1-1 射影束と標準線束

Chern 類の公理を読み始めると、最初に現れる幾何はベクトル束そのものではなく、その各ファイバーに含まれる直線を集めた射影束である。本頁では規約の違いで符号を取り違えないよう、射影束と標準線束を一つの向きに固定し、線束の類と底変換に関する原論文の二つの命題を証明する。

この頁で示すこと

本頁では、完全体 $k$ 上の滑らかなスキームとその上の有限階数ベクトル束を考え、射影束をファイバー内の直線の空間として定める。この規約のもとで、標準部分線束とその双対である標準線束を区別し、線束の類および射影束の構成が引き戻しにどう応答するかを確定する。
本頁の主結果は次の2つである。

1. Picard 群の反変関手性（原論文 §1 命題 3.2、印字 p.139）：線束の引き戻しはテンソル積と両立し、恒等射と射の合成に関して反変関手をなす。［完結］
2. 射影束と標準線束の底変換（原論文 §1 命題 3.3、印字 p.139）：ベクトル束を引き戻してから射影化することと、射影束を底変換することは標準的に一致し、標準線束も同じ同型のもとで引き戻される。［完結］
   線束の引き戻しに関する標準同型、相対 Proj の底変換、直線部分束の分類は外部の標準事実として引用する。その上で、Picard 群上の群準同型と反変関手性、および分類関手から得られる射影束と標準線束の底変換を、本頁内で段階を追って証明する。

背景と動機

階数 $p$ のベクトル束 $E$ の Chern 類は、後に $P(E)$ 上の標準線束 $L_E$ の第 1 Chern 類を使って特徴づける。そのためには、$P(E)$ の点が「直線」を表すのか「1 次元商」を表すのか、また $\mathcal O(1)$ と $\mathcal O(-1)$ のどちらを $L_E$ と呼ぶのかを最初に決めなければならない。この選択を曖昧にすると、射影束公式の多項式で符号が変わり、標準完全列の部分束と商も入れ替わる。
本書は Grothendieck の 1958 年論文 Gro58 に合わせ、$P(E)$ の点を $E$ のファイバー内の直線とする。この向きでは標準的に入るものは部分線束 $\mathcal O(-1)$ であり、原論文が $L_E$ と書く標準線束はその双対 $\mathcal O(1)$ である。現代の相対 Proj の記法に翻訳すると $P(E)=\operatorname{Proj}_X\operatorname{Sym}(E^\vee)$ となる。
射影束が Chern 類に有効なのは、局所的に射影空間との直積でありながら、その上には $E$ から標準的に作られる線束が存在するからである。さらに、この構成が底変換と両立するため、$E$ を旗多様体へ引き戻して線束の列に分解する議論へ進める。旗多様体での反復と、射影束公式を公理に組み込む段階は、それぞれ後の頁で扱う。

定義と準備

基礎体と対象

本書では基礎体 $k$ を完全体とし、特に断らない限り $k$ 上有限型・分離的で滑らかなスキームを考える。本頁の射影束と引き戻しの構成自体はもっと一般のスキーム上でも成り立つが、後続頁との仮定をそろえるため、この範囲で記述する。ベクトル束は有限階数の局所自由 $\mathcal O_X$ 加群を意味し、階数は各連結成分上で一定とする。基礎事項は本書『0-2 ベクトル束・射影束・旗多様体』、記号の約束は本書『0-5 記号と約束』にまとめた。

状態は定義なので判定対象外である。原論文の定義 2.1 に対応する。ここで双対を二度明記したのは、原論文の後続箇所において商 $E^{(1)}$ の分母が $L_E$ と印刷されているためである。点ごとの意味から部分束になれるのは $L_E^\vee=\check L_E$ であり、$E^{(1)}=f_E^*E/L_E^\vee$ が正しい。これは原論文の証明内容を変更する補足ではなく、型の合わない印字を直したものである。
局所自明化 $E|_U\cong\mathcal O_U^{\oplus p}$ を選ぶと
$$ P(E)|_U\cong U\times\mathbb P_k^{p-1}, \qquad L_E|_{P(E)|_U}\cong\operatorname{pr}_2^*\mathcal O_{\mathbb P^{p-1}}(1). $$
したがって $f_E$ は相対次元 $p-1$ の滑らかな射影的射である。自明化を変えるときの遷移行列が射影空間と $\mathcal O(1)$ の双方に作用するので、これらの局所表示は大域的な $P(E)$ と $L_E$ に貼り合わさる。

