0-5 記号と約束

本書の全頁で共通に使う枠組みの規約と記号、本書が足した仮定とそれを外すと壊れる例、原論文の番号と印字頁の引き方と本書の頁との対応、状態札の意味、原論文の不備の分け方、原論文の誤植の読み方をまとめた頁である。各頁が「記号は記号と約束のとおり」と書くときはこの頁を指す。記号は各頁でも必要な箇所で短く繰り返し、頁の中で変えるときはその頁で断る。前提となる事実は本書『0-2 圏と前層』『0-3 層と環付き空間の貼り合わせ』『0-4 解析空間』に、読む順序と状態札の集計は本書『0-1 本書の読み方』にある。

枠組みの規約

本書全体で一つに決めた読み方である。どれも原論文が明示しないか、同じ語を二通りに読める所で、各頁はこの読みの下で判定する。

二層の構成

原論文の第 2〜4 節は、任意の圏 $\mathbf C$ についての定理で、解析空間を使わない。第 5 節だけが解析空間の圏 $(\mathrm{An})$ とその上の圏 $(\mathrm{An})_{/S}$ で述べられる。本書も第 1〜3 章を一般の圏の章、第 4 章を解析空間の章として書き分け、第 1〜3 章では解析空間を例・注意と「その後の発展」にだけ出す（例外は、原論文の注意 3.13 の用例を扱う『2-4』の主結果「解析空間のはめ込みのクラスの底変換」の一つ）。

宇宙と前層

宇宙 $\mathcal U$ を一つ固定し、$(\mathrm{Ens})$ は $\mathcal U$ の元である集合と写像の圏とする。圏 $\mathbf C$ は Hom がすべて $\mathcal U$ 小なものとする。これは原論文自身の約束（原論文は集合の圏が暗黙の宇宙で決まると一言書く。印字 11-03）で、本書の足した仮定には数えない。定義は本書『0-2 圏と前層』にある。$\widehat{\mathbf C}$ は $\mathbf C^\circ$ から $(\mathrm{Ens})$ への関手の圏で、その対象を前層と呼ぶ。原論文の「foncteur contravariant」は本書の前層（または反変関手）、「homomorphisme fonctoriel」は前層の射である。前層に層の条件は入らない。層の条件は第 4 章で「局所的な関手」として後から課す。

ファイバー積が存在するという約束

「$X\times_ZY$ が存在する」は、点の前層のファイバー積 $h_X\times_{h_Z}h_Y$ が表現可能であることの意味で使う（本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』）。原論文の「表現可能な射」は射のファイバー $F_\eta$ の表現可能性で定義され、後代の「任意の $h_S\to G$ に沿うファイバー積が表現可能」という定義とは本書『2-2 ファイバーと表現可能な射』の主結果「表現可能な射の言い換え」で結ばれる。本書は原論文の定義で始め、言い換えを証明してから両方を使う。

解析空間の定義

原論文は解析空間を定義しない。本書は同じ連作の第 II 回 Gro61ii の定義を枠組みとして受け取り、この立場を「解析空間の定義」と呼ぶ。完備付値体 $k$ 上の解析空間は、$k$ 代数の環付き空間で、各点が $E^n$ の有限表示の部分環付き空間に同型な開近傍をもつものである。射は $k$ 代数の環付き空間の射である。非被約な構造を許す。詳しくは本書『0-4 解析空間』の定義（解析空間の定義）にある。原論文の「基礎体 $k$」（印字 11-24、11-27）はこの $k$ である。本書は $k$ の絶対値が自明でないものとする。第 II 回はこれを書かないが、本書でこの約束が効くのは非孤立点を要する例だけである（本書『0-4 解析空間』の注意（基礎体の約束））。

分離性の読み

解析空間の底の位相空間に分離性（Hausdorff 性）を要求しない。第 II 回の定義 2.1 の直後の注意による。これは本書が足した仮定の一つとして明示する（下の「本書が足した仮定」）。後代の読者に最も誤解されやすい点で、分離性を課す流儀で読むと第 4 章の二つの命題が偽になる（本書『0-4 解析空間』の注意（分離性を課す流儀との違い））。

