2-1 制限と底変換
関手に沿って前層を引き戻したものが表現可能かどうかを、その関手の随伴が一つの対象で定義されるかどうかに言い換える。とくに底の上の対象の圏への制限を扱い、それが表現可能であることが積（底の上ではファイバー積）の存在と同値であることを示し、制限の推移性と、終対象と一点集合の定数前層の関係をまとめる。
前提知識: 圏, 前層, スライス圏, 随伴関手, ファイバー積
この頁で示すこと
本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』と同じく、宇宙 $\mathcal U$ を固定し、圏 $\mathbf C$、$\mathbf C'$ は Hom がすべて $\mathcal U$ 小なもの、$\widehat{\mathbf C}$ は $\mathbf C$ 上の前層の圏とする。関手 $i\colon\mathbf C'\to\mathbf C$ を一つとる。この頁に限り、文字 $i$ は関手の名で、添字には使わない。$S$ は $\mathbf C$ の対象で、$\mathbf C/S$ は $S$ 上の対象の圏、$i_{/S}\colon\mathbf C/S\to\mathbf C$ は忘却関手である（本書『0-2 圏と前層』の定義「スライス圏」）。
本頁の主結果は次の六つである。
- 関手の引き戻しの表現可能性と点ごとの随伴（原論文 §3 冒頭の補題、印字 11-03〜11-04）：前層 $F$ が $(X,\xi)$ で表されるとき、引き戻し $F\circ i^\circ$ が表現可能であることは、$i$ の随伴が $X$ で定義されることと同値で、随伴の値 $(j(X),p)$ について $(j(X),F(p)(\xi))$ が $F\circ i^\circ$ を表す。［完結］
- 忘却関手の随伴と積（原論文 §3 の底の上の圏の段に添えた主張、印字 11-04）：対象 $X$ について、忘却関手 $i_{/S}$ の随伴が $X$ で定義されることは積 $X\times S$ が存在することと同値で、そのとき随伴の値は $X\times S$ を第二射影で $S$ 上の対象とみたものと第一射影の組である。［完結］（本書『0-2 圏と前層』の定義「点ごとの随伴」「図式と極限」による）
- スライス圏への制限の表現可能性（原論文 命題 3.1、印字 11-04）：$F$ が $(X,\xi)$ で表されるとき、$F$ の $\mathbf C/S$ への制限 $F_{/S}$ が表現可能であることは $X\times S$ が存在することと同値で、そのとき $X\times S$ と $F(\mathrm{pr}_1)(\xi)$ の組が $F_{/S}$ を表す。［完結］
- スライス圏の間の底変換（原論文 系 3.2、印字 11-05）：$\mathbf C/S$ 上の前層 $F$ が $(X,\xi)$ で表され、$S'$ が $S$ 上の対象のとき、$F$ の $\mathbf C/S'$ への制限が表現可能であることはファイバー積 $X\times_SS'$ が存在することと同値で、そのとき $X\times_SS'$ と $F(\mathrm{pr}_1)(\xi)$ の組が表す。［完結］（本書『0-2 圏と前層』の補題「スライス圏」の (2)(3) による）
- 制限の推移性（原論文 §3 の推移性の式、印字 11-05）：$S$ 上の対象 $S'$ について、$\mathbf C$ 上の前層の $\mathbf C/S$ への制限をさらに $\mathbf C/S'$ へ制限したものは、もとの前層の $\mathbf C/S'$ への制限に等しい。［完結］（本書『0-2 圏と前層』の補題「スライス圏」の (3) による）
- 終対象と定数関手（原論文 §3 の終対象と定数関手の段に添えた主張、印字 11-05）：終対象 $e$ は一点集合の定数前層 $c$ を表し、$c$ から前層 $F$ への射は $F(e)$ の元と一対一に対応し、元 $\xi\in F(e)$ の定める部分前層 $F_\xi$ は $c$ に同型である。また $(S,\mathrm{id}_S)$ は $\mathbf C/S$ の終対象で、$\mathbf C/S$ 上の定数前層 $c_{/S}$ を表す。［完結］（本書『0-2 圏と前層』の補題「スライス圏」の (1) による）
六つとも、本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の米田の対応と、本書『0-2 圏と前層』で証明した基本事実と、頁内の補題だけで閉じ、事実を引用しない。原論文は主結果 1 の表す組を「ただちに分かる」の一句で済ませ、主結果 3 は十分性の向きの構成だけを書くので、本頁は必要性の向きを含めて確かめる。
背景と動機
原論文 §3 の題は、関手の底変換と、相対的に表現可能な関手である（印字 11-03）。第 2 章全体の目標は、前層の射 $u\colon F\to G$ が「表現可能である」ことの意味を定め、その性質を調べることにある。原論文はそれを、射のファイバーを底 $S$ の上の対象の圏 $\mathbf C/S$ の前層として作り、そのファイバーが $\mathbf C/S$ で表現可能であることとして定義する（本書『2-2 ファイバーと表現可能な射』）。そのためにまず、前層を $\mathbf C/S$ に制限する操作と、制限した前層が表現可能になる条件を知っておく必要がある。
