0-2 圏と前層

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

本書の第 1〜3 章が使う集合と圏の基本（宇宙と集合の圏、集合の圏の極限と余極限、圏・関手・前層、図式と極限、極限の一意性、Hom と極限、カルテシアン正方形の貼り合わせ、単射・エピ・等化子・余等化子、集合の同値関係と商集合、スライス圏、点ごとの随伴）を集めた頁である。どれも定義から数行で出るので、この頁で証明まで書く。本書の札の基準では、この頁で証明した補題は、本書の他の頁で［完結］とした結果と同じく、完結の証明に使ってよい側に置く（基準の全体は本書『0-1 本書の読み方』と本書『0-5 記号と約束』）。各項目の後に、本書のどの頁で使うかと案内を書く。案内に挙げる文献の該当箇所は、本書では確かめていない。前層を表す対象と米田の対応は本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』で、前層の圏の極限は本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』で扱うので、この頁には置かない。
前提知識: 集合, 圏, 関手, 自然変換, 前層, 極限, ファイバー積, 同値関係

宇宙と集合の圏

原論文は集合の圏について、§2 の「Rappelons」の段で一句だけ触れる。前層の圏で極限をとるときの図式の型は、集合の圏の定義に暗に入っている宇宙（l'Univers）の中のものに限る、という断りである（原論文の印字 11-03）。本書はこの約束を次の形で固定する。

宇宙と集合の圏

集合 $\mathcal U$ が次の (U1)〜(U5) を満たすとき宇宙という。
(U1) $x\in\mathcal U$、$y\in x$ なら $y\in\mathcal U$。
(U2) $x,y\in\mathcal U$ なら $\{x,y\}\in\mathcal U$。
(U3) $x\in\mathcal U$ なら、$x$ の部分集合の全体 $\mathcal P(x)$ は $\mathcal U$ の元である。
(U4) $I\in\mathcal U$ と、$\mathcal U$ の元の族 $(x_i)_{i\in I}$ について、和集合 $\bigcup_{i\in I}x_i$ は $\mathcal U$ の元である。
(U5) $\mathcal U$ は空でない。
本書では宇宙 $\mathcal U$ を一つ固定する。$\mathcal U$ の元である集合を $\mathcal U$ 小な集合という。$\mathcal U$ 小な集合を対象とし、写像を射とする圏を集合の圏といい、$(\mathrm{Ens})$ と書く。圏 $I$ の対象の全体と射の全体がどちらも $\mathcal U$ 小な集合であるとき、$I$ を $\mathcal U$ 小な圏という。写像は、その値の組（グラフ）である直積の部分集合と同一視する。

後代の定式化では、無限集合を含むことも宇宙の条件に課すのが普通とされる（本書は確かめていない）。本書の証明はその条件を使わないので、上の (U1)〜(U5) だけを置く。次の補題の (1) は、集合の操作が $\mathcal U$ の中で閉じていることを確かめるもので、(2)〜(4) が極限と余極限の具体形である。

集合の圏の極限と余極限
  1. $A,B,I\in\mathcal U$、$A_i\in\mathcal U$（$i\in I$）とする。$A$ の部分集合、順序対 $(a,b)$、直積 $A\times B$、写像の集合 $\mathrm{Hom}(A,B)$、直積 $\prod_{i\in I}A_i$、非交和 $\coprod_{i\in I}A_i=\bigcup_{i\in I}\{i\}\times A_i$、$A$ の同値関係による商集合は、どれも $\mathcal U$ の元である。空集合 $\emptyset$ と一点集合 $\{\emptyset\}$ も $\mathcal U$ の元である。
  2. $I$ を $\mathcal U$ 小な圏、$D\colon I\to(\mathrm{Ens})$ を関手とする。
    $$\varprojlim D=\Bigl\{(x_i)\in\prod_{i}D(i)\ :\ D(a)(x_i)=x_j\ \text{（すべての射}\ a\colon i\to j\text{）}\Bigr\}$$
    と、成分への射影 $\lambda_j\colon\varprojlim D\to D(j)$ は、$D$ の極限である。
  3. 非交和 $\coprod_iD(i)$ の上で、$(i,x)$ と $(j,D(a)(x))$（$a\colon i\to j$）を同じとみなす関係が生成する同値関係を $\approx$ とする。商集合 $\varinjlim D=\bigl(\coprod_iD(i)\bigr)/{\approx}$ と、自然な写像 $D(j)\to\varinjlim D$ は、$D$ の余極限である。
  4. 特に、空の図式の極限は一点集合で、余極限は空集合である。写像 $f\colon A\to C$、$g\colon B\to C$ のファイバー積は $A\times_CB=\{(a,b):f(a)=g(b)\}$、写像 $a,b\colon X\rightrightarrows Y$ の等化子は $\{x\in X:a(x)=b(x)\}$ とその包含、余等化子は $Y$ を「$a(x)$ と $b(x)$ を同じとみなす関係」の生成する同値関係で割った商集合である。$\mathcal U$ 小な族の和は非交和である。

極限・余極限・ファイバー積・等化子・余等化子という語は、下の定義（図式と極限）で一般の圏について定める。(2)〜(4) はその定義を集合の圏で満たす具体形を与える。

