4-2 局所的な関手の表現可能性

$T$ 射 $T''\to V$ は、包含との合成が $q$ になる射で、本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」の証明の段 1 により、$q(T'')\subset V$ のときただ一つあり、そうでないときは無い。$S$ 射であることは合成から従う。$P$ と $h_V$ は値がともに高々一点で、空になる $T''$ が一致するので、ただ一つの前層の射が同型を与える。

$G$ が対象 $Y$ で表されるとし、同型 $G\cong h_Y$ を一つ固定する。同型は値の全単射で制限と両立するので、$h_Y$ が局所的であることを示せばよい。$T$ を対象、$U$ をその開集合、$(U_i)$ を $U$ の開被覆とする。$S$ 射 $g_i\colon U_i\to Y$ の族で、重なり $U_i\cap U_j$ の上で制限が一致するものは、本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」の (3)（その根拠は本書『0-3 層と環付き空間の貼り合わせ』の定理「環付き空間と射の貼り合わせ」）により、$U$ から $Y$ への $S$ 射にただ一通りに貼り合わさる。これは層の条件そのものである。空の被覆については、空の解析空間 $\emptyset$ は始対象なので（同じ命題の (2)）$\mathrm{Hom}_S(\emptyset,Y)$ は一点で、条件が成り立つ。

段 1（(1) から a）．$T=\coprod_\alpha T_\alpha$ を和とする。和の標準の射は $T$ の互いに素な開かつ閉な部分への同型なので（本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」の (2)）、$T_\alpha$ はその開部分空間だとしてよい。$(T_\alpha)$ は $T$ の開被覆で、$\alpha\ne\beta$ なら $T_\alpha\cap T_\beta=\emptyset$ である。層の条件の等化子 $\prod_\alpha G(T_\alpha)\rightrightarrows\prod_{\alpha,\beta}G(T_\alpha\cap T_\beta)$ で、$\alpha\ne\beta$ の成分は空の被覆についての層の条件により一点の集合 $G(\emptyset)$ で、$\alpha=\beta$ の成分では二本の写像は等しい。ゆえに等化子は $\prod_\alpha G(T_\alpha)$ 全体で、層の条件は $G(T)\to\prod_\alpha G(T_\alpha)$ が全単射であることを言う。族が空なら $T=\emptyset$ で、空の被覆についての条件により $G(\emptyset)$ は一点である。
段 2（(1) から b）．$f\colon X\to Y$ を $S$ 射である局所化射とし、分解を $(X_i)$、$V_i=f(X_i)$、$V_{ij}=V_i\cap V_j$、$\iota_i\colon X_i\cong V_i$ とする。本書『4-1 局所化射と貼り合わせの商』の補題「局所化射の自分自身とのファイバー積」により、$X\times_YX$ は $(\mathrm{An})_{/S}$ に存在し、成分 $(i,j)$ が $V_{ij}$ と同一視され、二つの射影は包含 $V_{ij}\to V_i$、$V_{ij}\to V_j$ に当たる。段 1 により $G(X)\cong\prod_iG(X_i)\cong\prod_iG(V_i)$（後の同型は $S$ 同型 $\iota_i$ による）、$G(X\times_YX)\cong\prod_{i,j}G(V_{ij})$ である。この同一視で、$G(f)$ は $\eta\mapsto(\eta|_{V_i})_i$ に、二つの射影による写像は $(\eta_i)\mapsto(\eta_i|_{V_{ij}})$ と $(\eta_i)\mapsto(\eta_j|_{V_{ij}})$ に当たる。ゆえに $f$ が $G$ 有効降下の射であることは、$Y$ の開被覆 $(V_i)$ についての層の条件そのもので、(1) により成り立つ。ファイバー積の別の選び方は射影と両立する同型で移るので、結論は選び方によらない。
段 3（(2) から (1)）．$T$ を対象、$U$ をその開集合、$(U_i)_{i\in I}$ を $U$ の開被覆とする。$U$ を構造射の制限で $(\mathrm{An})_{/S}$ の対象とみれば、$U$ の開集合は $T$ の開集合なので、$T=U$、$T_i=U_i$ としてよい。開部分空間の非交和から $T$ への包含たちの定める射 $q\colon\coprod_iT_i\to T$ は、$S$ 射である局所化射である。$I=\emptyset$ なら $T=\emptyset$ で、a により $G(\emptyset)$ は一点であり、空の被覆についての層の条件が成り立つ。$I$ が空でなければ、b により $q$ は $G$ 有効降下の射である。段 2 と同じ同一視を a により行うと（こんどは a を仮定として使う）、有効降下の等化子の条件は、被覆 $(T_i)$ についての層の条件になる。

