2-2 ファイバーと表現可能な射
前層の射のファイバーを、底の上の対象の圏の前層として定め、それが前層の引き戻しとファイバー積で書けることを示す。そのうえで、射が表現可能であることを「すべてのファイバーが表現可能」として定義し、それが任意の点の前層に沿うファイバー積の表現可能性と同じであること、表現可能な前層の間の射では底変換可能であることと同じであることを導く。
前提知識: 前層, スライス圏, ファイバー積, 表現可能関手
この頁で示すこと
本書『2-1 制限と底変換』と同じく、宇宙 $\mathcal U$ を固定し、$\mathbf C$ は Hom がすべて $\mathcal U$ 小な圏、$\widehat{\mathbf C}$ はその前層の圏、$u\colon F\to G$ は前層の射とする。$S$ は $\mathbf C$ の対象、$\mathbf C/S$ は $S$ 上の対象の圏で、その対象 $T$ の構造射を $p_T\colon T\to S$ と書く。$F_{/S}$ は $F$ の $\mathbf C/S$ への制限、$c_{/S}$ は $\mathbf C/S$ 上の一点集合の定数前層、$\eta\in G(S)$ の定める $\mathbf C/S$ 上の部分前層を $G_\eta(T)=\{G(p_T)(\eta)\}$ と書く（本書『2-1 制限と底変換』の定義「スライス圏への制限」「定数前層と元の定める部分前層」）。
本頁の主結果は次の四つである。
- ファイバーは引き戻しのファイバー積（原論文 §3 のファイバーの定義に添えた主張、印字 11-06）：$\eta\in G(S)$ について、ファイバー $F_\eta$ は $F_{/S}$ の部分前層で、$\mathbf C/S$ 上の前層の圏の中で、$F_{/S}$ と $G_\eta$ の $G_{/S}$ 上のファイバー積である。［完結］（本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』の主結果「前層の圏の極限と表現可能性」と、本書『0-2 圏と前層』の補題「集合の圏の極限と余極限」による）
- 表現可能な射の言い換え（原論文 定義 3.3 と直後の言い換え、印字 11-06）：$u$ が表現可能であることは、任意の $S$ と任意の射 $c_{/S}\to G_{/S}$ に沿うファイバー積が $\mathbf C/S$ 上で表現可能であることと同値で、さらに任意の $S$ と任意の射 $h_S\to G$ に沿うファイバー積 $F\times_Gh_S$ が $\mathbf C$ 上で表現可能であることと同値である。後の二つの表現は同じ対象で与えられる。［完結］（本書『2-1 制限と底変換』の主結果「終対象と定数関手」と、本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の主結果「米田の対応」による）
- 表現可能な関手の間の射のファイバー（原論文 補題 3.4、印字 11-06〜11-07）：$F$ が $(X,\xi_X)$、$G$ が $(Y,\eta_Y)$ で表され、$u$ が射 $f\colon X\to Y$ から来るとき、$\eta_S\in G(S)$ に対応する射 $p\colon S\to Y$ について、ファイバー $F_{\eta_S}$ が表現可能であることはファイバー積 $X\times_YS$ が存在することと同値で、そのとき $X\times_YS$ と $F(\mathrm{pr}_1)(\xi_X)$ の組が $F_{\eta_S}$ を表す。［完結］（本書『2-1 制限と底変換』の主結果「スライス圏の間の底変換」による）
- 表現可能な射と底変換可能な射（原論文 系 3.5、印字 11-07）：同じ状況で、$u$ が表現可能であることは $f$ が底変換可能であることと同値である。［完結］
四つとも、本書の第 1 章と本書『2-1 制限と底変換』の主結果、本書『0-2 圏と前層』で証明した基本事実、頁内の補題だけで閉じ、事実を引用しない。主結果 2 の最後の言い換え（点の前層に沿うファイバー積の形）は原論文に無く、後代の「表現可能な射」の定義との対応をつけるために本書が補ったものである。
背景と動機
前層の射 $u\colon F\to G$ が「表現可能」であるとは、大まかには、$G$ の上に並ぶ $F$ の各ファイバーが表現可能であることである。$G$ の元 $\eta\in G(S)$ は、米田の対応により、$S$ を $G$ の中に写す射 $h_S\to G$ と同じものなので、「$\eta$ の上のファイバー」は $S$ でパラメータ付けられた族として、$\mathbf C/S$ 上の前層になる。原論文はこれを、部分前層 $G_\eta$ の $u_{/S}$ による逆像として $F_\eta$ と書き、その値が、$S$ 上の対象 $T$ ごとに「$u$ で $\eta$ の引き戻しに写る $F(T)$ の元の全体」であることを直後に述べる（印字 11-06）。