  1. $y\subset x\in\mathcal U$ なら $y\in\mathcal P(x)\in\mathcal U$ なので (U1) により $y\in\mathcal U$ である。(U5) で $\mathcal U$ の元 $x$ を一つとれば $\emptyset\subset x$ なので $\emptyset\in\mathcal U$、(U2) で $\{\emptyset\}=\{\emptyset,\emptyset\}\in\mathcal U$ である。$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$ は (U1)(U2) で $\mathcal U$ の元である。$A\cup B$ は、$\{A,B\}\in\mathcal U$ を添字集合とし各添字に自分自身を対応させた族の和なので (U4) で $\mathcal U$ の元である。$A\times B$ は $\mathcal P(\mathcal P(A\cup B))$ の部分集合なので $\mathcal U$ の元、$\mathrm{Hom}(A,B)$ は $\mathcal P(A\times B)$ の部分集合なので $\mathcal U$ の元である。$\prod_iA_i$ は $\mathrm{Hom}(I,\bigcup_iA_i)$ の部分集合、$\coprod_iA_i$ は (U4) の和、商集合は $\mathcal P(A)$ の部分集合なので、どれも $\mathcal U$ の元である。
  2. $\varprojlim D$ は (1) により $\mathcal U$ の元で、$D(a)\lambda_i=\lambda_j$ は定義そのものである。$Z\in\mathcal U$ と写像 $z_i\colon Z\to D(i)$ の族で $D(a)z_i=z_j$ を満たすものが与えられたとき、$z\mapsto(z_i(z))_i$ は $\varprojlim D$ に値をもち、$\lambda_iz=z_i$ を満たす。そのような写像は各成分が $z_i$ で決まるのでただ一つである。
  3. 商集合は (1) により $\mathcal U$ の元である。自然な写像 $\kappa_j\colon D(j)\to\varinjlim D$、$x\mapsto[(j,x)]$ は、$a\colon i\to j$ について $\kappa_jD(a)(x)=[(j,D(a)(x))]=[(i,x)]=\kappa_i(x)$（生成元の関係）を満たすので、余錐である。写像 $w_i\colon D(i)\to W$ の族で $w_jD(a)=w_i$ を満たすものが与えられたとき、$\coprod_iD(i)$ の上の関係「$w_i(x)=w_j(y)$」は同値関係で、生成元 $(i,x)$、$(j,D(a)(x))$ を関係づけるので $\approx$ を含む。したがって $(i,x)\mapsto w_i(x)$ は $\varinjlim D$ からの写像を定める。各同値類は代表 $(i,x)$ をもつので、自然な写像との合成が $w_i$ になる写像はこれに限る。
  4. 空の図式では条件が無いので、(2) の集合は空の族の直積、すなわち $\emptyset$ からの写像の全体 $\{\emptyset\}$ で、一点である。(3) の集合は空集合である。残りの形は、(2)(3) を対象が三つで射が二本の図式、対象が二つで平行な射が二本の図式、射の無い図式に当てた集合と全単射で結ばれるだけで、等しくはない（たとえば (2) のファイバー積は三つ組 $(x_1,x_0,x_2)$ の集合である）。そこで普遍性を直接に確かめる。どの集合も (1) により $\mathcal U$ の元である。
    ファイバー積：写像 $z_1\colon Z\to A$、$z_2\colon Z\to B$ が $fz_1=gz_2$ を満たせば、$z\mapsto(z_1(z),z_2(z))$ は $A\times_CB$ に値をもち、二つの射影との合成が $z_1$、$z_2$ になる写像はこれに限る（図式 $1\to0\leftarrow2$ の錐の $0$ の成分は $fz_1$ で決まる）。
    等化子：写像 $z\colon Z\to X$ が $az=bz$ を満たせば、$z$ の値は $\{x:a(x)=b(x)\}$ に入り、包含との合成が $z$ になる写像はこれに限る。
    余等化子：$Y$ の上の、$a(x)$ と $b(x)$ を同じとみなす関係の生成する同値関係を $\sim$、商写像を $q\colon Y\to Y/{\sim}$ とすると、$qa=qb$ である。写像 $h\colon Y\to Z$ が $ha=hb$ を満たせば、$Y$ の上の関係「$h(y)=h(y')$」は同値関係で生成元 $(a(x),b(x))$ を含むので $\sim$ を含み、$h=h'q$ となる写像 $h'$ がある。$q$ は全射なので $h'$ は一つに限る。
    和：写像 $w_i\colon A_i\to W$ の族について、$(i,x)\mapsto w_i(x)$ は、包含 $A_j\to\coprod_iA_i$、$x\mapsto(j,x)$ との合成が $w_j$ になるただ一つの写像である。
  • 使いどころ：定義（宇宙と集合の圏）は、本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』（注意「宇宙の約束の置き場所」）、本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』、本書『2-3 表現可能な関手の間の射』、本書『3-1 有効エピと降下』の冒頭の約束。補題の (2) は本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』の主結果「前層の圏の極限と表現可能性」（前層の極限を点ごとに作る段）で、(4) はその反例「反例：前層のファイバー積は表現可能とは限らない」。(4) のファイバー積の形は、本書『2-2 ファイバーと表現可能な射』の主結果「ファイバーは引き戻しのファイバー積」と補題「値ごとにカルテシアンな正方形」、本書『2-3 表現可能な関手の間の射』の例「集合の圏での命題 3.7」、本書『3-1 有効エピと降下』の補題「カルテシアン性は点ごとに確かめられる」。(1) の商集合と (4) の余等化子の形は下の補題（集合の同値関係と商集合）で使う。
  • 案内：集合、SGA4 の第 I 部（宇宙の約束の後代の定式化）、Mac98 第 I 章・第 V 章。

圏・関手・前層と極限

原論文は圏と関手を定義せずに使い、関手の間の射を「homomorphisme fonctoriel」と呼ぶ（原論文の印字 11-02）。本書の語をここで決める。

圏と関手と前層

圏 $\mathbf C$ は、対象の全体、対象の対 $X,Y$ ごとの射の集合 $\mathrm{Hom}(X,Y)$、合成と恒等射からなり、合成は結合的で恒等射は単位である。本書の圏はすべて、どの $\mathrm{Hom}(X,Y)$ も $\mathcal U$ 小な集合であるものとする（対象の全体は $\mathcal U$ 小とは限らない。$(\mathrm{Ens})$ がその例である）。ただし、この約束は前層を考える側の圏 $\mathbf C$ に課すもので、下で定める前層の圏 $\widehat{\mathbf C}$（とスライス圏の上の前層の圏 $\widehat{\mathbf C/S}$）は、Hom が $\mathcal U$ 小とは限らない圏として扱う。射 $f\colon X\to Y$ に $g\colon Y\to X$ で $gf=\mathrm{id}_X$、$fg=\mathrm{id}_Y$ となるものがあるとき $f$ を同型という。$\mathbf C^\circ$ は射の向きを逆にした反対圏である。
関手 $F\colon\mathbf C\to\mathbf C'$ は対象と射の対応で、合成と恒等射を保つものである。$\mathbf C^\circ$ からの関手を $\mathbf C$ 上の反変関手という。関手 $F,G\colon\mathbf C\to\mathbf C'$ の間の自然変換 $u\colon F\to G$ は、射の族 $u(X)\colon F(X)\to G(X)$ で、どの $f\colon X\to Y$ についても $G(f)\,u(X)=u(Y)\,F(f)$ を満たすものである。各 $u(X)$ が同型である自然変換を関手の同型という。
$\mathbf C^\circ$ から $(\mathrm{Ens})$ への関手を $\mathbf C$ 上の前層といい、前層を対象、自然変換を射とする圏を前層の圏といって $\widehat{\mathbf C}$ と書く（原論文の $\mathbf{Hom}(\mathbf C^\circ,(\mathrm{Ens}))$）。前層 $F$ と射 $f\colon Y\to X$ について、$F(f)\colon F(X)\to F(Y)$ を $f$ に沿った制限という。前層 $F$ の部分前層とは、部分集合の族 $F'(X)\subset F(X)$ で、どの $f\colon Y\to X$ についても $F(f)(F'(X))\subset F'(Y)$ となるものである。前層に層の条件は入らない。

$\widehat{\mathbf C}$ の射の集合 $\mathrm{Hom}(F,G)$ は $\prod_X\mathrm{Hom}(F(X),G(X))$ の部分集合なので、$\mathbf C$ が $\mathcal U$ 小な圏なら上の補題（集合の圏の極限と余極限）の (1) で $\mathcal U$ 小である。一般の $\mathbf C$ では $\mathcal U$ 小とは限らないが、本書が集合として扱う $\mathrm{Hom}(h_X,F)$ は、本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の主結果「米田の対応」により $F(X)$ と一対一になるので、$\mathcal U$ 小な集合と一対一である。この頁で Hom の大きさを使うのは、補題（Hom は極限を保つ）と定義（スライス圏）の「$\mathcal U$ 小」の一句だけで、それを除けば、この頁の定義と補題は Hom が $\mathcal U$ 小とは限らない圏（$\widehat{\mathbf C}$ を含む）でもそのまま成り立つ。前層の圏の極限は本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』で扱う。この頁では、一般の圏の極限を定める。

