2-5 整拡大と有限射

monic方程式を
$$ b^n=-a_{n-1}b^{n-1}-\cdots-a_0 $$
と解きます。両辺へ $b$ を繰り返し掛ければ全ての $b^m$ with $m\ge n$ を $1,b,\ldots,b^{n-1}$ の$A$-linear combinationへ下げられます。$A[b]$ の元は $b$ の多項式なので主張が従います。□

1を仮定します。各 $b_i$ が次数 $n_i$ のmonic方程式を満たすとします。冪を順に下げると
$$ b_1^{e_1}\cdots b_r^{e_r} \qquad(0\le e_i< n_i) $$
という有限個のmonomialが $B$ を $A$-moduleとして生成します。
2を仮定します。$B$ の$A$-module生成元を $v_1,\ldots,v_m$ とします。任意の $b\in B$ に対し multiplication by $b$ は有限生成module $B$ のendomorphismです。関係
$$ bv_j=\sum_i c_{ij}v_i $$
を行列 $C=(c_{ij})$ にまとめ、adjugate matrixを掛けると
$$ \det(bI-C)v_j=0 $$
です。$1$ は $v_j$ の組合せなので $\det(bI-C)=0$。これは $b$ のmonic方程式です。従って全ての $b$ はintegralです。□

座標環写像はsurjection
$$ k[Y]\twoheadrightarrow k[Z]=k[Y]/I_Y(Z). $$
商環は元 $1$ 一つで $k[Y]$-moduleとして生成されます。従ってmodule-finiteです。□

$A=k[Z]$、$B=k[Y]$、$C=k[X]$ とします。$B$ は有限生成$A$-module、$C$ は有限生成$B$-moduleです。$B$ の生成元を $b_i$、$C$ の生成元を $c_j$ とすれば、有限個の積 $b_ic_j$ が $C$ を $A$-moduleとして生成します。従って合成に対応する $A\to C$ はmodule-finiteです。□

$A$ がfieldとします。$0\ne b\in B$ の最小次数のmonic relationを取ると、そのconstant termは非零です。そうでなければdomainで $b$ をcancelして次数を下げられます。従ってrelationを $b$ で割って解けば $b^{-1}\in B$ です。
逆に $B$ がfieldなら、$0\ne a\in A$ に対し $a^{-1}\in B$ は $A$ 上integralです。
$$ (a^{-1})^n+c_{n-1}(a^{-1})^{n-1}+\cdots+c_0=0 $$
へ $a^{n-1}$ を掛けると $a^{-1}$ が $A$ の元の式で書けます。従って $A$ もfieldです。□

$S=A\setminus\mathfrak p$ で局所化します。$S^{-1}B$ は $A_{\mathfrak p}$ 上integralです。$S^{-1}B$ のmaximal ideal $\mathfrak n$ を一つ取ります。そのcontraction
$$ \mathfrak m=\mathfrak n\cap A_{\mathfrak p} $$
はmaximalです。
これを確認します。商
$$ A_{\mathfrak p}/\mathfrak m \subseteq S^{-1}B/\mathfrak n $$
はdomainsのintegral extensionで、右辺はfieldです。直前の補題から左辺もfieldなので $\mathfrak m$ はmaximalです。$A_{\mathfrak p}$ は唯一のmaximal ideal $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ を持つため
$$ \mathfrak m=\mathfrak pA_{\mathfrak p}. $$
$B\to S^{-1}B$ による $\mathfrak n$ のcontractionを $\mathfrak q$ とします。localizationのprime対応から $\mathfrak q$ はprimeで、その $A$ へのcontractionは $\mathfrak p$ です。□

$A=k[Y]$、$B=k[X]$ とします。まず $X$ 自身の像を考えます。$\varphi^*:A\to B$ のkernelを $K$ とすると、像の全点では $K$ が消えるので
$$ \varphi(X)\subseteq V_Y(K). $$
$y\in V_Y(K)$ に対応するmaximal ideal $\mathfrak m_y\supseteq K$ を取ります。$A/K$ は $B$ の部分環とみなせ、$B$ はその上integralです。lying-overにより $\mathfrak m_y/K$ の上にprime ideal $\mathfrak q\subseteq B$ があります。integral extensionでmaximal idealの上のprimeはmaximalです。実際商domainsのfield criterionを使えば従います。弱零点定理から $\mathfrak q$ はある点 $x\in X$ に対応し、そのcontractionが $\mathfrak m_y$ なので $\varphi(x)=y$ です。従って像は $V_Y(K)$ です。
一般のclosed subset $Z\subseteq X$ に対し、制限 $Z\to Y$ の座標環は $B/J$ です。これは $A$ 上module-finiteな $B$ のquotientなのでmodule-finiteです。今証明した像の公式から $\varphi(Z)$ はclosedです。□

$x\in X$ が $y$ へ写ることは、全ての $f\in\mathfrak m_y$ について
$$ (\varphi^*f)(x)=f(\varphi(x))=f(y)=0 $$
となることと同値です。従ってfiberの点集合は $V_X(\mathfrak m_yB)$ です。
一般のmodule恒等式
$$ B\otimes_A A/\mathfrak m_y\cong B/\mathfrak m_yB $$
を使います。写像 $b\otimes\overline a\mapsto\overline{ab}$ はbalancedで全射です。逆写像 $\overline b\mapsto b\otimes1$ は $\mathfrak m_yB$ を0へ送るのでwell-definedで、両合成は恒等です。$\kappa(y)=A/\mathfrak m_y$ から主張が従います。□

$B$ が有限生成$A$-moduleなら
$$ B/\mathfrak m_yB $$
は有限次元$\kappa(y)$-vector spaceです。代数閉体上では有限次元$k$-algebra $C$ のclosed pointsはmaximal idealsに対応します。
異なるmaximal ideals $\mathfrak n_1,\ldots,\mathfrak n_N$ はpairwise comaximalです。Chinese remainder theoremから
$$ C\longrightarrow\prod_{i=1}^N C/\mathfrak n_i\cong k^N $$
はsurjectiveです。従って
$$ N\le\dim_kC. $$
任意の有限部分集合に同じ上界があるため、maximal ideals全体も有限です。よってfiberの点は有限個です。□