直観的には、$\mathbf C/S$ の対象は「$S$ でパラメータ付けられた対象の族」であり、$\mathbf C$ の対象 $X$ を $\mathbf C/S$ で見ることは、$X$ を $S$ の各点の上に同じように置いた定数の族を作ることに当たる。その族は、存在すれば積 $X\times S$ を第二射影で $S$ の上に載せたものである。主結果 3 はこの直観を、前層の言葉で正確に述べたものである。
原論文は制限の操作を、もっと一般に関手 $i\colon\mathbf C'\to\mathbf C$ に沿った引き戻しとして扱い、その表現可能性が随伴の一点での値だけで決まると述べる。原論文はこの状況を、«le foncteur adjoint de i est défini en X» と言い表す（印字 11-04）。本書はこの言い方を本書『0-2 圏と前層』の定義「点ごとの随伴」として置いた。随伴関手が全体として存在することは要らず、一つの対象 $X$ での値だけが問題になる、というのがこの言い方の要点である。
定義と準備
主結果の主語になる操作を三つ定める。一つ目は関手に沿った引き戻しで、二つ目はその特別な場合であるスライス圏への制限、三つ目は終対象と定数前層に関わる記号である。
関手 $i\colon\mathbf C'\to\mathbf C$ と $\mathbf C$ 上の前層 $F$ について、合成 $F\circ i^\circ\colon\mathbf C'^\circ\to(\mathrm{Ens})$ を $F$ の $i$ に沿った引き戻しという。すなわち $(F\circ i^\circ)(T')=F(i(T'))$、$\mathbf C'$ の射 $\varphi\colon T''\to T'$ について $(F\circ i^\circ)(\varphi)=F(i(\varphi))$ である。前層の射 $u\colon F\to G$ について、$u\circ i^\circ$ を成分 $(u\circ i^\circ)(T')=u(i(T'))$ の前層の射 $F\circ i^\circ\to G\circ i^\circ$ とする。
$F\circ i^\circ$ は前層で（$i$ が合成と恒等射を保つので）、$u\circ i^\circ$ の自然性は $u$ の自然性を $i(\varphi)$ に当てたものである。点ごとの随伴の定義を、本書『0-2 圏と前層』の定義「点ごとの随伴」から短く繰り返す。$\mathbf C$ の対象 $X$ について、$\mathbf C'$ 上の前層 $P_X=h_X\circ i^\circ$、すなわち $P_X(T')=\mathrm{Hom}(i(T'),X)$、$P_X(\varphi)(a)=a\circ i(\varphi)$ を考える。$\mathbf C'$ の対象 $X'$ と射 $p\colon i(X')\to X$ で、どの $T'$ についても $\varphi\mapsto p\circ i(\varphi)$ が $\mathrm{Hom}(T',X')$ から $\mathrm{Hom}(i(T'),X)$ への全単射になるものがあるとき、$i$ の随伴は $X$ で定義されるといい、その組を $(j(X),p)$ と書く。$P_X(\varphi)(p)=p\circ i(\varphi)$ なので、これは組 $(X',p)$ が前層 $P_X$ を表すことにほかならない（本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の定義「表現可能な前層と普遍元」）。
次に、原論文 §3 の中心の操作を定める。
$\mathbf C$ 上の前層 $F$ の $i_{/S}$ に沿った引き戻し $F_{/S}=F\circ i_{/S}^\circ$ を、$F$ の $\mathbf C/S$ への制限という。前層の射 $u$ について $u_{/S}=u\circ i_{/S}^\circ$ と書く。$S$ 上の対象 $(S',s)$（$s\colon S'\to S$）について、関手 $i_{S'/S}\colon\mathbf C/S'\to\mathbf C/S$ を、対象 $(T,q)$ を $(T,s\circ q)$ に送り、射はそのまま送るものとする。$\mathbf C/S$ 上の前層 $F$ について、$F_{/S'}=F\circ i_{S'/S}^\circ$ を $F$ の $\mathbf C/S'$ への制限という。
本書『0-2 圏と前層』の定義「スライス圏」は同じ記号を $(\mathbf C/S)/S'$ の忘却関手に使う。二つは同じ補題「スライス圏」の (3) の同型で一致する（下の定理（スライス圏の間の底変換）の段 3）。
$S'$ 射 $g\colon(T,q)\to(T',q')$ は $q'g=q$ を満たすので $sq'g=sq$ となり、$S$ 射でもある。したがって $i_{S'/S}$ は関手である。値だけを見れば $F_{/S}(T,p_T)=F(T)$ で、制限は値を変えず、前層を $S$ 射に沿ってだけ動かすものに変える操作である。$\mathbf C/S$ の対象 $(T,p_T)$ は、混乱の無いときは $T$ と略し、構造射を $p_T$ と書く。$\mathbf C/S$ の対象 $Z$ の点の前層を、$\mathbf C$ のものと区別して $h^{\mathbf C/S}_Z=\mathrm{Hom}_S(-,Z)$ と書く。
