6-3 fiberと特殊化
前提知識：SpecとZariski位相、fiber積とbase change、schemeの点とresidue field
一つの方程式を、図形の族として読む
field $k$ 上のequation
$$
xy=t
$$
を考えます。$t$ をconstantと見れば、$t=a$ ごとにplane curve
$$
xy=a
$$
が一つ得られます。しかし $t$ をparameterとして残し、ring map
$$
k[t]\longrightarrow k[x,y],
\qquad
t\longmapsto xy
$$
に対応するmorphism
$$
f:\mathbb A_k^2\longrightarrow\mathbb A_k^1
$$
を考える方が、全曲線を一つのobjectとして扱えます。
$a\ne0$ のfiberはsmooth hyperbolaですが、$a=0$ のfiberはtwo coordinate axes $V(xy)$ に分かれます。さらにequation $x^2=t$ では、base fieldを拡大すると一つのpointが二つへ分かれることがあります。scheme-theoretic fiberは、点の個数だけでなくresidue fields、multiplicities、nilpotentsを保持したまま「parameterを固定する」操作です。
この章では三つの問いを整理します。
- ordinary fiberのpointsはtotal spaceのどのpointsか。
- algebraic closureへbase changeするとpointsはどうsplitするか。
- genericな状態からspecialな状態へ移ることをZariski topologyはどう記録するか。
scheme-theoretic fiberの再確認
morphism $f:X\to S$ とpoint $s\in S$ に対し
$$
X_s:=X\times_S\operatorname{Spec}\kappa(s)
$$
を $f$ の $s$ におけるscheme-theoretic fiber|scheme-theoretic fiberという。
projectionを
$$
p_s:X_s\longrightarrow X
$$
と書きます。affine case
$$
S=\operatorname{Spec}A,
\qquad
X=\operatorname{Spec}B,
\qquad
s=\mathfrak p
$$
では
$$
X_s
\cong
\operatorname{Spec}\bigl(B\otimes_A\kappa(\mathfrak p)\bigr).
$$
$T=A\setminus\mathfrak p$ と置くと
$$
\kappa(\mathfrak p)=\operatorname{Frac}(A/\mathfrak p)
=T^{-1}(A/\mathfrak p),
$$
従ってtensor productとlocalizationの普遍性から
$$
B\otimes_A\kappa(\mathfrak p)
\cong
T^{-1}(B/\mathfrak pB).
$$
このformulaには二つの操作が見えます。まず $\mathfrak pB$ で割ってbase equationsを $s$ にspecializeし、次に $A/\mathfrak p$ のnonzero elementsをinvertしてresidue fieldまで移ります。
ordinary fiberのpoints
set-theoretic inverse image
$$
f^{-1}(s)=\{x\in X\mid f(x)=s\}
$$
とscheme-theoretic fiberのunderlying point setは一致します。ただし後者は各pointのresidue fieldとnilpotent structureも持ちます。
projection $p_s:X_s\to X$ はunderlying point setsについてbijection
$$
|X_s|\xrightarrow{\sim}f^{-1}(s)
$$
を与える。さらにこのbijectionは $|X_s|$ とsubspace $f^{-1}(s)\subseteq|X|$ のhomeomorphismであり、corresponding points $\widetilde x\in X_s$、$x\in X$ のresidue fieldsにはcanonical isomorphism
$$
\kappa(\widetilde x)\cong\kappa(x)
$$
がある。
これはpoints of a scheme-theoretic fiber|scheme-theoretic fiberのpointsの基本定理です。
claimはlocal on $X$ and $S$なので、上のaffine notationを使います。fiber ringを
$$
C=T^{-1}(B/\mathfrak pB)
$$
と書きます。$C$ のprime idealsは、localizationのprime correspondenceにより、$B/\mathfrak pB$ のprime idealsで $T$ のimageと交わらないものにbijectionします。これは $B$ のprime ideals $\mathfrak q$ で
$$
\mathfrak pB\subseteq\mathfrak q,
\qquad
\mathfrak q\cap T=\varnothing
$$
を満たすものと同じです。
first conditionから $\mathfrak p\subseteq\mathfrak q\cap A$、second conditionから $\mathfrak q\cap A\subseteq\mathfrak p$。従ってexactly
$$
\mathfrak q\cap A=\mathfrak p,
$$
すなわち $f(\mathfrak q)=s$ です。これでpoint-set bijectionを得ます。
topologyも確認します。$C$ のclosed subset $V_C(J)$ について、$J$ のinverse imageを $B$ のideal $I$ とすれば、そのimageは
$$
V_B(I)\cap f^{-1}(s)
$$
です。逆に $B$ のidealから得るintersectionも対応するextended idealのzero locusです。従ってclosed subsetsはsubspace closed subsetsと一致し、bijectionはhomeomorphismです。
最後に $\widetilde x$ に対応するprimeを $\widetilde{\mathfrak q}\subset C$、$x$ に対応するprimeを $\mathfrak q\subset B$ とします。$B/\mathfrak q$ のnonzero elementsのうち $A\setminus\mathfrak p$ から来るものを先にinvertしても、最後にfraction fieldを取れば同じなので
$$
\kappa(\widetilde x)
=\operatorname{Frac}(C/\widetilde{\mathfrak q})
\cong\operatorname{Frac}(B/\mathfrak q)
=\kappa(x).