図式と極限

$I$ を $\mathcal U$ 小な圏とし、関手 $D\colon I\to\mathbf C$ を $I$ 型の図式という。$D$ の上の錐は、対象 $L$ と射の族 $\lambda_i\colon L\to D(i)$ で、どの $a\colon i\to j$ についても $D(a)\lambda_i=\lambda_j$ を満たすものである。錐 $(L,\lambda)$ が $D$ の極限であるとは、どの錐 $(Z,z)$ についても $\lambda_iz'=z_i$（すべての $i$）を満たす射 $z'\colon Z\to L$ がただ一つあることをいい、$L=\varprojlim D$ と書く。射の向きを逆にして、余錐と余極限 $\varinjlim D$ を定める。
極限の特別な場合に名前を付ける。$I$ が空のとき、極限は終対象で、本書では $e$ と書く（どの $Z$ からも $Z\to e$ がただ一つある）。$I$ が射の無い二つの対象のとき、$D$ は対象の組 $X,Y$ で、極限を積 $X\times Y$（射影 $\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2$）という。$I$ が $1\to0\leftarrow2$ のとき、$D$ は射の組 $f\colon X\to Z$、$g\colon Y\to Z$ で、極限をファイバー積 $X\times_ZY$ という。$I$ が二つの対象と平行な二本の射のとき、$D$ は射の組 $a,b\colon X\rightrightarrows Y$ で、極限を等化子、余極限を余等化子という。空の図式の余極限を始対象、射の無い図式の余極限を和という。
可換な正方形
$$\begin{array}{ccc}X'&\xrightarrow{\ a\ }&X\\ {\scriptstyle f'}\downarrow&&\downarrow{\scriptstyle f}\\ Y'&\xrightarrow{\ b\ }&Y\end{array}$$
は、$(X';a,f')$ が $f$ と $b$ のファイバー積であるときカルテシアンであるといい、$f'$ を $f$ の $b$ に沿った底変換という。「ファイバー積 $X\times_YY'$ が存在する」とは、$f$ と $b$ のファイバー積があることをいう。

極限を $\varprojlim D$ のように一つに決まる形の記号で書いたが、そう書いてよいことは次の補題の (1) による。本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』は、「$X\times_ZY$ が存在する」を点の前層のファイバー積が表現可能であることの意味で使うと約束し、同じ頁の主結果「前層の圏の極限と表現可能性」で、その意味が上の定義の意味と同じであることを示す（下の補題（Hom は極限を保つ）と米田の対応による）。

極限の普遍性と一意性

$D\colon I\to\mathbf C$ を図式とする。
(1) $(L,\lambda)$、$(L',\lambda')$ がどちらも $D$ の極限なら、$\lambda_i\varphi=\lambda'_i$（すべての $i$）を満たす射 $\varphi\colon L'\to L$ がただ一つあり、$\varphi$ は同型である。
(2) $(L,\lambda)$ が極限なら、射 $g,g'\colon Z\to L$ で $\lambda_ig=\lambda_ig'$（すべての $i$）となるものは等しい。すなわち極限への射は成分で一意に決まる。
(3) $(L,\lambda)$ が極限で $\varphi\colon L'\to L$ が同型なら、$(L',\lambda\varphi)$ も極限である。図式の同型 $\alpha\colon D'\to D$（各 $\alpha(i)$ が同型な自然変換）があれば、$(L,\alpha^{-1}\lambda)$ は $D'$ の極限である。
(4) 終対象 $e$ があるとき、$X\times Y$ と $X\times_eY$（$X\to e$、$Y\to e$ に沿う）は同じもので、一方が存在すれば他方も存在する。射 $f\colon X\to Y$ について、$(X;\mathrm{id}_X,f)$ は $f$ と $\mathrm{id}_Y$ のファイバー積である。$(P;p_1,p_2)$ が $f$ と $g$ のファイバー積であることと、$(P;p_2,p_1)$ が $g$ と $f$ のファイバー積であることは同じである。
余極限についても、向きを逆にして同じことが成り立つ。

  1. $(L',\lambda')$ は錐なので、$(L,\lambda)$ の普遍性により $\lambda_i\varphi=\lambda'_i$ となる $\varphi$ がただ一つあり、逆向きにも $\lambda'_i\psi=\lambda_i$ となる $\psi\colon L\to L'$ がただ一つある。$\lambda_i\varphi\psi=\lambda_i=\lambda_i\,\mathrm{id}_L$ なので、錐 $(L,\lambda)$ 自身に普遍性の一意性を当てて $\varphi\psi=\mathrm{id}_L$、同様に $\psi\varphi=\mathrm{id}_{L'}$ である。
  2. $(Z,\lambda g)$ は錐で、$g$ と $g'$ はどちらもそれに対する射なので、一意性から $g=g'$ である。
  3. 錐 $(Z,z)$ に対し、$(L,\lambda)$ の普遍性で $\lambda_iz'=z_i$ となる $z'$ がただ一つあるので、$\varphi^{-1}z'$ が $(L',\lambda\varphi)$ に対する求める射で、$\varphi$ が同型なのでそれに限る。図式の同型については、$(Z,z)$ が $D'$ の上の錐であることと $(Z,\alpha z)$ が $D$ の上の錐であることが同じ（$\alpha$ の自然性）なので、$D$ の普遍性がそのまま $D'$ の普遍性になる。
  4. $\mathrm{Hom}(Z,e)$ は一点なので、$Z\to X$、$Z\to Y$ の組が $e$ の上で可換であるという条件は空である。したがって二つの普遍性は同じ条件である。次に、$f a=\mathrm{id}_Yb$ を満たす $a\colon Z\to X$、$b\colon Z\to Y$ は $b=fa$ となるものに限り、$\mathrm{id}_Xz'=a$ となる $z'$ は $a$ だけである。最後の主張は定義の対称性である。
  1. は「ファイバー積の二つの射影は同時に単射的」という形で、第 3 章の証明で何度も使う。(3) により、極限の性質を述べるとき、表す対象を同型で取り替えてもよい。
Hom は極限を保つ

$D\colon I\to\mathbf C$ を図式、$(L,\lambda)$ をその上の錐とする。対象 $Z$ ごとに、集合の図式 $i\mapsto\mathrm{Hom}(Z,D(i))$ の極限（上の補題（集合の圏の極限と余極限）の (2) の形）への写像
$$\theta_Z\colon\mathrm{Hom}(Z,L)\to\varprojlim_i\mathrm{Hom}(Z,D(i)),\qquad g\mapsto(\lambda_ig)_i$$
を考える。$\theta_Z$ は $Z$ について自然である（$c\colon Z'\to Z$ について $\theta_{Z'}(gc)=(\lambda_igc)_i$）。$(L,\lambda)$ が $D$ の極限であることは、すべての $Z$ で $\theta_Z$ が全単射であることと同値である。向きを逆にして、余錐 $(Q,\kappa)$ が余極限であることは、すべての $Z$ で $\mathrm{Hom}(Q,Z)\to\varprojlim_i\mathrm{Hom}(D(i),Z)$、$g\mapsto(g\kappa_i)_i$ が全単射であることと同値である。とくに $q\colon Y\to Q$ が $a,b\colon X\rightrightarrows Y$ の余等化子であることは、すべての $Z$ で $g\mapsto gq$ が $\mathrm{Hom}(Q,Z)$ から $\{h\colon Y\to Z: ha=hb\}$ への全単射であることと同じである。

$\varprojlim_i\mathrm{Hom}(Z,D(i))$ は、族 $(z_i)$ で $D(a)z_i=z_j$ を満たすもの、すなわち $Z$ からの錐の全体である。$I$ と各 $\mathrm{Hom}$ が $\mathcal U$ 小なので、これは $\mathcal U$ 小な集合である。$\theta_Z$ が全単射であることは、$Z$ からのどの錐にも $\lambda_iz'=z_i$ となる $z'$ がただ一つあることで、それがすべての $Z$ で成り立つことが極限の定義である。自然性は合成の結合律である。余極限は向きを逆にして同じである。

この補題により、極限の問題は各 $Z$ での集合の問題に移せる。本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』はこれを点の前層の言葉に言い換え、存在する極限を点の前層への対応が保つことを示す。次の補題は、ファイバー積を二つ続けてとるときの規則で、第 2 章と第 3 章の証明で繰り返し使う。

