファイバー積 $X\times_YX$ は存在し、(3) の射は恒等射である。

本書『0-2 圏と前層』の補題「Hom は極限を保つ」を、$f$ と $g$ の図式とその上の錐 $(P;a,b)$ に当てる。右辺は集合の図式 $X(Z)\to Y(Z)\leftarrow Y'(Z)$ の極限の具体形（同じ頁の補題「集合の圏の極限と余極限」の (4)）で、錐がファイバー積であることはすべての $Z$ でこの写像が全単射であることと同じである。

有効性の (2) により $X\times_{X/R}X$ が存在し、(3) により $\varphi=(p_1,p_2)\colon R\to X\times_{X/R}X$ は同型で、$\mathrm{pr}_i\varphi=p_i$ である。$q$ は $p_1,p_2$ の余等化子なので、本書『0-2 圏と前層』の補題「エピと余等化子」の (3) の後半（$p_i\varphi^{-1}=\mathrm{pr}_i$ なので $\alpha=\varphi^{-1}$、$\beta=\mathrm{id}_X$ として当てる）により、$q$ は $\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2$ の余等化子である。これは $q$ が有効エピであることの定義である。後半は、有効エピ $f$ からは補題（有効エピの定める同値の対）で有効な同値の対 $X\times_YX$ と商射 $f$ が得られ、逆に有効な同値の対の商射は前半により有効エピで、その核の対 $X\times_{X/R}X$ は $\varphi$ で $R$ と同型だからである。