終対象と定数前層の記号を置く。これは主結果 6 の主語で、本書『2-2 ファイバーと表現可能な射』がファイバーを定めるのに使う。
一点集合 $\{*\}$ を値とし、すべての射を恒等写像に送る $\mathbf C$ 上の前層を $c$ と書き、$\mathbf C/S$ 上の同じ前層を $c_{/S}$ と書く。$\mathbf C$ に終対象 $e$ があるとき、対象 $T$ から $e$ への唯一の射を $p_T$ と書き、前層 $F$ と元 $\xi\in F(e)$ について $F_\xi(T)=\{F(p_T)(\xi)\}\subset F(T)$ とおく。同じく、$\mathbf C$ 上の前層 $F$ と元 $\xi\in F(S)$ について、$\mathbf C/S$ 上の $F_\xi(T)=\{F(p_T)(\xi)\}\subset F_{/S}(T)$（$p_T$ は構造射）とおく。
二つ目の $F_\xi$ は、主結果 6 で見るとおり、圏 $\mathbf C/S$ の終対象 $(S,\mathrm{id}_S)$ に一つ目の定義を当てたもの $(F_{/S})_\xi$ と同じである。原論文もこの二つを同じ記号で書く。
最後に、前層の同型で表現可能性が移ることを確かめておく。主結果 1 の証明で使う。
前層の同型 $w\colon F\to F'$ と対象 $X$、元 $\xi\in F(X)$ について、$(X,\xi)$ が $F$ を表すことと、$(X,w(X)(\xi))$ が $F'$ を表すことは同値である。とくに、同型な前層の一方が表現可能なら他方も表現可能である。
$Y$ と $f\colon Y\to X$ について、$w$ の自然性から $F'(f)(w(X)(\xi))=w(Y)(F(f)(\xi))$ である。したがって写像 $f\mapsto F'(f)(w(X)(\xi))$ は、写像 $f\mapsto F(f)(\xi)$ と $w(Y)$ の合成である。本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の補題「成分ごとに全単射な前層の射は同型」により $w(Y)$ は全単射なので、一方が全単射であることと他方が全単射であることは同値である。
引用する事実
本頁は事実を引用しない。使うのは、本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の主結果と補題、本書『0-2 圏と前層』の定義「点ごとの随伴」「スライス圏」、補題「極限の普遍性と一意性」「スライス圏」、本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』の定義「積とファイバー積が存在するという約束」と、上の補題だけである。積とファイバー積の存在は、本書『0-2 圏と前層』の定義「図式と極限」の普遍性の意味で扱う。本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』の主結果「前層の圏の極限と表現可能性」により、これは点の前層のファイバー積が表現可能であるという約束の意味と同じである。
主結果と証明
まず一般の関手 $i$ について、引き戻しの表現可能性を随伴の値に言い換える。次に $i$ を忘却関手 $i_{/S}$ にとって随伴の値を積で求め、二つを合わせて $\mathbf C/S$ への制限を扱う。最後に推移性と終対象をまとめる。
引き戻しと随伴
関手 $i\colon\mathbf C'\to\mathbf C$ と、組 $(X,\xi)$ で表される $\mathbf C$ 上の前層 $F$ を考える。$F\circ i^\circ$ が表現可能であることと、$i$ の随伴が $X$ で定義されることは同値である。随伴の値 $(j(X),p)$ を一つ選べば、$(j(X),F(p)(\xi))$ が $F\circ i^\circ$ を表す。
段 1（$F\circ i^\circ$ と $P_X$ の同型）．本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の補題「表現の二つの言い方」により、$w=\beta(\xi)\colon h_X\to F$、$w(Y)(a)=F(a)(\xi)$ は前層の同型である。上の定義（関手に沿った前層の引き戻し）により $w\circ i^\circ\colon h_X\circ i^\circ\to F\circ i^\circ$ は前層の射で、その成分 $w(i(T'))$ はどれも全単射である。同じ頁の補題「成分ごとに全単射な前層の射は同型」により、$w\circ i^\circ$ は同型 $P_X=h_X\circ i^\circ\to F\circ i^\circ$ である。
段 2（同値）．上の補題（前層の同型は表す組を移す）により、$F\circ i^\circ$ が表現可能であることは $P_X$ が表現可能であることと同値である。「定義と準備」で見たとおり、組 $(X',p)$ が $P_X$ を表すことは、$(X',p)$ が $X$ での $i$ の随伴の値であることそのものである。したがって、$P_X$ が表現可能であることは $i$ の随伴が $X$ で定義されることと同値である。
段 3（表す組）．$(j(X),p)$ は $P_X$ を表すので、同じ補題により $(j(X),(w\circ i^\circ)(j(X))(p))$ が $F\circ i^\circ$ を表す。$(w\circ i^\circ)(j(X))(p)=w(i(j(X)))(p)=F(p)(\xi)$ である。