カルテシアン正方形の貼り合わせ

可換な正方形を二つ並べた図式
$$\begin{array}{ccccc}X''&\xrightarrow{\ a'\ }&X'&\xrightarrow{\ a\ }&X\\ {\scriptstyle f''}\downarrow&&\downarrow{\scriptstyle f'}&&\downarrow{\scriptstyle f}\\ Y''&\xrightarrow{\ b'\ }&Y'&\xrightarrow{\ b\ }&Y\end{array}$$
で、右の正方形がカルテシアンであるとする。このとき、左の正方形がカルテシアンであることと、外側の長方形（横の射が $aa'$ と $bb'$）がカルテシアンであることは同値である。したがって $X\times_YY'$ が存在するとき、$X\times_YY''$（$bb'$ に沿う）が存在することと $(X\times_YY')\times_{Y'}Y''$ が存在することは同値で、存在すれば両者は $X$ と $Y''$ への射を保つ同型で結ばれる。

段 1（錐の言い換え）．対象 $Z$ について、$A(Z)$ を $f'x'=b'y''$ を満たす組 $(x'\colon Z\to X',\ y''\colon Z\to Y'')$ の集合、$B(Z)$ を $fx=bb'y''$ を満たす組 $(x\colon Z\to X,\ y'')$ の集合とする。$\Phi(x',y'')=(ax',y'')$ は $A(Z)$ を $B(Z)$ に写す（$fax'=bf'x'=bb'y''$）。
段 2（$\Phi$ は全単射）．$(x,y'')\in B(Z)$ なら $fx=b(b'y'')$ なので、右の正方形がカルテシアンであることから $ax'=x$、$f'x'=b'y''$ となる $x'$ がただ一つある。これが逆写像を与える。単射であることも同じ一意性（上の補題（極限の普遍性と一意性）の (2)）による。
段 3（同値）．射 $w\colon Z\to X''$ は $A(Z)$ の元 $(a'w,f''w)$ を定め、$\Phi$ で $B(Z)$ の元 $(aa'w,f''w)$ に写る。左の正方形がカルテシアンであることは、すべての $Z$ で $w\mapsto(a'w,f''w)$ が $\mathrm{Hom}(Z,X'')\to A(Z)$ の全単射であることで、外側がカルテシアンであることは $w\mapsto(aa'w,f''w)$ が $\mathrm{Hom}(Z,X'')\to B(Z)$ の全単射であることである。後者は前者と全単射 $\Phi$ の合成なので、二つは同値である。
段 4（存在の言い換え）．$P=X\times_YY'$ をとる。$Q=P\times_{Y'}Y''$ が存在すれば、段 3 により $Q$ は $X\times_YY''$ である。逆に $Q'=X\times_YY''$（射 $q_1\colon Q'\to X$、$q_2\colon Q'\to Y''$）が存在すれば、$(q_1,b'q_2)$ から $P$ への射 $q'$ が決まり、$Q'$ と $q'$、$q_2$ は左の正方形を可換にする。外側はカルテシアンなので、段 3 により左もカルテシアンで、$Q'$ は $P\times_{Y'}Y''$ である。同型の主張は上の補題の (1) による。

右の正方形がカルテシアンであるという仮定は外せない。次の反例がそれを示す。集合の圏では、可換な正方形がカルテシアンであることは、定義（図式と極限）の正方形の記号で、補題（集合の圏の極限と余極限）の (4) の形のファイバー積への写像 $X'\to X\times_YY'$、$w\mapsto(a(w),f'(w))$ が全単射であることと同じである（補題（極限の普遍性と一意性）の (1)(3)）。反例ではこの形で確かめる。

反例：右の正方形のカルテシアン性を外すと貼り合わせは言えない

上の補題（カルテシアン正方形の貼り合わせ）から、右の正方形がカルテシアンであるという仮定を外すと、結論「左がカルテシアン ⇔ 外側がカルテシアン」は、どちらの向きも成り立たなくなる。集合の圏で、右の正方形を $X=Y=Y'=\{0\}$、$X'=\{0,1\}$ とし、$a,f,f',b$ をすべて唯一の写像とする。$X\times_YY'=\{0\}\times\{0\}$ は一点で、二点の $X'$ からの写像 $w\mapsto(a(w),f'(w))$ は単射でないので、右の正方形はカルテシアンでない。この右の正方形の左に、次の二通りの正方形を並べる。
(1)「左 ⇒ 外側」が破れる例．$Y''=Y'$、$X''=X'$、$b'=\mathrm{id}_{Y'}$、$a'=\mathrm{id}_{X'}$、$f''=f'$ とする。左の正方形は可換で、$X'\times_{Y'}Y''=\{(x',y''):f'(x')=y''\}$ への写像 $w\mapsto(w,f'(w))$ は全単射なので、カルテシアンである。外側の長方形は横の射が $aa'=a$、$bb'=b$ で右の正方形そのものなので、カルテシアンでない。
(2)「外側 ⇒ 左」が破れる例．$Y''=X''=\{0\}$、$b'=\mathrm{id}_{Y'}$、$a'\colon X''\to X'$ を $0\mapsto0$、$f''$ を唯一の写像とする。$f'a'=b'f''$ なので左の正方形は可換である。外側の長方形では、$X\times_YY''=\{0\}\times\{0\}$ は一点で、一点の $X''$ からの写像 $w\mapsto(aa'(w),f''(w))$ は全単射なので、外側はカルテシアンである。左の正方形では、$X'\times_{Y'}Y''=\{0,1\}\times\{0\}$ は二点で、一点の $X''$ からの写像 $w\mapsto(a'(w),f''(w))$ は全射でないので、左はカルテシアンでない。
したがって、右の正方形のカルテシアン性は、補題の同値のどちらの向きにも欠かせない。

補題で仮定する正方形を取り違えた言明も成り立たない。それを次の注意で分けて述べる。

仮定する正方形を取り違えた貼り合わせ

補題（カルテシアン正方形の貼り合わせ）の仮定を左右取り違えた言明「左の正方形がカルテシアンなら、右がカルテシアンであることと外側がカルテシアンであることは同値」は偽である。そのうち「左と右がカルテシアンなら外側もカルテシアン」は補題から従うので、破れるのは含意「左と外側がカルテシアンなら右もカルテシアン」である。集合の圏で、$Y=Y'=X=\{0\}$、$X'=\{0,1\}$、$Y''=X''=\emptyset$ とし、射はすべて唯一の写像とする。左の正方形は $X'\times_{Y'}Y''=\emptyset=X''$ なのでカルテシアンで、外側も $X\times_YY''=\emptyset=X''$ なのでカルテシアンである。しかし右の正方形は上の反例と同じもので、カルテシアンでない。この例では左も外側もカルテシアンなので、補題の結論「左 ⇔ 外側」は成り立っている。したがってこれは補題の反例ではなく、取り違えた形の反例である。

  • 使いどころ：定義（圏と関手と前層）と定義（図式と極限）は全頁。補題（極限の普遍性と一意性）は、本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』の主結果「前層の圏の極限と表現可能性」、本書『2-1 制限と底変換』の主結果「忘却関手の随伴と積」（(1)）、本書『2-2 ファイバーと表現可能な射』の補題「値ごとにカルテシアンな正方形」（(1)(3)）と主結果「表現可能な射の言い換え」（(1)）、本書『2-3 表現可能な関手の間の射』の補題「対応する射の取り替え」（(3)）と主結果「終対象への射の表現可能性」（(4) の積の言い換え）、本書『2-4 安定性と射のクラス』の主結果「表現可能な射の底変換」「解析空間のはめ込みのクラスの底変換」（(1)）、本書『3-1 有効エピと降下』の定義「有効エピと普遍有効エピ」（(4)）・「有効降下の射」（(1)）、補題「降下の組の前層」（(4)）、主結果「有効な同値の対の商射は有効エピ」（(3)）、本書『3-2 商と表現可能性の主定理』の主結果「降下データの関手との一致」（(1)(4)）と「商による表現可能性の判定」（(3)）、本書『4-1 局所化射と貼り合わせの商』の定義「同値の対と有効性」と主結果「局所化射の基本性質」。補題（Hom は極限を保つ）は、本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』の主結果「前層の圏の極限と表現可能性」、本書『3-1 有効エピと降下』の補題「有効エピの定める同値の対」「カルテシアン性は点ごとに確かめられる」と主結果「カルテシアン正方形の降下」「有効エピと表現可能な関手の降下」（余等化子の形）、本書『3-2 商と表現可能性の主定理』の主結果「商による表現可能性の判定」。補題（カルテシアン正方形の貼り合わせ）は、本書『3-1 有効エピと降下』の主結果「カルテシアン正方形の降下」「商対象への射の記述」「普遍有効エピのクラス」と補題「降下の組の前層」、本書『3-2 商と表現可能性の主定理』の主結果「降下データの関手との一致」「最大の射のクラス」。
  • 案内：圏、関手、自然変換、極限、ファイバー積、EM45（圏・関手・自然変換の最初の論文）、GroT57（関手の圏と極限の当時の用法）、Mac98 第 I〜III 章・第 V 章。

