4-2 Specの構造層

$s,t\in\mathcal O_X(U)$ と $\mathfrak p\in U$ を取ります。共通neighborhood $V$ 上で
$$ s(\mathfrak q)=\frac{a}{b}, \qquad t(\mathfrak q)=\frac{c}{d}, $$
かつ $V\subseteq D(bd)$ としてよいです。すると全 $\mathfrak q\in V$ で
$$ (s+t)(\mathfrak q)=\frac{ad+bc}{bd}, \qquad (st)(\mathfrak q)=\frac{ac}{bd}. $$
従ってpointwise sumとproductもlocally fractionalです。$0/1$、$1/1$、$(-a)/b$ も同様なのでringになります。ring axiomsは各 $A_\mathfrak p$ でpointwiseに成立します。
open subsetへrestrictしても同じlocal fraction representationを使えます。identityとcomposition of restrictionsはfunctionsのdomain restrictionから従うのでpresheafです。□

open cover $U=\bigcup_iU_i$ を取ります。
localityはpointwiseです。$s,t\in\mathcal O_X(U)$ が全 $U_i$ 上で等しければ、任意の $\mathfrak p\in U$ を含む $U_i$ を選んで $s(\mathfrak p)=t(\mathfrak p)$。従って $s=t$ です。
compatible sections $s_i\in\mathcal O_X(U_i)$ に対し、$\mathfrak p\in U_i$ を選んで
$$ s(\mathfrak p):=s_i(\mathfrak p) $$
と置きます。別の $U_j$ も $\mathfrak p$ を含めばcompatibility on $U_i\cap U_j$ により値は同じなのでwell-definedです。
$s$ がlocally fractionalであることを確認します。$\mathfrak p\in U_i$ を選ぶと、$s_i$ は $\mathfrak p$ のあるneighborhood $V\subseteq U_i$ 上で一つのfraction $a/b$ によりrepresentされます。$s|_V=s_i|_V$ なので、同じfractionが $s$ をrepresentします。従って $s\in\mathcal O_X(U)$ であり、各restrictionは $s_i$ です。□

$\theta_f(a/f^n)=0$ とします。各 $\mathfrak p\in D(f)$ で $a/f^n=0$ in $A_\mathfrak p$ です。localizationのzero criterionにより、各 $\mathfrak p$ に対し $u_\mathfrak p\in A\setminus\mathfrak p$ が存在して
$$ u_\mathfrak p a=0 $$
となります。従ってprincipal opens $D(u_\mathfrak p)$ が $D(f)$ をcoverします。
前の頁で $D(f)$ はquasi-compactと証明したので、有限個 $u_1,\dots,u_r$ で
$$ D(f)\subseteq D(u_1)\cup\cdots\cup D(u_r) $$
となります。cover criterionまたはprime-existence lemmaから
$$ f\in\sqrt{(u_1,\dots,u_r)}. $$
従ってある $N$ と $c_i\in A$ があり
$$ f^N=c_1u_1+\cdots+c_ru_r. $$
両辺に $a$ を掛けると $f^Na=0$。localization $A_f$ では $f$ がunitなので $a/f^n=0$ です。□

有限個しかないので、共通の $n$ を選び
$$ t_i=\frac{r_i}{h_i^n} \qquad(r_i\in R) $$
と書けます。compatibility in $R_{h_ih_j}$ により、各pair $(i,j)$ についてあるexponentを掛けるとcross multiplicationの差がzeroになります。全pairsに共通な十分大きい $m$ を取れば
$$ (h_ih_j)^m(h_j^nr_i-h_i^nr_j)=0 $$
for all $i,j$。$N=n+m$、$r_i'=h_i^mr_i$ と置くと
$$ h_j^Nr_i'=h_i^Nr_j' $$
が $R$ 内でexactly成立し、$t_i=r_i'/h_i^N$ です。
$D(h_i)$ がSpecをcoverするので、ideal $(h_1^N,\dots,h_r^N)$ を含むprime idealはありません。もしこのidealがproperならprime-existence lemmaによりそれを含むprime idealが存在するため、idealはunit idealです。従って $c_i\in R$ を選んで
$$ c_1h_1^N+\cdots+c_rh_r^N=1 $$
とできます。ここで
$$ t:=c_1r_1'+\cdots+c_rr_r' $$
と置きます。$R_{h_j}$ では
$$ h_j^Nt =\sum_i c_i h_j^Nr_i' =\sum_i c_i h_i^Nr_j' =r_j', $$
従って $t=r_j'/h_j^N=t_j$ です。存在が示されました。
uniquenessを示します。$u\in R$ が全 $R_{h_i}$ でzeroなら、各$i$についてある $e_i$ で $h_i^{e_i}u=0$。共通の十分大きい $e$ を取れば全$i$で $h_i^eu=0$ です。上と同じ理由で $(h_1^e,\dots,h_r^e)=R$ なので $1=\sum d_i h_i^e$ と書け、
$$ u=\sum_i d_i h_i^eu=0. $$
二つのgluingの差に適用すればuniqueです。□

