6-2 schemeの点とresidue field

前提知識：局所環とgerm、SpecとZariski位相、schemeの射と局所表示、fiber積とbase change

「点」は場所だけではない

多項式方程式の解を考えるとき、点は座標のtupleに見えます。しかしscheme $X$ のunderlying topological spaceの点 $x$ は、それだけでは終わりません。点の近くのfunctionsを集めたlocal ring $\mathcal O_{X,x}$ があり、そのmaximal idealで割るとfield
$$ \kappa(x):=\mathcal O_{X,x}/\mathfrak m_x $$
が残ります。このfieldは「その点の座標を読むために本当に必要な数の体系」です。
たとえば $X=\operatorname{Spec}\mathbb R[t]$ のclosed point $(t^2+1)$ は、real numberを座標に持つordinary pointではありません。それでもschemeの点として存在し、そのresidue fieldは
$$ \kappa((t^2+1))\cong\mathbb C $$
です。schemeは「$\mathbb R$ 上では見えないが、$\mathbb C$ まで広げれば二つのrootsとして見える」情報を、一個の点とそのfieldの中に保存しています。
この章では、topological point $x\in X$ とmorphism $\operatorname{Spec}K\to X$ の関係を完全に記述します。結論を先に言えば、field-valued pointとは、center $x$ とfield embedding $\kappa(x)\hookrightarrow K$ の組にほかなりません。

pointのresidue field

$x$ を含むaffine open neighborhood $U=\operatorname{Spec}A$ を選び、$x$ に対応するprime idealを $\mathfrak p$ とすると
$$ \mathcal O_{X,x}\cong A_{\mathfrak p}, \qquad \mathfrak m_x\cong\mathfrak pA_{\mathfrak p}, $$
従って
$$ \kappa(x)\cong A_{\mathfrak p}/\mathfrak pA_{\mathfrak p} \cong\operatorname{Frac}(A/\mathfrak p). $$
最後のisomorphismを確かめましょう。$A_{\mathfrak p}/\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ のelementsは $a/s$ のclassesです。$s\notin\mathfrak p$ なので $A/\mathfrak p$ では $\bar s\ne0$。従って $\bar a/\bar s$ をfraction fieldで読めます。逆に $A/\mathfrak p$ のnonzero elementは $A\setminus\mathfrak p$ から来るので、すべてinverseを持ちます。これで両方向のmapsが得られます。

各pointが定めるcanonical morphism

ring quotient
$$ A\longrightarrow A_{\mathfrak p}\longrightarrow\kappa(\mathfrak p) $$
をSpecで反転すると
$$ \operatorname{Spec}\kappa(\mathfrak p)\longrightarrow\operatorname{Spec}A $$
が得られます。sourceはzero idealだけを持つone-point schemeで、そのpointのimageはkernel $\mathfrak p$、すなわち $x$ です。

この構成は、点 $x$ をbare setのelementとしてではなく、fieldからschemeへ入る小さなprobeとして表します。

field-valued pointとcenter

ここで「$K$-valued point」はunderlying space上の一点より多くのdataを持ちます。同じcenter $x$ でも、$\kappa(x)$ を $K$ に入れる方法が異なれば別のmorphismになり得ます。

このstatementをclassification of field-valued points by residue fields|residue fieldsによるfield-valued pointsの分類と呼びます。

affine schemeではring mapそのもの

たとえば
$$ \mathbb A_k^n=\operatorname{Spec}k[x_1,\ldots,x_n] $$
なら、$k$-algebra mapは各generator $x_i$ のimage $a_i\in K$ でuniqueに決まります。従って
$$ \mathbb A_k^n(K)\cong K^n. $$
さらに
$$ X=\operatorname{Spec}k[x_1,\ldots,x_n]/(f_1,\ldots,f_r) $$
なら
$$ X(K) \cong \{a\in K^n\mid f_1(a)=\cdots=f_r(a)=0\}. $$
古典的な「方程式のsolutions」は、schemeのfield-valued pointsのaffine special caseとして回収されます。

projective lineのpoints

$\mathbb P_k^1$ をtwo affine charts
$$ U_0=\operatorname{Spec}k[t], \qquad U_1=\operatorname{Spec}k[s] $$
を $D(t)$ と $D(s)$ 上で $s=t^{-1}$ により貼り合わせたschemeと見ます。$\operatorname{Spec}K$ のimageは一個のpointなので、$U_0$ または $U_1$ に入ります。$U_0(K)=K$ で、$U_1$ にあって $U_0$ にないpointが一つ $s=0$、すなわち $\infty$ です。従って
$$ \mathbb P_k^1(K)=K\sqcup\{\infty\}. $$
homogeneous coordinatesではこれはnonzero pairs $(a,b)\in K^2\setminus\{0\}$ をscalar multiplicationで割ったsetです。

rational pointとgeometric point

分類定理をover $k$ で読むと、center $x$ を持つ $k$-rational pointは $k$-algebra embedding $\kappa(x)\hookrightarrow k$ に対応します。そのimageは $k$ を含むので $k$ 全体であり、結局
$$ \kappa(x)\cong k $$
as $k$-algebrasです。従ってrational pointは「residue fieldがbase fieldから増えていないpoint」です。