単射・エピ・余等化子と集合の商

第 3 章は、原論文 §4 の有効エピ（余等化子として振る舞う射）を扱う。そこで使う単射・エピ・余等化子の初歩をまとめ、集合の圏では全射がちょうど普遍有効エピであることを示す。

エピと余等化子

圏 $\mathbf C$ の射 $f\colon X\to Y$ は、$fg=fg'$ なら $g=g'$ となるとき単射（モノ）といい、$gf=g'f$ なら $g=g'$ となるときエピという。射の組 $a,b\colon X\rightrightarrows Y$ の等化子と余等化子は上の定義（図式と極限）のとおりである。すなわち $q\colon Y\to Q$ が余等化子であるとは、$qa=qb$ で、$ha=hb$ を満たすどの $h\colon Y\to Z$ も $h=h'q$ とただ一通りに書けることをいう。
射 $f\colon X\to Y$ は、ファイバー積 $X\times_YX$ が存在し、$f$ がその二つの射影 $\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2\colon X\times_YX\rightrightarrows X$ の余等化子であるとき有効エピという。どの $Y'\to Y$ についても $X\times_YY'$ が存在し、射影 $X\times_YY'\to Y'$ が有効エピであるとき、$f$ を普遍有効エピという。この二つは本書『3-1 有効エピと降下』で原論文の定義 4.1 として同じ形で述べ直す。

有効エピの定義の「ファイバー積」と「底変換」は、どの選び方をとってもよい。次の補題の (4) が、選び方によらないことを保証する。

エピと余等化子
  1. 余等化子の射はエピで、等化子の射は単射である。
  2. $s$ がエピなら、射 $f$ を $f=gs$ と書く $g$ は高々一つである。
  3. $q\colon Y\to Q$ を $a,b\colon X\rightrightarrows Y$ の余等化子とする。同型 $\varphi\colon Q\to Q'$ について $\varphi q$ も余等化子である。同型 $\alpha\colon X'\to X$、$\beta\colon Y'\to Y$ と射 $a',b'\colon X'\rightrightarrows Y'$ が $a\alpha=\beta a'$、$b\alpha=\beta b'$ を満たせば、$q\beta$ は $a',b'$ の余等化子である。
  4. 有効エピはエピである。$f\colon X\to Y$ が有効エピなら、どのファイバー積 $X\times_YX$ の選び方についても $f$ は二つの射影の余等化子である。同型 $\varphi\colon X'\to X$、$\psi\colon Y\to Y'$ について $\psi f\varphi$ は有効エピである。普遍有効エピについても、同型を合成したものは普遍有効エピである。
  5. 集合の圏では、単射であることは写像として単射であることと、エピであることは全射であることと同じである。写像 $\iota\colon E\to X$ が $a,b\colon X\rightrightarrows Y$ の等化子であることは、$\iota$ が単射で像が $\{x:a(x)=b(x)\}$ であることと同じである。
  1. $q$ が余等化子で $gq=g'q$ なら、$h=gq$ は $ha=hb$ を満たし、$g$ と $g'$ はどちらも $h=h'q$ の $h'$ なので、一意性から $g=g'$ である。等化子は向きを逆にして同じである。
  2. エピの定義そのものである。
  3. $ha=hb$ なら $h=h'q=(h'\varphi^{-1})(\varphi q)$ と書け、一意性も $\varphi$ が同型なので保たれる。後半では、$h'\colon Y'\to Z$ が $h'a'=h'b'$ を満たすことと、$h=h'\beta^{-1}$ が $ha=hb$ を満たすこと（$ha\alpha=h'a'$、$hb\alpha=h'b'$ で $\alpha$ は同型）が同じなので、$h=gq$ と $h'=g(q\beta)$ が同じ $g$ で対応する。
  4. 前半は (1) である。ファイバー積 $X\times_YX$ の二つの選び方は、上の補題（極限の普遍性と一意性）の (1) により射影を保つ同型で結ばれるので、(3) の後半（$\beta=\mathrm{id}_X$）で余等化子であることは選び方によらない。$f\varphi$ については、$(P;\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2)$ を $f$ の $X\times_YX$ とすると、$(P;\varphi^{-1}\mathrm{pr}_1,\varphi^{-1}\mathrm{pr}_2)$ は $f\varphi$ と $f\varphi$ のファイバー積である（図式の同型による。同じ補題の (3)）。(3) の後半を $\alpha=\mathrm{id}_P$、$\beta=\varphi$ に当てて、$f\varphi$ はこの二つの射の余等化子である。$\psi f$ については、$X\times_YX$ はそのまま $\psi f$ の $X\times_{Y'}X$ で（$\psi$ が同型なので $\psi fx=\psi fx'$ と $fx=fx'$ は同じ）、(3) の前半で $\psi f$ は余等化子である。二つを続ければ $\psi f\varphi$ も有効エピである。普遍有効エピでは、$c\colon Y''\to Y'$ について、$f$ と $\psi^{-1}c$ のファイバー積 $(P';p,r)$ をとると、$(P';\varphi^{-1}p,r)$ は $\psi f\varphi$ と $c$ のファイバー積で（$\psi f\varphi x'=cy''$ と $f(\varphi x')=\psi^{-1}cy''$ は同じ条件）、その射影 $r$ は仮定により有効エピである。ほかの選び方の射影は $r$ に源の側の同型を合成したものなので、いま示したことにより有効エピである。
  5. 写像として単射なら単射（モノ）であり、全射ならエピであることは明らかである。$f$ が単射（モノ）なら、一点集合 $\{\emptyset\}$ からの写像二つ（すなわち $X$ の二点）に当てて写像として単射である。$f\colon X\to Y$ がエピなら、$\{0,1\}$（$0=\emptyset$、$1=\{\emptyset\}$）への写像として、像の上で $0$、それ以外で $1$ をとる $g$ と、定数 $0$ の $g'$ を考えると $gf=g'f$ なので $g=g'$、すなわち像は $Y$ 全体である。等化子については、上の補題（集合の圏の極限と余極限）の (4) により包含 $\{x:a(x)=b(x)\}\to X$ が等化子の一つで、ほかの等化子はそれと同型で結ばれる（上の補題（極限の普遍性と一意性）の (1)(3)）。

有効エピはエピであるが、本書は一般の圏でその逆を問わない。集合の圏では、全射・エピ・有効エピ・普遍有効エピの四つが一致する。それを示すのが次の補題で、本書『3-1 有効エピと降下』の例「集合の圏の全射は普遍有効エピ」はこれを引く。

