1-6 正則写像と座標環
前提知識：Zariski位相
この章でいうregular map
affine代数幾何には、二つの同値になる定義が現れます。
- 各座標が多項式で与えられる写像。
- 各点の近傍で、多項式の商として書ける関数をpullbackで保つ写像。
両者の一致を証明するには、代数閉体上のNullstellensatzと局所化が必要です。本書では論理を循環させないため、「正則写像と座標環」では1を採用します。「Hilbert零点定理」でNullstellensatz、「局所化と主開集合」「局所環とgerm」で局所化と局所環を扱った後、2との一致を回収します。
affine代数的集合 $X\subseteq\mathbb A_k^n$、$Y\subseteq\mathbb A_k^m$ の間の写像 $F:X\to Y$ が
$$
F(a)=\bigl(f_1(a),\ldots,f_m(a)\bigr)
$$
と $f_i\in k[x_1,\ldots,x_n]$ で表されるとき、本章では $F$ をaffine regular map|affine正則写像という。
これは「イデアルと座標環」の多項式写像と同じ概念です。呼び名を変えるのは、これをaffine代数幾何の射として採用することを強調するためです。
表示は一意でなく、pullbackは一意である
$f_i$ と $f_i'$ が $X$ 上で同じ関数を定めれば
$$
f_i-f_i'\in I(X).
$$
したがって座標多項式そのものではなく、そのclass $\overline f_i\in k[X]$ が本質です。
写像 $F:X\to Y$ について次は同値である。
- $F$ はaffine正則写像である。
- $Y$ の各座標関数 $\overline y_j\in k[Y]$ に対し、合成 $\overline y_j\circ F$ は $X$ 上の多項式関数である。
- 任意の $h\in k[Y]$ に対し $h\circ F$ は $k[X]$ の元である。
$1\Rightarrow3$ とします。$F=(f_1,\ldots,f_m)$ なら、$h$ の代表多項式を $H(y_1,\ldots,y_m)$ として
$$
h\circ F=H(f_1,\ldots,f_m)
$$
は $X$ 上の多項式関数です。
$3\Rightarrow2$ は座標関数も $k[Y]$ の元なので直ちに従います。
$2\Rightarrow1$ とします。各 $\overline y_j\circ F$ を表す多項式 $f_j\in k[x_1,\ldots,x_n]$ を選びます。すると各 $a\in X$ で
$$
F(a)=\bigl(f_1(a),\ldots,f_m(a)\bigr)
$$
なので $F$ はaffine正則写像です。□
この判定をcoordinate-free affine regularity criterion|affine正則性の座標環判定と呼びます。
affine正則写像 $F:X\to Y$ に対し
$$
F^*:k[Y]\to k[X],
\qquad
h\mapsto h\circ F
$$
をregular pullback|正則pullbackという。
「イデアルと座標環」で、これはwell-definedな $k$-algebra準同型であり
$$
(G\circ F)^*=F^*\circ G^*
$$
を満たすことを証明しました。ここでは、その反変性を幾何学的構成へ使います。
affine algebraic category
affine代数的集合をobject、affine正則写像をmorphismとするcategoryをcategory of affine algebraic sets|affine代数的集合の圏と書く。恒等写像と合成は集合としての恒等写像・合成で定める。
affine正則写像の合成はaffine正則であり、恒等写像はaffine正則である。従って前定義はcategoryをなす。
$F:X\to Y$ を座標 $f_1,\ldots,f_m$、$G:Y\to Z\subseteq\mathbb A_k^r$ を座標 $g_1,\ldots,g_r$ で表します。合成は
$$
G\circ F
=\bigl(g_1(f_1,\ldots,f_m),\ldots,
g_r(f_1,\ldots,f_m)\bigr)
$$
で、各成分は多項式です。恒等写像は座標多項式 $x_1,\ldots,x_n$ で表されます。集合写像の合成が結合的で、恒等写像が単位なのでcategory公理を満たします。□
これはaffine regular map category laws|affine正則写像の圏公理です。
対応
$$
