0-3 層と環付き空間の貼り合わせ
本書の第 4 章が使う位相空間の層と環付き空間の基本（開集合の上の前層と層、空の被覆の約束、環付き空間と $k$ 代数の環付き空間、開部分環付き空間、環付き空間の貼り合わせ、射の貼り合わせ、分離的な空間、開かつ閉な部分と非交和）を集めた頁である。定義のほかは引用としてまとめる。本書の札の基準では、この頁の定理として引く事実（二つの貼り合わせ）を使う主結果は［条件付き］で、札に使った事実を名指す。定義を使うことは札に影響しない。案内に挙げる文献の該当箇所は、本書では確かめていない。圏・前層・極限の一般論は本書『0-2 圏と前層』に、解析空間の定義と開はめ込みは本書『0-4 解析空間』に、記号と本書が足した仮定の一覧は本書『0-5 記号と約束』にある。
前提知識: 位相空間, 開被覆, 層, 環付き空間, Hausdorff空間
開集合の上の前層と層
原論文の定義 5.4 は、$S$ 上の解析空間の圏の上の前層 $G$ を、各 $T$ の開集合 $U$ に $G(U)$ を対応させる前層とみて、それが層であることを求める（原論文の印字 11-24）。その「層」の意味をここで決める。原論文は空の被覆に触れないので、本書はそれを含める約束を足す。
$T$ を位相空間とする。$T$ の開集合を対象とし、包含 $V\subset U$ をただ一つの射 $V\to U$ とする圏を $\mathrm{Ouv}(T)$ と書く。$\mathrm{Ouv}(T)$ 上の前層（本書『0-2 圏と前層』の定義「圏と関手と前層」の意味）を $T$ の上の前層といい、$V\subset U$ に対応する写像 $P(U)\to P(V)$ を $s\mapsto s|_V$ と書く。
$U$ の開被覆とは、$\mathcal U$ 小な添字集合 $I$ と $U$ の開集合の族 $(U_i)_{i\in I}$ で $\bigcup_iU_i=U$ となるものである。添字集合が空の族は、空集合 $\emptyset$ の開被覆に含める（空の被覆）。前層 $P$ が層であるとは、$T$ のどの開集合 $U$ とどの開被覆 $(U_i)_{i\in I}$ についても、写像の図式
$$P(U)\longrightarrow\prod_{i\in I}P(U_i)\rightrightarrows\prod_{(i,j)\in I\times I}P(U_i\cap U_j)$$
（左の写像は $s\mapsto(s|_{U_i})$、右の二本は $(s_i)\mapsto(s_i|_{U_i\cap U_j})$ と $(s_i)\mapsto(s_j|_{U_i\cap U_j})$）が等化子であることをいう。すなわち、重なりで一致する族 $(s_i)$ にはちょうど一つの $s\in P(U)$ があって $s|_{U_i}=s_i$ となる。
空の被覆について条件を書くと、右の二つの積は空の族の積で一点集合なので、層の条件は $P(\emptyset)$ が一点集合であることを言う。環の層（各 $P(U)$ が環で制限が環の準同型であるもの）では、$P(\emptyset)$ は零環である。
空集合は空でない族でも被覆できる（すべての片が $\emptyset$ の族）。その被覆についての条件は $P(\emptyset)$ を一点にしない。空の被覆の約束が効くのはこの点で、次の反例がその違いを示す。
上の定義（前層と層）の層の条件から、空の被覆についての条件を外す。$T$ を二点 $a,b$ からなる離散空間とし、前層 $P$ を、すべての開集合 $U$（$\emptyset$ を含む）で $P(U)=\{0,1\}$、制限をすべて恒等写像として定める。空でない被覆 $(U_i)$ について、重なりで一致する族 $(s_i)$ は、重なり（$\emptyset$ を含む）での値がすべて同じ集合 $\{0,1\}$ の恒等写像で比べられるので、すべての $s_i$ が等しい族に限る。そのような族は $s=s_i$ でただ一通りに $P(U)$ から来るので、空でない被覆についての条件はすべて成り立つ。しかし $P(\emptyset)$ は二点で、空の被覆についての条件は破れる。
この前層では、互いに交わらない開集合の和 $\{a,b\}=\{a\}\sqcup\{b\}$ の上の値 $P(\{a,b\})=\{0,1\}$ は $P(\{a\})\times P(\{b\})$（四点）と一致しない。空の被覆を含めて層であれば $P(\emptyset)$ は一点なので、互いに交わらない被覆では重なりの条件が空になり、値は積になる。本書『4-2 局所的な関手の表現可能性』の「和を積に移す」の条件は、この約束の下で層の条件の一部になる。