状態は定義なので判定対象外であり、原論文の定義 2.3 に対応する。線束の同型類を取ることが重要である。線束そのものの圏には自己同型が残るが、同型類に移ればテンソル積が群演算になる。Chern 類の公理では、この群からコホモロジー理論の次数 1 部分への準同型が基本データとなる。

引用する事実

本頁で外部入力として用いるのは、次の標準的な事実だけである。挙げる文献については書誌の存在を確認したが、本書は現時点で以下の事実に対応する該当箇所を実読確認していない。したがって、ここでは具体的な定理番号を付さず、原論文が省略した標準入力と、本頁内で補う論証とを区別する。

• 局所自由層の引き戻しは局所自由であり、テンソル積、双対、恒等射、射の合成と標準同型を通じて両立する。これは線束の引き戻しを定義する基礎である。一般的な層の引き戻しの参考文献として EGA2 と Stacks を挙げるが、本書は該当箇所を確認していない。
• 相対 Proj は底変換と両立する。すなわち準連接次数付き代数 $S$ に対し、$\operatorname{Proj}_Y(S)\times_YX$ は引き戻した次数付き代数の相対 Proj と標準的に同型である。射影束の場合の参考文献として EGA2 と Har77 を挙げるが、本書は該当箇所を確認していない。
• $P(E)$ は直線部分束を分類する。具体的には、$h\colon T\to X$ に対する $T$ 値点は、商が局所自由である階数 1 の部分束 $N\subset h^*E$ と対応する。この分類は標準部分線束を特徴づける。
  これらは 1958 年論文以前から使われていた射影束と線束の標準的な幾何であり、原論文は詳しい証明を省いている。本頁では、そのうち二つの命題に必要な論理を明示する。引用した一般論を Chern 類の存在や一意性の証明と取り違えてはならない。

主結果と証明

線束の引き戻し

射 $g\colon X\to Y$ と $Y$ 上の線束 $M$ に対し、引き戻し $g^*M$ は $X$ 上の線束である。同型な線束の引き戻しは同型なので、同型類に対する写像
$$ g^*\colon\operatorname{Pic}(Y)\longrightarrow\operatorname{Pic}(X), \qquad [M]\longmapsto[g^*M] $$
が定まる。記号の左右に現れる $X$ と $Y$ を逆にしないことが、原論文の印字訂正を理解する要点である。
次の命題は原論文の命題 3.2 に対応し、状態は完結である。原論文の当該式では $Y$ 上の線束の類に付く添字が $X$ と印刷されているが、定義域から見て $[M]\in\operatorname{Pic}(Y)$ でなければならない。本頁の式はその型を訂正している。

この証明で示したのは同型類の群としての関手性である。各線束の間の具体的な標準同型をすべて等号に置き換えたわけではない。後続頁で引き戻しを合成するとき、線束の水準では標準同型、Picard 群の水準では等号として読む。

射影束の底変換

射影束の構成には、ベクトル束の局所自明化を選ぶ必要がない。したがって底を取り替えたときにも、同じ構成がそのまま引き戻される。この両立性を標準線束まで含めて述べる。
次の命題は原論文の命題 3.3 に対応し、状態は完結である。原論文はこの事実を直ちに分かるものとして扱うが、後に Chern 類の関手性を証明するときの入力になるため、ここでは分類関手を使って同型と標準線束の対応を同時に証明する。

この証明は、相対 Proj の一般的な底変換定理を射影束の場合に具体化したものでもある。実際、
$$ \operatorname{Sym}(g^*F^\vee) \cong g^*\operatorname{Sym}(F^\vee) $$
であり、相対 Proj の底変換を適用しても同じ同型を得る。分類関手による証明を採ったのは、空間の同型だけでなく、その上の標準部分線束がどのように対応するかが一つの議論で見えるためである。
この命題で $Y=X$、$F=E$ とし、幾何点 $x\colon\operatorname{Spec}\Omega\to X$ を底変換の射に取れば、ファイバーについて
$$ P(E)_x\cong P(E_x),\qquad L_E|_{P(E_x)}\cong\mathcal O_{P(E_x)}(1) $$
を得る。つまり、相対的に定義した標準線束は、各ファイバー上で通常の超平面束になる。