この定義の利点は、$G$ が表現可能でなくても意味をもつことにある。第 3 章と第 4 章の主定理は、表現可能な前層 $F$ からの射 $u\colon F\to G$ を手がかりに、まだ表現可能か分からない $G$ の表現可能性を判定する。そこでは $u$ のファイバーが表現可能であることが仮定の一つになる。$G$ が表現可能な場合には、主結果 4 のとおり、$u$ が表現可能であることは $u$ を与える射の底変換がいつも存在することにほかならない。原論文はこの性質を «quarrable» と呼ぶ（印字 11-07）。本書は「底変換可能」と訳す。
後代の標準的な定義では、射 $u$ が表現可能であるとは、任意の点の前層からの射 $h_S\to G$ に沿うファイバー積 $F\times_Gh_S$ が表現可能であることをいう。主結果 2 は、原論文の定義とこの定義が同じであることを示す。
定義と準備
ファイバーと表現可能な射を定め、表現可能な前層の間の射が対象の射で与えられることを確かめる。最後に、前層のファイバー積を値ごとに確かめる補題を置く。
前層の射 $u\colon F\to G$、$\mathbf C$ の対象 $S$、元 $\eta\in G(S)$ について、$S$ 上の対象 $T$ ごとに
$$F_\eta(T)=\{x\in F(T)\ :\ u(T)(x)=G(p_T)(\eta)\}$$
とおき、$S$ 射 $g\colon T'\to T$ について $F_\eta(g)$ を $F(g)$ の制限とする。これを $u$ の $\eta$ の上のファイバーという。
$F_\eta(g)$ が $F_\eta(T')$ に値をとること、すなわち $F_\eta$ が $F_{/S}$ の部分前層であることは、主結果 1 の証明の中で確かめる。記号の注意として、本書『2-1 制限と底変換』の $F_\xi$（$\xi\in F(S)$ の定める一点ずつの部分前層）とこの $F_\eta$（$G$ の元の上のファイバー）は、添字の文字の属する前層で区別する。$G_\eta$ は前者の意味、$F_\eta$ は後者の意味である。$u=\mathrm{id}_G$ のファイバーは $G_\eta$ そのものなので、二つの記号は食い違わない。
前層の射 $u\colon F\to G$ が表現可能であるとは、$\mathbf C$ の任意の対象 $S$ と任意の $\eta\in G(S)$ について、ファイバー $F_\eta$ が $\mathbf C/S$ 上で表現可能であることをいう。このとき $F$ は $u$ について相対的に表現可能、あるいは $G$ の上で表現可能であるともいう。
$\mathbf C$ の射 $f\colon X\to Y$ が底変換可能（原論文の quarrable）であるとは、任意の射 $Y'\to Y$ について、$f$ とのファイバー積 $X\times_YY'$ が存在することをいう。$\mathbf C$ の対象 $X$ が底変換可能であるとは、任意の対象 $Z$ について積 $X\times Z$ が存在することをいう。
ファイバー積と積の存在は、本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』の定義「積とファイバー積が存在するという約束」の意味であり、同じ頁の主結果「前層の圏の極限と表現可能性」により、通常の普遍性の意味と同じである。
表現可能な前層の間の射は、表す対象の間の射で与えられる。原論文は補題 3.4 で「したがって $u$ は射 $f$ で得られる」と書く（印字 11-06）。本書はその対応を次の形で確かめる。
$F$ が $(X,\xi_X)$、$G$ が $(Y,\eta_Y)$ で表されるとし、$u\colon F\to G$ を前層の射とする。$u(X)(\xi_X)=G(f)(\eta_Y)$ となる射 $f\colon X\to Y$ はただ一つある。このとき、どの対象 $T$ と射 $a\colon T\to X$ についても $u(T)(F(a)(\xi_X))=G(f\circ a)(\eta_Y)$ が成り立つ。この $f$ を、$u$ に対応する射、あるいは $u$ を与える射という。
$(Y,\eta_Y)$ が $G$ を表すので、対象 $X$ での写像 $\mathrm{Hom}(X,Y)\to G(X)$、$f\mapsto G(f)(\eta_Y)$ は全単射で、$u(X)(\xi_X)$ に写る $f$ がただ一つある。$u$ の自然性から $u(T)(F(a)(\xi_X))=G(a)(u(X)(\xi_X))=G(a)(G(f)(\eta_Y))=G(f\circ a)(\eta_Y)$ である。
同型 $a\mapsto F(a)(\xi_X)$ と $b\mapsto G(b)(\eta_Y)$ で $F$、$G$ を $h_X$、$h_Y$ と同一視すると、後半の等式は $u$ が $h_f$、すなわち $a\mapsto f\circ a$ に当たることを言っている。本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の主結果「点の関手の充満忠実性」はこの対応が一対一であることの別の言い方である。