X\longmapsto k[X],
\qquad
(F:X\to Y)\longmapsto(F^*:k[Y]\to k[X])
$$
は、affine代数的集合の圏から有限生成reduced $k$-algebraの圏の反対圏へのcontravariant functorであり、各morphism集合上で全単射である。
「イデアルと座標環」で恒等写像と合成について
$$
(\operatorname{id}_X)^*=\operatorname{id}_{k[X]},
\qquad
(G\circ F)^*=F^*\circ G^*
$$
を証明したのでcontravariant functorです。
$k[X]$ は多項式環の商なので有限生成 $k$-algebraであり、消滅イデアルがradicalなのでreducedです。
また「イデアルと座標環」で、任意の $k$-algebra準同型 $\varphi:k[Y]\to k[X]$ から、$Y$ の座標classの像を座標とする一意のaffine正則写像 $F_\varphi:X\to Y$ を構成し、$F_\varphi^*=\varphi$ を示しました。従ってmorphism集合上の対応は全単射です。□
これをcoordinate ring contravariant full embedding|座標環の充満忠実な反変埋入と呼びます。ただし任意の有限生成reduced $k$-algebraが点集合座標環になるというessential surjectivityは、任意の体では成り立ちません。代数閉体上ではNullstellensatzにより成立し、「Hilbert零点定理」で反同値へ強めます。
graph of a regular map
$X\subseteq\mathbb A_k^n$、$Y\subseteq\mathbb A_k^m$ なら
$$
X\times Y
=V\bigl(I(X)k[x,y]+I(Y)k[x,y]\bigr)
\subseteq\mathbb A_k^{n+m}
$$
なので、Cartesian productもaffine代数的集合です。ここで二つのイデアルは、それぞれ $x$-変数、$y$-変数を持つ大きな多項式環へ拡張しています。
$F:X\to Y$ のgraphを
$$
\Gamma_F=\{(x,F(x))\mid x\in X\}
\subseteq X\times Y
$$
と書く。これをgraph of an affine regular map|affine正則写像のgraphという。
affine正則写像 $F:X\to Y$ のgraph $\Gamma_F$ は $X\times Y$ のZariski閉集合である。第一射影
$$
p_X:\Gamma_F\to X
$$
はaffine代数的同型である。
$X\subseteq\mathbb A_k^n$、$Y\subseteq\mathbb A_k^m$、
$$
F=(f_1,\ldots,f_m)
$$
とします。積空間の座標を $(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)$ とすると
$$
\Gamma_F
=(X\times Y)\cap
V(y_1-f_1(x),\ldots,y_m-f_m(x)).
$$
右辺は $X\times Y$ の相対閉集合なのでgraphは閉じています。
$p_X$ は座標射影なのでaffine正則です。逆写像
$$
s:X\to\Gamma_F,
\qquad
x\mapsto(x,F(x))
$$
も座標が $x_1,\ldots,x_n,f_1,\ldots,f_m$ なのでaffine正則です。集合写像として
$$
p_X\circ s=\operatorname{id}_X,
\qquad
s\circ p_X=\operatorname{id}_{\Gamma_F}
$$
だから同型です。□
これはclosed graph theorem for affine regular maps|affine正則写像のgraph閉性です。graphは写像を部分集合へ変換します。後にschemeの分離性では、対角写像のgraphが閉じることを一般化します。
imageは閉じるとは限らない
連続写像は閉集合を閉集合へ送るとは限りません。affine正則写像でも同じです。
双曲線
$$
H=V(xy-1)\subseteq\mathbb A_k^2
$$
から第一座標への射影
$$
p:H\to\mathbb A_k^1,
\qquad
(x,y)\mapsto x
$$
を考える。像は
$$
p(H)=k^\times=\mathbb A_k^1\setminus\{0\}=D(x).