以下、補題（カルテシアン性は点ごとに確かめられる）により、対象 $Z$ ごとの集合の写像で考える。本書『0-2 圏と前層』の補題「Hom は極限を保つ」により、$R(Z)$ は組 $(a,b)\in X(Z)^2$ で $fa=fb$ を満たすものの集合、$R'(Z)$ は組 $(a',b')\in X'(Z)^2$ で $f'a'=f'b'$ を満たすものの集合と同一視でき、$w$ は $(a',b')\mapsto(va',vb')$、$p_1$ は第 1 成分への射影になる。(D) についての写像を
$$(*)\qquad X'(Z)\to X(Z)\times_{Y(Z)}Y'(Z),\qquad x'\mapsto(vx',f'x')$$
と書き、(D$_1$) についての写像は $(a',b')\mapsto((va',vb'),a')$ である。
段 1（(D) から (D$_1$)）．(D) がカルテシアンなら、どの $Z$ でも $(*)$ は全単射である。(D$_1$) の写像の行き先の元 $((a,b),a')$、すなわち $fa=fb$、$a=va'$ を満たすものをとる。$fb=fa=fva'=gf'a'$ なので、$(*)$ の全単射性により $vb'=b$、$f'b'=f'a'$ を満たす $b'\in X'(Z)$ がただ一つある。$(a',b')$ は $R'(Z)$ の元で $((a,b),a')$ に写り、そのような $b'$ はこれに限る。したがって (D$_1$) の写像は全単射で、(D$_1$) はカルテシアンである。
段 2（(D$_1$) から $(*)$ の単射性）．この段と次の段では (D$_1$) がカルテシアンだと仮定し、$f'$ にはまだ仮定を置かない。$a',b'\in X'(Z)$ が $va'=vb'$、$f'a'=f'b'$ を満たすとする。$(a',b')$ と $(a',a')$ はどちらも $R'(Z)$ の元で、(D$_1$) の写像でともに $((va',va'),a')$ に写る。(D$_1$) の写像は単射なので $(a',b')=(a',a')$、すなわち $a'=b'$ である。ゆえに $(*)$ はどの $Z$ でも単射である。
段 3（$f'$ が有効エピなら切断が対応する）．$f'$ の切断の集合 $\Gamma(X'/Y')=\{\rho\colon Y'\to X': f'\rho=\mathrm{id}_{Y'}\}$ と、$\mathrm{Hom}_Y(Y',X)=\{r\colon Y'\to X: fr=g\}$ を考える。$f'$ が有効エピなら、$\rho\mapsto v\rho$ は $\Gamma(X'/Y')$ から $\mathrm{Hom}_Y(Y',X)$ への全単射である。$fv\rho=gf'\rho=g$ なので写像は定まり、単射性は段 2 を $Z=Y'$ に当てたものである。全射性を示す。$r\in\mathrm{Hom}_Y(Y',X)$ をとり、$\tilde r=rf'\colon X'\to X$ とおく。$fv=gf'=fr f'=f\tilde r$ なので、$p_1s=v$、$p_2s=\tilde r$ を満たす $s\colon X'\to R$ がある。(D$_1$) がカルテシアンで $p_1s=v\circ\mathrm{id}_{X'}$ なので、$wt=s$、$p'_1t=\mathrm{id}_{X'}$ を満たす $t\colon X'\to R'$ がただ一つある。$\tilde\rho=p'_2t\colon X'\to X'$ とおくと
$$f'\tilde\rho=f'p'_2t=f'p'_1t=f',\qquad v\tilde\rho=vp'_2t=p_2wt=p_2s=\tilde r$$
である。次に $\tilde\rho p'_1=\tilde\rho p'_2$ を示す。段 2 を $Z=R'$ に当てると、$v\tilde\rho p'_1=v\tilde\rho p'_2$ と $f'\tilde\rho p'_1=f'\tilde\rho p'_2$ を示せばよい。前者は $v\tilde\rho p'_i=rf'p'_i$ と $f'p'_1=f'p'_2$ から、後者は $f'\tilde\rho p'_i=f'p'_i$ から従う。$f'$ は $p'_1,p'_2$ の余等化子なので、$\tilde\rho=\rho f'$ となる $\rho\colon Y'\to X'$ がただ一つある。$f'\rho f'=f'\tilde\rho=f'$ と $v\rho f'=v\tilde\rho=rf'$ から、$f'$ がエピであること（本書『0-2 圏と前層』の補題「エピと余等化子」の (4)）により $f'\rho=\mathrm{id}_{Y'}$、$v\rho=r$ を得る。
段 4（$f'$ が普遍有効エピなら (D)）．段 2 により、どの $Z$ でも $(*)$ が全射であることを示せばよい。$fa=gy'$ を満たす $a\in X(Z)$、$y'\in Y'(Z)$ をとる。$f'$ は普遍有効エピなので、$y'$ に沿うファイバー積 $X''=X'\times_{Y'}Z$（射影 $q\colon X''\to X'$、$f''\colon X''\to Z$）が存在し、$f''$ は有効エピで、$R''=X''\times_ZX''$ も存在する（射影 $p''_1,p''_2$）。$p'_iq_R=qp''_i$ を満たす $q_R\colon R''\to R'$ をとる。正方形 $(q,f'',f',y')$ はカルテシアンなので、段 1 をこれに当てると、正方形 $(q_R,p''_1,p'_1,q)$ はカルテシアンである。本書『0-2 圏と前層』の補題「カルテシアン正方形の貼り合わせ」を、右の正方形 (D$_1$) と左の正方形 $(q_R,p''_1,p'_1,q)$ に当てると、外側の正方形 $(wq_R,p''_1,p_1,vq)$ もカルテシアンである。ここで $f(vq)=gf'q=(gy')f''$ で、$p_i(wq_R)=vp'_iq_R=(vq)p''_i$ である。したがって $f$、$f''$、$gy'$、$vq$ は上の設定を満たし、その (D$_1$) はこの外側の正方形である。段 3 を $f''$ に当てると、$fa=gy'$ なので $a\in\mathrm{Hom}_Y(Z,X)$ で（$gy'$ について）、$f''\sigma=\mathrm{id}_Z$、$vq\sigma=a$ を満たす切断 $\sigma\colon Z\to X''$ がある。$a'=q\sigma$ とおくと $va'=a$、$f'a'=f'q\sigma=y'f''\sigma=y'$ なので、$(*)$ は $a'$ を $(a,y')$ に写す。