段 3 を直接書けば、$\varphi\colon T'\to j(X)$ について $(F\circ i^\circ)(\varphi)(F(p)(\xi))=F(i(\varphi))(F(p)(\xi))=F(p\circ i(\varphi))(\xi)$ で、写像 $\varphi\mapsto F(p\circ i(\varphi))(\xi)$ は二つの全単射 $\varphi\mapsto p\circ i(\varphi)$ と $a\mapsto F(a)(\xi)$ の合成である。原論文が「ただちに分かる」と書くのはこの計算である。
原論文は、$F\circ i^\circ$ が表現可能であるための条件は同型な前層 $h_X\circ i^\circ$ が表現可能であることだ、と述べてこれを随伴の言葉に言い換え、表す組が $(j(X),F(p)(\xi))$ であることを「on voit aussitôt」で済ませる（印字 11-04）。確かめるべきことは、前層の同型が表現可能性と表す組を移すこと（上の補題（前層の同型は表す組を移す））と、同型 $w\circ i^\circ$ が $p$ を $F(p)(\xi)$ に送ること（上の証明の段 3）の二つで、本書は両方を書いた。原論文は $i$ の随伴を、選んだ値の組 $(j(X),p)$ で扱う。値は本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の主結果「普遍問題の解の一意性」により一意の同型を除いて決まるので、上の定理の結論は選び方によらない。
忘却関手の随伴
$i$ を忘却関手 $i_{/S}$ にとると、随伴の値は積で与えられる。原論文はこれを「ここで $i_{/S}$ の随伴は $X\mapsto X\times S$ である」と述べるだけで、逆向き（随伴が定義されるなら積がある）を書かない。
$\mathbf C$ の対象 $X$、$S$ について、次は同値である。
(a) 忘却関手 $i_{/S}\colon\mathbf C/S\to\mathbf C$ の随伴が $X$ で定義される。
(b) 積 $X\times S$ が存在する。
このとき、積 $(X\times S;\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2)$ について、$S$ 上の対象 $(X\times S,\mathrm{pr}_2)$ と射 $\mathrm{pr}_1\colon X\times S\to X$ の組は $X$ での $i_{/S}$ の随伴の値である。逆に、随伴の値 $((Z,q),p)$ があれば、$(Z;p,q)$ は $X$ と $S$ の積である。
段 1（(b) から (a)）．積 $(X\times S;\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2)$ をとる。$\mathbf C/S$ の対象 $(T,p_T)$ と $S$ 射 $\varphi\colon T\to X\times S$ は、$\mathrm{pr}_2\varphi=p_T$ を満たす $\mathbf C$ の射 $\varphi$ のことである。積の普遍性により、そのような $\varphi$ は $\mathrm{pr}_1\varphi$ で一意に決まり、どの $a\colon T\to X$ についても $\mathrm{pr}_1\varphi=a$、$\mathrm{pr}_2\varphi=p_T$ となる $\varphi$ がただ一つある。したがって $\varphi\mapsto\mathrm{pr}_1\circ\varphi=\mathrm{pr}_1\circ i_{/S}(\varphi)$ は $\mathrm{Hom}_S(T,X\times S)$ から $\mathrm{Hom}(T,X)$ への全単射で、これは $((X\times S,\mathrm{pr}_2),\mathrm{pr}_1)$ が随伴の値であることの定義である。
段 2（(a) から (b)）．随伴の値 $((Z,q),p)$ をとる。$q\colon Z\to S$ は構造射、$p\colon Z\to X$ は $\mathbf C$ の射で、どの $S$ 上の対象 $(T,p_T)$ についても $\varphi\mapsto p\circ\varphi$ は $\mathrm{Hom}_S(T,Z)$ から $\mathrm{Hom}(T,X)$ への全単射である。$(Z;p,q)$ が積であることを示す。$\mathbf C$ の対象 $T$ と射 $a\colon T\to X$、$b\colon T\to S$ をとり、$T$ を $b$ で $S$ 上の対象とみる。全単射性により $p\circ\varphi=a$ となる $S$ 射 $\varphi\colon(T,b)\to(Z,q)$ がただ一つあり、$S$ 射であることは $q\circ\varphi=b$ のことである。逆に $\mathbf C$ の射 $\psi\colon T\to Z$ が $p\psi=a$、$q\psi=b$ を満たせば、$\psi$ は $(T,b)$ からの $S$ 射なので $\psi=\varphi$ である。ゆえに $p\psi=a$、$q\psi=b$ となる $\psi$ はただ一つで、$(Z;p,q)$ は積である。