空の和と空の被覆

「和を積に移す」の和には空の族を含める。空の族の和は空の解析空間 $\emptyset$ で、その値の積は一点集合である。層の条件には空集合の空の被覆を含める。したがって局所的な関手 $G$ は $G(\emptyset)$ が一点集合である。これも足した仮定の一つである。

同値の対

原論文の「graphe d'équivalence」は、原論文の文献 [1] III（Gro61quot の n° 1）の「couple d'équivalence」と読む。すなわち、対 $p_1,p_2\colon R\rightrightarrows X$ で、任意の $T$ について $R(T)\to X(T)\times X(T)$ が単射で像が同値関係のグラフであるものである。「有効」は、余等化子 $X/R$ が存在し、$X\times_{X/R}X$ が存在し、$R\to X\times_{X/R}X$ が同型であることと読む。本書は「同値の対」「有効な同値の対」と書き、「同値グラフ」とは書かない。これも足した仮定の一つである（外しても壊れない）。

射のクラス

原論文の波線付きの S は射の集合（クラス）で、本書は対象 $S$ と区別して $\mathcal S$ と書く。$\mathcal S$ が底変換で安定とは、$f\colon X\to Y$ が $\mathcal S$ に属し $Y'\to Y$ が任意のとき、$X\times_YY'$ が存在し、その任意の選び方について射影が $\mathcal S$ に属することである。「任意の選び方について」の一句が、$\mathcal S$ が両側からの同型の合成で閉じること、すなわち $f\in\mathcal S$ と同型 $\varphi\colon X'\to X$、$\psi\colon Y'\to Y$ について $\psi^{-1}\circ f\circ\varphi\in\mathcal S$ であることを保証する（本書『2-4 安定性と射のクラス』の主結果「底変換で安定な射のクラスの判定」の (b)）。表す組は同型を除いてしか決まらないので、「$u$ に対応する射が $\mathcal S$ に属する」という条件が表す組の選び方によらないためには、$F$ の側と $G$ の側の両方の同型が要る。

訳語

後代の名称（米田の補題、表現可能な射、標準位相、景の上の層、代数空間、スタック）は説明と「その後の発展」で使うが、原論文自身の表記として帰属させない。「米田の対応」は本書の名前で、紙面に米田の名は無い（本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』）。