任意のordinary point $x\in X$ はgeometric pointで持ち上げられます。実際、$\kappa(x)$ のalgebraic closure $\overline{\kappa(x)}$ を取り、embedding
$$ \kappa(x)\hookrightarrow\overline{\kappa(x)} $$
を分類定理へ入れればよいのです。ただしliftはcanonicalとは限りません。geometric pointはétale topologyやfundamental groupで、residue-field extensionまで記憶するbasepointになります。

closed pointはいつrationalか

finite typeという仮定は飾りではありません。たとえば $\operatorname{Spec}k(t)$ はone-point schemeで、そのpointはclosedですがresidue field $k(t)$ は $k$ のfinite algebraic extensionではありません。

real lineにあるcomplex point

$X=\operatorname{Spec}\mathbb R[t]$ で $\mathfrak p=(t^2+1)$ とします。quotient
$$ \mathbb R[t]/(t^2+1)\cong\mathbb C $$
はfieldなので $\mathfrak p$ はclosed pointです。しかし $\kappa(\mathfrak p)=\mathbb C$ から $\mathbb R$ への $\mathbb R$-algebra embeddingは存在しないため、このpointをcenterとするreal-valued pointはありません。一方、$\mathbb C$ へのembeddingsは
$$ t\longmapsto i, \qquad t\longmapsto-i $$
に対応して二つあります。一個のreal closed pointがbase extension後にtwo complex geometric pointsへ分かれる現象が、residue fieldの中にすでに入っています。

morphismはresidue fieldsを反変に写す

これはresidue-field map of a scheme morphism|scheme morphismが誘導するresidue-field mapです。向きが $X\to Y$ と逆に $\kappa(y)\to\kappa(x)$ であることに注意してください。
$K$-valued point $\xi:\operatorname{Spec}K\to X$ と $f:X\to Y$ があれば、composition $f\circ\xi$ は $Y$ の $K$-valued pointです。centerは $x$ から $f(x)$ へ動き、field embeddingsは
$$ \kappa(f(x))\longrightarrow\kappa(x)\longrightarrow K $$
とcomposeします。

pointとscheme-theoretic fiber

$f:X\to S$ と $x\in X$ を取り、$s=f(x)$ とします。上で得たembedding $\kappa(s)\hookrightarrow\kappa(x)$ によりsquare
$$ \begin{array}{ccc} \operatorname{Spec}\kappa(x)&\xrightarrow{i_x}&X\\ \downarrow&&\downarrow f\\ \operatorname{Spec}\kappa(s)&\xrightarrow{i_s}&S \end{array} $$
がcommuteします。fiber productのuniversal propertyからunique morphism
$$ \operatorname{Spec}\kappa(x) \longrightarrow X_s:=X\times_S\operatorname{Spec}\kappa(s) $$
を得ます。これをpoint lift to a scheme-theoretic fiber|pointのscheme-theoretic fiberへのcanonical liftと呼びます。
underlying pointとしては「$x$ は $s$ の上にある」と言うだけですが、scheme-theoretic fiberへのliftはembedding $\kappa(s)\to\kappa(x)$ まで使っています。次の頁ではfiberのpoints、base extension後のsplitting、specializationをさらに調べます。

generic pointもfield-valued pointである

$X$ がirreducible schemeでgeneric point $\eta$ を持つとします。canonical morphism
$$ \operatorname{Spec}\kappa(\eta)\longrightarrow X $$
はdense pointをfieldからprobeしています。integral schemeでは $\kappa(\eta)$ をfunction field $K(X)$ と呼びます。affine integral scheme $X=\operatorname{Spec}A$ なら
$$ K(X)=\operatorname{Frac}(A). $$
closed pointsがspecific numerical valuesを表すのに対し、generic pointはvariablesをまだspecializeしていないuniversal valueを表します。これはgeneric point as a field-valued point|field-valued pointとしてのgeneric pointという見方です。

すべてのtest schemeから見る：functor of points

fieldsからのprobesは強力ですが、schemeを完全には復元しません。そこで任意のscheme $T$ をprobeにします。

これはYoneda principle for schemes|schemesに対するYoneda principleです。「全test objectsからどう見えるか」はobjectそのものと同じだけの情報を持ちます。

fieldsだけではnilpotentsを見抜けない

dual numbers
$$ D=\operatorname{Spec}k[\varepsilon]/(\varepsilon^2) $$
とreduced point $P=\operatorname{Spec}k$ を比べます。任意のfield extension $K/k$ に対し、$k$-algebra map
$$ k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)\longrightarrow K $$
では $\varepsilon$ のimage $a$ が $a^2=0$ を満たします。fieldにnonzero nilpotentはないので $a=0$。従って
$$ D(K)\cong P(K) $$
for every field $K/k$です。しかし $D$ と $P$ はisomorphicではありません。$D$ のstructure sheafにはnonzero nilpotent $\varepsilon$ があるからです。
これはfield-valued points do not detect nilpotents|field-valued pointsはnilpotentsを検出しないという重要な警告です。$T=D$ 自身をtest schemeにすれば、identity $D\to D$ は$P$を通ってfactorしないので違いが見えます。schemeを読むには、ordinary pointsだけでなくnonreduced probesも必要です。

演習

この章で得た橋

topological point $x$ はcanonical morphism $\operatorname{Spec}\kappa(x)\to X$ を持ち、任意のfield-valued pointは「center $x$ とembedding $\kappa(x)\hookrightarrow K$」に一意に分解されます。これによりclassical solutions、rational points、geometric points、closed points、generic pointが一つのlanguageに入りました。morphismはresidue fieldsを反変に写し、pointはscheme-theoretic fiberへcanonicalに持ち上がります。
一方、fieldsだけをtest objectsにするとnilpotentsを見落とします。all schemesをtest objectsにするfunctor of pointsはYoneda principleによりscheme全体を復元します。次の頁ではこのpoint languageを用いてfiberを詳しく調べ、generic pointからclosed pointへのspecializationとbase changeによるpointsの変化を扱います。