4-1 局所化射と貼り合わせの商

1. $T=X$ に当てる。反射律により $(\mathrm{id}_X,\mathrm{id}_X)$ は像に入るので、$p_1\Delta=p_2\Delta=\mathrm{id}_X$ となる $\Delta$ があり、単射性により一つしかない。
2. $T=R$ に当てる。$(p_1,p_2)$ は $\mathrm{id}_R$ の像で、対称律により $(p_2,p_1)$ も像に入るので、$p_1s=p_2$、$p_2s=p_1$ となる $s$ があり、単射性により一つしかない。$s\circ s$ の像は $(p_1ss,p_2ss)=(p_2s,p_1s)=(p_1,p_2)$ で、$\mathrm{id}_R$ の像と同じなので、単射性により $s\circ s=\mathrm{id}_R$ である。
3. 対称律により $(b,a)$ が像に入り、推移律により $(b,c)$ が入る。

1. 定義により $j=\iota\circ\varphi$ で、$\varphi\colon U\to V'$ は開部分空間 $V'$ への同型、$\iota$ は包含である。$\varphi$ の底の写像は同相写像なので $j$ の像は $V'$ で、$V=V'$ である。包含は単射（本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」の証明の段 1）なので、$\iota\circ\varphi=\iota\circ\varphi'$ なら $\varphi=\varphi'$ で、書き方は一通りである。同型と単射の合成は単射で、底の写像は同相写像と包含の合成なので単射である。
2. 環付き空間の同型 $\varphi\colon U\to V$ は、底の同相写像と層の同型の組なので、開集合 $U'$ に制限すると、開部分空間 $U'$ から開部分空間 $\varphi(U')$ への同型を与える。$\varphi(U')$ は $V$ の開集合なので $Y$ の開集合で、$Y$ の開部分空間としての構造は $V$ の開部分空間としての構造と同じである。ゆえに $j|_{U'}$ は同型 $U'\cong\varphi(U')$ と包含の合成である。$V\subset W$ のときは、$V$ は $W$ の開部分空間でもあり、$U\to W$ は同型 $U\cong V$ と包含 $V\to W$ の合成である。
3. 開はめ込み $j\colon U\to Y$、$j'\colon Y\to Z$ を $j=\iota\varphi$（$\varphi\colon U\cong V$）、$j'=\iota'\varphi'$（$\varphi'\colon Y\cong V'$）と書く。(2) の議論により $\varphi'$ は $V$ から開部分空間 $\varphi'(V)$ への同型に制限され、$\varphi'(V)$ は $V'$ の開集合なので $Z$ の開集合である。ゆえに $j'j$ は同型 $\varphi'|_V\circ\varphi\colon U\cong\varphi'(V)$ と包含の合成である。同型 $\psi\colon Y'\to Y$ は、同型 $\psi$ と恒等な包含 $Y\to Y$ の合成である。源の同型 $\chi\colon U'\to U$ については $j\chi=\iota\circ(\varphi\chi)$ である。

段 1（二つの片のファイバー積）．$i,j\in I$ とする。本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」の (1) を、開はめ込み $f|_{X_j}\colon X_j\to Y$（像 $V_j$）と射 $f|_{X_i}\colon X_i\to Y$ に当てる。逆像 $(f|_{X_i})^{-1}(V_j)=\iota_i^{-1}(V_{ij})=X_i^{(j)}$ の開部分空間は、包含 $X_i^{(j)}\to X_i$ と、$f|_{X_i}$ を $X_i^{(j)}$ に制限して $V_j\cong X_j$ で戻した射 $\iota_j^{-1}\circ\iota_i$ によって、$X_j\times_YX_i$ である。二つの射影を入れ替えれば $X_i\times_YX_j$ である。$\iota_i$ は $X_i^{(j)}$ を $V_{ij}$ に、$\iota_j$ は $X_j^{(i)}$ を $V_{ij}$ に移すので、$\iota_j^{-1}\iota_i$ は $X_i^{(j)}$ から $X_j^{(i)}$ への同型である。