記号の衝突の読み分け

原論文は同じ文字を複数の意味に使う。本書はそれを次のように書き分けた。

• $e$、$e_t$、$e_X$：原論文は $\mathbf C$ の終対象を $e$（第 3 節）、解析空間の点 $t$ だけからなる被約な部分空間を $e_t$（第 5 節、印字 11-27）と書く。$e_t$ は一点に $k$ を与えた空間で、$(\mathrm{An})$ の終対象 $e$ の写しである（本書『0-4 解析空間』の補題「点の部分空間の存在」）。二つは衝突しない。頁 1-2 の群対象の単位射は $e_X\colon e\to X$ と書く。添字の $X$ は対象の名で、$e_X$ は射である（$e_t$ は対象）。
• $\varepsilon$：頁 0-4 の例「二重点」と頁 4-3 の反例の環 $k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ の $\varepsilon$ である。群対象の単位射にはこの字を使わない。頁 0-4 の補題「剰余体が基礎体の局所代数の射」の証明の剰余体への射 $\varepsilon\colon B\to k$ と、頁 4-2 の和の標準の射 $\varepsilon_\alpha\colon T_\alpha\to T$、頁 0-3 の例「二枚の直線の貼り合わせ」の半径 $\varepsilon>0$ は、それぞれの箇所の中だけの記号である。
• $i$：原論文は関手 $i\colon\mathbf C'\to\mathbf C$（第 3 節の冒頭）と、第 5 節の族の添字の両方に $i$ を使う。本書は関手 $i$ を頁 0-2 の定義「点ごとの随伴」と頁 2-1 で使い（それに沿った引き戻し $F\circ i^\circ$ は頁 2-1 だけ）、その節・頁では添字に $i$ を使わない。忘却関手 $i_{/S}\colon\mathbf C/S\to\mathbf C$ と $i_{S'/S}$ は頁 0-2・2-1・2-2 で使う。$i_{S'/S}$ は、頁 0-2 では $(\mathbf C/S)/S'$ の忘却関手、頁 2-1・2-2 では原論文どおり $\mathbf C/S'\to\mathbf C/S$ の関手で、二つは本書『0-2 圏と前層』の補題「スライス圏」の (3) の同一視で一致する（本書『2-1 制限と底変換』の定義「スライス圏への制限」の後の段）。第 4 章の点の部分空間の包含は $i_t$ と書く。
• $S$ と $\mathcal S$：底の対象は $S$、射のクラスは $\mathcal S$ と書く（上の「射のクラス」）。$\mathcal S_{\max}$（頁 3-2）と $\mathcal S_{\mathrm{ouv}}$（頁 4-3）も射のクラスである。
• $\eta$：原論文は射のファイバーを定める元 $\eta\in G(S)$、$G$ を表す組の普遍元、点での値に、どれも $\eta$ を使う。本書は普遍元を $\eta_Y$（組 $(Y,\eta_Y)$）、点での値を $\eta_t=G(i_t)(\eta)$ と添字で分け、添字のない $\eta$ はファイバーを定める元とする。ただし頁 3-2（と、それを引く頁 4-2）の $\eta_X$ は、$F$ を表す組 $(X,\xi_X)$ について $\eta_X=u(X)(\xi_X)\in G(X)$ とおいた元で、$G$ の普遍元ではない（原論文の定理 4.7 の記号）。
• $\xi$：前層 $F$ を表す組の普遍元は $\xi_X$、ファイバー $F_\eta$ を表す組の普遍元は $\xi_\eta$ と書く。原論文の印字の $\eta_X$ が $\xi_X$ の誤植である所がある（頁 2-2・2-3。下の誤植の一覧）。頁 3-2 の $\xi^i_R$ は、$\xi_X$ を同値の対の射影 $p_i$ で引き戻した元である。
• $F_\xi$、$F_\eta$、$G_\eta$：どれも前層に元を添字で付けるが、意味が違う。$F_\xi$ は $\xi\in F(e)$（または $\xi\in F(S)$）の定める部分前層 $T\mapsto\{F(p_T)(\xi)\}$（頁 2-1）、$G_\eta$ はそれを $G$ と $\eta\in G(S)$ に当てたもの（頁 2-1・2-2）、$F_\eta$ は射 $u\colon F\to G$ の $\eta$ の上のファイバーである（頁 2-2 以後）。射を明示するときは $F^u_\eta$ と書く（頁 2-4）。
• $G'$：頁 2-4 では底変換に使う前層（射 $w\colon G'\to G$ の源）、頁 3-2 では降下データの前層（本書『3-2 商と表現可能性の主定理』の定義「降下データの前層」）である。二つは別の頁でだけ使う。
• $v$ と $g$：$v\colon H\to G$ は前層の射（頁 2-4 ほか）、頁 3-1・3-2 の $v\colon X'\to X$ は降下の組の成分の射である。頁 3-1 の $g\colon Y'\to Y$ は命題 4.2・系 4.3 の底の射で、頁 4-3 の $g\colon T'\to T$ は解析空間の射である。どれも使う頁の中で定める。
• $p$：構造射 $p_T\colon T\to S$、ファイバー積と同値の対の射影 $p_1,p_2$ は添字で区別する。添字のない $p$ は、頁 0-2・2-1 では随伴の値の組 $(j(X),p)$ の射、頁 2-2〜2-4 では $G$ が $(Y,\eta_Y)$ で表されるときの $G(S)$ の元に対応する射 $p\colon S\to Y$ で、どちらもその頁の中で定める。
• $\iota$：頁 1-2 の群対象の逆（記号の一覧を見よ）のほか、頁 0-2 では等化子の写像、頁 4-1 では開はめ込みの制限で通る同型の名（開はめ込みの包含、反転 $z^{-1}$、$\iota_i\colon X_i\cong V_i$）、頁 4-2 では局所化射の分解の同型 $\iota_i$、頁 4-3 では閉はめ込み $e\to D$ に使う。どれもその箇所だけの記号である。
• $L$、$D$：頁 0-4 の例と頁 4-1・4-2・4-3 の反例で使う原点を二重にした直線 $L$、二重点 $D$（記号の一覧を見よ）のほか、頁 0-2・1-2 の一般の極限の定義では錐の頂点 $L$ と図式 $D\colon I\to\mathbf C$、頁 3-1 では正方形の名 $(\mathrm D)$、頁 2-2 では圏の名 $\mathbf D$ に使う。
• $w$：頁 3-1 の $w\colon R'\to R$（記号の一覧を見よ）のほか、頁 2-4 の $w\colon G'\to G$（上の $G'$ の行が触れる）。