本書は、原論文の「層」をこの約束（空の和と空の被覆を含める）で読む。これは本書が足した仮定の一つで、本書『0-5 記号と約束』にまとめる。外したときに原論文のどの主張が崩れるかは、本書『4-2 局所的な関手の表現可能性』の反例「反例：空の被覆を除くと判定が崩れる」で示す。
- 使いどころ：本書『4-2 局所的な関手の表現可能性』の定義（局所的な関手）と主結果「表現可能な関手は局所的」「局所的な関手の言い換え」、およびそれを経る同じ頁の主結果「開部分関手で覆われる局所的な関手の表現可能性」「底の開被覆による表現可能性の判定」。
- 案内：層、前層、God58（層の理論の当時の標準の教科書）、Ser55 第 I 章。
環付き空間
原論文は、命題 5.3 の証明で貼り合わせた空間を「$k$ 代数の環付き空間」とみる（原論文の印字 11-24）が、環付き空間を定義しない。連作第 II 回 Gro61ii は、環付き空間の一般論を FAC Ser55 と、文献番号 [2] で引く当時刊行中の Grothendieck–Dieudonné の本の第 0 章の §4・§5 に送り（第 II 回の印字 9-08。この [2] は EGA1 に当たると読むが、本書は第 II 回の文献表と EGA I の該当箇所を開いて確かめていない）、$k$ 代数の環付き空間を一点の空間の上の環付き空間として述べる（印字 9-09）。本書の読みを次に定める。
環付き空間とは、位相空間 $X$ と、$X$ の上の可換環（単位元をもつ）の層 $\mathcal O_X$ の組 $(X,\mathcal O_X)$ である。$k$ を体とし、$\mathcal O_X$ が $k$ 代数の層（各 $\mathcal O_X(U)$ が $k$ 代数で制限が $k$ 代数の準同型であるもの）であるとき、$k$ 代数の環付き空間という。
$k$ 代数の環付き空間の射 $f\colon X\to Y$ は、連続写像 $f$ と、$Y$ の上の $k$ 代数の層の射 $f^\sharp\colon\mathcal O_Y\to f_*\mathcal O_X$（$(f_*\mathcal O_X)(V)=\mathcal O_X(f^{-1}(V))$）の組である。合成は $(g\circ f)^\sharp(W)=f^\sharp(g^{-1}(W))\circ g^\sharp(W)$ で定める。局所環の射であることは課さない。
$X$ の開集合 $U$ に $\mathcal O_X$ の $U$ の開集合への制限 $\mathcal O_X|_U$ を与えたものを開部分環付き空間といい、同じ記号 $U$ で書く。包含写像 $j\colon U\to X$ と、$X$ の開集合 $V$ ごとの制限写像 $\mathcal O_X(V)\to\mathcal O_X(V\cap U)=\mathcal O_U(j^{-1}(V))$ からなる層の射 $j^\sharp\colon\mathcal O_X\to j_*\mathcal O_U$ の組が射 $U\to X$ を定め、これを包含という（$V\subset U$ のとき $j^\sharp(V)$ は恒等写像である）。射 $g\colon X\to Z$ の $U$ への制限 $g|_U$ は、$g$ と包含の合成である。空の位相空間に零環の層を与えたものを空の環付き空間 $\emptyset$ と書く。
解析空間の射は $k$ 代数の環付き空間の射であり、茎の上で自動的に局所的になることは本書『0-4 解析空間』にある。開部分環付き空間を経由する射の記述も同じ頁の命題「開はめ込みの底変換と非交和」の証明にある。
- 使いどころ：本書『0-4 解析空間』の解析空間とその射の定義、本書『4-1 局所化射と貼り合わせの商』、本書『4-2 局所的な関手の表現可能性』、本書『4-3 開はめ込みの点ごとの判定』（点の部分空間とその包含）。
- 案内：環付き空間、Ser55（代数多様体を位相空間と関数の層の組として扱う）、God58。
環付き空間の貼り合わせ
原論文は、命題 5.3 の証明の終わりで、位相空間と環の層の貼り合わせで商空間が得られることを「よく知られている」とだけ書く（原論文の印字 11-23〜11-24）。命題 5.2 (iv) でも、射が開被覆の上で貼り合わさることを「射の定義から自明」とする（印字 11-23）。本書はこの二つを引用する事実として立てる。