段 2（和との交換）．同じ命題の (2) の後半を、射 $f\colon X=\coprod_jX_j\to Y$ と $f|_{X_i}$ に当てると、段 1 の $X_j\times_YX_i$ の非交和が $X\times_YX_i$ である。射影を入れ替えて $X_i\times_YX$ も存在する。もう一度同じ主張を、$f\colon X=\coprod_iX_i\to Y$ と $f\colon X\to Y$ に当てると、$X_i\times_YX$ の非交和、すなわち段 1 の $X_i\times_YX_j$ の全体の非交和 $P$ が $X\times_YX$ である。射影は成分ごとに段 1 のものである。
段 3（(2)）．成分 $(i',j')$ は第一の射影で $X_{i'}$ に、第二の射影で $X_{j'}$ に入り、$X_i$ たちは互いに素なので、$\mathrm{pr}_1^{-1}(X_i)\cap\mathrm{pr}_2^{-1}(X_j)$ は成分 $(i,j)$ である。同一視の後の形は段 1 の射の形から読める。
段 4（(3)）．同じ命題の (3) と、本書『0-2 圏と前層』の補題「スライス圏」の (2) による。

段 1（(i)）．同型 $f\colon X\to Y$ は、一つの片 $X_1=X$ からなる分解をもち、$f$ は開はめ込みである（上の補題（開はめ込みの制限と合成）の (3)）。全射であることは明らかである。
段 2（(ii)）．$f$ の分解を $(X_i)$、$V_i=f(X_i)$ とする。本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」の (1) により、各 $X_i\times_YY'$ は開部分空間 $g^{-1}(V_i)$ として存在し、射影は開はめ込みである。同じ命題の (2) の後半により、その非交和 $Q=\coprod_ig^{-1}(V_i)$ が $X\times_YY'$ である。$Q$ は互いに素な開集合 $g^{-1}(V_i)$ の和で、各片への射影の制限は開はめ込みであり、$(V_i)$ が $Y$ を覆うので $(g^{-1}(V_i))$ は $Y'$ を覆い、射影は全射である。ゆえに射影 $Q\to Y'$ は局所化射である。ほかの選び方 $Q'$ は、射影と両立する同型 $\chi\colon Q'\to Q$ で $Q$ と結ばれる（本書『0-2 圏と前層』の補題「極限の普遍性と一意性」）。$Q'$ は $\chi^{-1}(g^{-1}(V_i))$ の和で、各片への射影の制限は開はめ込みに同型を合成したものなので開はめ込みであり（上の補題の (3)）、全射性も保たれる。
段 3（(iii)）．$f\colon X\to Y$、$g\colon Y\to Z$ を局所化射とし、分解を $(X_i)$、$(Y_m)$ とする。$Y_m$ は $Y$ の開かつ閉な部分なので、$X_{im}=X_i\cap f^{-1}(Y_m)$ は $X$ の開かつ閉な部分で、$(X_{im})$ は互いに素に $X$ を覆う。$f|_{X_i}$ は開はめ込みなので、その $X_{im}$ への制限は開はめ込みで、像は $Y_m$ に含まれ、$Y_m$ への射としても開はめ込みである（上の補題の (2)）。$g|_{Y_m}$ は開はめ込みなので、合成 $(g\circ f)|_{X_{im}}$ は開はめ込みである（同じ補題の (3)）。全射の合成は全射である。ゆえに $g\circ f$ は分解 $(X_{im})$ をもつ局所化射である。
段 4（(iv) の有効エピ）．局所化射 $f$ の分解を $(X_i)$、$V_i=f(X_i)$、$\iota_i\colon X_i\cong V_i$ とする。上の補題（局所化射の自分自身とのファイバー積）により $X\times_YX$ は存在し、成分 $(i,j)$ は $V_{ij}$ と同一視され、二つの射影は包含 $V_{ij}\to V_i$、$V_{ij}\to V_j$ に当たる。解析空間 $Z$ への射 $h\colon X\to Z$ は、同じ命題の (2) により射の族 $h|_{X_i}$、したがって射 $h_i=h|_{X_i}\circ\iota_i^{-1}\colon V_i\to Z$ の族と一対一に対応し、$h\,\mathrm{pr}_1=h\,\mathrm{pr}_2$ は各成分の上で $h_i|_{V_{ij}}=h_j|_{V_{ij}}$ であることと同じである。本書『0-3 層と環付き空間の貼り合わせ』の定理「環付き空間と射の貼り合わせ」の (1) により、そのような族は、各 $V_i$ への制限が $h_i$ である射 $\bar h\colon Y\to Z$ とちょうど一対一に対応する。$k$ 代数の環付き空間の射はそのまま解析空間の射である（本書『0-4 解析空間』の定義「解析空間の射」）。$\bar h\circ f$ の $X_i$ への制限は $h_i\circ\iota_i=h|_{X_i}$ なので、$\bar h\mapsto\bar h\circ f$ は、$\mathrm{Hom}(Y,Z)$ から $h\,\mathrm{pr}_1=h\,\mathrm{pr}_2$ を満たす $h$ の全体への全単射である。すなわち $f$ は二つの射影の余等化子で、有効エピである。本書『0-2 圏と前層』の補題「エピと余等化子」の (4) により、これはファイバー積の選び方によらない。