記号の一覧

集合と圏

点の関手と相対的表現可能性（第 1・2 章）

有効エピと商（第 3 章）

解析空間（第 0 章 0-4、第 4 章）

本書が足した仮定

原論文が暗黙に使う仮定・読みのうち、定義からも紙面の他の文からも一つに決まらないものを、本書は足した仮定として明示する。足した仮定の下での判定は、主結果の札と頁の注意の両方に書く。頁では番号でなく内容で呼ぶ。分離性の読みは第 4 章の全体に掛かる枠組みの読みなので、札には、貼り合わせで作った空間が解析空間であることを証明で使う主結果にだけ書く。ほかの二つは、直接使う主結果のすべての札に書く。足した仮定は次の三つである。

外すと壊れる例を、仮定ごとに短く述べる。証明は括弧の頁にある。
分離性の読みについて。$X$ を $E^1$ の二つの写し $X_1$、$X_2$ の非交和とし、$R$ を $X_1$、$X_2$、$U=E^1-\{0\}$ の二つの写し $U_{12}$、$U_{21}$ の非交和、$p_1,p_2$ を $X_i$ の上では恒等、$U_{12}$ の上では $U\subset X_1$ と $U\subset X_2$、$U_{21}$ の上ではその逆とする。$(p_1,p_2)$ は同値の対で、命題 5.3 の条件 (ii) を満たす。分離的な商 $Y$ と局所化射 $X\to Y$ があれば、二つの原点の像は異なる（二つの原点の組は $R$ に入らない）のに、$U$ の上で二つの写像が一致するので像の近傍はつねに交わり、$Y$ の分離性に反する。分離性を課さなければ、商は本書『0-4 解析空間』の例「原点を二重にした直線」$L$ である（本書『4-1 局所化射と貼り合わせの商』の反例「反例：分離的な空間だけでは貼り合わせの商が作れない」）。命題 5.6 は、$L$ への射の前層と二つの開はめ込み $E^1\to L$ で破れる（本書『4-2 局所的な関手の表現可能性』の反例「反例：分離的な読みでは局所的な関手の判定が崩れる」）。
空の和と空の被覆について。$(\mathrm{An})_{/S}$ 上の前層 $G$ を、$T\ne\emptyset$ で $G(T)=\emptyset$、$G(\emptyset)=\{0,1\}$ と定める（$T'\to\emptyset$ があれば $T'=\emptyset$ なので、制限は恒等写像と空写像だけである）。$G$ は空でない被覆について層の条件を満たすが、表現可能でない（表す $Y$ があれば $Y=\emptyset$ で、$h_\emptyset(\emptyset)$ は一点）。命題 5.6 を添字集合が空の族に当てると、条件 (ii) の a はこの $G$ で成り立つので、空の被覆を層の条件から除く読みでは (ii)⇒(i) が破れる。系 5.7 も、$S=\emptyset$ とその空の被覆で同じ $G$ により破れる（本書『4-2 局所的な関手の表現可能性』の反例「反例：空の被覆を除くと判定が崩れる」）。空の場合を含める読みの下では、どちらの場合も $G(\emptyset)$ は一点で、$G\cong h_\emptyset$ となって主張が成り立つ。同じ $G$ は補題 5.5 も崩す。空の被覆と空の和を両方の条件から除いても、$\emptyset$ を空の解析空間の二つの写しの（空でない族の）和とみると、$G(\emptyset)\to G(\emptyset)\times G(\emptyset)$ は対角写像で全単射でないので、$G$ は空でない被覆について層なのに和を積に移さない（本書『4-2 局所的な関手の表現可能性』の主結果「局所的な関手の言い換え」の後の段）。「両方の条件から空の場合を除けば補題 5.5 はそのまま成り立つ」と読みたくなるが、この例のとおり誤りで、本書の頁はこの形で判定した。
同値の対の読みについて。解析空間の圏では $X\times X$ が存在する（本書『0-4 解析空間』の定理（解析空間のファイバー積の存在）。判定には使わない）ので、第 4 章ではどちらの読みも同じである。$X\times X$ の無い一般の圏で「グラフ」を $X\times X$ の部分対象に限る読みを採ると、定理 4.7 の条件 (c) の $R$ がグラフとして定まらず条件が意味を失う。本書の読みはどの圏でも意味が通る（本書『3-1 有効エピと降下』の注意「同値の対の読み」）。

