2-4 正則点と特異点
前提知識：局所環とgerm、接空間とJacobian
「曲線なのに接平面」が現れる場所
cusp
$$
C=V(y^2-x^3)
$$
の原点ではJacobian rowが0となり、接空間はambient plane全体でした。一方、原点以外では接空間は一次元です。この膨張は、原点で方程式の一次部分が消え、通常の曲線らしい局所構造が壊れていることを示します。
ただし「接空間が大きい」と言うには、比較対象となる図形自身のlocal dimensionが必要です。本章ではlocal dimensionをprime idealのchainで定義し、
$$
\dim_kT_pX=\dim\mathcal O_{X,p}
$$
となる点をregular pointとします。
「Krull次元と超越次数」ではKrull dimension、超越次数、Noether正規化を用いてlocal dimensionの計算法を体系化します。本章のJacobian criterionは、local dimensionを明示した厳密な形で述べます。
Krull dimensionとlocal dimension
可換環 $R$ のprime idealの真のchain
$$
\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak p_1\subsetneq\cdots
\subsetneq\mathfrak p_d
$$
の長さのsupremumをKrull dimension|Krull dimensionといい $\dim R$ と書く。
chainに現れるidealの個数は $d+1$、包含記号の個数が長さ $d$ です。体はprime ideal $(0)$ しか持たないのでdimension 0です。
affine代数的集合 $X$ と点 $p$ に対し
$$
\dim_pX=\dim\mathcal O_{X,p}
$$
を $X$ の $p$ におけるlocal dimension|local dimensionという。
localization $A_{\mathfrak m_p}$ のprime idealは、$A$ のprime idealで $\mathfrak m_p$ に含まれるものと対応します。従って $\dim_pX$ は、$p$ を含むirreducible closed subsetsのchainが何段あるかを測ります。
$S\subseteq A$ をmultiplicative subsetとする。$S^{-1}A$ のprime idealと、$S$ と交わらない $A$ のprime idealは
$$
\mathfrak p\longmapsto S^{-1}\mathfrak p,
\qquad
\mathfrak q\longmapsto\{a\in A\mid a/1\in\mathfrak q\}
$$
により包含を保ってbijectionする。
$\mathfrak p\cap S=\varnothing$ なら $S^{-1}\mathfrak p$ はproperです。$(a/s)(b/t)\in S^{-1}\mathfrak p$ なら、ある $u\in S$ について $uab\in\mathfrak p$ です。$u\notin\mathfrak p$ とprime性から $a\in\mathfrak p$ または $b\in\mathfrak p$、従って一方の分数が $S^{-1}\mathfrak p$ に入ります。
逆にprime ideal $\mathfrak q\subseteq S^{-1}A$ のcontraction $\mathfrak p$ はprimeです。$s\in S$ の像はunitなので $\mathfrak q$ に入らず、$\mathfrak p\cap S=\varnothing$ です。
$a/s\in S^{-1}\mathfrak p$ であることは、ある $u\in S$ に対し $ua\in\mathfrak p$、すなわち $(ua)/1\in\mathfrak q$ であることです。$u/1$ はunitなので $a/1\in\mathfrak q$、従って $a/s\in\mathfrak q$ です。これによりextensionとcontractionが互いに逆と分かります。□
これはprime ideals under localization|局所化におけるprime ideal対応です。
embedding dimension
Noetherian local ring $(R,\mathfrak m,\kappa)$ に対し
$$
\operatorname{edim}R
=\dim_\kappa\mathfrak m/\mathfrak m^2
$$
をembedding dimension|embedding dimensionという。
Nakayama lemmaにより、これはmaximal idealの最小生成元数に等しいです。本書ではNakayama lemmaとKrull height theoremを「Krull次元と超越次数」で証明し、一般に