段 5（(iv) の普遍性）．$g\colon Y'\to Y$ を任意の射とする。(ii) により $X\times_YY'$ は存在し、その射影はどの選び方でも局所化射なので、段 4 により有効エピである。ゆえに $f$ は普遍有効エピである。
段 6（(v)）．$S$ 射である局所化射について、(i) と (iii) は $(\mathrm{An})$ の主張に、同型と合成が $S$ 射であることを添えるだけである。$(\mathrm{An})_{/S}$ のファイバー積は $(\mathrm{An})$ のファイバー積に構造射を合わせたものなので（本書『0-2 圏と前層』の補題「スライス圏」の (2)）、(ii) は $(\mathrm{An})$ の (ii) から出て、射影は $S$ 射である。(iv) は、$(\mathrm{An})$ で普遍有効エピな $S$ 射は $(\mathrm{An})_{/S}$ でも普遍有効エピであるという、同じ補題の (4) による。

段 1（(i) から (ii)）．$f$ の分解を $(X_i)$ とし、同型 $\rho=(p_1,p_2)\colon R\to X\times_{X/R}X$ をとる。上の補題（局所化射の自分自身とのファイバー積）の (2) により、$X\times_{X/R}X$ の開部分空間 $\mathrm{pr}_1^{-1}(X_i)\cap\mathrm{pr}_2^{-1}(X_j)$ は $X_i\times_{X/R}X_j$ で、第一の射影は開はめ込み $f|_{X_j}$ の底変換なので開はめ込みである（本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」の (1)）。$\mathrm{pr}_k\rho=p_k$ なので $\rho^{-1}$ はこの開部分空間を $R_{ij}$ に移し、$p_1|_{R_{ij}}$ は開はめ込みに同型を合成したもので開はめ込みである（上の補題（開はめ込みの制限と合成）の (3)）。
段 2（$R$ の分解と貼り合わせの材料）．以下 (ii) を仮定する。$X_i$ は互いに素に $X$ を覆う開集合なので開かつ閉で、$R_{ij}$ は互いに素に $R$ を覆う開かつ閉な部分であり、$R$ は開部分空間 $R_{ij}$ の非交和である。$X_{ij}=p_1(R_{ij})$ は開はめ込みの像なので $X_i$ の開集合で、$\psi_{ij}\colon X_{ij}\to R_{ij}$ を同型 $p_1|_{R_{ij}}\colon R_{ij}\cong X_{ij}$ の逆とする。上の補題（同値の対の対称と対角）の $s$ について $s^{-1}(R_{ji})=(p_1s)^{-1}(X_j)\cap(p_2s)^{-1}(X_i)=R_{ij}$ で、$s$ は $s\circ s=\mathrm{id}$ を満たす同型なので、$R_{ij}$ を $R_{ji}$ に同型に移す。$p_2|_{R_{ij}}=p_1|_{R_{ji}}\circ s|_{R_{ij}}$ は、同型と開はめ込みの合成なので、$R_{ij}$ から $X_j$ への開はめ込みで、像は $p_1(R_{ji})=X_{ji}$ である。そこで
$$\varphi_{ji}=p_2\circ\psi_{ij}\colon X_{ij}\to X_{ji}$$
と置くと、同型の合成なので同型である。$p_2|_{R_{ij}}=\varphi_{ji}\circ p_1|_{R_{ij}}$ が成り立つ。
段 3（$X_{ii}=X_i$ と $\varphi_{ii}=\mathrm{id}$）．同じ補題の対角 $\Delta$ は $p_1\Delta=p_2\Delta=\mathrm{id}_X$ を満たすので、$\Delta(X_i)\subset p_1^{-1}(X_i)\cap p_2^{-1}(X_i)=R_{ii}$ である。ゆえに $X_i=p_1\Delta(X_i)\subset X_{ii}\subset X_i$ で、$X_{ii}=X_i$ である。$\Delta|_{X_i}\colon X_i\to R_{ii}$ は $p_1|_{R_{ii}}\circ\Delta|_{X_i}=\mathrm{id}$ を満たすので $\psi_{ii}$ に等しく、$\varphi_{ii}=p_2\Delta|_{X_i}=\mathrm{id}$ である。
