2-3 接空間とJacobian

$D(1)=D(1\cdot1)=2D(1)$ なので $D(1)=0$ です。$k$-linearityから全定数で0です。
$a,b\in\mathfrak m_p$ なら $a(p)=b(p)=0$ なので
$$ D(ab)=a(p)D(b)+b(p)D(a)=0. $$
$\mathfrak m_p^2$ はこのような積の有限和からなるため、その全体で $D=0$ です。□

$1=b\cdot b^{-1}$ にLeibniz ruleを適用すると
$$ 0=b(p)D(b^{-1})+b(p)^{-1}D(b), $$
従って $D(b^{-1})=-D(b)/b(p)^2$ です。よって延長が存在すれば商の公式に限られます。
well-defined性を示します。$a/b=a'/b'$ なら、ある $u\notin\mathfrak m_p$ について
$$ u(ab'-a'b)=0. $$
評価すると $a(p)b'(p)-a'(p)b(p)=0$ です。この積へ $D$ を作用させると、$u(p)\ne0$ なので
$$ b'(p)D(a)+a(p)D(b') -b(p)D(a')-a'(p)D(b)=0. $$
この式と評価値の等式を通分計算へ代入すると、$a/b$ と $a'/b'$ に対する商の公式の値が等しいことが分かります。加法とLeibniz ruleも同じ通分計算で従います。従って延長は存在し、強制された公式から一意です。□

derivation $D$ は $\mathfrak m^2$ を消すので、$\mathfrak m$ への制限は
$$ \lambda_D:\mathfrak m/\mathfrak m^2\to k $$
を誘導します。
逆に $\lambda\in\operatorname{Hom}_k(\mathfrak m/\mathfrak m^2,k)$ を取ります。$a\in\mathcal O_{X,p}$ に対し
$$ D_\lambda(a)=\lambda(a-a(p)+\mathfrak m^2) $$
と定めます。$a-a(p)\in\mathfrak m$ なので定義できます。積について
$$ ab-a(p)b(p) =a(p)(b-b(p))+b(p)(a-a(p)) +(a-a(p))(b-b(p)). $$
最後の項は $\mathfrak m^2$ に入るので
$$ D_\lambda(ab) =a(p)D_\lambda(b)+b(p)D_\lambda(a). $$
従ってderivationです。
二つの構成が互いに逆であることは、$a\in\mathfrak m$ では $a(p)=0$ であること、一般の $a$ は $a(p)+(a-a(p))$ と分かれることから従います。□

一変数の冪についてLeibniz ruleによる帰納法から
$$ D(x_i^m)=m p_i^{m-1}v_i. $$
monomial $x^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}$ に積のruleを繰り返すと
$$ D(x^\alpha) =\sum_i \alpha_i p_1^{\alpha_1}\cdots p_i^{\alpha_i-1}\cdots p_n^{\alpha_n}v_i, $$
これは偏微分公式です。$k$-linearityにより全多項式で成立します。
逆に右辺で $D_v(f)$ を定めると、偏微分の積ruleから
$$ D_v(fg)=f(p)D_v(g)+g(p)D_v(f) $$
となるのでderivationです。□

$D$ が商を経由するなら $f\in I$ のclassは0なので $D(f)=0$ です。
逆に $D(I)=0$ なら $f-g\in I$ から $D(f)=D(g)$ が従い、
$$ \overline D:P/I\to k,\qquad \overline f\mapsto D(f) $$
はwell-definedです。Leibniz ruleもrepresentativeで計算すれば保たれます。□

polynomial derivation formulaにより $P$ 上のderivationは $v\in k^n$ に対応します。quotientへ降りる条件は全ての $f\in I$ について
$$ \sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(p)v_i=0 $$
であることです。
生成元 $f_j$ だけを確認すれば十分です。実際 $f=\sum_j h_jf_j$ なら
$$ \frac{\partial f}{\partial x_i}(p) =\sum_j\left( \frac{\partial h_j}{\partial x_i}(p)f_j(p) +h_j(p)\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(p) \right). $$
$p\in X$ なので $f_j(p)=0$ であり、各 $df_j(p)$ が $v$ を消せば $df(p)$ も $v$ を消します。従って条件は $J_X(p)v=0$ と同値です。□