段 1（降下の組であること）．$f''$ は安定性により $\mathcal S$ の元で、$R''=X''\times_{Y''}X''$ が存在する。$p'_iq_R=qp''_i$ を満たす $q_R\colon R''\to R'$ をとる。正方形 $(q,f'',f',h)$ はカルテシアンなので、上の定理（カルテシアン正方形の降下）の必要の向きにより、正方形 $(q_R,p''_1,p'_1,q)$ はカルテシアンである。$w''=wq_R$ は $p_iw''=vp'_iq_R=(vq)p''_i$ を満たすので (b) が成り立ち、本書『0-2 圏と前層』の補題「カルテシアン正方形の貼り合わせ」を右の (D$_1$) と左の正方形に当てて、外側の正方形 $(w'',p''_1,p_1,vq)$ がカルテシアン、すなわち (c) が成り立つ。
段 2（選び方と同型類）．$X''$ の別の選び方は、$q$ と $f''$ を保つ同型で $X''$ と結ばれ、これは降下の組の同型である。同型 $\varphi\colon X'_1\to X'_2$ で結ばれた組からは、$\varphi$ と $\mathrm{id}_{Y''}$ の誘導する同型 $X'_1\times_{Y'}Y''\to X'_2\times_{Y'}Y''$ が $f''$ と $vq$ を保つ。
段 3（関手であること）．$h=\mathrm{id}_{Y'}$ のとき、$(X';\mathrm{id}_{X'},f')$ が $X'\times_{Y'}Y'$ の一つの選び方なので（本書『0-2 圏と前層』の補題「極限の普遍性と一意性」の (4)）、$B_R(\mathrm{id}_{Y'})$ は恒等写像である。$k\colon Y'''\to Y''$ について、同じ頁の補題「カルテシアン正方形の貼り合わせ」により $(X'\times_{Y'}Y'')\times_{Y''}Y'''$ は、二つの射影の合成とともに $X'\times_{Y'}Y'''$（$hk$ に沿う）の一つの選び方である。$X$ への射も $v$ と射影の合成で一致するので、$B_R(hk)=B_R(k)\circ B_R(h)$ である。
段 4（集合であること）．宇宙の約束の下で $\mathbf C$ の対象の全体は一つの集合なので、組の全体は集合で、同型類はその部分集合、$B_R(Y')$ はその部分集合の集合である。$B_R(Y')$ が $\mathcal U$ 小であるとは限らない。

段 1（$\alpha$ が定まる）．$g\colon Y'\to Y$ について $X\times_YY'$ は存在し、射影 $\mathrm{pr}_2$ は安定性により $\mathcal S$ の元である。$v=\mathrm{pr}_1$、$f'=\mathrm{pr}_2$ とおくと $fv=gf'$ で、正方形 (D) はカルテシアンである。(b) の $w$ は上の設定の段落で作った射で、(c) は上の定理（カルテシアン正方形の降下）の必要の向きである。ファイバー積の別の選び方は $\mathrm{pr}_1$、$\mathrm{pr}_2$ を保つ同型で結ばれるので、類はそれによらない。
段 2（$\beta$ が定まる）．降下の組 $(X',f',v)$ について、$fvp'_1=fp_1w=fp_2w=fvp'_2$ で、$f'$ は $p'_1,p'_2$ の余等化子なので、$gf'=fv$ を満たす $g$ がただ一つある。同型 $\varphi$ で結ばれた組 $(X'_1,f'_1,v_1)$、$(X'_2,f'_2,v_2)$ の $g_1$、$g_2$ については、$g_2f'_1=g_2f'_2\varphi=fv_2\varphi=fv_1=g_1f'_1$ で $f'_1$ はエピなので $g_1=g_2$ である。
段 3（$\beta\alpha=\mathrm{id}$）．$\beta(\alpha(g))$ は $g'\mathrm{pr}_2=f\mathrm{pr}_1$ を満たす $g'$ で、$g$ もこれを満たし、$\mathrm{pr}_2$ はエピなので $g'=g$ である。
段 4（$\alpha\beta=\mathrm{id}$）．降下の組 $(X',f',v)$ と $g=\beta[X',f',v]$ をとる。正方形 (D) $=(v,f',f,g)$ は可換で、(b) の $w$ は設定の段落の $w$ と同じもので、(c) により (D$_1$) はカルテシアンである。$f'$ は $\mathcal S$ の元なので普遍有効エピである。上の定理（カルテシアン正方形の降下）の逆向きにより (D) はカルテシアン、すなわち $(X';v,f')$ は $X\times_YY'$ の一つの選び方で、$[X',f',v]=\alpha(g)$ である。
段 5（自然性）．$h\colon Y''\to Y'$ について、$\alpha(gh)$ は $[X\times_YY'',\mathrm{pr}_2,\mathrm{pr}_1]$、$B_R(h)(\alpha(g))$ は $[(X\times_YY')\times_{Y'}Y'',\mathrm{pr}_2,\mathrm{pr}_1\mathrm{pr}_1]$ である。本書『0-2 圏と前層』の補題「カルテシアン正方形の貼り合わせ」により、後者の対象は二つの射とともに $X\times_YY''$ の一つの選び方なので、二つの類は等しい。
段 6（大きさ）．段 3・4 により $B_R(Y')$ は $\mathrm{Hom}(Y',Y)\in\mathcal U$ と一対一である。各類に代表を一つ選べば、$\mathcal U$ 小な集合に値をとる前層が得られ、段 5 によりそれは $h_Y$ に同型である。