injectivityはすでに示しました。surjectivityを示します。$s\in\mathcal O_X(D(f))$ を取ります。定義から各 $\mathfrak p\in D(f)$ のneighborhood $V_\mathfrak p\subseteq D(f)$ 上で
$$ s(\mathfrak q)=\frac{a_\mathfrak p}{b_\mathfrak p} $$
かつ $V_\mathfrak p\subseteq D(b_\mathfrak p)$ と書けます。principal opensはbasisなので
$$ \mathfrak p\in D(h_\mathfrak p)\subseteq V_\mathfrak p $$
となる $h_\mathfrak p\in A$ を選びます。
$D(h_\mathfrak p)\subseteq D(b_\mathfrak p)$ なので
$$ h_\mathfrak p\in\sqrt{(b_\mathfrak p)}. $$
従ってある $N$ と $c\in A$ で $h_\mathfrak p^N=b_\mathfrak p c$。$D(h_\mathfrak p)$ 上では
$$ \frac{a_\mathfrak p}{b_\mathfrak p} =\frac{a_\mathfrak p c}{h_\mathfrak p^N}. $$
よってlocal representationをelement
$$ t_\mathfrak p:=\frac{a_\mathfrak p c}{h_\mathfrak p^N} \in A_{h_\mathfrak p} $$
として持てます。
$D(f)$ はquasi-compactなので有限個 $h_1,\dots,h_r$ を選び
$$ D(f)=D(h_1)\cup\cdots\cup D(h_r) $$
とできます。$R=A_f$ と置き、各 $t_i\in A_{h_i}$ をcanonical mapで
$$ R_{h_i}=A_{fh_i} $$
へ送ります。overlap $D(h_ih_j)$ 上では両者が同じsection $s$ を表すため、$\theta_{fh_ih_j}$ のinjectivityにより $A_{fh_ih_j}$ 内で一致します。
localization gluing lemmaを $R=A_f$ に適用すると、unique $t\in A_f$ が存在して各 $R_{h_i}$ で $t_i$ と一致します。従ってsections $\theta_f(t)$ と $s$ はcover $\{D(h_i)\}$ 上で一致します。sheaf localityから
$$ \theta_f(t)=s. $$
よって $\theta_f$ はsurjectiveです。□

$a/f^n\in A_f$ が定めるsectionは各 $\mathfrak p\in D(f)$ でgerm $a/f^n\in A_\mathfrak p$ を取ります。$D(g)$ へrestrictしても同じpointwise fractionsです。一方、canonical mapで $A_g$ へ送ったelementが定めるsectionも各 $\mathfrak p\in D(g)$ で同じfraction $a/f^n$ を取ります。従って二mapsは一致します。□

$a/s\in A_\mathfrak p$ with $s\notin\mathfrak p$ を取ります。$\mathfrak p\in D(s)$ であり、$a/s\in A_s\cong\mathcal O_X(D(s))$ は $\mathfrak p$ でgermを持ちます。これにより
$$ \Phi_\mathfrak p:A_\mathfrak p\longrightarrow\mathcal O_{X,\mathfrak p} $$
を定めます。localizationの同値関係とrestriction compatibilityからwell-definedなring homomorphismです。
surjectivityを示します。任意のgermはあるneighborhood $U$ 上のsection $s$ でrepresentされます。sectionのlocal fraction conditionから、$\mathfrak p$ のさらに小さいneighborhood上で $s=a/b$ with $b\notin\mathfrak p$ と書けます。従ってgermは $a/b\in A_\mathfrak p$ のimageです。
injectivityを示します。$a/s\in A_\mathfrak p$ のgermがzeroなら、あるneighborhood $U$ of $\mathfrak p$ 上で対応するsectionがzeroです。principal-open basisから
$$ \mathfrak p\in D(h)\subseteq U\cap D(s) $$
を選べます。principal-open section theoremにより、$a/s$ のimageは $A_h$ でzeroです。従ってある $N$ で
$$ h^Na=0 $$
after clearing the already invertible denominator $s$。$h\notin\mathfrak p$ なので $h$ は $A_\mathfrak p$ でunitであり、$a/s=0$ in $A_\mathfrak p$ です。□

全point $\mathfrak p$ でstalkは $A_\mathfrak p$ とisomorphicであり、上のunit criterionからlocal ringです。これはlocally ringed spaceの定義そのものです。□

$\operatorname{Spec}A=D(1)$ なのでprincipal-open section theoremを $f=1$ に適用すると
$$ \Gamma(\operatorname{Spec}A,\mathcal O) \cong A_1\cong A. $$
このisomorphismは $a\in A$ を各 $\mathfrak p$ で $a/1\in A_\mathfrak p$ と評価するglobal sectionへ送ります。□

map
$$ A_\mathfrak p\longrightarrow\operatorname{Frac}(A/\mathfrak p), \qquad \frac{a}{s}\longmapsto\frac{\bar a}{\bar s} $$
を考えます。$s\notin\mathfrak p$ なので $\bar s\ne0$、従ってwell-definedです。$A/\mathfrak p$ の任意のnonzero elementはある $s\notin\mathfrak p$ のclassなので、fraction fieldの全elementsがこの形に書け、mapはsurjectiveです。
$a/s$ がkernelに入ることは $\bar a/\bar s=0$、すなわち $\bar a=0$、つまり $a\in\mathfrak p$ と同値です。従ってkernelは $\mathfrak pA_\mathfrak p$。first isomorphism theoremから結論を得ます。□