段 1（(i) から (ii)）．$\eta\in G(T)$ に対応する $S$ 射を $\tilde\eta\colon T\to Y$ とする。本書『2-2 ファイバーと表現可能な射』の主結果「表現可能な関手の間の射のファイバー」により、$F_{i\eta}$ は $X_i\times_YT\to T$ で表される。本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」の (1)(3) により、このファイバー積は開部分空間 $\tilde\eta^{-1}(f_i(X_i))$ にとれ、$f_i(X_i)$ が $Y$ を覆うので、これらは $T$ を覆う。これが a である。b は上の定理（表現可能な関手は局所的）である。
段 2（和と射 $u$）．以下 (ii) を仮定する。$X=\coprod_iX_i$ を $(\mathrm{An})_{/S}$ の和とし、$F=h_X$ と置く。各 $F_i$ を表す組 $(X_i,\xi_i)$ を固定し、$F_i(T)$ を $\mathrm{Hom}_S(T,X_i)$ と同一視する。本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」の (2)(3) により、$F(T)$ の元 $\xi$ は、$T$ の開かつ閉な分解 $T=\coprod_iT_i$ と元 $\xi_i\in F_i(T_i)$ の族と一対一に対応する。上の定理（局所的な関手の言い換え）の a により $G(T)\to\prod_iG(T_i)$ は全単射なので、$u(\xi)\in G(T)$ を、$T_i$ への制限が $u_i(\xi_i)$ となるただ一つの元と定める。射 $g\colon T'\to T$ について $g^*\xi$ は分解 $(g^{-1}(T_i))$ と $\xi_i$ の引き戻しの族で、$u(g^*\xi)$ と $G(g)(u(\xi))$ は各 $g^{-1}(T_i)$ への制限が等しいので、同じ全単射により等しい。ゆえに $u\colon F\to G$ は前層の射で、包含 $X_i\to X$ の定める $v_i\colon F_i\to F$ について $uv_i=u_i$ である。
段 3（ファイバーの条件）．$\mathcal S$ を $(\mathrm{An})_{/S}$ の $S$ 射である局所化射の全体とする。$\eta\in G(T)$ と $T$ 上の対象 $q\colon T''\to T$ について、$\xi=(T''_i,\xi_i)\in F(T'')$ が $u(\xi)=G(q)(\eta)$ を満たすことは、同じ全単射により、各 $i$ で $u_i(\xi_i)=G(q|_{T''_i})(\eta)$、すなわち $\xi_i\in F_{i\eta}(T''_i)$ であることと同じである。a と上の補題（開部分空間が表す前層）により、そのような $\xi_i$ は $q(T''_i)\subset T_{i\eta}$ のときただ一つあり、そうでないときは無い。ゆえに $F_\eta(T'')$ は、$T''$ の開かつ閉な分解 $(T''_i)$ で $q(T''_i)\subset T_{i\eta}$ となるものの全体と一対一に対応し、これは $T''$ から $T'=\coprod_iT_{i\eta}$（包含たちの定める射で $T$ 上の対象とみる）への $T$ 射の全体と同じである。対応は $T''$ について自然なので、$F_\eta$ は $T'$ で表される。$T=\bigcup_iT_{i\eta}$ なので $T'\to T$ は局所化射で、$\mathcal S$ に属する。
段 4（判定の前提と降下の条件）．本書『4-1 局所化射と貼り合わせの商』の主結果「局所化射の基本性質」の (v) により、$\mathcal S$ は $(\mathrm{An})_{/S}$ で底変換で安定で、元は普遍有効エピである。この (v) は、$(\mathrm{An})$ で普遍有効エピな $S$ 射が $(\mathrm{An})_{/S}$ でも普遍有効エピであること（本書『0-2 圏と前層』の補題「スライス圏」の (4)）に依る。上の定理（局所的な関手の言い換え）の b により、$\mathcal S$ の元は $G$ 有効降下の射である。
段 5（同値の対の各片）．段 3 により $u$ は表現可能な射で、本書『3-2 商と表現可能性の主定理』の主結果「ファイバー積が定める同値の対」により、$F\times_GF$ は対象 $R$ で表され、二つの射影 $p_1,p_2\colon R\rightrightarrows X$ は $(\mathrm{An})_{/S}$ の同値の対で、$r\mapsto(p_1r,p_2r)$ により $\mathrm{Hom}_S(T'',R)$ は $u(x)=u(y)$ となる組 $(x,y)\in F(T'')^2$ の全体と一対一に対応する。$R_{ij}=p_1^{-1}(X_i)\cap p_2^{-1}(X_j)$ とし、$\eta_i=u_i(\xi_i)\in G(X_i)$ と置く。$X_i$ 上の対象 $t\colon T''\to X_i$ について、$p_1r=t$（を $X$ への射とみたもの）となる $r\colon T''\to R_{ij}$ は、$p_2r$ が $X_j$ を経由する組 $(t,y)$、すなわち $u_i(t)=u_j(b)$ となる $b\in F_j(T'')$ と一対一に対応する。$u_i(t)=G(t)(\eta_i)$ なので、これは $b\in F_{j,\eta_i}(T'')$ ということであり、$p_1$ で $X_i$ 上の対象とみた $R_{ij}$ は、$u_j$ の $\eta_i$ の上のファイバー $F_{j,\eta_i}$ を表す。a を $T=X_i$、$\eta=\eta_i$ に当てると、$F_{j,\eta_i}$ は $X_i$ の開部分空間でも表される。本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の主結果「普遍問題の解の一意性」により、$R_{ij}$ はその開部分空間と $X_i$ 上で同型で、$p_1|_{R_{ij}}\colon R_{ij}\to X_i$ は開はめ込みである。
段 6（同値の対の有効性）．本書『4-1 局所化射と貼り合わせの商』の主結果「相対的な貼り合わせの商」の (1) により $(p_1,p_2)$ は $(\mathrm{An})$ の同値の対でもあり、段 5 により主結果「はめ込みで局所的な同値の対の商」の条件 (ii) を族 $(X_i)$ で満たす。主結果「相対的な貼り合わせの商」の (2) により、$R$ は $(\mathrm{An})_{/S}$ で有効で、商射 $X\to X/R$ は $S$ 射である局所化射、すなわち $\mathcal S$ の元である（余等化子の選び方を変えても、主結果「局所化射の基本性質」の (i)(iii) により $\mathcal S$ に属する）。
段 7（判定の適用）．段 3〜6 により、本書『3-2 商と表現可能性の主定理』の主結果「商による表現可能性の判定」の前提と三つの条件が成り立つ。ゆえに $G$ は組 $(Y,\eta_Y)$ で表され、$u$ を表す射 $f\colon X\to Y$ は $\mathcal S$ に属する。
段 8（$f_i$ は開はめ込み）．$uv_i=u_i$ なので、$u_i$ を表す射は $f_i=f\circ(X_i\to X)$ である（本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の主結果「点の関手の充満忠実性」）。本書『2-2 ファイバーと表現可能な射』の主結果「表現可能な関手の間の射のファイバー」により、$F_{i\eta_Y}$ は $X_i\times_YY=X_i$（構造射 $f_i$）で表される。a を $T=Y$、$\eta=\eta_Y$ に当てると、$F_{i\eta_Y}$ は $Y$ の開部分空間 $Y_i$ でも表され、$Y=\bigcup_iY_i$ である。普遍問題の解の一意性により $X_i$ と $Y_i$ は $Y$ 上で同型で、$f_i$ は同型と包含の合成、すなわち像 $Y_i$ の開はめ込みである。像は $Y$ を覆う。