集合の同値関係と商集合

$X$ を $\mathcal U$ 小な集合とする。
(1) $R\subset X\times X$ を同値関係のグラフ、$q\colon X\to X/R$ を商写像とする。$q$ は二つの射影 $\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2\colon R\rightrightarrows X$ の余等化子で、$X\times_{X/R}X=\{(x,y):q(x)=q(y)\}$ は $R$ に等しい。
(2) 全射 $f\colon X\to Y$ について、$X\times_YX=\{(x,y):f(x)=f(y)\}$ は同値関係のグラフで、$f$ はその二つの射影の余等化子である。すなわち全射は有効エピである。
(3) 全射 $f\colon X\to Y$ と写像 $g\colon Y'\to Y$ について、射影 $X\times_YY'\to Y'$ は全射である。したがって集合の圏では全射は普遍有効エピであり、逆に有効エピ（したがって普遍有効エピ）は全射である。

  1. 上の補題（集合の圏の極限と余極限）の (4) により、$\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2$ の余等化子は、$X$ を「$x$ と $y$ を同じとみなす（$(x,y)\in R$）」関係が生成する同値関係で割った商集合である。$R$ はすでに同値関係なので、生成される同値関係は $R$ 自身で、余等化子は $X/R$ である。同じ補題の (4) により $X\times_{X/R}X$ は $q(x)=q(y)$ となる組の集合で、同値類の定義によりそれは $R$ である。
  2. $f(x)=f(y)$ は同値関係で、そのグラフを $R_f$ とする。写像 $X/R_f\to Y$、$[x]\mapsto f(x)$ は定義により矛盾なく定まって単射で、$f$ が全射なので全射である。したがってそれは同型 $\varphi$ で、$f=\varphi q$ である。(1) と上の補題（エピと余等化子）の (3) により、$f$ は $R_f$ の二つの射影の余等化子である。
  3. $y'\in Y'$ について、$f$ が全射なので $f(x)=g(y')$ となる $x$ があり、$(x,y')\in X\times_YY'$ が $y'$ に写る。したがって射影は全射で、(2) により有効エピである。上の補題（エピと余等化子）の (4) により、この結論はファイバー積の選び方によらない。ゆえに $f$ は普遍有効エピである。逆は、有効エピがエピであること（同じ補題の (4)）と、集合の圏のエピが全射であること（同じ補題の (5)）による。普遍有効エピは有効エピなので、これは普遍有効エピにも当てはまる。実際、$\mathrm{id}_Y$ に沿うファイバー積として $(X;\mathrm{id}_X,f)$ がとれ（上の補題（極限の普遍性と一意性）の (4)）、その $Y$ への射影は $f$ 自身なので、普遍有効エピの定義により $f$ は有効エピである。上の補題（エピと余等化子）の (4) により、この結論はファイバー積の選び方によらない。
  1. は、集合の同値関係が「その商写像のファイバー積として戻る」ことを言っている。原論文の §4 はこの性質を一般の圏に移して有効な同値の対と呼ぶ。その本書の読みは本書『3-1 有効エピと降下』の注意「同値の対の読み」にある。
  • 使いどころ：定義と補題（エピと余等化子）は、本書『3-1 有効エピと降下』の定義「有効エピと普遍有効エピ」（(4)）、主結果「有効な同値の対の商射は有効エピ」（(3) の後半）、「カルテシアン正方形の降下」（(4) のエピの性質）、「普遍有効エピのクラス」（(4) の選び方によらないこと）、例「同値関係の商集合と有効な同値の対」（(3)）、本書『3-2 商と表現可能性の主定理』の主結果「商による表現可能性の判定」（(3)）、本書『4-1 局所化射と貼り合わせの商』の定義「同値の対と有効性」、主結果「局所化射の基本性質」（(4)）、「はめ込みで局所的な同値の対の商」（(3)）、「相対的な貼り合わせの商」（(3)）。補題（集合の同値関係と商集合）は本書『3-1 有効エピと降下』の例「集合の圏の全射は普遍有効エピ」「同値関係の商集合と有効な同値の対」と反例「反例：普遍有効エピでない射ではカルテシアン性は降りない」で、本書『3-2 商と表現可能性の主定理』の例「集合の圏での定理の読み」はこれを 3-1 の二つの例を経て使う。
  • 案内：エピ射、余等化子、同値関係、Mac98 第 I 章・第 III 章、KS06（エピと余等化子、有効エピ）。

スライス圏

原論文 §3 は、対象 $S$ の上の対象の圏へ前層を制限する操作から始まる（原論文の印字 11-04）。その圏の基本の性質を、ここで一般の圏について証明しておく。第 2 章は圏 $\mathbf C/S$ の中で第 1 章の結果を使い直し、第 4 章は解析空間の圏とその上の圏を行き来するので、どちらもこの補題を使う。

スライス圏

$S$ を圏 $\mathbf C$ の対象とする。$S$ 上の対象の圏 $\mathbf C/S$ は、対象が組 $(T,p_T)$（$p_T\colon T\to S$ は構造射）、射 $(T,p_T)\to(T',p_{T'})$ が $p_{T'}g=p_T$ を満たす $\mathbf C$ の射 $g\colon T\to T'$（$S$ 射）である圏とする。$S$ 射の集合を $\mathrm{Hom}_S(T,T')$ と書く。これは $\mathrm{Hom}(T,T')$ の部分集合なので $\mathcal U$ 小である。$(T,p_T)$ に $T$ を対応させる忘却関手を $i_{/S}\colon\mathbf C/S\to\mathbf C$ と書く。混乱の無いときは $(T,p_T)$ を $T$ と略す。$T$ が $\mathbf C/S$ の対象のとき、圏 $\mathbf C/S$ の中で $T$ 上の対象の圏 $(\mathbf C/S)/T$ と忘却関手 $i_{T/S}\colon(\mathbf C/S)/T\to\mathbf C/S$ を同じように定める。

次の補題の (2) は、$\mathbf C/S$ のファイバー積が $\mathbf C$ のファイバー積と同じものであることを言う。ファイバー積の存在も選び方も二つの圏で変わらないので、以後この二つを区別しない。

スライス圏

$S$ を $\mathbf C$ の対象とする。
(1) $(S,\mathrm{id}_S)$ は $\mathbf C/S$ の終対象である。
(2) $g\colon X\to Z$、$h\colon Y\to Z$ を $\mathbf C/S$ の射とし、$P$ と $\mathbf C$ の射 $x\colon P\to X$、$y\colon P\to Y$ で $gx=hy$ となるものを考え、$P$ に構造射 $p_Xx$ を与える（このとき $x$、$y$ は $S$ 射である）。$(P;x,y)$ が $\mathbf C$ で $g$ と $h$ のファイバー積であることと、$\mathbf C/S$ でファイバー積であることは同値である。とくに $\mathbf C/S$ で $X$ と $Y$ の積が存在することは、$\mathbf C$ でファイバー積 $X\times_SY$ が存在することと同値で、両者は同じものである。
(3) $T$ を $\mathbf C/S$ の対象とする。$(\mathbf C/S)/T$ の対象 $((U,p_U),q)$ に $\mathbf C/T$ の対象 $(U,q)$ を対応させる写像は、射の上では恒等写像として、圏の同型 $(\mathbf C/S)/T\cong\mathbf C/T$ を与える。この同一視で $i_{/T}=i_{/S}\circ i_{T/S}$ である。
(4) $f\colon X\to Y$ を $\mathbf C/S$ の射とする。$f$ が $\mathbf C$ で有効エピなら $\mathbf C/S$ でも有効エピであり、$\mathbf C$ で普遍有効エピなら $\mathbf C/S$ でも普遍有効エピである。