原論文の引き方

• 「原論文」は Grothendieck Gro61iv、すなわち Séminaire Henri Cartan 第 13 年（1960/61）「Familles d'espaces complexes et fondements de la géométrie analytique」の exposé n° 11 で、連作「Techniques de construction en géométrie analytique」の第 IV 回「Formalisme général des foncteurs représentables」（1961 年 1 月 30 日、28 頁）を指す。頁は印字頁 11-01〜11-28 で引き、「印字 11-18」のように書く。Numdam で公開されている PDF の頁番号 $n$ は印字 11-$(n-1)$ に当たる（PDF の 1 頁目は Numdam の表紙）。
• 原論文の構成は次のとおりである。§1 導入（印字 11-01）、§2 表現可能関手の概念（11-01〜11-03）、§3 関手の底変換と相対的に表現可能な関手（11-03〜11-11）、§4 表現可能関手と商対象（11-11〜11-22）、§5 普遍問題の解の貼り合わせへの応用（11-22〜11-28）、文献表 [1]（11-28）。脚注は無い。
• 番号付きの主張は、本文では「命題 3.7」「補題 3.4」「定理 4.7」「系 3.8」「注意 3.13」「定義 4.1」と訳して引く。ボックスの名前と「この頁で示すこと」の名前には番号を入れない。原論文の番号は、命題 2.1、定理 2.2、命題 3.1、系 3.2、定義 3.3、補題 3.4、系 3.5、補題 3.6、命題 3.7、系 3.8〜3.9、命題 3.10、系 3.11〜3.12、注意 3.13、定義 4.1、命題 4.2、系 4.3、注意 4.4、命題 4.5、定義 4.6、定理 4.7、系 4.8、注意 4.9〜4.10、定義 5.1、命題 5.2〜5.3、定義 5.4、補題 5.5、命題 5.6、系 5.7、注意 5.8、命題 5.9 である。番号の無い定義（点の関手、表現可能、底の上の圏、ファイバー、点の部分空間）は、節と印字頁で引く。
• 原論文の文献 [1] は、代数幾何の Bourbaki セミナーの二つの講演 n° 195（Gro60mod）と n° 212（Gro61quot）をまとめたもので、原論文の「[1], II」「[1], III」はこの二つを指す。連作の第 II 回・第 III 回ではない。本書は「原論文の文献 [1] II」「文献 [1] III」と書き、連作の回は「連作第 II 回」と書いて書き分ける。
  原論文の主張と本書の頁の対応は次のとおりである。