前層のファイバー積であることは、値ごとに確かめてよい。次の補題は、$\mathbf C$ でも $\mathbf C/S$ でも使える形で述べる（$\mathbf C/S$ の Hom は $\mathbf C$ の Hom の部分集合なので $\mathcal U$ 小である）。
$\mathbf D$ を Hom がすべて $\mathcal U$ 小な圏とし、$\mathbf D$ 上の前層と前層の射の可換な正方形
$$\begin{array}{ccc}P&\xrightarrow{\ a\ }&A\\ {\scriptstyle b}\downarrow&&\downarrow{\scriptstyle\varphi}\\ B&\xrightarrow{\ \psi\ }&E\end{array}$$
を考える。この正方形が $\widehat{\mathbf D}$ でカルテシアンであることと、$\mathbf D$ のどの対象 $T$ についても、値の正方形（$P(T)$、$A(T)$、$B(T)$、$E(T)$ と成分の写像）が集合の圏でカルテシアンであることは同値である。
段 1（点ごとのファイバー積）．本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』の主結果「前層の圏の極限と表現可能性」の (a) を、$\varphi$ と $\psi$ の図式に当てる。ファイバー積 $L$、$L(T)=\{(x,y)\in A(T)\times B(T):\varphi(T)(x)=\psi(T)(y)\}$ と二つの射影があり、どの値も集合のファイバー積である。$\widehat{\mathbf D}$ の任意のファイバー積の値がこれと同じであることは、同じ主結果の (a) と、本書『0-2 圏と前層』の補題「極限の普遍性と一意性」の (1)（$\widehat{\mathbf D}$ で射影と両立する同型をとる）と (3)（集合の圏で同型を移す）による。これで「カルテシアンなら値ごとにカルテシアン」が示された。
段 2（逆向き）．値の正方形がすべてカルテシアンとする。正方形の可換性から、$w(T)(z)=(a(T)(z),b(T)(z))$ は前層の射 $w\colon P\to L$ で、射影と両立する。各 $T$ で $P(T)$ と $L(T)$ はどちらも同じ集合の図式のファイバー積で、$w(T)$ は射影と両立するので、本書『0-2 圏と前層』の補題「極限の普遍性と一意性」の (1) により全単射である。本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の補題「成分ごとに全単射な前層の射は同型」により $w$ は同型で、本書『0-2 圏と前層』の補題「極限の普遍性と一意性」の (3) により $(P;a,b)$ もファイバー積である。
集合の圏では、写像 $\varphi\colon A\to E$ と部分集合 $B\subset E$ の包含のファイバー積は、逆像 $\varphi^{-1}(B)$ とその包含、$\varphi$ の制限である。本書『0-2 圏と前層』の補題「集合の圏の極限と余極限」の (4) の $A\times_EB=\{(x,y):\varphi(x)=y\}$ に、$x\mapsto(x,\varphi(x))$ で一対一に対応するからである。主結果 1 はこれを値ごとに当てる。
引用する事実
本頁は事実を引用しない。使うのは、本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』と本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』の主結果と補題、本書『2-1 制限と底変換』の主結果と補題、本書『0-2 圏と前層』の補題「集合の圏の極限と余極限」「極限の普遍性と一意性」「スライス圏」と、上の二つの補題だけである。
主結果と証明
まずファイバーをファイバー積として捉え直し、それを使って表現可能な射の定義を二通りに言い換える。次に、$F$ と $G$ がどちらも表現可能な場合に、ファイバーの表現可能性をファイバー積の存在に帰着させる。
ファイバーとファイバー積
前層の射 $u\colon F\to G$ と $\eta\in G(S)$ について、$F_\eta$ は $F_{/S}$ の部分前層である。さらに、包含 $F_\eta\to F_{/S}$、$G_\eta\to G_{/S}$ と $u_{/S}$、$u$ の制限 $F_\eta\to G_\eta$ のなす正方形
$$\begin{array}{ccc}F_\eta&\longrightarrow&F_{/S}\\ \downarrow&&\downarrow{\scriptstyle u_{/S}}\\ G_\eta&\longrightarrow&G_{/S}\end{array}$$
は、$\mathbf C/S$ 上の前層の圏でカルテシアンである。
段 1（部分前層）．$S$ 射 $g\colon T'\to T$ と $x\in F_\eta(T)$ をとる。$p_Tg=p_{T'}$ なので、$u$ の自然性から
