6-1 fiber積とbase change

$(P,p_X,p_Y)$ と $(P',p_X',p_Y')$ がともにuniversal propertyを満たすとします。$P$ からのcompatible pair $(p_X,p_Y)$ を $P'$ の普遍性へ入れるとunique $a:P\to P'$ を得ます。同様にunique $b:P'\to P$ を得ます。
$b\circ a:P\to P$ と $\operatorname{id}_P$ はどちらもprojectionsとのcompositesが $p_X,p_Y$ です。$P$ のuniquenessから $b\circ a=\operatorname{id}_P$。同様に $a\circ b=\operatorname{id}_{P'}$。従って $a$ はunique isomorphismです。□

$\delta$ から
$$ \beta(b)=\delta(b\otimes1), \qquad \gamma(c)=\delta(1\otimes c) $$
と置けばring mapsを得ます。$a\in A$ に対し
$$ a\otimes1=1\otimes a $$
in $B\otimes_AC$ なので両mapsは $A$ 上一致します。
逆に $A$ 上一致する $\beta,\gamma$ からbilinear map
$$ B\times C\to R, \qquad(b,c)\mapsto\beta(b)\gamma(c) $$
を作ります。$a\in A$ について
$$ \beta(ab)\gamma(c) =\beta(b)\beta(a)\gamma(c) =\beta(b)\gamma(a)\gamma(c) =\beta(b)\gamma(ac) $$
なのでbalancedです。module tensor productのuniversal propertyによりunique additive map $\delta:B\otimes_AC\to R$ を誘導します。pure tensors上でmultiplicationとunitを保ち、全elementsはpure tensorsのfinite sumsなのでring homomorphismです。二constructionがinverseであることもpure tensors上で確認できます。□

$P=\operatorname{Spec}(B\otimes_AC)$ と置きます。canonical ring maps
$$ B\to B\otimes_AC, \qquad b\mapsto b\otimes1, $$
$$ C\to B\otimes_AC, \qquad c\mapsto1\otimes c $$
は $A$ 上一致するので、反変にprojections $P\to X$、$P\to Y$ を与え、そのcomposites to $S$ は一致します。
任意のscheme $T$ に対し、affine target theoremとtensor-algebra universal propertyを順に使うと
$$ \begin{aligned} \operatorname{Hom}(T,P) &\cong\operatorname{Hom}_{\mathrm{Ring}} (B\otimes_AC,\Gamma(T,\mathcal O_T))\\ &\cong \operatorname{Hom}_{\mathrm{Ring}}(B,\Gamma(T,\mathcal O_T)) \mathop{\times}_{\operatorname{Hom}_{\mathrm{Ring}}(A,\Gamma(T,\mathcal O_T))} \operatorname{Hom}_{\mathrm{Ring}}(C,\Gamma(T,\mathcal O_T))\\ &\cong \operatorname{Hom}(T,X) \times_{\operatorname{Hom}(T,S)} \operatorname{Hom}(T,Y). \end{aligned} $$
ここでmiddle lineは二mapsが $A$ 上一致するというfiber product of setsを意味します。このbijectionはprojectionsとのcompositionで与えられ、全 $T$ でnaturalです。従って $P$ はscheme fiber productのuniversal propertyを満たします。□

ring $R$ へのmap from either sideは、$A$-compatible maps $B\to R$、$C\to R$ でimage of $b$ がunitとなるものと同じです。左辺についてはまずlocalizationのuniversal property、次にtensor productのuniversal propertyを使います。右辺では順序を逆に使います。両ringsが全 $R$ に対し同じmapping propertyを持つためcanonical isomorphismがあります。
具体的には
$$ \frac{x}{b^n}\otimes c \longmapsto \frac{x\otimes c}{(b\otimes1)^n} $$
で与えられ、inverseはgeneratorsのuniversal propertyから得られます。第二式も同様です。□

projectionはring map $B\to B\otimes_AC$ から来るのでprincipal-open inverse-image formulaによりinverse imageは $D(b\otimes1)$。そのsection ringは $(B\otimes_AC)_{b\otimes1}$ で、前補題により $B_b\otimes_AC$ とisomorphicです。□