$$
\dim R\le\operatorname{edim}R
$$
となることを回収します。本章の定義と判定は、この不等式の証明を前提にしません。
regular pointとsingular point
点 $p\in X$ が
$$
\dim\mathcal O_{X,p}
=\dim_k\mathfrak m_{X,p}/\mathfrak m_{X,p}^2
$$
を満たすとき $p$ をregular point|regular pointという。満たさないときsingular point|singular pointという。
右辺は $\dim_kT_pX$ です。従ってregularityは
$$
\dim_pX=\dim_kT_pX
$$
という、図形のlocal dimensionと一次近似のdimensionの一致です。
この条件を満たすlocal ringをregular local ring|regular local ringと呼びます。
local rings $\mathcal O_{X,p}$ と $\mathcal O_{Y,q}$ がlocal ringとして同型なら、$p$ がregularであることと $q$ がregularであることは同値である。
環同型はprime idealのchainをbijectionさせるのでKrull dimensionを保ちます。local isomorphismは唯一のmaximal idealを対応させ、その平方も対応させるので
$$
\mathfrak m_{X,p}/\mathfrak m_{X,p}^2
\cong
\mathfrak m_{Y,q}/\mathfrak m_{Y,q}^2
$$
です。両辺のdimensionの等式は同時に成立します。□
したがってregularityはambient spaceへの埋め込みや方程式の選び方ではなく、germだけで決まるintrinsicな性質です。
local dimensionを含むJacobian criterion
$X=V(I)\subseteq\mathbb A_k^n$、$I=(f_1,\ldots,f_r)$ とします。
点 $p\in X$ のlocal dimensionを $d=\dim_pX$ とする。このとき次は同値である。
- $p$ はregular pointである。
- $\dim_kT_pX=d$。
- $\operatorname{rank}J_X(p)=n-d$。
1と2の同値はregular pointの定義と
$$
T_pX=(\mathfrak m/\mathfrak m^2)^\vee
$$
から従います。「接空間とJacobian」のJacobian表示とrank-nullity theoremから
$$
\dim_kT_pX=n-\operatorname{rank}J_X(p).
$$
従って2と3も同値です。□
これがpointwise Jacobian criterion|local dimensionを明示したJacobian criterionです。重要なのは、$d$ を根拠なく「方程式数を引いた値」と置かないことです。
pure local dimensionの場合
$X$ の全点で $\dim_pX=d$ であるとき、$X$ はpure local dimension|pure local dimension !FORMULA[70][37732][0]を持つという。
$X$ がpure local dimension $d$ なら
$$
X_{\mathrm{sing}}
=\{p\in X\mid\operatorname{rank}J_X(p)< n-d\}.
$$
特にsingular locusはZariski closedである。
pointwise criterionから最初の等式が従います。matrixのrankが $n-d$ 未満であることは、全ての $(n-d)\times(n-d)$ minorが0になることと同値です。各minorは座標の多項式なので、その共通零点集合はclosedです。□
これはJacobian singular locus by minors|Jacobian minorによるsingular locusです。local dimensionが点ごとに変わる場合は、同じ大きさのminorだけで全体を判定してはいけません。
集合 $X_{\mathrm{sing}}$ をsingular locus|singular locus、その補集合をregular locusと呼びます。
complete intersectionでの使用形
$X\subseteq\mathbb A^n$ が $p$ の近くで $c$ 個の方程式により定義され、$\dim_pX=n-c$ であるとする。このとき $p$ がregularであることと、$c\times n$ Jacobian matrixがrank $c$ を持つことは同値である。
pointwise criterionへ $d=n-c$ を代入すると、必要なrankは
$$
n-d=n-(n-c)=c.