$$u(T')(F(g)(x))=G(g)(u(T)(x))=G(g)(G(p_T)(\eta))=G(p_Tg)(\eta)=G(p_{T'})(\eta)$$
となり、$F(g)(x)\in F_\eta(T')$ である。したがって $F_\eta$ は $F_{/S}$ の部分前層で、$u(T)$ は $F_\eta(T)$ を $G_\eta(T)=\{G(p_T)(\eta)\}$ に写す。$G_\eta$ が $G_{/S}$ の部分前層であることは、本書『2-1 制限と底変換』の主結果「終対象と定数関手」の (d) による。こうして正方形は可換である。
段 2（値ごとのカルテシアン性）．$S$ 上の対象 $T$ での値の正方形では、定義により $F_\eta(T)=u(T)^{-1}(G_\eta(T))$ で、横の射は包含、左の縦の射は $u(T)$ の制限である。上の補題（値ごとにカルテシアンな正方形）の後の注意により、これは集合の圏でカルテシアンである。同じ補題により、正方形は $\mathbf C/S$ 上の前層の圏でカルテシアンである。
これで、ファイバーは $F$ と $G$ を $\mathbf C/S$ に制限して、$\eta$ の定める一点ずつの部分前層に沿って引き戻したものであることが分かった。$G_\eta$ は $c_{/S}$ に同型なので、ファイバーは定数前層からの射に沿うファイバー積とも読める。これが原論文の直後の言い換えで、次の定理の前半である。
原論文は上の正方形を「$\mathbf{Hom}(\mathbf C^\circ,(\mathrm{Ens}))$ の中で」カルテシアンと書く（印字 11-06）。この記号は $\mathbf C$ 上の前層の圏を指すが、正方形の四つの前層はどれも $\mathbf C/S$ 上の前層なので、$\mathbf C/S$ 上の前層の圏の中でと読む。表記の粗さで、主張は変わらない。
表現可能な射の言い換え
原論文は定義 3.3 の直後に「これは、任意の $S$ と任意の射 $c_{/S}\to G_{/S}$ について、ファイバー積が表現可能であることも意味する」と書く（印字 11-06）。本書はこれに、点の前層に沿うファイバー積の形を加える。
前層の射 $u\colon F\to G$ について、次の三つは同値である。
(i) $u$ は表現可能である。
(ii) $\mathbf C$ の任意の対象 $S$ と任意の射 $v\colon c_{/S}\to G_{/S}$ について、$\mathbf C/S$ 上の前層のファイバー積 $F_{/S}\times_{G_{/S}}c_{/S}$ は表現可能である。
(iii) $\mathbf C$ の任意の対象 $S$ と任意の前層の射 $\tilde\eta\colon h_S\to G$ について、$\mathbf C$ 上の前層のファイバー積 $F\times_Gh_S$ は表現可能である。
さらに、$\eta\in G(S)$ と $\tilde\eta=\beta(\eta)$（本書『1-1 米田の対応と表現可能関手』の米田の対応）、$F\times_Gh_S$ を点ごとに作ったもの $P(T)=\{(x,b):u(T)(x)=G(b)(\eta)\}$ とすると、$S$ 上の対象 $(Z,z)$、元 $\zeta\in F(Z)$ について、$((Z,z),\zeta)$ が $F_\eta$ を表すことと、$\zeta\in F_\eta(Z,z)$ であって $(Z,(\zeta,z))$ が $P$（したがって $F\times_Gh_S$）を表すことは同値である。このとき、第二射影 $F\times_Gh_S\to h_S$ は同型 $h_Z\cong F\times_Gh_S$ の下で $h_z$ に当たる。
段 1（(i) と (ii)）．本書『2-1 制限と底変換』の主結果「終対象と定数関手」の (b)(d) を圏 $\mathbf C/S$ と終対象 $(S,\mathrm{id}_S)$ に当てると、射 $v\colon c_{/S}\to G_{/S}$ は元 $\eta=v(S)(*)\in G(S)$ と一対一に対応し、$v(T)(*)=G(p_T)(\eta)$ である。$S$ 上の対象 $T$ での値を見ると、$F_{/S}\times_{G_{/S}}c_{/S}$ の値は $\{(x,*):u(T)(x)=G(p_T)(\eta)\}$ で、$x\mapsto(x,*)$ により $F_\eta(T)$ と一対一である。したがって、$F_\eta$ と、包含 $F_\eta\to F_{/S}$ と、唯一の射 $F_\eta\to c_{/S}$ の正方形は値ごとにカルテシアンで、上の補題（値ごとにカルテシアンな正方形）によりファイバー積である。ファイバー積は一意の同型を除いて決まる（本書『0-2 圏と前層』の補題「極限の普遍性と一意性」の (1)）ので、本書『2-1 制限と底変換』の補題「前層の同型は表す組を移す」により、$F_{/S}\times_{G_{/S}}c_{/S}$ が表現可能であることは $F_\eta$ が表現可能であることと同値である。$v$ が $c_{/S}\to G_{/S}$ の射の全体を動くとき $\eta$ は $G(S)$ の全体を動くので、(i) と (ii) は同値である。
