8-1 射影空間と斉次座標

1　方向を点にする

体 $k$ と $n\ge1$ を固定する。$k^{n+1}\setminus\{0\}$ の元 $x,y$ について、$y=\lambda x$ となる $\lambda\in k^\times$ が存在するとき $x\sim y$ とする。$1$、逆元、積を使えば反射律・対称律・推移律が従う。商集合
$$\mathbf P_k^n=(k^{n+1}\setminus\{0\})/\sim$$
を射影空間と呼び、点を $[x_0:\cdots:x_n]$ と書く。零ベクトルは射影点を表さない。$[x]$ に一次元部分空間 $kx$ を対応させる写像は一対一である。代表 $x$ を $\lambda x$ に替えても $kx$ は同じで、逆に一次元部分空間の任意の非零元は同じ射影点を与える。

2　標準アフィン図と貼り合わせ

$U_i=\{[x]\in\mathbf P_k^n:x_i\ne0\}$ と置く。$[x]$ の第 $i$ 成分を1へ正規化すれば、残りの $n$ 成分が $\mathbf A_k^n$ の座標になる。逆写像は第 $i$ 成分に1を挿入する写像なので $U_i\cong\mathbf A_k^n$。どの射影点も非零成分を持つため $\mathbf P_k^n=\bigcup_{i=0}^nU_i$。
$U_i$ の座標を $u_l=x_l/x_i$ とすると、$U_i\cap U_j$ は $u_j\ne0$ の部分である。$U_j$ の座標は
$$\frac{x_l}{x_j}=\frac{u_l}{u_j}.\tag{1}$$
分母は重なりで非零だから、これはそこで正則な座標変換である。逆向きも同じ割り算で、合成は恒等写像になる。例えば $\mathbf P^2$ で $U_0$ の $[1:u:v]$ を $U_1$ に移すと、$u\ne0$ で $[1/u:1:v/u]$ となる。
$\mathbf A_k^n\to\mathbf P_k^n$、$(a_1,\ldots,a_n)\mapsto[1:a_1:\cdots:a_n]$ は $U_0$ への同型で、補集合 $H_\infty=\{x_0=0\}$ は $[0:x_1:\cdots:x_n]\leftrightarrow[x_1:\cdots:x_n]$ により $\mathbf P_k^{n-1}$ と同一視できる。特に $\mathbf P^1$ は一つのアフィン図と無限遠点一つからなる。二つの図の重なりで座標は $s=t^{-1}$ となる。

3　斉次方程式だけが点上で意味を持つ

全ての単項式の総次数が $d$ の多項式 $F\in k[X_0,\ldots,X_n]$ を次数 $d$ の斉次多項式という。各単項式をスカラー倍した座標に代入すると
$$F(\lambda x_0,\ldots,\lambda x_n)=\lambda^dF(x_0,\ldots,x_n).\tag{2}$$
従って $F(x)=0$ の真偽は射影点 $[x]$ の代表によらない。非斉次多項式では一般に失敗する。例えば標数2でない体で $F(X,Z)=X+Z^2$ は $(-1,1)$ で0だが、同じ射影点の代表 $(-2,2)$ では2となる。
$k^{n+1}$ の $r+1$ 次元線形部分空間 $W$ に対する $\mathbf P(W)$ は $\mathbf P^n$ の $r$ 次元射影部分空間である。特に非零一次形式 $L=a_0X_0+\cdots+a_nX_n$ の零点は超平面となり、全ての射影超平面はこの形を取る。係数を非零スカラー倍しても超平面は変わらない。
平面で $y=mx+b$ を斉次化すると $Y=mX+bZ$。$Z=0$ では $[1:m:0]$ を通るので、傾きが同じアフィン直線は同じ無限遠点を持つ。アフィン円 $x^2+y^2=1$ は $X^2+Y^2=Z^2$ となり、無限遠点の有無は係数体によって異なる。斉次イデアルと一般の射影零点集合は補論へ進む。閉包での飽和は続く補論で扱う。

4　射影変換と有限体の点数

$A\in\operatorname{GL}_{n+1}(k)$ は $[x]\mapsto[Ax]$ を定める。これは代表によらず、逆写像は $A^{-1}$ が与える。$A,B$ が同じ射影変換を与えるなら $C=A^{-1}B$ は全ての一次元部分空間を保つ。標準基底 $e_i$ について $Ce_i=\lambda_i e_i$、さらに $e_i+e_j$ も固有ベクトルだから $\lambda_i=\lambda_j$。よって $B=\lambda A$ で、射影線形群は
$$\operatorname{PGL}_{n+1}(k)=\operatorname{GL}_{n+1}(k)/(k^\times I).$$
$k=\mathbf F_q$ なら非零ベクトルは $q^{n+1}-1$ 個で、各射影点を表すベクトルは $q-1$ 個。従って
$$\#\mathbf P^n(\mathbf F_q)=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}=1+q+\cdots+q^n.\tag{3}$$

5　演習と解答

演習1。 $[1:2:3]$ と $[2:4:6]$ は同じ点か。また $[1:2:4]$ はどうか。ただし $\operatorname{char}k\ne2,3$ とする。
解答。 前二者は2倍なので同じ点。後者が $[1:2:3]$ と同じなら第一成分から倍率1だが第三成分が違うので別の点。
演習2。 $\mathbf P^2$ の $U_1$ で $[u:1:v]$ と書いた点を $U_2$ の座標へ移せ。
解答。 $v\ne0$ で $[u:1:v]=[u/v:1/v:1]$。逆変換も第二の非零座標で割る。
演習3。 $y=mx+b$ の無限遠点を求めよ。
解答。 $Y=mX+bZ$、$Z=0$ から $[1:m:0]$。$b$ に依存しない。
演習4。 $X^2+YZ+Z^3$ が斉次でない理由を述べよ。
解答。 $X^2,YZ$ は次数2、$Z^3$ は次数3で、全ての単項式の次数が揃わない。
演習5。 $\mathbf P^2(\mathbf F_2)$ の点数と代表を求めよ。
解答。 式 (3) から7点。$\mathbf F_2^\times=\{1\}$ なので代表は非零ベクトル7個そのものである：$[1:0:0]$、$[1:0:1]$、$[1:1:0]$、$[1:1:1]$、$[0:1:0]$、$[0:1:1]$、$[0:0:1]$。