$I$ を $\mathcal U$ 小な集合、$(X_i)_{i\in I}$ を $k$ 代数の環付き空間の族とし、$i,j\in I$ ごとに開集合 $X_{ij}\subset X_i$ と $k$ 代数の環付き空間の同型 $\varphi_{ji}\colon X_{ij}\to X_{ji}$ が与えられ、次を満たすとする。
(a) $X_{ii}=X_i$、$\varphi_{ii}=\mathrm{id}$。
(b) $\varphi_{ji}(X_{ij}\cap X_{ik})=X_{ji}\cap X_{jk}$。
(c) $X_{ij}\cap X_{ik}$ の上で $\varphi_{kj}\circ\varphi_{ji}=\varphi_{ki}$（コサイクル条件）。
このとき、$k$ 代数の環付き空間 $Y$、その開被覆 $(Y_i)_{i\in I}$、同型 $\psi_i\colon X_i\to Y_i$ で、$\psi_i(X_{ij})=Y_i\cap Y_j$、$X_{ij}$ の上で $\psi_j\circ\varphi_{ji}=\psi_i$ を満たすものがある。そのような $(Y,(\psi_i))$ は、$\psi_i$ と両立するただ一つの同型を除いて一意である。$Y$ の底の位相空間は、非交和 $\coprod_iX_i$ を「$x\in X_{ij}$ と $\varphi_{ji}(x)$ を同じとみなす」同値関係で割った商空間で、$\psi_i$ の底の連続写像は商写像の $X_i$ への制限である。$Y$ の開集合 $W$ について、商写像による $W$ の逆像の $X_i$ の部分を $W_i\subset X_i$ と書くと、$\mathcal O_Y(W)$ は、切断の族 $(s_i\in\mathcal O_{X_i}(W_i))_i$ で、どの $i,j$ についても $X_{ij}\cap W_i$ の上で $s_i|_{X_{ij}\cap W_i}=\varphi_{ji}^\sharp\bigl(s_j|_{X_{ji}\cap W_j}\bigr)$（$\varphi_{ji}(X_{ij}\cap W_i)=X_{ji}\cap W_j$ に沿う引き戻し）を満たすものの全体である。$I=\emptyset$ なら $Y=\emptyset$ である。
条件 (a)〜(c) は、商をとるための関係が同値関係になることを保証する（(a) が反射律、(c) を $k=i$ に当てた $\varphi_{ij}\varphi_{ji}=\mathrm{id}$ が対称律、(b)(c) が推移律）。原論文の命題 5.3 の証明は $X_{ii}=X_i$ とコサイクルの式だけを書き（原論文の印字 11-23）、(b) の等号を書かない。本書『4-1 局所化射と貼り合わせの商』の主結果「はめ込みで局所的な同値の対の商」は、(b) の等号も同値の対から導いてからこの定理を使う。
$X$、$Z$ を $k$ 代数の環付き空間とする。
(1) $X$ の開被覆 $(U_i)_{i\in I}$ と射 $g_i\colon U_i\to Z$ の族で、どの $i,j$ についても $U_i\cap U_j$ の上で $g_i$ と $g_j$ の制限が一致するものがあれば、各 $U_i$ への制限が $g_i$ である射 $g\colon X\to Z$ がただ一つある。すなわち、$X$ の開集合 $U$ に $\mathrm{Hom}(U,Z)$ を、包含に射の制限を対応させる前層は、上の定義（前層と層）の意味の層である（空の被覆については、$\emptyset$ から $Z$ への射がただ一つであることに当たる）。
(2) 上の定理（環付き空間の貼り合わせ）の $Y$ から $Z$ への射は、$X_{ij}$ の上で $g_j\circ\varphi_{ji}=g_i$ を満たす射 $g_i\colon X_i\to Z$ の族と、$g\mapsto(g\circ\psi_i)_i$ によって一対一に対応する。
- は (1) を開被覆 $(Y_i)$ に当て、$\psi_i$ で $X_i$ に写したものである。$\emptyset$ からの射は、空写像と零環への準同型の組ただ一つである。本書の札の基準では、この二つの定理を使う主結果は［条件付き］で、札でこの頁の見出し名を名指す。第 4 章の主結果は、この二つや本書『0-4 解析空間』の引用する事実を使うので［条件付き］になり、連作の定理を使わないものは札の理由に「解析空間の定義の下では完結」と添える。