段 2（$F\times_Gh_S$ の値）．米田の対応により、射 $\tilde\eta\colon h_S\to G$ は $\eta=\alpha(\tilde\eta)\in G(S)$ と一対一に対応し、$\tilde\eta(T)(b)=G(b)(\eta)$ である。本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』の主結果「前層の圏の極限と表現可能性」により、ファイバー積として
$$P(T)=\{(x,b)\ :\ x\in F(T),\ b\colon T\to S,\ u(T)(x)=G(b)(\eta)\},\qquad P(g)(x,b)=(F(g)(x),b\circ g)$$
がとれる。$b$ を $T$ の構造射とみれば、$(x,b)\in P(T)$ であることは $x\in F_\eta(T,b)$ であることにほかならない。
段 3（表す組の比較）．$S$ 上の対象 $(Z,z)$ と $\zeta\in F(Z)$ をとる。$(\zeta,z)\in P(Z)$ であることと $\zeta\in F_\eta(Z,z)$ であることは段 2 により同じである。対象 $T$ について、写像
$$\Theta_T\colon\mathrm{Hom}(T,Z)\to P(T),\qquad\varphi\mapsto P(\varphi)(\zeta,z)=(F(\varphi)(\zeta),z\circ\varphi)$$
を考える。$\mathrm{Hom}(T,Z)$ は、射 $b\colon T\to S$ ごとの $S$ 射の集合 $\mathrm{Hom}_S((T,b),(Z,z))=\{\varphi:z\varphi=b\}$ の互いに素な和であり、$P(T)$ も第二成分 $b$ ごとの部分 $F_\eta(T,b)\times\{b\}$ の互いに素な和である。$\Theta_T$ はこの分け方を保ち、$b$ の部分では $S$ 射 $\varphi\mapsto F_\eta(\varphi)(\zeta)=F(\varphi)(\zeta)$ に当たる。したがって、すべての $T$ で $\Theta_T$ が全単射であることと、すべての $T$ と $b$ で $\mathrm{Hom}_S((T,b),(Z,z))\to F_\eta(T,b)$、$\varphi\mapsto F_\eta(\varphi)(\zeta)$ が全単射であることは同値である。前者は $(Z,(\zeta,z))$ が $P$ を表すこと、後者は $((Z,z),\zeta)$ が $F_\eta$ を表すことである。
段 4（(i) と (iii)）．段 3 の前半から、$F_\eta$ が表現可能なら $P$ も表現可能である。逆に $P$ が $(Z,\pi)$ で表されるなら、$\pi=(\zeta,z)$ と書いて $(Z,z)$ を $S$ 上の対象とみれば、段 3 により $((Z,z),\zeta)$ が $F_\eta$ を表す。$F\times_Gh_S$ のほかの選び方は $P$ と同型なので、本書『2-1 制限と底変換』の補題「前層の同型は表す組を移す」により同じことが成り立つ。$\tilde\eta$ が $h_S\to G$ の射の全体を動くとき $\eta$ は $G(S)$ の全体を動くので、(i) と (iii) は同値である。
段 5（第二射影）．同型 $h_Z\to P$ は $\varphi\mapsto\Theta_T(\varphi)$ で、第二射影と合成すると $\varphi\mapsto z\circ\varphi$、すなわち $h_z$ である。
段 3 の要点は、$\mathbf C$ の射 $T\to Z$ が、構造射 $b=z\circ\varphi$ を一つ決めるごとの $S$ 射に分かれることである。$\mathbf C/S$ の中の表現を $b$ について集めると $\mathbf C$ の中の表現になり、逆も成り立つ。本書『2-1 制限と底変換』の主結果「忘却関手の随伴と積」の証明の段 2 と同じ仕組みである。
原論文の表現可能な射の定義はファイバー $F_\eta$ の表現可能性で、(ii) はその直後の言い換えとして原論文にある（印字 11-06）。(iii) は原論文に無い。後代の文献では、射 $u$ が表現可能であることを (iii) の形、すなわち任意の点の前層に沿うファイバー積が表現可能であることで定義するのが普通とされる。上の定理はこの二つの定義が同じであり、しかも同じ対象が両方を表すことを示す。本書は以後の頁で、原論文の定義と (iii) の形を区別せずに使う。
表現可能な関手の間の射
$F$ と $G$ がどちらも表現可能なとき、ファイバーの表現可能性は $\mathbf C$ のファイバー積の存在に帰着する。証明は、普遍元 $\eta_Y$ の上のファイバーが $X$ そのもので表されることを確かめ、それを本書『2-1 制限と底変換』の主結果「スライス圏の間の底変換」で $S$ まで引き戻すものである。