$$
$k$ が無限体なら $k^\times$ は無限proper subsetなので、affine直線のZariski閉集合ではない。従って正則写像の像は閉じるとは限らない。
これはregular image need not be closed|正則写像の像が閉じない例です。像は任意の集合になるわけでもありません。消去定理により、正則写像の像は閉集合の有限和と開集合の有限交叉で作られるconstructible image theorem|constructible像定理へつながります。「消去とGröbner基底への入口」で具体的な射影計算から入口を作ります。
maps to affine line are functions
affine正則写像 $f:X\to\mathbb A_k^1$ 全体と座標環 $k[X]$ の元は自然に一対一対応する。
$\mathbb A_k^1$ の座標関数を $t$ とします。写像 $f$ からpullback
$$
f^*:k[\mathbb A_k^1]\to k[X]
$$
を取り、$f^*(t)$ を対応させます。これは点 $x$ で $t(f(x))=f(x)$ を値に持つので、写像自身を表す座標環の元です。
逆に $h\in k[X]$ は多項式関数 $h:X\to k=\mathbb A_k^1$ を定めます。この二構成は互いに逆です。□
これをregular functions as affine-line morphisms|正則関数とaffine直線への射の同一視と呼びます。schemeでも大域切断は $\mathbb A^1$ への射として理解できます。
automorphisms of the affine line
抽象的な同型判定を、完全に計算できる例へ使います。
$k$ を無限体とする。$\mathbb A_k^1$ のaffine代数的自己同型はちょうど
$$
t\longmapsto at+b,
\qquad
a\in k^\times, b\in k
$$
の形である。
自己同型 $F$ はある多項式 $f(t)\in k[t]$ で表され、その逆 $G$ はある $g(t)\in k[t]$ で表されます。合成が恒等写像なので
$$
g(f(t))=t.
$$
$f,g$ が定数なら合成も定数となり不可能です。非定数多項式の次数について
$$
\deg(g\circ f)=(\deg g)(\deg f)
$$
なので
$$
1=(\deg g)(\deg f).
$$
正整数の積が1だから $\deg f=\deg g=1$ です。従って $f(t)=at+b$ で $a\ne0$ です。
逆に $f(t)=at+b$ なら
$$
g(t)=a^{-1}(t-b)
$$
が多項式逆写像なので自己同型です。□
これはaffine line automorphism group|affine直線の自己同型群が $k\rtimes k^\times$ であることを示します。
全単射との違いを再確認する
$k$ を無限体とし、cusp
$$
C=V(y^2-x^3)
$$
への写像 $\nu(t)=(t^2,t^3)$ を考えます。これは点集合として全単射ですが、pullback
$$
\nu^*:k[C]=k[t^2,t^3]\hookrightarrow k[t]
$$
は $t$ をimageに含まず同型ではありません。
affine正則写像は、点集合として全単射でもaffine代数的同型とは限らない。
上の $\nu$ が反例です。「アフィン空間と多項式の零点集合」で全単射性を証明しました。もしaffine代数的同型なら、座標環pullback $\nu^*$ は同型でなければなりません。しかしimage $k[t^2,t^3]$ は $t$ を含まないので全射ではなく、矛盾です。□
これはbijective regular morphism not isomorphism|全単射正則射が同型とは限らない現象です。位相的にも $\nu$ はZariski homeomorphismになり得ますが、structure sheafが持つ関数環は異なります。代数幾何で空間を「点と位相」だけでなく「関数の層」として扱う必要が、ここに現れます。
retractionと座標環
affine正則写像 $i:Y\to X$ がaffine正則retraction $r:X\to Y$、すなわち
$$
r\circ i=\operatorname{id}_Y
$$
を持つなら、pullbackは
$$
i^*\circ r^*=\operatorname{id}_{k[Y]}
$$
を満たす。従って $r^*$ は単射、$i^*$ は全射である。
反変関手性から
$$
(r\circ i)^*=i^*\circ r^*.
$$
左辺は恒等写像のpullbackなので $\operatorname{id}_{k[Y]}$ です。左逆を持つ写像は単射、右逆を持つ写像は全射なので結論が従います。□
これはaffine retraction coordinate-ring criterion|affine retractionの座標環判定です。topologyで使ったretraction obstructionと同じ論理が、ここでは座標環準同型へ翻訳されています。
演習
最後の演習ではcoordinate-ring idempotent decomposition|座標環のidempotentが与える開閉分解を計算します。
$X=\mathbb A_k^1$、$F(t)=(t^2,t^3):X\to\mathbb A_k^2$ とする。graph $\Gamma_F\subseteq\mathbb A_k^3$ の定義イデアルを求め、$\Gamma_F\cong\mathbb A_k^1$ を座標環でも確認せよ。
$H=V(xy-1)$ の第一射影 $p:H\to\mathbb A_k^1$ について、pullback $p^*$ を書き、像が $D(t)$ であることを示せ。$k$ が無限体なら像が閉じていないことも証明せよ。
$F(t)=t^d$ が定める $\mathbb A_k^1$ の自己写像のpullbackを求めよ。どの $d\ge0$ でaffine代数的自己同型になるか判定せよ。
$X=V(xy)\subseteq\mathbb A_k^2$ とする。affine正則写像 $X\to\mathbb A_k^1$ が
$$
c+xA(x)+yB(y)
$$
の形で一意に表されることを示し、二本のaxis上の多項式関数を交点で接着する条件を説明せよ。ただし $k$ は無限体とする。
$X$ をaffine代数的集合とする。$e\in k[X]$ が $e^2=e$ を満たすとき
$$
X=V_X(e)\sqcup V_X(1-e)
$$
が互いに交わらない開かつ閉な部分集合への分解になることを示せ。$e\ne0,1$ なら両部分が非空であり、$X$ が非連結、従ってreducibleであることも示せ。
完全解答
ambient座標を $(t,x,y)$ とすると
$$
\Gamma_F=V(x-t^2,y-t^3).