  1. $\mathrm{Hom}_S(T,S)$ は $p_T$ だけからなる。
  2. $(W,p_W)$ からの $\mathbf C/S$ の錐、すなわち $S$ 射 $a\colon W\to X$、$b\colon W\to Y$ で $ga=hb$ となるものは、$\mathbf C$ の錐で $p_W=p_Xa$ を満たすものと同じである。逆に $W$ からの $\mathbf C$ の錐 $(a,b)$ は、$W$ に構造射 $p_Xa$ を与えれば $\mathbf C/S$ の錐になる（$p_Yb=p_Zhb=p_Zga=p_Xa$）。$x,y$ も同じ理由で $S$ 射である。さらに、$\mathbf C$ の射 $w\colon W\to P$ が $xw=a$ を満たせば $p_Pw=p_Xxw=p_Xa$ なので、$w$ は自動的に $S$ 射である。したがって、$\mathbf C$ の錐に対する射の存在と一意性と、$\mathbf C/S$ の錐に対する $S$ 射の存在と一意性は、同じ条件である。積については、$\mathbf C/S$ の積は終対象 $(S,\mathrm{id}_S)$ の上のファイバー積なので（上の補題（極限の普遍性と一意性）の (4) を圏 $\mathbf C/S$ で使う）、いま示したことを $Z=S$ に当てればよい。
  3. $(\mathbf C/S)/T$ の対象は、$S$ 上の対象 $(U,p_U)$ と $S$ 射 $q\colon U\to T$ の組で、$p_U=p_Tq$ は $q$ から決まる。したがって対象の対応は全単射である。射は、$q'g=q$ を満たす $S$ 射 $g$ で、$q'g=q$ なら $p_{U'}g=p_Tq'g=p_Tq=p_U$ となって $S$ 射であることは自動的に従う。ゆえに射の集合も一致し、忘却関手の等式は定義から明らかである。
    1. により、$X\times_YX$ は $\mathbf C/S$ でも存在して $\mathbf C$ のものと同じである。$S$ 射 $g\colon X\to Z$ が $g\,\mathrm{pr}_1=g\,\mathrm{pr}_2$ を満たせば、$\mathbf C$ で $g=hf$ となる $h\colon Y\to Z$ がただ一つある。$p_Zhf=p_Zg=p_X=p_Yf$ で、$f$ はエピ（上の補題（エピと余等化子）の (4)）なので $p_Zh=p_Y$、すなわち $h$ は $S$ 射である。一意性は $\mathbf C$ での一意性から従う。普遍有効エピについては、$\mathbf C/S$ の射 $Y'\to Y$ に沿う $\mathbf C/S$ の底変換は (2) により $\mathbf C$ の底変換と同じもので、仮定により $\mathbf C$ で有効エピであり、いま示したことにより $\mathbf C/S$ でも有効エピである。
  1. により、$\mathbf C/S$ の上の対象 $T$ についての構成は、圏 $\mathbf C/T$ の構成と同じものになる。(4) は原論文の命題 5.6 の証明が、解析空間の圏での命題 5.2 を $S$ 上の解析空間の圏で使う所で、原論文が確かめを省いた一歩である（原論文の印字 11-25〜11-26）。本書『4-1 局所化射と貼り合わせの商』と本書『4-2 局所的な関手の表現可能性』はその一歩をこの (4) で埋める。
  • 使いどころ：定義（スライス圏）は本書『2-1 制限と底変換』の定義「スライス圏への制限」と、本書『0-4 解析空間』の定義「解析空間の射」（$(\mathrm{An})_{/S}$ はスライス圏そのもの）。補題の (1) は本書『2-1 制限と底変換』の主結果「終対象と定数関手」と、本書『2-3 表現可能な関手の間の射』の主結果「終対象への射の表現可能性」。(2) は、本書『2-1 制限と底変換』の主結果「スライス圏の間の底変換」、本書『2-2 ファイバーと表現可能な射』、本書『2-3 表現可能な関手の間の射』の主結果「終対象への射の表現可能性」（N. B. の言い換え）、本書『2-4 安定性と射のクラス』の主結果「合成から因子の表現可能性を戻す（訂正形）」「ファイバー積への射の表現可能性」「解析空間のはめ込みのクラスの底変換」、本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」と定理「解析空間のファイバー積の存在」の最後の文、本書『4-1 局所化射と貼り合わせの商』の補題「局所化射の自分自身とのファイバー積」と主結果「局所化射の基本性質」「相対的な貼り合わせの商」、本書『4-2 局所的な関手の表現可能性』の主結果「底の開被覆による表現可能性の判定」、本書『4-3 開はめ込みの点ごとの判定』の補題「開はめ込みのクラスの底変換での安定性」。(3) は、本書『2-1 制限と底変換』の主結果「スライス圏への制限の表現可能性」（底を $S$ 上の対象に取り替える段）「制限の推移性」「スライス圏の間の底変換」と定義「スライス圏への制限」、本書『2-3 表現可能な関手の間の射』の主結果「表現するファイバーの底変換」、本書『2-4 安定性と射のクラス』の補題「表現可能な射のスライス圏への制限」と主結果「合成から因子の表現可能性を戻す（訂正形）」、本書『4-2 局所的な関手の表現可能性』の定義「射のファイバーと開部分空間による表現」、本書『4-3 開はめ込みの点ごとの判定』の定義「ファイバーと開はめ込みのクラス」。(4) は、本書『4-1 局所化射と貼り合わせの商』の主結果「局所化射の基本性質」（$S$ 上の解析空間の圏でも成り立つ部分）「相対的な貼り合わせの商」と、本書『4-2 局所的な関手の表現可能性』の主結果「開部分関手で覆われる局所的な関手の表現可能性」。
  • 案内：スライス圏、Mac98 第 II 章。

点ごとの随伴と原論文の言葉

原論文 §3 の冒頭は、関手 $i\colon\mathbf C'\to\mathbf C$ の随伴を、すべての対象でなく一つの対象 $X$ で定義されるものとして述べる（原論文の印字 11-04）。本書はその言い方をそのまま定義にする。この節に限り、文字 $i$ は関手の名で、添字には使わない。

点ごとの随伴

関手 $i\colon\mathbf C'\to\mathbf C$ と $\mathbf C$ の対象 $X$ を考える。$\mathbf C'$ の対象 $X'$ と射 $p\colon i(X')\to X$ で、$\mathbf C'$ のどの対象 $T'$ についても写像
$$\mathrm{Hom}(T',X')\to\mathrm{Hom}(i(T'),X),\qquad\varphi\mapsto p\circ i(\varphi)$$
が全単射になるものがあるとき、$i$ の随伴は $X$ で定義されるといい、そのような組を $(j(X),p)$ と書く。

組 $(j(X),p)$ は、$\mathbf C'$ 上の前層 $T'\mapsto\mathrm{Hom}(i(T'),X)$ を表す組にほかならない（前層を表す組は本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』で定義し、同じ頁の主結果「普遍問題の解の一意性」で同型を除いて一つに決まることを示す）。すべての $X$ で随伴が定義されるとき、後代の言葉では $i$ が右随伴関手をもつことに当たる（Kan58、Mac98 第 IV 章。本書はこの一般論を使わない）。本書『2-1 制限と底変換』は、忘却関手 $i_{/S}$ の随伴が $X$ で定義されることが積 $X\times S$ の存在と同じであることを示す。
原論文の語は後代の標準の語と少しずつ違う。本書の訳語との対応を一か所にまとめておく。