$$
affine charts間でこのmapはcanonical residue-field mapsと一致するのでglobalにglueします。□
この定理により、ordinary fiberはpointsを余分に増やしません。pointsのsplittingを見るにはresidue fieldをさらに拡大する必要があります。
fiberのrational points
$X_s$ は $\kappa(s)$-schemeです。そのrational pointsは
$$
X_s(\kappa(s))
=\operatorname{Hom}_{\kappa(s)}
(\operatorname{Spec}\kappa(s),X_s)
$$
です。fiber productのuniversal propertyから、これはcommutative triangle
$$
\begin{array}{ccc}
\operatorname{Spec}\kappa(s)&\longrightarrow&X\\
&\searrow&\downarrow f\\
&&S
\end{array}
$$
と同じです。
$X_s(\kappa(s))$ は、points $x\in X$ with $f(x)=s$ and $\kappa(s)$-algebra isomorphism $\kappa(x)\cong\kappa(s)$ に対応する。equivalently、fiber上でresidue fieldが増えていないpointsである。
前の頁のfield-valued point classificationを $\kappa(s)$-scheme $X_s$ に適用します。$\kappa(s)$-rational point centered at $\widetilde x$ は $\kappa(s)$-algebra embedding
$$
\kappa(\widetilde x)\hookrightarrow\kappa(s)
$$
に対応します。structure mapにより逆向きのembedding $\kappa(s)\hookrightarrow\kappa(\widetilde x)$ があり、compositionがidentityで、前者のimageは $\kappa(s)$ 全体です。従って両fieldsはisomorphicです。先の定理で $\kappa(\widetilde x)\cong\kappa(x)$ なのでclaimを得ます。□
field extension後のfiber
field extension $K/\kappa(s)$ に対し
$$
X_{s,K}:=X_s\times_{\operatorname{Spec}\kappa(s)}\operatorname{Spec}K
$$
を考えます。これは同じfiberをより大きいcoordinate fieldで観測する操作です。
$\Omega$ を $\kappa(s)$ のalgebraic closureとするとき
$$
X_{\bar s}:=X_s\times_{\operatorname{Spec}\kappa(s)}\operatorname{Spec}\Omega
$$
を $f$ の $s$ 上のgeometric fiber|geometric fiberという。
algebraic closureのchoiceはcanonicalではありませんが、二つのchoicesは $\kappa(s)$ 上isomorphicであり、対応するgeometric fibersもnoncanonically isomorphicです。従って「geometrically reduced」「geometrically irreducible」のようなisomorphism-invariant propertyにはchoiceが影響しません。
一点がどう分裂するか
$K/\kappa(s)$ のbase change projection
$$
\pi:X_{s,K}\longrightarrow X_s
$$
を考えます。ordinary fiberのpoint $x$ の上に何個のpointsが来るかは、tensor product of fieldsが支配します。
$x\in X_s$ に対し、$\pi^{-1}(x)$ はschemeとして
$$
\operatorname{Spec}\bigl(\kappa(x)\otimes_{\kappa(s)}K\bigr)
$$
にcanonically isomorphicである。従って $x$ の上のpointsはprime ideals of $\kappa(x)\otimes_{\kappa(s)}K$ とbijectionする。
これはsplitting of scheme points after field extension|field extensionによるscheme pointsのsplittingです。
$\pi$ 自身がbase change
$$
X_s\times_{\operatorname{Spec}\kappa(s)}\operatorname{Spec}K
\longrightarrow X_s
$$
です。$x$ におけるscheme-theoretic fiberを取ると、fiber productsのassociativityにより
$$
\begin{aligned}
(X_{s,K})_x
&=X_{s,K}\times_{X_s}\operatorname{Spec}\kappa(x)\\
&\cong
\operatorname{Spec}K
\times_{\operatorname{Spec}\kappa(s)}
\operatorname{Spec}\kappa(x)\\
&\cong
\operatorname{Spec}
(\kappa(x)\otimes_{\kappa(s)}K).