- 使いどころ：定理（環付き空間の貼り合わせ）は本書『4-1 局所化射と貼り合わせの商』の主結果「はめ込みで局所的な同値の対の商」（同じ頁の主結果「相対的な貼り合わせの商」は主結果 2 を経て使う。本書『4-2 局所的な関手の表現可能性』の主結果「開部分関手で覆われる局所的な関手の表現可能性」も 4-1 を経て使う）、本書『4-2 局所的な関手の表現可能性』の命題「分離的な読みでの底の開被覆による判定」、本書『0-4 解析空間』の例「原点を二重にした直線」。定理（環付き空間と射の貼り合わせ）は、本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」、本書『4-1 局所化射と貼り合わせの商』の主結果「局所化射の基本性質」（普遍有効エピであること）と「はめ込みで局所的な同値の対の商」（同じ頁の主結果「相対的な貼り合わせの商」は主結果 2 を経て使う）、本書『4-2 局所的な関手の表現可能性』の主結果「表現可能な関手は局所的」、反例「反例：分離的な読みでは局所的な関手の判定が崩れる」と命題「分離的な読みでの底の開被覆による判定」。
- 案内：層、環付き空間、Ser55（貼り合わせの当時の出典の一つ）、God58 第 II 章。
分離的な空間と非交和
貼り合わせで作った空間は、片がどれも分離的でも分離的とは限らない。連作は解析空間に分離性を要求しないので（本書『0-4 解析空間』）、この違いが第 4 章の主張の成否に効く。また原論文の定義 5.1 の局所化射は、開集合の非交和からの射として定義される（原論文の印字 11-22）。二つの語をここで定める。
位相空間 $X$ は、相異なる二点がつねに互いに交わらない開近傍をもつとき分離的（Hausdorff）であるという。$X$ の部分集合で開かつ閉なものを開かつ閉な部分という。互いに交わらない開かつ閉な部分の族 $(X_i)$ で $X$ を覆うものを、$X$ の開かつ閉な分解といい、$X=\coprod_iX_i$ と書く。
$\mathcal U$ 小な集合 $I$ と $k$ 代数の環付き空間の族 $(X_i)_{i\in I}$ の非交和 $\coprod_iX_i$ は、底の集合を非交和とし、各 $X_i$ との交わりが開である部分集合を開集合とし、開集合 $W$ に $\prod_i\mathcal O_{X_i}(W\cap X_i)$ を対応させる層を与えた $k$ 代数の環付き空間である。各 $X_i$ はその開かつ閉な部分で、誘導された構造はもとの $X_i$ である。$I=\emptyset$ のとき非交和は空の環付き空間 $\emptyset$ である。
逆に、$k$ 代数の環付き空間 $X$ の開かつ閉な分解 $X=\coprod_iX_i$ があれば、上の定義（前層と層）の空の被覆を含む層の条件により $\mathcal O_X(W)=\prod_i\mathcal O_X(W\cap X_i)$ となり（重なりが空で、空集合での値は零環）、$X$ は開部分環付き空間 $X_i$ の非交和に同型である。非交和が解析空間の圏の和であることは、本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」の (2) にある。
- 使いどころ：本書『0-4 解析空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」の (2) と注意「分離性を課す流儀との違い」、本書『4-1 局所化射と貼り合わせの商』の定義（局所化射）と反例「反例：分離的な空間だけでは貼り合わせの商が作れない」、本書『4-2 局所的な関手の表現可能性』の反例「反例：分離的な読みでは局所的な関手の判定が崩れる」。
- 案内：Hausdorff空間、God58。
次の例は、貼り合わせの定理を最も小さい場合（片が二つ）に当てたもので、貼り方を変えると分離的な空間とそうでない空間の両方ができることを示す。解析空間の構造まで込めた同じ構成は本書『0-4 解析空間』の例「原点を二重にした直線」で、以後の反例はそちらを使う。
$k$ を自明でない絶対値をもつ体（たとえば実数体や複素数体）とし、$k$ に絶対値の定める位相と、連続な $k$ 値関数の $k$ 代数の層を与えたものを直線と呼ぶ。直線の二つの写し $X_1$、$X_2$ と、開集合 $X_{12}=X_1-\{0\}$、$X_{21}=X_2-\{0\}$、$X_{11}=X_1$、$X_{22}=X_2$ をとる。片が二つなので、上の定理（環付き空間の貼り合わせ）の条件は $\varphi_{11}$、$\varphi_{22}$ が恒等で $\varphi_{12}=\varphi_{21}^{-1}$ であることに帰着する。