$S$ をaffine opens $S_\lambda=\operatorname{Spec}A_\lambda$ でcoverします。各inverse image $X_\lambda$、$Y_\lambda$ をそれぞれaffine opens
$$ U_{\lambda i}=\operatorname{Spec}B_{\lambda i}, \qquad V_{\lambda j}=\operatorname{Spec}C_{\lambda j} $$
でcoverします。各pairにaffine scheme
$$ P_{\lambda ij} :=\operatorname{Spec} (B_{\lambda i}\otimes_{A_\lambda}C_{\lambda j}) $$
を作ります。
二charts $P_{\lambda ij}$、$P_{\mu hk}$ を比較します。まずbase overlap $S_\lambda\cap S_\mu$ をaffine opens $R_\nu$ でcoverします。次に
$$ U_{\lambda i}\cap U_{\mu h}\cap f^{-1}(R_\nu), \qquad V_{\lambda j}\cap V_{\mu k}\cap g^{-1}(R_\nu) $$
を、それぞれ両側のaffine charts内でprincipalになるaffine opens $W_{\nu r}$、$Z_{\nu s}$ でcoverします。必要なら二つのprincipal coversのcommon refinementを取ればよいです。
各pair $(W_{\nu r},Z_{\nu s})$ のaffine fiber product over $R_\nu$ は、principal-open compatibilityにより $P_{\lambda ij}$ のopen subschemeとしても $P_{\mu hk}$ のopen subschemeとしても現れます。両表示のcoordinate ringは、元のtensor-product ringsをbase・$B$・$C$ のelementsで同じ順序に依存せずlocalizeしたringで、localization-tensor lemmaによりcanonicalにisomorphicです。これらのlocal piecesのunionを二chartsのoverlapとし、canonical isomorphismsで同一視します。
全isomorphismsはtensor productとlocalizationのuniversal propertiesからuniqueに定まります。従って三chartsを比較したとき、二通りのcompositeは同じgeneratorsを同じfractionsへ送り、uniquenessにより一致します。よってtriple overlaps上のcocycle conditionが成立します。
「schemeの貼り合わせ」のscheme gluing theoremにより $P_{\lambda ij}$ をscheme $P$ へglueできます。各affine chartのprojectionsもoverlapsで一致するためmorphism gluing lemmaにより
$$ p_X:P\to X, \qquad p_Y:P\to Y $$
へglueし、composites to $S$ はlocal equality criterionから一致します。
universal propertyを示します。compatible maps $T\to X$、$T\to Y$ を持つscheme $T$ を取ります。$T$ を、両imagesがある $U_{\lambda i}$、$V_{\lambda j}$ に入るaffine opensでcoverします。各piece上ではaffine fiber-product formulaによりunique map to $P_{\lambda ij}$ があります。overlapsではprojectionsとのcompositesが同じなのでaffine universal propertyのuniquenessからmapsが一致し、global map $T\to P$ へglueします。global uniquenessもopen cover上のuniquenessから従います。従って $P=X\times_SY$ です。□

任意のtest scheme $T$ からleft-hand sideへのmapは、maps $T\to X$、$T\to S'$、$T\to S''$ で、$T\to S'$ がgiven $T\to S''\to S'$ と一致し、$T\to X\to S$ が $T\to S''\to S$ と一致するものです。middle mapは $T\to S''$ から強制されるので、dataはcompatible pair
$$ T\to X, \qquad T\to S'' $$
over $S$ と同じです。これはright-hand sideへのmapのuniversal propertyです。従って両objectsは同じuniversal propertyを持ち、fiber product uniquenessからcanonicalにisomorphicです。□

最初のformulaはaffine fiber-product theoremです。residue fieldは
$$ \kappa(\mathfrak p) =\operatorname{Frac}(A/\mathfrak p) =S^{-1}(A/\mathfrak p), \qquad S=A\setminus\mathfrak p $$
なので
$$ B\otimes_A\kappa(\mathfrak p) \cong S^{-1}(B/\mathfrak pB). $$
このringのprime idealsは、$B$ のprime ideals $\mathfrak q$ で $\mathfrak pB\subseteq\mathfrak q$ かつ $\mathfrak q\cap S=\varnothing$ となるものに対応します。前者は $\mathfrak p\subseteq\mathfrak q\cap A$、後者は $\mathfrak q\cap A\subseteq\mathfrak p$ を意味するので、両方合わせて $\mathfrak q\cap A=\mathfrak p$ です。□

first caseでは
$$ A_f\otimes_AA' \cong A'_{f'} $$
by localization-tensor compatibilityです。Specを取ればprincipal open $D_{A'}(f')$ を得ます。
second caseではmap
$$ (A/I)\otimes_AA'\longrightarrow A'/IA', \qquad \bar a\otimes a'\longmapsto aa'\bmod IA' $$
がwell-definedなring isomorphismです。inverseは $a'\mapsto\bar1\otimes a'$。従ってSpecを取れば主張を得ます。□