$$
従って定義イデアルは
$$
I(\Gamma_F)=(x-t^2,y-t^3)
$$
です。厳密には $k$ が無限なら、商写像
$$
k[t,x,y]\to k[t],
\qquad
t\mapsto t,\qquad x\mapsto t^2,\qquad y\mapsto t^3
$$
のkernelがこのイデアルで、点集合の消滅イデアルとも一致します。
座標環は
$$
k[\Gamma_F]
\cong k[t,x,y]/(x-t^2,y-t^3)
\cong k[t].
$$
第一射影のpullbackは $k[t]\to k[\Gamma_F]$ のこの同型なので、graphは $\mathbb A_k^1$ とaffine代数的に同型です。□
$k$ を無限体とすると
$$
k[H]\cong k[x,y]/(xy-1)\cong k[x,x^{-1}].
$$
射影のpullbackは
$$
p^*:k[t]\to k[x,x^{-1}],
\qquad
t\mapsto x.
$$
点 $(a,b)\in H$ では $ab=1$ なので $a\ne0$、従って像は $k^\times=D(t)$ に含まれます。逆に $a\ne0$ なら $(a,a^{-1})\in H$ なので全ての $a\in D(t)$ が像に入ります。
$D(t)=k\setminus\{0\}$ は無限proper subsetです。無限体上のaffine直線の閉集合は有限集合か全空間だけなので、像は閉じていません。□
pullbackは
$$
F^*:k[t]\to k[t],
\qquad
t\mapsto t^d.
$$
$d=1$ なら恒等写像で自己同型です。$d=0$ なら定値写像で、pullbackのimageは定数だけなので同型ではありません。$d\ge2$ ではimageは $k[t^d]$ で $t$ を含まないため全射でなく、自己同型ではありません。従って $d=1$ のとき、かつそのときに限り自己同型です。□
$k[X]=k[x,y]/(xy)$ です。任意のmonomial $x^iy^j$ は $i,j>0$ なら0になり、従って各classは
$$
c+xA(x)+yB(y)
$$
と書けます。
一意性を示します。この式が0 in $k[X]$ なら、$x$-axisへ制限して
$$
c+xA(x)=0
$$
as a polynomial function on an infinite fieldです。従って多項式恒等原理から $c=0,A=0$。同様に $y$-axisへ制限して $B=0$ です。
二本のaxis上の関数を $p(x),q(y)$ とすると、一つの $X$ 上の関数へ接着できる必要十分条件は交点で
$$
p(0)=q(0)
$$
となることです。共通値を $c$ とすれば $p=c+xA(x)$、$q=c+yB(y)$ と書け、上の式が接着した関数を与えます。□
$e^2=e$ なら各点 $x\in X$ で
$$
e(x)(e(x)-1)=0.
$$
体上なので $e(x)=0$ または1です。従って
$$
X=V_X(e)\cup V_X(1-e),
$$
両者は交わりません。どちらも零点集合なので閉じています。一方
$$
V_X(e)=X\setminus V_X(1-e),
$$
$$
V_X(1-e)=X\setminus V_X(e)
$$
なので開でもあります。
$e\ne0$ なら $e$ は $X$ 全体で0ではないので、$V_X(e)\ne X$、従って $V_X(1-e)$ は非空です。同様に $e\ne1$ なら $1-e\ne0$ だから $V_X(e)$ は非空です。よって非自明idempotentは $X$ を二つの非空clopen集合へ分け、$X$ は非連結です。既約空間は任意の二非空開集合が交わるため連結なので、$X$ はreducibleでもあります。□
参考文献
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