原論文の言語と文献表

原論文は $\mathbf C$ 上の前層を「foncteur contravariant」（反変関手）と呼び、前層の射を「homomorphisme fonctoriel」「homomorphisme de foncteurs」と呼ぶ。本書は前者を前層または反変関手、後者を前層の射と書く。前層の圏を原論文は $\mathbf{Hom}(\mathbf C^\circ,(\mathrm{Ens}))$ と書き、本書は $\widehat{\mathbf C}$ と書く。極限は「limites projectives」、ファイバー積は「produits fibrés」、カルテシアン正方形は「carré cartésien」である。任意の底変換が存在する射を原論文は「quarrable」と呼び、本書は底変換可能と訳す（本書『2-2 ファイバーと表現可能な射』で定義する）。同値の対の語は、原論文の「graphe d'équivalence」を、原論文の文献 [1] III の「couple d'équivalence」の意味で読む（本書『3-1 有効エピと降下』の注意「同値の対の読み」）。
原論文の文献表は [1] の一件だけで、代数幾何の Bourbaki セミナーの二つの講演 Gro60mod（n° 195）と Gro61quot（n° 212）をまとめて挙げる。本書はこれを「原論文の文献 [1] II」「原論文の文献 [1] III」と書き、同じ連作の第 II 回・第 III 回とは書き分ける。原論文 §2 は、表現可能関手の言語を文献 [1] II で素描したと書き、本講演でそれを想起する形をとる（原論文の印字 11-01）。後代の「米田の補題」という名は紙面に無い。本書は文献 [1] の二つの講演を、同値の対の定義の所（Gro61quot の n° 1）を除いて開いていない。

  • 使いどころ：定義（点ごとの随伴）は本書『2-1 制限と底変換』の主結果「関手の引き戻しの表現可能性と点ごとの随伴」「忘却関手の随伴と積」。注意（原論文の言語と文献表）は、他の頁が原論文の語を訳して導入するときの対応の控えで、見出し名で引く頁は無い（「原論文の文献 [1] II」「原論文の文献 [1] III」の書き方は、本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』、本書『3-1 有効エピと降下』、本書『3-2 商と表現可能性の主定理』、本書『4-1 局所化射と貼り合わせの商』が使う）。
  • 案内：随伴関手、米田の補題、Kan58、Mac98 第 IV 章。

その後の発展

以下は後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書は文献を開いて確かめていない）。

  • 圏と関手の言葉（1945〜1957 年）：圏・関手・自然変換は Eilenberg と Mac Lane EM45 が導入した。関手の圏と極限を大きく使う書き方は、Grothendieck の東北数学雑誌の論文 GroT57 で広まったとされる。随伴関手は Kan Kan58 が定式化した。原論文の「一つの対象で定義される随伴」は、その一点ごとの形である。
  • 宇宙の約束（1963〜1972 年）：本講演が一句で済ませた宇宙の約束は、SGA 4 の第 I 部 SGA4 で公理として書かれ、「どの集合もある宇宙に属する」という公理を集合論に足す形で使われる。本書は一つの宇宙を固定するだけで、その公理を使わない。
  • 教科書（1971〜2006 年）：極限、カルテシアン正方形の貼り合わせ、スライス圏、エピと余等化子は Mac Lane の教科書 Mac98（初版 1971 年）の標準の内容で、宇宙の下の前層の圏は Kashiwara–Schapira KS06 に詳しい。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Gro61iv である。本頁は前提の頁で、原論文の主張の証明は含まない。印字頁は PDF の頁番号から 1 を引いたもの（PDF $n$ が印字 11-$(n-1)$）である。

本頁原論文印字頁
定義（宇宙と集合の圏）、補題（集合の圏の極限と余極限）§2 の「Rappelons」の段（宇宙の一句、前層の極限の点ごとの計算）11-03
定義（圏と関手と前層）、注意（原論文の言語と文献表）§2 の冒頭（点の関手、関手の射の呼び名、文献 [1] II の想起）、文献表（[1] の一件、n° 195 と n° 212）。語の所在は §2〜§4 の各所11-01〜11-02、11-28
定義（図式と極限）、補題（極限の普遍性と一意性）、補題（Hom は極限を保つ）§2 の「Rappelons」の段（極限、積とファイバー積）11-03
補題（カルテシアン正方形の貼り合わせ）命題 3.10 の証明、命題 4.2 の証明の (iii)、定理 4.7 の証明11-08〜11-10、11-14〜11-15、11-17〜11-21
定義（エピと余等化子）、補題（エピと余等化子）定義 4.1、系 4.3 の証明、注意 4.411-11、11-15〜11-16
補題（集合の同値関係と商集合）同値の対の想起、命題 4.511-11、11-16〜11-17
定義（スライス圏）、補題（スライス圏）§3 の冒頭、系 3.2、式 $(F_{/S})_{/S'}=F_{/S'}$、命題 5.3 の後の相対版、命題 5.6 の証明11-04〜11-05、11-24、11-25〜11-26
定義（点ごとの随伴）§3 の冒頭の補題（「le foncteur adjoint de $i$ est défini en $X$」）11-04

参考文献

[1]
Alexander Grothendieck, Techniques de construction en géométrie analytique. IV. Formalisme général des foncteurs représentables（exposé n° 11）, Séminaire Henri Cartan, Familles d'espaces complexes et fondements de la géométrie analytique 13e année (1960/61), tome 13, n° 1, 1961, 1–28
[2]
Alexander Grothendieck, Techniques de construction en géométrie analytique. I. Description axiomatique de l'espace de Teichmüller et de ses variantes（exposés n° 7 et 8）, Séminaire Henri Cartan, Familles d'espaces complexes et fondements de la géométrie analytique 13e année (1960/61), tome 13, n° 1, 1961, 1–33
[3]
Alexander Grothendieck, Techniques de construction en géométrie analytique. III. Produits fibrés d'espaces analytiques（exposé n° 10）, Séminaire Henri Cartan, Familles d'espaces complexes et fondements de la géométrie analytique 13e année (1960/61), tome 13, n° 1, 1961, 1–11
[4]
Alexander Grothendieck, Techniques de construction en géométrie analytique. II. Généralités sur les espaces annelés et les espaces analytiques（exposé n° 9）, Séminaire Henri Cartan, Familles d'espaces complexes et fondements de la géométrie analytique 13e année (1960/61), tome 13, n° 1, 1961, 1–14
[5]
Alexander Grothendieck, Techniques de construction en géométrie analytique. X. Construction de l'espace de Teichmüller（exposé n° 17）, Séminaire Henri Cartan, Familles d'espaces complexes et fondements de la géométrie analytique 13e année (1960/61), tome 13, n° 2, 1961, 1–20
[6]
Alexander Grothendieck, Techniques de construction en géométrie analytique. V. Fibrés vectoriels, fibrés projectifs, fibrés en drapeaux（exposé n° 12）, Séminaire Henri Cartan, Familles d'espaces complexes et fondements de la géométrie analytique 13e année (1960/61), tome 13, n° 1, 1961, 1–15
[7]
Alexander Grothendieck, Technique de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébrique. II. Le théorème d'existence en théorie formelle des modules（exposé n° 195）, Séminaire Bourbaki, années 1958/59–1959/60, 1960, 369–390
[8]
Alexander Grothendieck, Techniques de construction en géométrie analytique. IX. Quelques problèmes de modules（exposé n° 16）, Séminaire Henri Cartan, Familles d'espaces complexes et fondements de la géométrie analytique 13e année (1960/61), tome 13, n° 2, 1961, 1–20
[9]
Alexander Grothendieck, Techniques de construction et théorèmes d'existence en géométrie algébrique. III. Préschémas quotients（exposé n° 212）, Séminaire Bourbaki, années 1960/61, 1961, 99–118
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Alexander Grothendieck, Technique de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébrique. I. Généralités. Descente par morphismes fidèlement plats（exposé n° 190）, Séminaire Bourbaki, années 1958/59–1959/60, 1960, 299–327
[30]
Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique I：Le langage des schémas, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 1960, 5–228
[33]
Jean Giraud, Méthode de la descente, Mémoires de la Société Mathématique de France, 1964, 1–156

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