段 2 で、$S$ 上の対象の構造射 $b$ を任意に動かせることが要点である。$\mathbf C/S$ の中の全単射を $b$ ごとに集めると、$\mathbf C$ の積の普遍性になる。本書『0-2 圏と前層』の補題「極限の普遍性と一意性」の (1) により、積は一意の同型を除いて決まるので、随伴の値の選び方と積の選び方は同じことである。$\mathbf C$ に終対象 $e$ があれば、同じ補題の (4) により $X\times S$ は $X\times_eS$ と同じもので、$(X\times S,\mathrm{pr}_2)$ は $X\to e$ を $S\to e$ に沿って底変換したものと読める。原論文が括弧で添える読み方はこれである。
スライス圏への制限
二つの定理を合わせると、$\mathbf C/S$ への制限の表現可能性が得られる。
$\mathbf C$ 上の前層 $F$ が $(X,\xi)$ で表され、$S$ が $\mathbf C$ の対象のとき、$F_{/S}$ が $\mathbf C/S$ 上で表現可能であることは、積 $X\times S$ が存在することと同値である。そのとき、$S$ 上の対象 $(X\times S,\mathrm{pr}_2)$ と $F(\mathrm{pr}_1)(\xi)\in F(X\times S)$ の組が $F_{/S}$ を表す。
$F_{/S}=F\circ i_{/S}^\circ$ なので、上の定理（関手の引き戻しの表現可能性と点ごとの随伴）を $i=i_{/S}$ に当てると、$F_{/S}$ が表現可能であることは $i_{/S}$ の随伴が $X$ で定義されることと同値で、随伴の値 $(j(X),p)$ について $(j(X),F(p)(\xi))$ が $F_{/S}$ を表す。上の定理（忘却関手の随伴と積）により、随伴が $X$ で定義されることは $X\times S$ の存在と同値で、値として $((X\times S,\mathrm{pr}_2),\mathrm{pr}_1)$ がとれる。これを代入すればよい。
必要性の向き、すなわち $F_{/S}$ が表現可能なら積 $X\times S$ があることは、上の定理（忘却関手の随伴と積）の段 2 から来る。$F_{/S}$ を表す $S$ 上の対象は、構造射と、普遍元に対応する $X$ への射を二つの射影として、必ず積になる。
次に、底 $S$ を $S$ 上の対象 $S'$ に取り替える。$\mathbf C/S$ を一つの圏とみて上の定理をその中で使い、本書『0-2 圏と前層』の補題「スライス圏」で $\mathbf C$ の言葉に戻す。
$\mathbf C/S$ 上の前層 $F$ が、$S$ 上の対象 $(X,p_X)$ と $\xi\in F(X)$ の組で表されるとし、$(S',s)$ を $S$ 上の対象とする。$F_{/S'}=F\circ i_{S'/S}^\circ$ が $\mathbf C/S'$ 上で表現可能であることは、$p_X$ と $s$ のファイバー積 $X\times_SS'$ が存在することと同値である。そのとき、$S'$ 上の対象 $(X\times_SS',\mathrm{pr}_2)$ と $F(\mathrm{pr}_1)(\xi)$ の組が $F_{/S'}$ を表す。
段 1（圏 $\mathbf C/S$ の中で上の定理を使う）．圏 $\mathbf C/S$ と、その対象 $(S',s)$ と、$\mathbf C/S$ 上の前層 $F$ に、上の定理（スライス圏への制限の表現可能性）を当てる。$\mathbf C/S$ の中の $(S',s)$ 上の対象の圏を $(\mathbf C/S)/S'$、忘却関手を $i'\colon(\mathbf C/S)/S'\to\mathbf C/S$ と書く。$F\circ i'^\circ$ が表現可能であることは、$\mathbf C/S$ での積 $X\times S'$ の存在と同値で、そのとき積を第二射影で $S'$ 上の対象とみたものと $F(\mathrm{pr}_1)(\xi)$ の組が $F\circ i'^\circ$ を表す。
段 2（積をファイバー積に戻す）．本書『0-2 圏と前層』の補題「スライス圏」の (2) により、$\mathbf C/S$ で $X$ と $S'$ の積が存在することは、$\mathbf C$ でファイバー積 $X\times_SS'$ が存在することと同値で、両者は同じ対象と同じ射影である。
段 3（$(\mathbf C/S)/S'$ を $\mathbf C/S'$ と同一視する）．同じ補題の (3) により、$(\mathbf C/S)/S'$ の対象 $((U,p_U),q)$ に $\mathbf C/S'$ の対象 $(U,q)$ を対応させる写像は、射の上では恒等写像として、圏の同型を与える。この対応で $i'((U,p_U),q)=(U,p_U)=(U,sq)=i_{S'/S}(U,q)$ で、射の上でもどちらも恒等写像なので、$i'$ は $i_{S'/S}$ に移る。したがって $F\circ i'^\circ$ と $F_{/S'}$ は、対象の対応で同じ値をとり、同じ射に同じ写像を対応させる。前層を表す組の条件（各対象 $T$ で $\varphi\mapsto F(\varphi)(\xi')$ が全単射）は射の集合と値だけで書けるので、一方を表す組は他方を表す組に対応する。段 1・段 2 と合わせて結論を得る。