段 4（コサイクル条件）．$X_{ijk}=X_{ij}\cap X_{ik}$ と置き、開部分空間 $Z=X_{ijk}$ からの射 $a$（包含 $Z\to X$）、$b=\varphi_{ji}|_Z$、$c=\varphi_{ki}|_Z$（どちらも $X$ への射とみる）を考える。$\psi_{ij}|_Z$ は $(p_1,p_2)$ で $(a,b)$ に写り、$\psi_{ik}|_Z$ は $(a,c)$ に写るので、同じ補題の (3) により $(b,c)$ も $\mathrm{Hom}(Z,R)$ の像に入る。$p_1r=b$、$p_2r=c$ となる $r\colon Z\to R$ をとると、$b$ の像は $X_j$ に、$c$ の像は $X_k$ に入るので、$r$ の像は $R_{jk}$ に入り、$r$ は $R_{jk}$ を経由する（本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」の証明の段 1）。すると $b=p_1r$ の像は $X_{jk}$ に入り、$b$ が経由する $b'\colon Z\to X_{jk}$ について、$p_1|_{R_{jk}}\circ r=b=p_1|_{R_{jk}}\circ\psi_{jk}\circ b'$ である。開はめ込みは単射なので $r=\psi_{jk}b'$ で、$c=p_2r=\varphi_{kj}b'$ となる。以上で、$\varphi_{ji}(X_{ijk})\subset X_{ji}\cap X_{jk}=X_{jik}$ と、$X_{ijk}$ の上の等式 $\varphi_{kj}\circ\varphi_{ji}=\varphi_{ki}$ が示された。
段 5（等号 $\varphi_{ji}(X_{ijk})=X_{jik}$）．段 4 の等式を $k=i$ に当てると、$X_{iji}=X_{ij}\cap X_{ii}=X_{ij}$ の上で $\varphi_{ij}\varphi_{ji}=\varphi_{ii}=\mathrm{id}$ であり、$i$ と $j$ を入れ替えて $\varphi_{ji}\varphi_{ij}=\mathrm{id}$ である。ゆえに $\varphi_{ij}$ は $\varphi_{ji}$ の逆である。段 4 の包含を添字 $(j,i,k)$ に当てた $\varphi_{ij}(X_{jik})\subset X_{ijk}$ に $\varphi_{ji}$ を施すと $X_{jik}\subset\varphi_{ji}(X_{ijk})$ となり、等号が成り立つ。
段 6（貼り合わせ）．段 3〜5 により、族 $(X_i)$、$(X_{ij})$、$(\varphi_{ji})$ は本書『0-3 層と環付き空間の貼り合わせ』の定理「環付き空間の貼り合わせ」の条件を満たす。$k$ 代数の環付き空間 $Y$、開被覆 $(Y_i)$、同型 $\psi_i\colon X_i\to Y_i$ で、$\psi_i(X_{ij})=Y_i\cap Y_j$、$X_{ij}$ の上で $\psi_j\varphi_{ji}=\psi_i$ となるものがある。$Y$ の各点はある $Y_i$ に入り、$X_i$ は解析空間 $X$ の開部分空間なので解析空間で、その点の開近傍でモデルの有限表示の部分空間に同型なものを $\psi_i$ で移せば、$Y$ の点の開近傍になる。ゆえに $Y$ は本書『0-4 解析空間』の定義「解析空間の定義」の意味の解析空間である。ここで $Y$ が分離的であるかどうかは問われない。
段 7（局所化射 $f$）．本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」の (2) により、$X=\coprod_iX_i$ から $Y$ への射 $f$ で、$X_i$ への制限が $\psi_i$ と包含 $Y_i\to Y$ の合成になるものがただ一つある。$f|_{X_i}$ は開はめ込みで、$(Y_i)$ が $Y$ を覆うので $f$ は全射であり、$f$ は分解 $(X_i)$ をもつ局所化射である。