  原論文	印字頁	本書の頁
  §1 の目的、§2 冒頭の点の関手、命題 2.1、定理 2.2、表現可能と普遍問題の解	11-01〜11-03	1-1
  §2 の極限の想起、関手で代数構造を与える方法	11-03	1-2
  §3 冒頭の引き戻しの補題、底の上の圏と随伴、命題 3.1、系 3.2、推移性、終対象と定数関手	11-03〜11-06	2-1
  ファイバーとカルテシアン性、定義 3.3 と言い換え、補題 3.4、系 3.5	11-06〜11-07	2-2
  補題 3.6、命題 3.7、系 3.8、系 3.9	11-07〜11-08	2-3
  命題 3.10、系 3.11、系 3.12、注意 3.13 とその用例	11-08〜11-11	2-4
  §4 の導入、定義 4.1、同値の対の想起、命題 4.2、系 4.3、注意 4.4、定義 4.6 とその例	11-11〜11-17	3-1
  命題 4.5、定理 4.7、系 4.8、注意 4.9、注意 4.10	11-16〜11-22	3-2
  定義 5.1、命題 5.2、命題 5.3、その後の $S$ 上の注意	11-22〜11-24	4-1
  定義 5.4、補題 5.5、命題 5.6、系 5.7、注意 5.8	11-24〜11-26	4-2
  点の部分空間 $e_t$、命題 5.9、文献表	11-27〜11-28	4-3

  原論文が外に送る先は次のとおりである。原論文はどれにも節番号を書かないか、文献 [1] の番号だけを書く。

  原論文の表記	印字頁	本書の読み
  「[1], II, A, n° 1」	11-01	表現可能関手の言語を素描した所。Gro60mod（本書は本文を開いていない）
  「cet exposé et du suivant」	11-01	次の講演は連作第 V 回 Gro61v（本書は本文を開いていない）
  「[1], III, n° 1」	11-11、11-16	同値の対と有効性の定義。Gro61quot
  Teichmüller 空間の構成の予告	11-11	連作第 I 回 Gro61i・第 X 回 Gro61x（本書は本文を開いていない）
  「un exposé ultérieur」（忠実平坦な射）	11-21〜11-22	どの講演か本書は特定していない
  「cf. [1], III」（代数幾何の判定の例）	11-22	Gro61quot。解析幾何への移し替えは本書『3-2 商と表現可能性の主定理』で未完結とする
  「l'exposé précédent」（積の存在）	11-26	連作第 III 回 Gro61iii の定理 2.1
  基礎体 $k$、解析空間	11-22〜11-27	連作第 II 回 Gro61ii の定義（本書『0-4 解析空間』）

  原論文自身の確信度（「on voit aussitôt」「trivialement」「bien connu」「De la démonstration de (3.7) résulte」などの省略、「vérification purement formelle」）は各頁の本文で添える。本書の状態札とは別のものである。

