2-7 Krull次元と超越次数

$a_1,\ldots,a_n$ の部分集合のうちalgebraically independentなものを、包含についてmaximalに取ります。有限集合なので選択に問題はありません。それを $z_1,\ldots,z_d$ とします。
残りの任意の生成元 $a_j$ について、$z_1,\ldots,z_d,a_j$ はmaximalityによりdependentです。従って
$$ F(z_1,\ldots,z_d,a_j)=0 $$
となる零でない多項式 $F$ があります。$z_i$ のindependenceにより、$F$ を最後の変数の多項式と見たとき全係数が0になることはありません。よって $a_j$ は $k(z_1,\ldots,z_d)$ 上algebraicです。有限個のalgebraic elementsで生成されるfield extensionはalgebraicなので、$K$ 全体が同field上algebraicです。□

$\overline z_1,\ldots,\overline z_s\in C/\mathfrak p$ をそのfraction fieldのtranscendence basisとし、代表元 $z_i\in C$ を取ります。また $0\ne a\in\mathfrak p$ を取ります。
$a,z_1,\ldots,z_s$ が $k$ 上algebraically independentであることを示します。もし
$$ F(z_1,\ldots,z_s,a)=0 $$
なら、最後の変数 $T$ について
$$ F(Z_1,\ldots,Z_s,T)=F_0(Z)+TF_1(Z)+\cdots+T^mF_m(Z) $$
と書きます。$C/\mathfrak p$ へ移すと $a$ の像は0なので
$$ F_0(\overline z_1,\ldots,\overline z_s)=0. $$
$\overline z_i$ のindependenceから $F_0=0$ です。従って元の関係は
$$ a\bigl(F_1(z)+aF_2(z)+\cdots+a^{m-1}F_m(z)\bigr)=0. $$
$C$ はdomainで $a\ne0$ なので括弧内が0です。同じ議論を繰り返すと全ての $F_i$ が0になり、$F=0$ です。従って $a,z_1,\ldots,z_s$ はindependentです。
ゆえに $\operatorname{Frac}(C)$ の超越次数は少なくとも $s+1$ であり、商の超越次数 $s$ より真に大きくなります。□

chain
$$ \mathfrak p_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_r $$
を取ります。各 $i$ について $A/\mathfrak p_i$ は有限生成domainであり、$\mathfrak p_{i+1}/\mathfrak p_i$ はその非零prime idealです。前補題により、fraction fieldの超越次数は一段ごとに少なくとも1下がります。従って
$$ r\le \operatorname{trdeg}_k\operatorname{Frac}(A/\mathfrak p_0) \le \operatorname{trdeg}_k\operatorname{Frac}(A). $$
最後の不等式は、$A/\mathfrak p_0$ のalgebraically independent elementsの代表元を取れば、同じ持ち上げの議論で確認できます。□

商写像により $A/\mathfrak p$ は $B/\mathfrak q$ の部分環とみなせます。$B$ の各元のmonic equationを商へ移せば、$B/\mathfrak q$ は $A/\mathfrak p$ 上integralです。
$\mathfrak p'/\mathfrak p$ は $A/\mathfrak p$ のprime idealです。lying-over theoremを商extensionへ適用すると、$B/\mathfrak q$ にprime ideal $\overline{\mathfrak q'}$ があり、そのcontractionは $\mathfrak p'/\mathfrak p$ です。$B$ における逆像を $\mathfrak q'$ とすれば、$\mathfrak q\subseteq\mathfrak q'$ かつ $\mathfrak q'\cap A=\mathfrak p'$ です。□

$\mathfrak q$ で商を取り、$A/\mathfrak p\subseteq B/\mathfrak q$ とします。両者はdomainsです。さらに $S=(A/\mathfrak p)\setminus\{0\}$ でlocalizeすると
$$ K=\operatorname{Frac}(A/\mathfrak p) \subseteq S^{-1}(B/\mathfrak q) $$
はintegral extensionのままです。右辺はdomainで、左辺はfieldなので、「整拡大と有限射」のfield criterionにより右辺もfieldです。
$\mathfrak q'/\mathfrak q$ は $S$ と交わりません。従ってlocalization後にprime idealを与えますが、fieldのprime idealは0だけです。ゆえに $b\in\mathfrak q'$ なら、ある $s\in A\setminus\mathfrak p$ に対して $sb\in\mathfrak q$ です。$s\notin\mathfrak q$ で $\mathfrak q$ はprimeなので $b\in\mathfrak q$ です。従って $\mathfrak q'\subseteq\mathfrak q$、ゆえに両者は等しいです。□

$B$ のstrict prime chainを $A$ へcontractionします。隣接する二primeのcontractionが同じならincomparabilityにより元の二primeも同じになり矛盾します。従ってstrict chainは同じ長さのstrict chainへ移り、$\dim B\le\dim A$ です。
逆に $A$ のstrict prime chain
$$ \mathfrak p_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_r $$
を取ります。lying-overで $\mathfrak p_0$ の上のprime $\mathfrak q_0$ を選び、going-upを順に適用して
$$ \mathfrak q_0\subseteq\cdots\subseteq\mathfrak q_r, \qquad \mathfrak q_i\cap A=\mathfrak p_i $$
を作ります。contractionsが異なるので各包含はstrictです。従って $\dim A\le\dim B$ です。両不等式から等号を得ます。□

既に
$$ (0)\subsetneq(x_1)\subsetneq\cdots\subsetneq(x_1,\ldots,x_d) $$
という長さ $d$ のchainを得ました。一方、fraction field $k(x_1,\ldots,x_d)$ の超越次数は $d$ なので、prime chainの超越次数上界により全てのchainの長さは $d$ 以下です。従って次元はちょうど $d$ です。□

Noether正規化により $R=k[z_1,\ldots,z_d]\subseteq A$ で $A$ がmodule-finite、従ってintegralとなるものがあります。integral extensionの次元不変性と多項式環の計算から
$$ \dim A=\dim R=d. $$
また $A$ の各元は $R$ 上integralなので、$\operatorname{Frac}(A)$ の各元は $\operatorname{Frac}(R)$ 上algebraicです。実際 $a/b$ の $a,b\in A$ はともに $\operatorname{Frac}(R)$ 上algebraicであり、algebraic elementsはfieldをなします。従って
$$ \operatorname{Frac}(A)/k(z_1,\ldots,z_d) $$
はalgebraicで、超越次数は $d$ です。□

座標環写像 $k[Y]\to k[X]$ はfiniteであり、surjectivityによりkernelは0です。従って $k[Y]\subseteq k[X]$ はintegral extensionです。integral extensionの次元不変性から
$$ \dim k[Y]=\dim k[X]. $$
定義により $\dim Y=\dim X$ です。□