元が有効エピであることは、定義の後の段落で見た。$f\colon X\to Y$ を普遍有効エピ、$g\colon Y'\to Y$ を射とし、$X\times_YY'$ の任意の選び方 $(X';a,f')$ をとる。$h\colon Y''\to Y'$ について、$f$ は普遍有効エピなので $X\times_YY''$（$gh$ に沿う）が存在し、その射影は有効エピである。本書『0-2 圏と前層』の補題「カルテシアン正方形の貼り合わせ」により、右の正方形 $(a,f',f,g)$ がカルテシアンなので、$X'\times_{Y'}Y''$ が存在し、その任意の選び方は（$X$ への射と合わせて）$X\times_YY''$ の一つの選び方である。したがってその射影 $X'\times_{Y'}Y''\to Y''$ は有効エピである（ファイバー積の選び方によらないことは、同じ頁の補題「エピと余等化子」の (4)）。ゆえに $f'$ は普遍有効エピである。

段 1（点の前層の場合）．どちらの条件も $X\times_YX$ の存在を含む（(2) は表現可能な前層 $h_X$ に当てればよい）。対象 $Q$ について、$G=h_Q$ の図式は $\mathrm{Hom}(Y,Q)\to\mathrm{Hom}(X,Q)\rightrightarrows\mathrm{Hom}(X\times_YX,Q)$、$k\mapsto kf$、$h\mapsto h\,\mathrm{pr}_i$ で、これが等化子の図式であることは、$k\mapsto kf$ が $\mathrm{Hom}(Y,Q)$ から $\{h: h\,\mathrm{pr}_1=h\,\mathrm{pr}_2\}$ への全単射であることにほかならない。すべての $Q$ でこれが成り立つことは、$f$ が $\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2$ の余等化子であること（本書『0-2 圏と前層』の補題「Hom は極限を保つ」の余等化子の形）、すなわち $f$ が有効エピであることである。
段 2（表現可能な前層への移行）．$G$ が $(Q,\zeta)$ で表されるとき、本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の補題「表現の二つの言い方」により同型 $\theta\colon h_Q\to G$ がある。$\theta$ の成分は全単射で、自然性により $\theta(X)\circ h_Q(f)=G(f)\circ\theta(Y)$、$\theta(X\times_YX)\circ h_Q(\mathrm{pr}_i)=G(\mathrm{pr}_i)\circ\theta(X)$ なので、$h_Q$ の図式が等化子であることと $G$ の図式が等化子であることは同じである。段 1 と合わせて (1)⇒(2) が、$G=h_Q$ に当てて (2)⇒(1) が従う。