段 1（必要性）．$G$ が $Y$ で表されるとする。上の定理（表現可能な関手は局所的）により $G$ は局所的である。本書『2-1 制限と底変換』の主結果「スライス圏への制限の表現可能性」を圏 $(\mathrm{An})_{/S}$ と対象 $S_i$ に当てると、$G_i$ が表現可能であることは $(\mathrm{An})_{/S}$ で積 $Y\times S_i$、すなわち $Y\times_SS_i$ が存在することと同値である（本書『0-2 圏と前層』の補題「スライス圏」の (2)）。$S_i\to S$ は開はめ込みなので、このファイバー積は開部分空間 $p_Y^{-1}(S_i)$ として存在する（本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」の (1)(3)）。
段 2（開部分関手の族）．以下、$G$ が局所的で各 $G_i$ が表現可能とする。$(\mathrm{An})_{/S}$ 上の前層 $F_i$ を、$p_T(T)\subset S_i$ なら $F_i(T)=G(T)$、そうでなければ $F_i(T)=\emptyset$ と定める。$T'\to T$ があり $p_T(T)\subset S_i$ なら $p_{T'}(T')\subset S_i$ なので、$F_i$ は $G$ の部分前層で、包含を $u_i\colon F_i\to G$ とする。$G_i$ を表す $S_i$ 上の対象 $Y_i$ を、$S_i\subset S$ との合成で $S$ 上の対象とみると、$Y_i$ は $F_i$ を表す。実際、$p_T(T)\not\subset S_i$ なら $S$ 射 $T\to Y_i$ は無く、$p_T(T)\subset S_i$ なら $T$ は $S_i$ 上の対象で、$S$ 射 $T\to Y_i$ は $S_i$ 射と同じなので、$\mathrm{Hom}_S(T,Y_i)=\mathrm{Hom}_{S_i}(T,Y_i)\cong G_i(T)=F_i(T)$ である。
段 3（主結果 3 の条件 a）．$\eta\in G(T)$ と $T$ 上の対象 $q\colon T''\to T$ について、$u_i$ は包含なので、$F_{i\eta}(T'')$ は $p_Tq(T'')\subset S_i$ なら一点 $\{G(q)(\eta)\}$、そうでなければ空である。$p_Tq(T'')\subset S_i$ は $q(T'')\subset p_T^{-1}(S_i)$ と同じなので、上の補題（開部分空間が表す前層）により、$F_{i\eta}$ は開部分空間 $T_{i\eta}=p_T^{-1}(S_i)$ で表される。$(S_i)$ が $S$ を覆うので、$T=\bigcup_iT_{i\eta}$ である。
段 4（結論）．主結果 3 の条件 b は仮定である。主結果 3 により $G$ は表現可能である。