surjectivityを示します。local maximal idealの元は $a/s$ with $a\in\mathfrak m_p$, $s(p)\ne0$ の形です。local ring内で
$$ \frac{a}{s}-\frac{a}{s(p)} =\frac{a(s(p)-s)}{s\,s(p)} $$
であり、$a$ と $s(p)-s$ はともにmaximal idealに入るので右辺はその平方に入ります。従って全classは $a/s(p)$ という大域元のclassで表せます。
injectivityを示します。$a\in\mathfrak m_p$ の像が局所化後の平方に入るとします。平方idealは $\mathfrak m_p^2A_{\mathfrak m_p}$ なので、ある $c\in\mathfrak m_p^2$、$s\notin\mathfrak m_p$ に対し $a/1=c/s$ と書けます。従ってある $u\notin\mathfrak m_p$ が
$$ u(sa-c)=0 $$
を満たし、$usa\in\mathfrak m_p^2$ です。
$(us)(p)\ne0$ なので定数 $d=(us)(p)^{-1}\in k$ を取り、
$$ dus=1+r,\qquad r\in\mathfrak m_p $$
と書けます。$dusa\in\mathfrak m_p^2$ かつ $ra\in\mathfrak m_p^2$ なので
$$ a=(1+r)a-ra=dusa-ra\in\mathfrak m_p^2. $$
従ってkernelは0です。□

直前の命題によりlocal ringのcotangent quotientを大域座標環の $\mathfrak m_p/\mathfrak m_p^2$ と同一視します。$P\to A=P/I$ は $\mathfrak n_p$ を $\mathfrak m_p$ へsurjectiveに送ります。$\mathfrak n_p^2$ の像は $\mathfrak m_p^2$ です。従って合成
$$ \mathfrak n_p\to\mathfrak m_p/\mathfrak m_p^2 $$
はsurjectiveで、kernelは $\mathfrak n_p^2+(I\cap\mathfrak n_p)$ です。$p\in V(I)$ なので $I\subseteq\mathfrak n_p$、従ってkernelは $\mathfrak n_p^2+I$ です。第一同型定理から最初の同型を得ます。
Taylorの代数的な一次展開
$$ f(x)-f(p) \equiv \sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(p)(x_i-p_i) \pmod{\mathfrak n_p^2} $$
を示します。monomialについて積を一因子ずつ $p_i+(x_i-p_i)$ と展開すると、定数項と一次項以外は少なくとも二つの $(x_i-p_i)$ を含み $\mathfrak n_p^2$ に入ります。線形性から全多項式で成立します。$f\in I$ では $f(p)=0$ なので、そのclassはgradient rowに対応します。□

そのような準同型 $\Phi$ は各 $a\in A$ を一意に
$$ \Phi(a)=a(p)+D(a)\varepsilon $$
と書きます。加法を保つことから $D$ は$k$-linearです。乗法を計算すると
$$ \Phi(a)\Phi(b) =a(p)b(p) +\{a(p)D(b)+b(p)D(a)\}\varepsilon +D(a)D(b)\varepsilon^2. $$
$\varepsilon^2=0$ なので、$\Phi(ab)=\Phi(a)\Phi(b)$ は $D$ のLeibniz ruleと同値です。
逆にderivation $D$ があれば $\Phi_D(a)=a(p)+D(a)\varepsilon$ と置くことで準同型が得られます。二つの構成は互いに逆で、derivation correspondenceから $T_pX$ とbijectionします。□

derivation $D\in T_pX$ と $h\in\mathcal O_{Z,\psi(\varphi(p))}$ に対し
$$ d(\psi\circ\varphi)_p(D)(h) =D(h\circ\psi\circ\varphi). $$
一方
$$ \bigl(d\psi_{\varphi(p)}(d\varphi_p(D))\bigr)(h) =d\varphi_p(D)(h\circ\psi) =D(h\circ\psi\circ\varphi). $$
全ての $h$ で一致するので二つの接ベクトルは等しいです。□