\end{aligned}
$$
ordinary fiber point theoremにより、このfiberのunderlying pointsはちょうど $\pi^{-1}(x)$ です。□
このtensor productはzero ringにはなりません。実際fields are flat over a subfieldであり、$\kappa(x)\ne0$ なのでtensoring the injection $\kappa(s)\hookrightarrow K$ with $\kappa(x)$ preserves injectivity. 従って少なくとも一つprime idealを持ちます。ただし一つのfieldになるとは限りません。
separable extensionはpointsを分ける
$\mathbb C$ を $\mathbb R$-algebraと見れば
$$
\mathbb C\cong\mathbb R[u]/(u^2+1).
$$
従って
$$
\begin{aligned}
\mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb C
&\cong\mathbb C[u]/(u^2+1)\\
&=\mathbb C[u]/((u-i)(u+i))\\
&\cong\mathbb C\times\mathbb C
\end{aligned}
$$
by Chinese remainder theorem. ゆえに $\operatorname{Spec}\mathbb C$ のone point over $\mathbb R$ は、base change to $\mathbb C$ でtwo pointsへsplitします。二つはembeddings $i\mapsto i$ and $i\mapsto-i$ に対応します。
inseparable extensionはnilpotentsを生む
characteristic $p>0$ とし
$$
k=\mathbb F_p(u),
\qquad
L=k[v]/(v^p-u)
$$
とします。$v^p-u$ は $k$ 上irreducibleと仮定し、$L/k$ はpurely inseparable extension of degree $p$です。$L$ 上では $u=v^p$ なので
$$
\begin{aligned}
L\otimes_kL
&\cong L[T]/(T^p-u)\\
&=L[T]/(T^p-v^p)\\
&=L[T]/((T-v)^p)\\
&\cong L[\varepsilon]/(\varepsilon^p).
\end{aligned}
$$
underlying pointは一つのままですが、nonzero nilpotent $\varepsilon$ が現れます。この例はinseparable base change creates nilpotents|inseparable base changeによるnilpotentsを示します。
geometric properties
field $k$ 上のscheme $X$ がgeometrically reduced scheme|geometrically reducedであるとは、任意のfield extension $K/k$ に対して $X_K$ がreducedであることをいう。geometrically irreducible scheme|geometrically irreducibleも同様に、任意のfield extension後にirreducibleであることをいう。
実際にはalgebraic closureへのbase changeを調べれば十分であるというreduction theoremがありますが、そのproofにはfaithfully flat descentを使うため、本章では使用しません。上のpurely inseparable exampleから、$\operatorname{Spec}L$ はfieldのSpecなのでreducedであっても、$k$ 上geometrically reducedとは限らないことが分かります。
一方、$\operatorname{Spec}\mathbb C$ over $\mathbb R$ はirreducibleですが、geometric fiberはtwo pointsなのでgeometrically irreducibleではありません。「reduced」「irreducible」と「geometrically reduced」「geometrically irreducible」を区別する必要があります。
base changeしたfamilyのfiber
$g:S'\to S$ とbase-changed family
$$
f':X':=X\times_SS'\longrightarrow S'
$$
を考えます。$s'\in S'$、$s=g(s')$ と置くとresidue-field embedding $\kappa(s)\hookrightarrow\kappa(s')$ があります。
canonical isomorphism
$$
X'_{s'}
\cong
X_s\times_{\operatorname{Spec}\kappa(s)}
\operatorname{Spec}\kappa(s')
$$
がある。
これはfiber commutes with base change|fiberとbase changeの可換性です。
definitionsとfiber productのassociativityから
$$
\begin{aligned}
X'_{s'}
&=(X\times_SS')\times_{S'}\operatorname{Spec}\kappa(s')\\
&\cong X\times_S\operatorname{Spec}\kappa(s')\\
&\cong
(X\times_S\operatorname{Spec}\kappa(s))
\times_{\operatorname{Spec}\kappa(s)}
\operatorname{Spec}\kappa(s')\\
&=X_s\times_{\operatorname{Spec}\kappa(s)}
\operatorname{Spec}\kappa(s').