段 3 は、原論文が「$\mathbf C$ 自身が $\mathbf C/S$ の形の圏である場合に当てる」と書く所の内容である。原論文はもう一つの道として、$S'\to S$ の定める底変換の関手が $i_{S'/S}$ の随伴であることに直接注意する道も挙げる。どちらの道も、上の定理（関手の引き戻しの表現可能性と点ごとの随伴）を別の関手に当てることに帰着する。
推移性
$\mathbf C$ 上の前層 $F$ と、$S$ 上の対象 $(S',s)$ について、$(F_{/S})_{/S'}=F_{/S'}$ が $\mathbf C/S'$ 上の前層として成り立つ。前層の射 $u$ についても $(u_{/S})_{/S'}=u_{/S'}$ である。
関手の等式 $i_{/S}\circ i_{S'/S}=i_{/S'}$ を示せばよい。$\mathbf C/S'$ の対象 $(T,q)$ について、左辺は $(T,sq)$ を経て $T$ に、右辺も $T$ に送り、射はどちらもそのまま送る。したがって $(F_{/S})_{/S'}=F\circ i_{/S}^\circ\circ i_{S'/S}^\circ=F\circ(i_{/S}\circ i_{S'/S})^\circ=F\circ i_{/S'}^\circ=F_{/S'}$ で、$u$ についても同じ計算である。
原論文はこの式を、関手の合成の結合律と $i_{/S'}=i_{/S}\circ i_{S'/S}$ から出すと書く（印字 11-05）。本書は $i_{S'/S}$ を $\mathbf C/S'$ から $\mathbf C/S$ への関手として直接定めたので、等式は字義どおりの関手の等式になる。$i_{S'/S}$ を $(\mathbf C/S)/S'$ の忘却関手として定めても、本書『0-2 圏と前層』の補題「スライス圏」の (3) の同一視で同じ等式が成り立つ。
- 原論文は制限を $F_{/S}=F\circ i^\bullet_{/S}$ と印字する（印字 11-04）。上付きの記号は潰れていて、前の行の引き戻し $F\circ i^\circ$ と同じ反対圏の記号 $\circ$ と読む。読みを一つに確定できないが、意味は変わらない。(2) 推移性の式の後の関手の等式は $i_{/S'}=i_S\circ i_{S'/S}$ と印字される（印字 11-05）。第 1 因子は忘却関手 $i_{/S}$ と読む。(3) 終対象の段の括弧の注で、原論文は別の見方として「$F$ を、射 $c\to F$ を添えた点型の関手 $c$ として定める」と書く（印字 11-05）。定める対象は直前の部分前層なので、$F$ は $F_\xi$ の添字の脱落と読む。三つとも表記の問題で、主張は変わらない。
終対象と定数前層
最後に、終対象と定数前層の関係をまとめる。本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の例「終対象は一点の定数前層を表す」で見たことを、射と部分前層の形に広げたものである。
(a) 組 $(e,*)$ が定数前層 $c$ を表すことと、$e$ が $\mathbf C$ の終対象であることは同値である。
(b) $e$ が終対象のとき、前層 $F$ について、前層の射 $v\colon c\to F$ に $v(e)(*)\in F(e)$ を対応させる写像は全単射で、その逆は $\xi$ に成分 $v(T)(*)=F(p_T)(\xi)$ の射を対応させる。
(c) $e$ が終対象のとき、$\xi\in F(e)$ について $F_\xi$ は $F$ の部分前層で、$*\mapsto F(p_T)(\xi)$ は前層の同型 $c\to F_\xi$ を与える。したがって $F_\xi\cong c\cong h_e$ である。
(d) $(S,\mathrm{id}_S)$ は $\mathbf C/S$ の終対象で、$(S,\mathrm{id}_S)$ の点の前層 $h^{\mathbf C/S}_S$ は $c_{/S}$ に同型である。$\mathbf C$ 上の前層 $F$ と $\xi\in F(S)$ について、定義「定数前層と元の定める部分前層」の二つ目の $F_\xi$ は、$\mathbf C/S$ 上の前層 $F_{/S}$ に (c) を当てた部分前層 $(F_{/S})_\xi$ に等しく、$c_{/S}$ に同型である。
(a) $(e,*)$ が $c$ を表すとは、どの $T$ でも $\mathrm{Hom}(T,e)\to\{*\}$ が全単射、すなわち $\mathrm{Hom}(T,e)$ がちょうど一点であることで、これは終対象の定義である（本書『0-2 圏と前層』の定義「図式と極限」）。
(b) $v$ を前層の射とする。$T$ について、$v$ の自然性の等式を $p_T\colon T\to e$ と元 $*\in c(e)$ に当てると、$c(p_T)=\mathrm{id}$ なので $v(T)(*)=v(T)(c(p_T)(*))=F(p_T)(v(e)(*))$ である。したがって $v$ は $v(e)(*)$ で決まる。逆に $\xi\in F(e)$ について $v(T)(*)=F(p_T)(\xi)$ とおくと、$g\colon T'\to T$ について $p_Tg=p_{T'}$（終対象への射は一つだけ）なので $F(g)(F(p_T)(\xi))=F(p_{T'})(\xi)$ となり、$v$ は前層の射である。$v(e)(*)=F(p_e)(\xi)=F(\mathrm{id}_e)(\xi)=\xi$ なので二つの対応は互いに逆である。