$F$ が $(X,\xi_X)$、$G$ が $(Y,\eta_Y)$ で表され、$f\colon X\to Y$ が $u\colon F\to G$ に対応する射であるとする。$\eta_S\in G(S)$ に対し、$G(p)(\eta_Y)=\eta_S$ となる射 $p\colon S\to Y$ をとる。ファイバー $F_{\eta_S}$ が $\mathbf C/S$ 上で表現可能であることは、$f$ と $p$ のファイバー積 $X\times_YS$ が存在することと同値である。そのとき、$S$ 上の対象 $(X\times_YS,\mathrm{pr}_2)$ と $F(\mathrm{pr}_1)(\xi_X)$ の組が $F_{\eta_S}$ を表す。
段 1（普遍元の上のファイバー）．$S=Y$、$\eta=\eta_Y$ のファイバー $F_{\eta_Y}$ を調べる。$Y$ 上の対象 $(T,b)$ をとる。$(X,\xi_X)$ が $F$ を表すので、$F(T)$ の元は $F(a)(\xi_X)$（$a\colon T\to X$）とただ一通りに書ける。上の補題（表現可能な前層の間の射を与える射）により $u(T)(F(a)(\xi_X))=G(fa)(\eta_Y)$ で、$(Y,\eta_Y)$ が $G$ を表すので $G(fa)(\eta_Y)=G(b)(\eta_Y)$ は $fa=b$ と同値である。したがって $F(a)(\xi_X)\in F_{\eta_Y}(T,b)$ であることは、$a$ が $Y$ 射 $(T,b)\to(X,f)$ であることと同値で、写像 $\mathrm{Hom}_Y((T,b),(X,f))\to F_{\eta_Y}(T,b)$、$a\mapsto F(a)(\xi_X)$ は全単射である。$u(X)(\xi_X)=G(f)(\eta_Y)$ なので $\xi_X\in F_{\eta_Y}(X,f)$ で、$F_{\eta_Y}(a)(\xi_X)=F(a)(\xi_X)$ だから、$((X,f),\xi_X)$ は $\mathbf C/Y$ 上で $F_{\eta_Y}$ を表す。
段 2（$S$ への制限）．$p$ で $S$ を $Y$ 上の対象 $(S,p)$ とみて、$\mathbf C/Y$ 上の前層 $F_{\eta_Y}$ の $\mathbf C/S$ への制限 $(F_{\eta_Y})_{/S}=F_{\eta_Y}\circ i_{S/Y}^\circ$ を考える（本書『2-1 制限と底変換』の定義「スライス圏への制限」）。$S$ 上の対象 $T$ について $i_{S/Y}(T)=(T,p\,p_T)$ で、
$$F_{\eta_Y}(T,p\,p_T)=\{x:u(T)(x)=G(p\,p_T)(\eta_Y)\}=\{x:u(T)(x)=G(p_T)(\eta_S)\}=F_{\eta_S}(T)$$
である（$G(p\,p_T)(\eta_Y)=G(p_T)(G(p)(\eta_Y))$）。射の上ではどちらも $F$ の制限なので、$(F_{\eta_Y})_{/S}=F_{\eta_S}$ である。
段 3（底変換）．本書『2-1 制限と底変換』の主結果「スライス圏の間の底変換」を、底 $Y$、$\mathbf C/Y$ 上の前層 $F_{\eta_Y}$（段 1 により $((X,f),\xi_X)$ で表される）、$Y$ 上の対象 $(S,p)$ に当てる。段 2 により、$F_{\eta_S}$ が表現可能であることは $X\times_YS$ が存在することと同値で、そのとき $(X\times_YS,\mathrm{pr}_2)$ と $F_{\eta_Y}(\mathrm{pr}_1)(\xi_X)=F(\mathrm{pr}_1)(\xi_X)$ の組が $F_{\eta_S}$ を表す。
段 1 は、表現可能な前層の間の射では、普遍元の上のファイバーが源の対象そのもの（$Y$ 上の対象とみた $X$）で表されることを言っている。本書『2-3 表現可能な関手の間の射』の主結果「普遍元の上のファイバーが関手を決める」は、これを逆向きに、$G$ だけが表現可能な場合に使う。
- 原論文の補題 3.4 は、表す組を $(X\times_YS,F(\mathrm{pr}_1)(\eta_X))$ と印字する（印字 11-07）。仮定では $F$ を表す組は $(X,\xi_X)$ で、$\eta_X$ はどこにも定義されていないので、$\xi_X$ の誤植と読む。(2) 証明は「$T/S$ での全単射 $\mathrm{Hom}(T,X)\to F(T)$」から始まる（印字 11-07）。$T/S$ は圏の記号と紛らわしいが、$S$ 上の対象 $T$ ごとの全単射と読む。(3) 証明の最後は「射 $p\colon S\to Y$ と関手 $F_{\eta_S}$ に系 3.2 を当てればよい」と印字される（印字 11-07）。