\end{aligned}
$$
middle isomorphism uses the canonical factorization
$\operatorname{Spec}\kappa(s')\to\operatorname{Spec}\kappa(s)\to S$。すべてのmapsはuniversal propertiesからuniqueなのでcanonicalです。□
specialization order
ordinary Euclidean topologyではone pointのclosureはitselfです。Zariski topologyではgeneric pointのclosureがlarge subspaceになるため、pointsの間にdirectionが生まれます。
topological space $X$ のpoints $x,y$ について
$$
y\in\overline{\{x\}}
$$
のとき、$y$ を $x$ のspecialization of a scheme point|specialization、$x$ を $y$ のgeneralization of a scheme point|generalization（generizationともいう）という。$x\leadsto y$ と書く。
reflexivityとclosureのtransitivityから、specializationはpreorderです。schemeのunderlying spaceは$T_0$なので、$x\leadsto y$ and $y\leadsto x$なら $x=y$。従ってscheme points上ではpartial orderになります。
$X=\operatorname{Spec}A$ のpoints $\mathfrak p,\mathfrak q$ について
$$
\mathfrak p\leadsto\mathfrak q
\quad\Longleftrightarrow\quad
\mathfrak p\subseteq\mathfrak q.
$$
特にminimal primes are most general points、maximal ideals are closed pointsである。
「SpecとZariski位相」で示したpoint closure formula
$$
\overline{\{\mathfrak p\}}=V(\mathfrak p)
=\{\mathfrak q\mid\mathfrak p\subseteq\mathfrak q\}
$$
を使えばequivalenceは直ちに従います。$\mathfrak p$ がminimalならそれよりproperly generalなprimeはなく、maximalならspecializationはitselfだけです。□
opensとclosed subsetsが向きを記録する
scheme $X$ で次が成り立つ。
- open subsetはgeneralizationの下でstableである。
- closed subsetはspecializationの下でstableである。
- continuous map、従ってscheme morphismはspecializationを保つ。
- $U$ をopen、$y\in U$ とし、$x\leadsto y$、すなわち $y\in\overline{\{x\}}$ とします。もし $x\notin U$ ならclosed subset $X\setminus U$ は $x$ を含むためclosure $\overline{\{x\}}$ 全体を含み、$y\notin U$ となってcontradiction。従って $x\in U$。
- $Z$ closed、$x\in Z$ and $x\leadsto y$なら、$Z$ は $x$ を含むclosed subsetなので $\overline{\{x\}}\subseteq Z$。従って $y\in Z$。
- continuous map $h:X\to Y$ に対し
$$ h(\overline{\{x\}})\subseteq\overline{\{h(x)\}} $$
です。$x\leadsto y$なら $h(y)\in\overline{\{h(x)\}}$、すなわち $h(x)\leadsto h(y)$。□
local schemeはgeneralizationsを集める
point $x\in X$ に対するcanonical map
$$
j_x:\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,x}\longrightarrow X
$$
を考えます。affine neighborhood $X=\operatorname{Spec}A$、$x=\mathfrak p$ では $A\to A_{\mathfrak p}$ に対応します。
$j_x$ のimageは $x$ のgeneralizations全体
$$
\{y\in X\mid y\leadsto x\}
$$
である。unique closed point $\mathfrak m_x\in\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,x}$ は $x$ へ写る。
affine notationで、$A_{\mathfrak p}$ のprimesは $A$ のprimes $\mathfrak q\subseteq\mathfrak p$ とbijectionします。affine specialization criterionにより、これはexactly $\mathfrak q\leadsto\mathfrak p=x$ です。また $A_{\mathfrak p}$ のunique maximal ideal $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ は $\mathfrak p$ にcontractするので $x$ へ写ります。statementはaffine neighborhoodに依存しません。□
これはlocal scheme collects generalizations|local schemeがgeneralizationsを集めるという幾何学的意味です。stalkは「小さなopen neighborhoodsの極限」なので、$x$ とそこへspecializeできるmore general pointsを同時に見ています。
generic fiberとspecial fiber
$S$ をintegral scheme、$\eta$ をgeneric pointとします。morphism $f:X\to S$ に対し
$$
X_\eta=X\times_S\operatorname{Spec}K(S)
$$
をgeneric fiber|generic fiberと呼びます。closed point $s$ などのfiber $X_s$ は文脈によりspecial fiber|special fiberと呼ばれます。
注意すべきことは、一般にはcanonical morphism $X_\eta\to X_s$ がないことです。$\eta\leadsto s$ はbase spaceのtopological relationですが、residue fields $K(S)$ and $\kappa(s)$ の間にcanonical field homomorphismはありません。二つのfibersの関係は、total space $X$ のspecialization relationsや、baseを通るtraitを介して読みます。
affine line上のfamily $xy=t$
$S=\operatorname{Spec}k[t]$、$X=\operatorname{Spec}k[x,y]$ with $t\mapsto xy$ とします。
generic point $\eta=(0)$ has residue field $k(t)$なので
$$
X_\eta
\cong
\operatorname{Spec}k(t)[x,y]/(xy-t).