(c) (b) の計算 $F(g)(F(p_T)(\xi))=F(p_{T'})(\xi)$ により $F(g)$ は $F_\xi(T)$ を $F_\xi(T')$ に写すので、$F_\xi$ は部分前層である。$*\mapsto F(p_T)(\xi)$ は一点集合どうしの全単射で、(b) の $v$ と同じく自然なので、本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の補題「成分ごとに全単射な前層の射は同型」により同型 $c\to F_\xi$ である。$c\cong h_e$ は (a) と同じ頁の補題「表現の二つの言い方」による。
(d) 本書『0-2 圏と前層』の補題「スライス圏」の (1) により $(S,\mathrm{id}_S)$ は $\mathbf C/S$ の終対象で、(a) を圏 $\mathbf C/S$ に当てれば $h^{\mathbf C/S}_S\cong c_{/S}$ である。$\mathbf C/S$ の対象 $(T,p_T)$ から終対象 $(S,\mathrm{id}_S)$ への唯一の射は構造射 $p_T$ そのものなので、$\xi\in F(S)=F_{/S}(S,\mathrm{id}_S)$ について $(F_{/S})_\xi(T)=\{F_{/S}(p_T)(\xi)\}=\{F(p_T)(\xi)\}$ で、これは二つ目の $F_\xi(T)$ である。$c_{/S}$ との同型は (c) を圏 $\mathbf C/S$ に当てたものである。
(d) により、$\mathbf C$ に終対象が無くても、$\mathbf C/S$ にはいつも終対象がある。原論文はこの点に注意して、$\mathbf C$ に終対象が無い一般の場合にも、$\mathbf C/S$ の中で $F_\xi$ を使う（印字 11-05〜11-06）。本書『2-2 ファイバーと表現可能な射』は (d) の部分前層を $G$ と $\eta\in G(S)$ に当てた $G_\eta$ を使って、射のファイバーを定める。
例と反例
原論文は §3 のこの段に例を挙げない。集合の圏で主結果を具体的に見た後、積の無い圏で主結果 3 の必要性の向きが実際に働くことを確かめる。
$\mathbf C=(\mathrm{Ens})$、$S$ を集合とする。$S$ 上の対象 $(T,p)$ に集合の族 $(T_\sigma)_{\sigma\in S}$、$T_\sigma=p^{-1}(\sigma)$ を対応させ、$S$ 射 $g\colon(T,p)\to(T',p')$ に写像の族 $g_\sigma\colon T_\sigma\to T'_\sigma$（$g$ の制限。$p'g=p$ なので $g(T_\sigma)\subset T'_\sigma$）を対応させる。逆に族 $(T_\sigma)$ からは非交和 $\coprod_\sigma T_\sigma$ と $(\sigma,t)\mapsto\sigma$ が $S$ 上の対象を与える。こうして $\mathbf C/S$ は $S$ で添字付けた集合の族の圏と同じものとみなせる。
(a) 集合 $X$ の点の前層 $F=h_X$ の制限は、$F_{/S}(T,p)=\mathrm{Hom}(T,X)$、すなわち写像の族 $(T_\sigma\to X)_{\sigma\in S}$ の全体である。集合の圏には積があるので、上の定理（スライス圏への制限の表現可能性）により $F_{/S}$ は $(X\times S,\mathrm{pr}_2)$ と $\mathrm{pr}_1$ で表される。族の言葉では $X\times S$ は各 $\sigma$ の上に $X\times\{\sigma\}$ を置いた定数の族で、写像の族 $a_\sigma\colon T_\sigma\to X$ に対応する $S$ 射は $t\mapsto(a_\sigma(t),\sigma)$（$t\in T_\sigma$）である。
(b) $s\colon S'\to S$ と $S$ 上の対象 $X$（族 $(X_\sigma)_{\sigma\in S}$）について、$X\times_SS'=\{(x,\sigma'):p_X(x)=s(\sigma')\}$ は $\sigma'\in S'$ の上に $X_{s(\sigma')}\times\{\sigma'\}$ を置いた族で、族を $s$ で引き戻したものである。上の定理（スライス圏の間の底変換）は、$\mathbf C/S$ で $X$ が表す前層を $\mathbf C/S'$ へ制限すると、この引き戻しの族が表すことを言っている。
(c) 境界の場合を見る。$S=\emptyset$ なら $\mathbf C/\emptyset$ の対象は $(\emptyset,\mathrm{id})$ だけで、$F_{/\emptyset}(\emptyset)=\mathrm{Hom}(\emptyset,X)$ は一点、$X\times\emptyset=\emptyset$ がこれを表す（空の族）。$S$ が一点集合 $\{*\}$ なら、構造射は一通りに決まるので $\mathbf C/\{*\}$ は $\mathbf C$ と同じもので、$X\times\{*\}\to X$ は同型である。