例と反例

自明束、線束、ファイバー

これは射影束と標準線束の局所模型である。一般の $E$ も、$E$ を自明化できる開集合上ではこの形になり、遷移行列によって貼り合わされる。

ここには規約の向きがはっきり現れる。$P(M)$ を 1 次元商の空間として出発する別の記法では普遍商を $\mathcal O(1)$ と呼ぶため、元の束と双対の置き場所が異なる。本書の式は、点を $M_x$ の直線とし、$L_M$ を標準部分線束の双対とする定義から直接従う。

射影束だけでは元のベクトル束を復元できない

この例は、射影束 $P(E)$ だけから $E$ を復元できるという主張への反例である。破れているのは標準線束を併せて記憶するという条件であり、$P(E)$ は同じでも $L_E$ は一般にねじれる。具体的に $X=\mathbb P^1_k$、
$$ E=\mathcal O_X^{\oplus2},\qquad E'=E\otimes\mathcal O_X(1)=\mathcal O_X(1)^{\oplus2} $$
とすれば $P(E)\cong P(E')$ である。しかし
$$ \det E\cong\mathcal O_X, \qquad \det E'\cong\mathcal O_X(2) $$
なので $E$ と $E'$ は同型ではない。標準線束の変換式まで保持すれば、この情報の差は見える。

引き戻しは一般には単射でない

Picard 群の反変関手性は、任意の射に対する引き戻しが存在し、合成と両立することを述べるだけであり、その写像が単射または全射だとは主張しない。後に旗多様体への引き戻しが単射になるのは一般論ではなく、コホモロジー理論に課す射影束公理から導く特別な結論である。

その後の発展

ここから先は原論文自身の証明ではなく、後代の定式化による位置づけである。
相対 Proj の体系では、準連接層 $\mathcal F$ に対する $\mathbb P(\mathcal F)$ を階数 1 の商を分類する空間として定義する流儀が広く用いられる。この流儀では $\mathbb P(\mathcal F)=\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}\mathcal F$ であり、本書の直線規約とは
$$ P(E)=\mathbb P(E^\vee) $$
の関係にある。どちらも正しいが、一つの計算の途中で混ぜることはできない。EGA2 や Har77 を参照するときは、普遍対象が部分線束なのか商線束なのかを先に確認する必要がある。
Chow 群の交叉理論では、$\xi=c_1(L_E)$ を使って射影束公式を記述する。滑らかな $X$ 上の階数 $p$ の束なら、$CH^*(P(E))$ は $CH^*(X)$ 上 $1,\xi,\ldots,\xi^{p-1}$ で生成され、Chern 類から作る次数 $p$ の関係をもつ。この後代の標準的定式化の参考文献として Ful98 を挙げるが、本書は該当箇所を確認していない。本書ではその公式を原論文の公理 A 1 と比較するが、本頁ではまだ Chern 類の存在を仮定せず、空間 $P(E)$、線束 $L_E$、底変換だけを確定した。
また、射影束と標準線束の組は代数幾何に限らず、複素ベクトル束や位相的ベクトル束でも同様に現れる。各ファイバーの直線の空間と標準線束を作る操作が引き戻しに自然であることが、さまざまなコホモロジー理論で Chern 類を定義できる理由の一つである。ただし、代数的 Chow 環、Hodge コホモロジー、位相的コホモロジーでは、射影束公式を成立させる仮定と証明が異なる。この区別は第2章の後続頁で行う。
原論文の構成で次に必要なのは、射影束を反復して完全旗を得ることである。各段階で標準部分線束を取り、商束をもう一度射影化すると、引き戻した $E$ に線束を次数商とする完全なフィルトレーションができる。この分裂原理の幾何的部分は第1章の後続頁で扱う。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Gro58 である。

二つの定義は記号を現代化して説明し、命題 3.2 と 3.3 は原論文が省略した証明を補った。表の二つの印字訂正はいずれも、後代の理論を使って原論文の主張を強めたものではない。標準部分束の型と引き戻し写像の定義域を合わせるための訂正である。命題の証明には標準的な射影束の一般論を用いたが、Chern 類の公理や射影束公式を先取りしてはいない。