系 3.2 を当てる相手は、$\mathbf C/Y$ 上で $X$ が表す関手、すなわち上の証明の段 1 の $F_{\eta_Y}$ で、結論が $F_{\eta_S}$ についての主張になる、と読む。直前の段で原論文が示すのは $\mathrm{Hom}_Y(T,X)$ と $F_{\eta_S}(T)$ の全単射なので、$F_{\eta_S}$ を「$Y$ 上の $X$ の点の前層を $S$ に制限したもの」とみて系 3.2 を当てる、と読んでも同じ証明になる。本書は段 1 と段 2 でこの二つの読みが一致することを示した（段 1 の同型 $h^{\mathbf C/Y}_{(X,f)}\cong F_{\eta_Y}$ を段 2 で $\mathbf C/S$ に制限すれば、$(h^{\mathbf C/Y}_{(X,f)})_{/S}\cong F_{\eta_S}$ で、表す組は本書『2-1 制限と底変換』の補題「前層の同型は表す組を移す」で移る）。
主結果 3 を $\eta_S$ のすべてについて並べると、表現可能な射の判定になる。
上の定理（表現可能な関手の間の射のファイバー）と同じ状況で、$u$ が表現可能であることは、$f$ が底変換可能であることと同値である。
$(Y,\eta_Y)$ が $G$ を表すので、$p\mapsto G(p)(\eta_Y)$ は $\mathrm{Hom}(S,Y)$ から $G(S)$ への全単射である。したがって $\eta_S$ が $G(S)$ の全体を動くとき、対応する $p$ は $\mathrm{Hom}(S,Y)$ の全体を動く。上の定理により、すべての $S$ と $\eta_S$ で $F_{\eta_S}$ が表現可能であることは、すべての $S$ と $p\colon S\to Y$ で $X\times_YS$ が存在すること、すなわち $f$ が底変換可能であることと同値である。
原論文は系 3.5 に、この条件は「我々の出会う場合には自動的に満たされる」と括弧で添える（印字 11-07）。これは見込みを述べた所見で、本書は主結果の札に入れない。本講演の後の用途である解析空間の圏では、連作の前の回がファイバー積の存在を示している（本書『0-4 解析空間』の「解析空間のファイバー積の存在」。証明は本書では確かめていない）ので、どの射も底変換可能で、見込みは正しい。本頁の判定はこの事実に依らない。一般の圏では条件は自動的でない（下の反例「反例：底変換可能でない射」）。
例と反例
原論文はこの段に例を挙げない。部分空間の包含が表現可能な射を与える例を見た後、本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』の反例の圏で、底変換可能でない射が表現可能でないことを確かめる。
$\mathbf C$ を、$\mathcal U$ 小な位相空間と連続写像の圏とする。位相空間 $Y$ の開部分集合 $V$ に部分空間の位相を与え、包含を $j\colon V\to Y$ とする。$F=h_V$、$G=h_Y$ はそれぞれ $(V,\mathrm{id}_V)$、$(Y,\mathrm{id}_Y)$ で表され、前層の射 $u=h_j\colon h_V\to h_Y$ に対応する射は $j$ である（上の補題（表現可能な前層の間の射を与える射））。
連続写像 $g\colon S\to Y$ について、$g^{-1}(V)$ に $S$ の部分空間の位相を与えると、$j$ の $g$ に沿うファイバー積である。実際、連続写像 $a\colon T\to V$、$b\colon T\to S$ が $ja=gb$ を満たせば $b(T)\subset g^{-1}(V)$ で、$b$ は部分空間 $g^{-1}(V)$ への連続写像 $b'$ とただ一通りに見なせ、$a=g\circ b'$（値を $V$ で見たもの）となる。したがって $j$ は底変換可能で、上の定理（表現可能な射と底変換可能な射）により $u$ は表現可能である。
ファイバーを直接見ると、$\eta=g\in h_Y(S)$ と $S$ 上の空間 $T$ について、$F_\eta(T)=\{a\colon T\to V:ja=g\,p_T\}$ は、$p_T(T)\subset g^{-1}(V)$ なら一点、そうでなければ空集合である。上の定理（表現可能な関手の間の射のファイバー）のとおり、これは $S$ 上の空間 $g^{-1}(V)$（包含を構造射とする）で表される。境界の場合として $V=\emptyset$ をとると、$F_\eta(T)$ は $T=\emptyset$ のときだけ一点で、空の空間 $\emptyset\to S$ が $F_\eta$ を表す。この例では $V$ が開であることを使っていない（部分空間ならどれでもよい）。開であることは、本書『2-4 安定性と射のクラス』と第 4 章で、射のクラスとしての開はめ込みを扱うときに効く。
集合の圏や位相空間の圏にはファイバー積がいつもあるので、どの射も底変換可能である。底変換可能性が効くのは、ファイバー積の欠けた圏である。