$$
従って主張が従います。□
これはcomplete-intersection Jacobian test|complete intersectionのJacobian判定です。特にlocal dimension $n-1$ のhypersurface $V(f)$ では、少なくとも一つの偏微分が非零であることがregularityと同値です。
最後の使用形をhypersurface Jacobian criterion|hypersurfaceのJacobian criterionと呼びます。
parabola・node・cusp
$P=V(y-x^2)$ は $k[x]$ と座標環同型なので、各local ringは $k[x]_{(x-a)}$ と同型です。prime idealsは $(0)\subsetneq(x-a)$ の二段だけなのでlocal dimensionは1です。
Jacobian row $(-2x,1)$ は全点でrank 1です。従って接空間dimensionは $2-1=1$ でlocal dimensionと一致し、全点がregularです。
$N=V(xy)$ の原点local ringではprime ideals
$$
(x)\subsetneq(x,y),\qquad
(y)\subsetneq(x,y)
$$
があります。全てのprime idealは $xy$ を含むため $x$ または $y$ を含みます。$x$ を含むprime idealは $k[y]$ のprime idealへ対応し、$(x,y)$ に含まれるものは $(x)$ と $(x,y)$ だけです。$y$ を含む場合も同様です。従ってこれより長いchainはなくlocal dimensionは1です。
原点のJacobian row $(y,x)$ は0なので接空間dimensionは2です。よって原点はsingularです。原点以外ではrank 1となりregularです。
$C=V(y^2-x^3)$ とし $\operatorname{char}k\ne2,3$ とします。この既約平面曲線のlocal dimensionが1であることは「Krull次元と超越次数」のdimension theoremで証明します。Jacobian rowは
$$
(-3x^2,2y)
$$
です。両成分が0になる曲線上の点は原点だけです。従って原点の接空間は二次元でsingular、他の点では一次元でregularです。
nodeでは二本のbranchが異なる接方向を持ち、cuspでは一本のbranchが重なった接方向を持ちます。接空間dimensionだけでは両者を区別できず、後続の巻で扱う重複度が必要です。
nonradicalな方程式で誤判定しない
集合
$$
X=V(x^2)\subseteq\mathbb A_k^2
$$
は点集合として $V(x)$、すなわち直線です。$x^2$ だけを微分すると原点でgradientが0となり、誤ってsingularと判定しそうです。
しかしaffine代数的集合の座標idealは
$$
I(X)=\sqrt{(x^2)}=(x).
$$
正しい生成元 $x$ のJacobian rowは $(1,0)$ で全点rank 1、直線はregularです。これはnonradical Jacobian trap|非radical方程式によるJacobian誤判定です。
schemeとして $k[x,y]/(x^2)$ を保持する場合はnilpotent方向が実在し、別の意味でnonregularになります。古典的点集合とschemeを混同してはいけません。
characteristicによる見え方
$\operatorname{char}k=p>0$ で
$$
X=V(x-y^p)
$$
を考えます。$y^p$ の偏微分は $py^{p-1}=0$ ですが、$x-y^p$ の$x$偏微分は1です。Jacobian rowは $(1,0)$ で常にrank 1、$X$ はgraphとして $\mathbb A^1$ と同型なのでregularです。
「全ての見慣れた微分が0になる」のではなく、Frobenius方向の微分だけが消えます。これはJacobian criterion in positive characteristic|正標数におけるJacobian判定で仮定と全偏微分を正確に扱う必要を示します。
singular locusの計算
平面曲線 $X=V(f)$ がpure local dimension 1なら
$$
X_{\mathrm{sing}}
=V\left(f,\frac{\partial f}{\partial x},
\frac{\partial f}{\partial y}\right).
$$
例えば
$$
f=y^2-x^2(x+1)
$$
で $\operatorname{char}k\ne2$ とすると
$$
f_x=-3x^2-2x,\qquad f_y=2y.