(1) $\varphi_{21}$ を恒等写像 $x\mapsto x$ にとる。貼り合わせた空間 $M$ では、$X_1$ と $X_2$ の $0$ でない点が同一視され、二つの原点 $0'$、$0''$ だけが別の点として残る。$0'$ の開近傍は、ある $\varepsilon>0$ について $X_1$ の $\{|x|<\varepsilon\}$ の像を含み、$0''$ の開近傍は、ある $\varepsilon'>0$ について $X_2$ の $\{|x|<\varepsilon'\}$ の像を含む。絶対値は自明でないので $0<|x|<\min(\varepsilon,\varepsilon')$ となる $x$ があり、その点は $M$ の中で両方の近傍に入る。したがって $0'$ と $0''$ は交わらない開近傍で分けられず、$M$ は分離的でない。一方 $M$ は、分離的な二つの開集合（$X_1$、$X_2$ の像）で覆われている。
(2) $\varphi_{21}$ を反転 $x\mapsto x^{-1}$ にとる。反転は $k-\{0\}$ の同相写像で、連続関数を連続関数に引き戻すので、環付き空間の同型である。貼り合わせた空間 $P$ は分離的である。実際、二点が同じ片の像に入れば、その片（$k$ と同相）の中で分けられる。そうでない二点は、$X_1$ の原点と $X_2$ の原点の像である。$X_1$ の $\{|x|<1\}$ と $X_2$ の $\{|y|<1\}$ の像が交わるなら、交わりの点は $X_{12}$ の $x$ で $|x|<1$ かつ $|x^{-1}|<1$ を満たすことになり、そのような $x$ は無い。
実数体では $P$ は円周に、複素数体では Riemann 球面に同相である（立体射影による。本書は以後使わない）。
- と (2) は、同じ片と同じ重なりから、貼り合わせの同型の選び方だけで分離性が変わることを示している。本書が足した仮定「解析空間は分離的とは限らない」を外すと第 4 章の二つの命題が偽になるのは、(1) の型の空間が商として必要になるからである。
その後の発展
以下は後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書は文献を開いて確かめていない）。
- 層の理論の整備（1955〜1958 年）：位相空間の上の層と環付き空間の貼り合わせは、Serre の FAC Ser55 で代数多様体の扱いに使われ、Godement の教科書 God58 で体系的にまとめられた。連作第 II 回はこの言葉で解析空間を定義した（Gro61ii、本書『0-4 解析空間』）。
- 開被覆から被覆の族へ（1962〜1972 年）：開集合の上の層の条件は、後に Grothendieck 位相の上の層の条件として一般化された（SGA4）。本書『4-2 局所的な関手の表現可能性』の局所的な関手は、後代の言葉では解析空間の圏に開被覆の位相を入れたときの層に当たる、と説明される。原論文の紙面に位相・サイトの語は無い。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Gro61iv である。本頁は前提の頁で、原論文の主張の証明は含まない。印字頁は PDF の頁番号から 1 を引いたもの（PDF $n$ が印字 11-$(n-1)$）である。連作第 II 回の頁は第 II 回の印字頁で書く。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（前層と層）、反例（反例：空の被覆を除くと空集合での値は一点とは限らない） | 定義 5.4 と直後の言い換え、補題 5.5 の a（和を積に移す） | 11-24 |
| 定義（環付き空間） | 命題 5.3 の証明の終わり（$k$ 代数の環付き空間）。連作第 II 回の環付き空間の段 | 11-24（第 II 回 9-08〜9-09） |
| 定理（環付き空間の貼り合わせ） | 命題 5.3 の証明（「bien connu」の貼り合わせ） | 11-23〜11-24 |
| 定理（環付き空間と射の貼り合わせ） | 命題 5.2 (iv) の説明、定義 5.4 の「trivialement」 | 11-23、11-24 |
| 定義（分離的な空間と非交和） | 定義 5.1（開集合の非交和）。分離性は原論文に無く、連作第 II 回の定義 2.1 の直後の注意 | 11-22（第 II 回 9-09） |
| 例（二枚の直線の貼り合わせ） | 原論文に無い。連作第 II 回の定義 2.1 の直後の注意（原点を二重にした直線） | 第 II 回 9-09 |
参考文献
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