状態札の意味

• 状態札は ［完結］／［条件付き：何を引用したか］／［未完結：何が足りないか］ の三つである。本書の基準は第 4〜8 巻と同じ厳しい基準である。
• ［完結］は、次のものだけで閉じる主結果である。(i) 本書の他の頁で［完結］とした主結果と、頁の中で証明した補題・命題。(ii) 本書『0-2 圏と前層』で証明まで書いた集合と圏の基本事実（集合の圏の極限と余極限、極限の普遍性と一意性、Hom は極限を保つこと、カルテシアン正方形の貼り合わせ、スライス圏、エピと余等化子、集合の同値関係と商集合）。これらは定義から数行で出るので、第 0 章の頁で証明したうえで完結の入力に数える。(iii) 定義。
• ［条件付き］は、上の (i)〜(iii) の外の事実を引いた段が一つでもある主結果である。本書で当たるのは、連作第 II 回の解析空間の定義とその直後の事実（本書『0-4 解析空間』の「解析空間の定義」「解析空間の開部分空間とはめ込み」「局所環の剰余体」「解析空間の射」）、本書『0-3 層と環付き空間の貼り合わせ』の層と環付き空間の貼り合わせ、連作の定理（本書『0-4 解析空間』の「はめ込みの底変換」「解析空間のファイバー積の存在」）である。本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」と補題は頁の中で証明してあるが、証明が上の引用に依るので、使えば［条件付き］になる。条件は依存する主結果に伝わる。
• ［条件付き］の札には、何を引用したかを頁と見出し名で書く。札の理由に「解析空間の定義の下では完結」と一文添えることがある。証明が、本書の議論と完結の入力に加えて、連作第 II 回の定義とその直後の事実、層と環付き空間の貼り合わせ、本書『0-4 解析空間』の頁の中で証明した命題・補題だけで閉じ、連作の定理（はめ込みの底変換、ファイバー積の存在）を使わないという意味である。札の種類ではなく、札の理由の補足である。第 4 章の主結果はこの句を添える。第 2 章の主結果「解析空間のはめ込みのクラスの底変換」ははめ込みの底変換を使うので、この句を添えない。
• ［未完結］は、原論文にも本書にも証明が無いものである。原論文が事実として述べ、証明も精確な形も無い主張も、主結果として立てて［未完結］とする。本書に当たるのは、本書『3-2 商と表現可能性の主定理』の主結果「代数幾何の判定例の解析幾何への移し替え」の一件である。
• 本書が足した仮定に依る主結果は、札に「足した仮定：…」と内容で書く（上の「本書が足した仮定」）。
• 原論文の主張が印字のままでは成り立たないときは、訂正した主張を主結果とし、名前に「訂正形」と入れ、原論文の形がどの反例で破れるかを札の後に添える。原論文の印字はその頁の注意に、反例は反例のボックスに書く。したがって札に［偽］は現れない。
• 定義、設定、所見、予告は主結果にしない。所見と予告は注意か「背景と動機」に置き、札を付けない。定義に事実として添えられた小さな主張（点の関手の関手性、制限の推移性、ファイバーは引き戻しのファイバー積、点の部分空間の関手性など）は主結果として立てた。
• 例と反例は主結果に数えない。反例は「例と反例」の節に置き、どの条件を外すとどの結論が壊れるかを最初に書く。
• 第 0 章の頁は準備の頁なので札を付けない。札の集計と読み方は本書『0-1 本書の読み方』にある。

主張の偽と証明の段の不備

本書は原論文の不備を三つに分ける。
一つ目は誤植である。印字のままの主張や式が成り立たなくても、近くの式や文が正しい形を与え、誤った形に理由（その形でよい根拠）が添えられていなければ、誤植として訂正した形で読み、主結果は訂正形で数える。番号・記号・綴りの誤りもここに入れる。一覧は下の「原論文の誤植の読み方」にある。
二つ目は主張の偽で、印字のままの主張に反例があり、上の二つの条件のどちらかを欠くものである。本書に当たるのは一件である。命題 3.10 (iii)「$vu$ と $v$ が表現可能なら $u$ も表現可能」は、ファイバー積の無い圏で偽である。原論文は証明の中で、壊れる段（ある $S$ 射が底変換可能であること）に「aussitôt」の理由を添えており、近くに正しい形を与える文も無い。本書は主結果「合成から因子の表現可能性を戻す（訂正形）」とし、反例「反例：ファイバー積の無い圏では合成から因子へ戻れない」（空でない集合の圏）を置いた（本書『2-4 安定性と射のクラス』）。解析空間の圏にはファイバー積があるので、原論文のその後の結果には効かない。
三つ目は、主張は正しいが原論文の証明の段が不備なもので、主張の札には影響させず、その頁の注意に「原論文の段は…で、そのままでは結論に届かない（または確かめを省いている）。本書は…で示す」と書く。本書に当たるのは次の四件である。