$$
$t$ is nonzero and invertible in $k(t)$, hence $x$ and $y$ are invertible subject to $y=t/x$。従って
$$
X_\eta\cong\operatorname{Spec}k(t)[x,x^{-1}],
$$
an irreducible smooth curve over $k(t)$です。
closed point $s=(t)$ のfiberは
$$
X_s\cong\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy),
$$
two affine lines meeting at originです。generic fiberからspecial fiberへのmapはありませんが、total spaceのprime
$$
(0)\subset(x)\subset(x,y)
$$
はgeneric pointからone component、さらにintersection pointへのspecialization chainを記録します。同様に $(0)\subset(y)\subset(x,y)$ がother componentを記録します。
この現象をdegeneration of fibers|degeneration of fibersと呼びます。後の章でsmoothnessやflatnessを導入すると、「どの性質がfiber間で安定か」を精密に問えるようになります。
traitが表す一方向の変化
discrete valuation ring $R$ のspectrum
$$
T=\operatorname{Spec}R
$$
をtrait in algebraic geometry|traitという。$T$ はgeneric point $\eta$ とclosed point $s$ を持ち、$\eta\leadsto s$ である。
代表例は $R=k[t]_{(t)}$ です。its fraction field is $k(t)$、residue field is $k$。morphism $T\to S$ は、generic objectとそのone-parameter specializationを同時に記述します。すべてのspecializationをtraitで実現する一般定理にはvaluation theoryが必要なのでここでは証明しませんが、propernessのvaluative criterionを学ぶ際にtraitsが再登場します。
演習
ring map $k[t]\to k[x]$、$t\mapsto x^2$ に対応する $f:\mathbb A_k^1\to\mathbb A_k^1$ を考える。$a\in k$ におけるfiberを求めよ。$\operatorname{char}k\ne2$、$k$ algebraically closedとして、$a\ne0$ and $a=0$ のunderlying points and nilpotentsを比較せよ。
$a$ corresponds to $k[t]\to k$、$t\mapsto a$。affine fiber formula gives
$$
X_a\cong\operatorname{Spec}k[x]/(x^2-a).
$$
$a\ne0$ならalgebraic closednessから $a=b^2$ with $b\ne0$。char $k\ne2$なので $b\ne-b$ and
$$
x^2-a=(x-b)(x+b)
$$
with comaximal factors. Chinese remainder theorem gives
$$
k[x]/(x^2-a)\cong k\times k.
$$
従ってtwo reduced pointsです。
$a=0$なら $k[x]/(x^2)$。underlying spectrum has one prime $(x)$ onlyですが、class of $x$ is a nonzero nilpotent with square zero. 従ってone nonreduced double pointです。point count aloneではtwo pointsがcollisionしてmultiplicityを残したことを表せません。□
$A\to B$、$s=\mathfrak p\in\operatorname{Spec}A$ に対し、fiber ringが
$$
B\otimes_A\kappa(\mathfrak p)
\cong(A\setminus\mathfrak p)^{-1}(B/\mathfrak pB)
$$
となることをuniversal propertiesから証明せよ。
$T=A\setminus\mathfrak p$ と置きます。first quotientにより
$$
B\otimes_A(A/\mathfrak p)\cong B/\mathfrak pB.
$$
また $\kappa(\mathfrak p)=T^{-1}(A/\mathfrak p)$。tensor product commutes with localizationなので
$$
\begin{aligned}
B\otimes_A\kappa(\mathfrak p)
&\cong
(B\otimes_AA/\mathfrak p)
\otimes_{A/\mathfrak p}T^{-1}(A/\mathfrak p)\\
&\cong T^{-1}(B/\mathfrak pB).