$$
$f_y=0$ から $y=0$、さらに $f=0$ から $x^2(x+1)=0$ です。$f_x=0$ も課すと原点だけがsingular候補として残ります。候補を元の三式へ戻して確認することでsingular locusを計算できます。
演習
$X=V(xy)\subseteq\mathbb A^2$ の点 $(a,0)$ with $a\ne0$ がregularであることを、local ringとJacobianの両方から示せ。
local ringでは $x$ がunitなので $xy=0$ から $y=0$ です。従って
$$
\mathcal O_{X,(a,0)}\cong k[x]_{(x-a)}
$$
でlocal dimensionとembedding dimensionはともに1です。
Jacobian rowは $(y,x)$、点では $(0,a)$ でrank 1です。local dimension 1、ambient dimension 2なのでpointwise criterionの必要rank $2-1=1$ と一致します。□
$X=V(y^2-x^3-x^2)$ over a field of characteristic not 2についてsingular pointsを求めよ。
$$
f_x=-3x^2-2x=-x(3x+2),\qquad f_y=2y.
$$
singular pointでは $y=0$ です。元の方程式から
$$
x^2(x+1)=0,
$$
従って $x=0$ または $x=-1$ です。$x=-1$ で
$$
f_x=-3+2=-1\ne0
$$
なので除外されます。$x=0$ では両偏微分が0です。従って唯一のsingular pointは $(0,0)$ です。□
$X=V(x^2+y^2+z^2)\subseteq\mathbb A_k^3$、$\operatorname{char}k\ne2$ とする。singular locusを求めよ。
Jacobian rowは
$$
(2x,2y,2z).
$$
全成分が0になるのは原点だけで、原点は元の方程式も満たします。従ってhypersurfaceがlocal dimension 2を持つ範囲では
$$
X_{\mathrm{sing}}=\{(0,0,0)\}.
$$
原点以外ではrank 1、接空間dimensionは2です。原点ではrank 0、接空間は $k^3$ 全体です。□
$X=V(x-y^p)$ in characteristic $p$ について、写像
$$
\mathbb A^1\to X,\qquad t\mapsto(t^p,t)
$$
が同型であることを示し、全点regularであることを確認せよ。
逆写像は第二射影 $(x,y)\mapsto y$ です。二つの合成は
$$
t\mapsto(t^p,t)\mapsto t
$$
および、$x=y^p$ を使って
$$
(x,y)\mapsto y\mapsto(y^p,y)=(x,y)
$$
となるので正則同型です。$\mathbb A^1$ は各点でlocal dimension・接空間dimensionとも1です。同型不変性から $X$ もregularです。Jacobian row $(1,0)$ からも接空間dimension 1が得られます。□
$X=V(xy,xz)\subseteq\mathbb A^3$ の原点におけるJacobian matrixと接空間を求めよ。この例で単一の「全体dimension」をJacobian criterionへ無造作に代入できない理由を説明せよ。
生成元のJacobian matrixは
$$
\begin{pmatrix}
y&x&0\\
z&0&x
\end{pmatrix}.
$$
原点では零matrixなので
$$
T_0X=k^3.
$$
集合は
$$
X=V(x)\cup V(y,z)
$$
で、平面 $V(x)$ と $x$-axis $V(y,z)$ の合併です。異なるdimensionのirreducible componentsが原点で交わるためpure-dimensionalではありません。平面成分のdimension 2と直線成分のdimension 1のどちらを機械的に「$d$」へ入れるかで判定式が変わります。正しい定義はlocal ringのKrull dimensionとembedding dimensionを比較し、minorによる一様な記述にはpure-dimension仮定を置くことです。□
この章で得た橋
regularityはlocal ringのKrull dimensionとembedding dimensionの一致であり、ambient embeddingに依存しません。方程式表示があると、接空間dimensionはJacobian rankから計算できます。pure local dimensionやcomplete intersectionという仮定を明示すれば、singular locusはJacobian minorsの共通零点として計算できます。
次の頁ではintegral extensionとfinite morphismへ進みます。「Noether正規化」のNoether normalizationと「Krull次元と超越次数」のdimension theoremにより、本章で入力として明示したlocal dimensionを体系的に計算し、regular local ringの一般的不等式も証明します。
参考文献
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