上の定理（表現可能な射と底変換可能な射）の、底変換可能性を外す。本書『1-2 前層の圏の極限と関手で与える構造』の反例「反例：前層のファイバー積は表現可能とは限らない」と同じく、$\mathbf C$ を空でない $\mathcal U$ 小な集合と写像のなす圏とし、包含 $f\colon\{0\}\to\{0,1\}$、$g\colon\{1\}\to\{0,1\}$ をとる。同じ反例で確かめたとおり、$f$ と $g$ のファイバー積は $\mathbf C$ に存在しないので、$f$ は底変換可能でない。上の定理により、$f$ の定める前層の射 $u=h_f\colon h_{\{0\}}\to h_{\{0,1\}}$ は表現可能でない。
どのファイバーが壊れるかを直接見る。$\eta=g\in h_{\{0,1\}}(\{1\})$ をとる。$\{1\}$ 上の対象は空でない集合 $T$（構造射は定値写像）で、$F_\eta(T)=\{s\colon T\to\{0\}:fs=g\,p_T\}$ は、$fs$ が値 $0$ を、$g\,p_T$ が値 $1$ をとるので、どの $T$ でも空集合である。すべての値が空の前層を表す組は、普遍元が空集合に属することになるので無く、$F_\eta$ は表現可能でない。上の定理（表現可能な射の言い換え）の (iii) の形では、$h_{\{0\}}\times_{h_{\{0,1\}}}h_{\{1\}}$ が値のすべて空な前層で、$\mathbf C$ に空集合が無いことが原因である。
一方、ほかのファイバーは表現可能になりうる。$\eta=f\in h_{\{0,1\}}(\{0\})$ なら、$F_\eta(T)=\{s:fs=f\,p_T\}=\{p_T\}$ は一点で、$\{0\}$ 上の終対象 $(\{0\},\mathrm{id})$ が表す。$\eta=\mathrm{id}_{\{0,1\}}$ なら、$f$ と $\mathrm{id}$ のファイバー積は $\{0\}$ で、$(\{0\},f)$ が $F_\eta$ を表す。表現可能な射であるには、一部のファイバーでなく、すべてのファイバーの表現可能性が要る。
その後の発展
以下は後代の展開の紹介である（2026 年時点の一般的な記述。本書は各文献の該当箇所を確かめていない）。
- 表現可能な射：代数幾何では、スキームの圏の上の前層（または層）の射が表現可能であることを、主結果 2 の (iii) の形、すなわち任意のスキームの点の前層に沿うファイバー積が表現可能であることで定義するのが標準とされる。Stacks Project Stacks はこの定義から代数空間の理論を組み立て、FGA Explained FGAex の第 1 部（Vistoli）はファイバー圏の水準で同じ概念を扱うとされる。
- スライス圏の上の前層と点の前層の上の前層：$\mathbf C/S$ 上の前層は $h_S$ の上の前層と同じもの（圏同値）として扱われるのが普通とされる。主結果 2 の証明の段 3 は、この同値のうち表す組の比較に要る部分を直接確かめたものである。
- 性質をもつ表現可能な射：表現可能な射に、ファイバーを表す射が特定のクラスに属するという条件を課す考え方は、本書『2-4 安定性と射のクラス』の主結果「底変換で安定な射のクラスの判定」で原論文の形を扱う。後代の「性質 $\mathcal P$ をもつ表現可能な射」の原型である。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Techniques de construction en géométrie analytique IV Gro61iv の第 3 節の中ほどである。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 背景と動機（ファイバーの考え方、quarrable の語） | §3 のファイバーの定義、系 3.5 | 11-06〜11-07 |
| 定義（射のファイバー）、定理（ファイバーは引き戻しのファイバー積）、注意（印字の読み（ファイバーの正方形）） | ファイバー $F_\eta$ の定義とカルテシアンな正方形 | 11-06 |
| 定義（表現可能な射と底変換可能な射） | 定義 3.3、系 3.5 の quarrable の定義（射）、系 3.8 の N. B.（対象） | 11-06〜11-08 |
| 定理（表現可能な射の言い換え）、注意（原論文の出発点と後代の定義） | 定義 3.3 の直後の言い換え（(iii) は原論文に無い） | 11-06 |
| 補題（表現可能な前層の間の射を与える射） | 補題 3.4 の仮定の「$u$ は射 $f$ で得られる」 | 11-06 |
| 定理（表現可能な関手の間の射のファイバー）、注意（印字の読み（補題 3.4 の段）） | 補題 3.4 とその証明 | 11-06〜11-07 |
| 定理（表現可能な射と底変換可能な射）、注意（系 3.5 の括弧の見込み） | 系 3.5 とその括弧 | 11-07 |
| 補題（値ごとにカルテシアンな正方形）、例と反例 | 原論文に無い（本書が補った） | — |
参考文献
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