主結果 3 の証明の各段で使ったファイバー積を挙げる。段 1 の $X_i\times_YT$ は開はめ込み $f_i$ に沿うもので、本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」の (1) により存在する。段 4 で引く本書『4-1 局所化射と貼り合わせの商』の主結果「局所化射の基本性質」(v) の中の局所化射の底変換と $X\times_YX$ は、同じ主結果と補題「局所化射の自分自身とのファイバー積」により、開はめ込みの底変換と非交和だけから存在する。段 5 の $R$ は $F\times_GF$ を表す対象で、その存在は段 3 で示した $u$ の表現可能性から出る（本書『3-2 商と表現可能性の主定理』の主結果「ファイバー積が定める同値の対」の前提は、$F$ と $u$ の表現可能性だけである）。段 6 で使う $X\times_{X/R}X$ は局所化射に沿う。段 7 で使う本書『3-2 商と表現可能性の主定理』の主結果「商による表現可能性の判定」は、任意の圏についての定理で前提にファイバー積の存在を含まないが、判定の証明の中のファイバー積は $\mathcal S$ の元に沿うもので、段 4 の前提から存在する。段 1・8 で使う本書『2-2 ファイバーと表現可能な射』の主結果「表現可能な関手の間の射のファイバー」も、任意の圏についての定理で、前提にファイバー積の存在を含まない（後者は、ファイバー積が存在するときに表す対象を与える）。段 8 の $X_i\times_YY$ は $X_i$ 自身である。ゆえに、どの段も連作第 III 回の定理を使わない。

必要性は主結果 1 と主結果 4 の段 1 と同じで、開部分空間 $p_Y^{-1}(S_i)$ は分離的である。十分性を示す。$G_i$ を表す組を $(Y_i,\eta_i)$、$S_{ij}=S_i\cap S_j$、$Y_{ij}=p_{Y_i}^{-1}(S_{ij})$ とする。$S_{ij}$ 上の対象から $Y_i$ への $S$ 射は像が $Y_{ij}$ に入るので $Y_{ij}$ を経由する（本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」の証明の段 1）。ゆえに $Y_{ij}$ は $\eta_i$ の制限とともに $G$ の $S_{ij}$ の上への制限を表し、$Y_{ji}$ も同じ前層を表す。本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の主結果「普遍問題の解の一意性」により、普遍元を保つ $S$ 同型 $\varphi_{ji}\colon Y_{ij}\to Y_{ji}$ がただ一つあり、同じ一意性から $\varphi_{ii}=\mathrm{id}$ と三重の交わりの上のコサイクル条件が成り立ち、$\varphi_{ji}$ は $S_{ijk}$ の上の部分を $S_{ijk}$ の上の部分へ移す。本書『0-3 層と環付き空間の貼り合わせ』の定理「環付き空間の貼り合わせ」と「環付き空間と射の貼り合わせ」により、$Y_i$ を貼り合わせた解析空間 $Y$ と構造射 $p\colon Y\to S$ が得られ、$p^{-1}(S_i)$ は $Y_i$ の像である。$Y$ は分離的である。実際、二点の $S$ での像が異なれば $S$ の交わらない開集合の逆像で分けられ、像が同じ点 $s\in S_i$ なら二点はともに分離的な開集合 $p^{-1}(S_i)$ に入り、その中で分けられる。$\eta_i$ は重なりで一致するので、$G$ の局所性により $\eta\in G(Y)$ に貼り合わさる。分離的な $T$ について $g\mapsto G(g)(\eta)$ が $\mathrm{Hom}_S(T,Y)\to G(T)$ の全単射であることは、$T$ の開被覆 $(p_T^{-1}(S_i))$ の各片と重なりの上では $(Y_i,\eta_i)$ が表すことから成り立ち、両辺が $T$ の上の層なので $T$ の上でも成り立つ。