1. 原論文の命題 5.6 の証明で、定理 4.7 の条件 (c) を確かめる段。原論文は射影 $p_1$ が局所化射であることから命題 5.3 を当てるが、命題 5.3 の条件は与えた分解について開はめ込みを求めるので、局所化射というだけでは出ない（$\mathbf C^*$ と $z\mapsto\pm z$ の同値の対の例）。本書は条件 (a) を分解の片そのものに当てて埋めた（本書『4-2 局所的な関手の表現可能性』の注意「原論文の段と局所化射」）。推論のままでは結論に届かない段である。
2. 原論文の定理 4.7 の (ii)⇒(i) で、$u$ を表す射がクラス $\mathcal S$ に属すること。原論文の証明は $G$ の表現可能性で終わる。本書は表す射が商射に一致することを示して埋めた（本書『3-2 商と表現可能性の主定理』の注意「原論文の証明の終わり方」）。推論のままでは結論に届かない段である。
3. 原論文の命題 5.6 の証明が、解析空間の圏の命題 5.2 を $S$ 上の解析空間の圏で使うこと。$\mathbf C$ で有効エピ（普遍有効エピ）な $S$ 射は $\mathbf C/S$ でもそうである（本書『0-2 圏と前層』の補題「スライス圏」の (4)）ので一行で埋まる（本書『4-2 局所的な関手の表現可能性』の注意「原論文の段と底の上の圏」）。確かめを省いた段である。
4. 原論文の系 4.3 の、$Y'$ についての関手性と、同型類の全体が集合であること。原論文は確かめていない。本書は証明に入れた（本書『3-1 有効エピと降下』の注意「原論文の段と関手性」）。確かめを省いた段である。
   原論文の命題 3.10 (iii) の壊れる段は、二つ目の分類（主張の偽）の原因なので、この一覧には入れない。
   原論文の不備ではないが、読むときに取り違えやすい点を一つ記す。カルテシアン正方形の貼り合わせは、横に並べた二つの正方形の右の正方形がカルテシアンなとき、左の正方形がカルテシアンであることと外側の長方形がカルテシアンであることが同値、という形で成り立つ。左の正方形を仮定する形（左と外側から右を出す形）は成り立たない（本書『0-2 圏と前層』の補題「カルテシアン正方形の貼り合わせ」と注意「仮定する正方形を取り違えた貼り合わせ」）。本書の頁は、この補題をすべて正しい向きで使う。

原論文の誤植の読み方

誤植と記号の揺れは主結果に数えず、割り付けた頁の注意に「原論文の印字は…、…と読む」と書く。「留保」は、読みを一つに確定できないか、どの読みでも主張が変わらないものである。

印字 11-17 の右上に丸い蔵書印があり、外周の一部だけが読める。印の下の文字は読め、数学の内容は欠けていない。ほかに、各所に軽いタイプの崩れ（打ち損じ、綴り、題の重ね打ちと手書きのアクサン）があるが、数学の内容に影響しないので一覧に入れない（たとえば印字 11-20 の「G-descente effectif」、印字 11-21 の「universe ls」）。
誤植ではなく、紙面の語の読み方を本書が決めたものもある。「graphe d'équivalence」の読み（上の「同値の対」）、解析空間の分離性の読み（上の「分離性の読み」）、空の和と空の被覆（上の「空の和と空の被覆」）である。

頁の読み方の約束

• 第 1 章以後の各頁は「この頁で示すこと」「背景と動機」「定義と準備」「主結果と証明」「例と反例」「その後の発展」「原論文との対応表」の順に並ぶ。
• 頁をまたぐ参照は「本書『n-m 頁名』の主結果「…」」の形で書く。第 0 章の事実は「本書『0-2 圏と前層』の補題「カルテシアン正方形の貼り合わせ」」のように見出し名で引く。別の巻は「第 8 巻『ホモロジー的捩れと有理切断』の頁『n-m 名前』」の形で引く（本書は他の巻の主結果を証明に使わない）。巻の題名は作業題である。
• 定理類はボックスに書き、ボックスは名前で引く。主結果の名前は各頁の「この頁で示すこと」の名前と同じである。
• 原論文の文言の引用は短い句に限り、訳して述べる。
• 「その後の発展」は時点を明記し、本書が文献を開いて確かめていないものは「本書は確かめていない」と書く。
• 「例」「反例」を使い、反例ではどの条件を外したかを最初に書く。