集合の圏ではいつも積があるので、主結果 3 の条件は自動的に満たされる。条件が効くのは積の無い圏である。
上の定理（スライス圏への制限の表現可能性）の、積 $X\times S$ の存在を外す。$\mathbf C$ を、二つの対象 $A$、$B$ と恒等射だけからなる圏とする（Hom はどれも空集合か一点集合で、$\mathcal U$ 小である）。
$A$ と $B$ の積は存在しない。積 $P$ があれば $P\to A$ と $P\to B$ がともに要るが、$P=A$ なら $\mathrm{Hom}(A,B)=\emptyset$、$P=B$ なら $\mathrm{Hom}(B,A)=\emptyset$ だからである。
$X=A$、$S=B$、$F=h_A$（組 $(A,\mathrm{id}_A)$ で表される）とする。$\mathbf C/B$ の対象は $B$ への射をもつ対象で、$(B,\mathrm{id}_B)$ だけであり、その自己射は恒等射だけである。$F_{/B}(B,\mathrm{id}_B)=\mathrm{Hom}(B,A)=\emptyset$ なので、$F_{/B}$ はただ一つの対象で空集合をとる前層である。これを表す組 $((B,\mathrm{id}_B),\xi)$ があれば $\xi\in F_{/B}(B,\mathrm{id}_B)=\emptyset$ となって矛盾するので、$F_{/B}$ は表現可能でない。上の定理の必要性の向きのとおり、積が無いことがそのまま表現可能でないことに現れている。上の定理（忘却関手の随伴と積）の言葉では、$i_{/B}$ の随伴は $A$ で定義されない。一方 $X=S=B$ なら積 $B\times B=B$ があり、$(h_B)_{/B}$ は $(B,\mathrm{id}_B)$ で表される。
その後の発展
以下は後代の展開の紹介である（2026 年時点の一般的な記述。本書は各文献の該当箇所を確かめていない）。
- 随伴関手：Kan Kan58 は 1958 年に随伴関手を定式化した。関手 $i$ がすべての対象で随伴をもつことは、$i$ が右随伴関手をもつことに当たり、主結果 1 は、前層の引き戻しと点ごとの随伴を結ぶ基本の言い換えとして、Mac Lane の教科書 Mac98 の随伴の章で扱われる形に近いとされる。原論文の点ごとの言い方は、随伴関手が全体としては無い場合にも使えることが利点である。
- スライス圏の上の前層：$\mathbf C/S$ 上の前層は、今日では $h_S$ の上の前層と同じものとして扱われることが多い。本書『2-2 ファイバーと表現可能な射』の主結果「表現可能な射の言い換え」は、この見方のうち、表現可能性の比較に要る部分を証明する。
- 底変換の関手：ファイバー積がいつも存在する圏では、射 $S'\to S$ に沿う底変換は $\mathbf C/S$ から $\mathbf C/S'$ への関手になり、$i_{S'/S}$ の右随伴である。主結果 4 はその点ごとの形である。スキームや解析空間の圏ではファイバー積がいつもあるので、後代の文献では底変換はこの関手の形で扱われるのが普通とされる。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Techniques de construction en géométrie analytique IV Gro61iv の第 3 節の前半である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 背景と動機（§3 の題と目標） | §3 の題と冒頭 | 11-03 |
| 定義（関手に沿った前層の引き戻し）、定理（関手の引き戻しの表現可能性と点ごとの随伴）、注意（原論文の段と本書の補い（引き戻しの補題）） | §3 冒頭の補題（「le foncteur adjoint de $i$ est défini en $X$」「on voit aussitôt」） | 11-03〜11-04 |
| 定義（スライス圏への制限）、定理（忘却関手の随伴と積） | 底の上の圏 $\mathbf C/S$、$i_{/S}$、$F_{/S}$ の定義と「随伴は $X\mapsto X\times S$」の句 | 11-04 |
| 定理（スライス圏への制限の表現可能性） | 命題 3.1 | 11-04 |
| 定理（スライス圏の間の底変換） | 命題 3.1 の後の段と系 3.2 | 11-04〜11-05 |
| 定理（制限の推移性） | 推移性の式と $i_{/S'}$ の等式 | 11-05 |
| 定義（定数前層と元の定める部分前層）、定理（終対象と定数関手） | 終対象 $e$、定数関手 $c$、$u(T)=F(p_T)(\xi)$、$F_\xi$、$\mathbf C/S$ の終対象 | 11-05 |
| 注意（印字の読み（制限と推移性の段）） | $F\circ i^\bullet_{/S}$、$i_S\circ i_{S'/S}$、N. B. の $F$ | 11-04〜11-05 |
| 補題（前層の同型は表す組を移す）、例と反例 | 原論文に無い（本書が補った） | — |
参考文献
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