段 8（$R\cong X\times_YX$）．上の補題（局所化射の自分自身とのファイバー積）により、$X\times_YX$ は成分 $(i,j)$ が $X_i$ の開部分空間 $\psi_i^{-1}(Y_i\cap Y_j)=X_{ij}$ で、第一の射影が包含、第二の射影が $\psi_j^{-1}\psi_i=\varphi_{ji}$ である非交和にとれる。$R_{ij}$ の上で $fp_2=\psi_j\varphi_{ji}p_1=\psi_ip_1=fp_1$ なので $fp_1=fp_2$ で、$(p_1,p_2)$ は射 $\rho\colon R\to X\times_YX$ を定める。$\rho$ は $R_{ij}$ を成分 $(i,j)$ に、同型 $p_1|_{R_{ij}}\colon R_{ij}\cong X_{ij}$ として移す（第二の成分は段 2 の $p_2|_{R_{ij}}=\varphi_{ji}p_1|_{R_{ij}}$ で合う）。成分ごとの同型の和は同型なので、$\rho$ は同型である。
段 9（有効性）．主結果 1 の (iv) により $f$ は普遍有効エピで、とくに $X\times_YX$ の二つの射影の余等化子である。$\mathrm{pr}_k\rho=p_k$ で $\rho$ は同型なので、本書『0-2 圏と前層』の補題「エピと余等化子」の (3) により $f$ は $p_1,p_2$ の余等化子であり、$Y$ は $X/R$ にとれる。$X\times_{X/R}X=X\times_YX$ は存在し、$R\to X\times_YX$ は同型 $\rho$ なので、$R$ は有効である。余等化子の別の選び方 $f'$ は、同型 $\theta$ で $f'=\theta f$ と書け、主結果 1 の (i)(iii) により局所化射である。ゆえに (i) が成り立ち、最後の主張も示された。

段 1（(1)）．$S$ 上の対象 $T$ について、$\mathrm{Hom}_S(T,R)$ と $\mathrm{Hom}_S(T,X)$ はそれぞれ $\mathrm{Hom}(T,R)$、$\mathrm{Hom}(T,X)$ の部分集合で、$S$ 射 $r$ について $p_kr$ は $S$ 射である。逆に、射 $r\colon T\to R$ について $p_1r$ が $S$ 射なら $p_Rr=p_Xp_1r=p_T$ なので、$r$ も $S$ 射である。$(\mathrm{An})$ の同値の対とする。$T$ の上の $\mathrm{Hom}_S(T,R)\to\mathrm{Hom}_S(T,X)^2$ は単射の制限なので単射で、像は $\mathrm{Hom}(T,X)$ の同値関係を $\mathrm{Hom}_S(T,X)$ に制限したものなので同値関係である。逆に $(\mathrm{An})_{/S}$ の同値の対とし、解析空間 $T$ をとる。射 $r\colon T\to R$ は、$T$ に構造射 $p_Rr$ を与えれば $S$ 射であり、その像 $(p_1r,p_2r)$ は $p_Xp_1r=p_Xp_2r$ を満たす。$\mathrm{Hom}(T,X)$ の二元 $(a,b)$ が像に入るのは、$p_Xa=p_Xb$ で、$T$ にこの構造射を与えたときに $(\mathrm{An})_{/S}$ の像に入る場合に限る。構造射 $p_Xa$ ごとに単射で同値関係なので、全体としても単射で、像は同値関係である（関係する二元は同じ構造射を与える）。
段 2（構造射）．上の定理により $f$ は $p_1,p_2$ の余等化子で、$p_Xp_1=p_R=p_Xp_2$ なので、$qf=p_X$ となる $q$ がただ一つある。
段 3（(2) の残り）．主結果 1 の (iv) により $f$ は $(\mathrm{An})$ の普遍有効エピで、$S$ 射なので、本書『0-2 圏と前層』の補題「スライス圏」の (4) により $(\mathrm{An})_{/S}$ でも普遍有効エピである。同じ補題の (2) により $(\mathrm{An})_{/S}$ のファイバー積 $X\times_{X/R}X$ は $(\mathrm{An})$ のものと同じで、$(p_1,p_2)\colon R\to X\times_{X/R}X$ は $S$ 射の同型である。ゆえに、本書『0-2 圏と前層』の補題「エピと余等化子」の (3) により $f$ は $(\mathrm{An})_{/S}$ で $p_1,p_2$ の余等化子で、$R$ は $(\mathrm{An})_{/S}$ で有効である。$f$ は $S$ 射である局所化射である。
段 4（(3)）．(ii) から $(\mathrm{An})_{/S}$ の (i) へは (2) である。逆に、$R$ が $(\mathrm{An})_{/S}$ で有効で商射 $f$ が局所化射なら、主結果 1 の (iv) により $f$ は $(\mathrm{An})$ の余等化子でもあり、同じ補題「スライス圏」の (2) によりファイバー積も同じなので、$R$ は $(\mathrm{An})$ で有効で (i) が成り立ち、(1) により $(p_1,p_2)$ は $(\mathrm{An})$ の同値の対なので、上の定理により (ii) が成り立つ。条件 (ii) は構造射に触れない。