\end{aligned}
$$
explicitly $b\otimes(\bar a/\bar t)$ maps to $ab/t$。inverse sends $b/t$ to $b\otimes(1/\bar t)$。balanced and localization relations show both are well-defined, and pure tensors verify that they are inverse. □
$X=\operatorname{Spec}\mathbb Z$ で、(i) generic point $(0)$ のspecializations、(ii) closed point $(p)$ のgeneralizationsを求めよ。またopen subset $D(n)$ に含まれるclosed pointsを記述せよ。
specialization criterionはideal inclusionです。every prime ideal contains $(0)$なので $(0)$ のspecializationsは $(0)$ 自身とall prime ideals $(p)$。従ってgeneric pointのclosureはwhole $X$です。
$(p)$ にcontained primesは $(0)$ and $(p)$ onlyなので、そのgeneralizationsはこの二点です。principal open
$$
D(n)=\{\mathfrak q\mid n\notin\mathfrak q\}
$$
は $(0)$ と、$n$ を割らないprime numbers $p$ に対応するclosed points $(p)$ を含みます。$D(n)$ がgeneralization-stableであることも直接確認できます。□
$L/k$ をfinite separable field extensionとし、$\Omega$ をalgebraic closure of $k$ とする。$k$-embeddings $\sigma:L\hookrightarrow\Omega$ の本数が $[L:k]$ であることを既知として
$$
L\otimes_k\Omega\cong\prod_{\sigma:L\hookrightarrow\Omega}\Omega
$$
をprimitive element theoremとChinese remainder theoremから示せ。geometric fiberのpointsを記述せよ。
finite separable extensionなのでprimitive element theoremにより $L=k(\alpha)$。minimal polynomial $m(T)\in k[T]$ has degree $[L:k]$ and has distinct roots $\sigma(\alpha)$ in $\Omega$。従って
$$
\begin{aligned}
L\otimes_k\Omega
&\cong\Omega[T]/(m(T))\\
&\cong
\Omega[T]/\prod_\sigma(T-\sigma(\alpha))\\
&\cong\prod_\sigma\Omega
\end{aligned}
$$
by Chinese remainder theorem, since distinct linear factors are pairwise comaximal. The spectrum of a product of $[L:k]$ fields is a disjoint union of $[L:k]$ reduced points. Thus one point of $\operatorname{Spec}L$ over $k$ splits into points indexed by embeddings $L\hookrightarrow\Omega$。□
$f:X\to S$、$g:S'\to S$、$X'=X\times_SS'$ とする。$s'\in S'$、$s=g(s')$ に対するfiber base-change formulaをaffine ringsだけで証明せよ。
affine neighborhoodsを選び
$$
S=\operatorname{Spec}A,
\quad
S'=\operatorname{Spec}A',
\quad
X=\operatorname{Spec}B
$$
とします。$s'$ corresponds to $\mathfrak p'\subset A'$ and $s$ to $\mathfrak p=\mathfrak p'\cap A$。base-changed total ring is $B\otimes_AA'$。従ってleft-hand fiber ring is
$$
(B\otimes_AA')\otimes_{A'}\kappa(\mathfrak p')
\cong B\otimes_A\kappa(\mathfrak p').
$$
right-hand sideのring is
$$
(B\otimes_A\kappa(\mathfrak p))
\otimes_{\kappa(\mathfrak p)}\kappa(\mathfrak p')
\cong B\otimes_A\kappa(\mathfrak p').
$$
where $\kappa(\mathfrak p)\to\kappa(\mathfrak p')$ is the residue-field map induced by $g$。associativity maps pure tensor $(b\otimes a')\otimes c$ to $b\otimes a'c$ and gives the canonical isomorphism. Affine constructions agree on overlaps, so the scheme isomorphism is global. □
この章で得た橋
ordinary fiber $X_s$ のpointsはset-theoretic inverse image $f^{-1}(s)$ とexactly一致し、residue fieldsも保たれます。しかしfield extension後、point $x$ の上には
$$
\operatorname{Spec}(\kappa(x)\otimes_{\kappa(s)}K)
$$
が現れ、separable extensionならsplitting、inseparable extensionならnilpotentsが起こり得ます。geometric fiberは、このhidden field-theoretic structureをalgebraic closure上で展開したobjectです。
specialization orderはZariski topologyにおける「genericからspecialへ」のdirectionを記録します。familyのgeneric and special fibersの間に直接のmapがなくても、total space内のspecialization chainsとtraitsが両者を結びます。次の頁では、subschemeをambient schemeへ入れる三つの基本形――open immersion、closed immersion、locally closed immersion――をring and ideal dataから構成します。
参考文献
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