0-4 コホモロジー的モデルと K 群
原論文が Chow 環と並べて挙げる二つのコホモロジー的モデル（Hodge コホモロジー $H^*(X,\Omega^*_X)$ と、$k=\mathbb C$ での整係数コホモロジー $H^*(X^{an},\mathbb Z)$）に要る事実と、第 4 章で使う Grothendieck 群 $K(X)$・λ 環・対称関数の初歩、位相幾何と複素解析での Chern 類の定義の要点を集めた頁である。各項目は要点をボックスに書き、続けて本書での使いどころと案内を書く。定理は証明せず引用として使い、証明の筋を添えるのは射影束の Hodge コホモロジーの計算だけである。ベクトル束と射影束は本書『0-2 ベクトル束・射影束・旗多様体』、Chow 環は本書『0-3 Chow 環と交叉理論の初歩』にある。
前提知識: 層コホモロジー, 微分形式, スペクトル系列, Lerayスペクトル系列, Picard群, 特異コホモロジー, Grothendieck群
Hodge コホモロジーと $d\log$
Hodge コホモロジーとカップ積
$X$ を $k$ 上の $n$ 次元非特異代数多様体とし、$\Omega^1_X=\Omega^1_{X/k}$ を Kähler 微分の層、$\Omega^p_X=\bigwedge^p\Omega^1_X$ をその外冪とする。$X$ が非特異だから $\Omega^p_X$ は階数 $\binom np$ の局所自由層で、$p>n$ では $0$ である。連接層コホモロジー $H^q(X,\Omega^p_X)$ を $X$ の Hodge コホモロジーといい、$H^{*}(X,\Omega^*_X)=\bigoplus_{p,q}H^q(X,\Omega^p_X)$ と書く。外積 $\Omega^p_X\otimes\Omega^{p'}_X\to\Omega^{p+p'}_X$ がコホモロジーのカップ積と合わさって積
$$H^q(X,\Omega^p_X)\otimes H^{q'}(X,\Omega^{p'}_X)\to H^{q+q'}(X,\Omega^{p+p'}_X)$$
を定め、$H^q(X,\Omega^p_X)$ に次数 $p+q$ を与えると $H^*(X,\Omega^*_X)$ は反可換な次数付き $k$ 代数になる（$ab=(-1)^{(p+q)(p'+q')}ba$）。射 $g\colon X'\to X$ は $g^*\Omega^p_X\to\Omega^p_{X'}$ を通して環準同型 $g^*$ を定め、$X\mapsto H^*(X,\Omega^*_X)$ は反変関手である。対角部分 $\bigoplus_pH^p(X,\Omega^p_X)$ は偶数次だけからなる可換な部分環である。$X$ が固有なら各 $H^q(X,\Omega^p_X)$ は有限次元である。
原論文の 2° は $A(X)$ を $H^*(X,\Omega^*_X)$ の全体にとり、次数 $p+q$ の反可換環として扱う。Chern 類は対角部分にしか値をもたないので、本書は記号表のとおり $A^p(X)=H^p(X,\Omega^p_X)$ と次数を半分にとり、可換環 $A(X)=\bigoplus_pH^p(X,\Omega^p_X)$ で議論する。
- 使いどころ：本書『2-2 三つのモデル』の 2°（与件 a）。標数を問わず、準射影と限らない非特異多様体全体で働くモデルであることが原論文の強調点である。
- 案内：Har77 II.8、III.7、Voi02 第 8 章、Huy05 第 2 章。
線束の類と $d\log$
線束の同型類の群は $\operatorname{Pic}(X)=H^1(X,\mathcal O_X^\times)$ である（変換関数 $g_{ij}$ が Čech 1 コサイクルを与える）。可逆関数の層から微分形式の層への写像
$$d\log\colon\mathcal O_X^\times\to\Omega^1_X,\qquad f\mapsto\frac{df}{f}$$
は $d\log(fg)=d\log f+d\log g$ を満たすから、乗法群の層から加法群の層へのアーベル群の層の準同型である。これが誘導する
$$d\log\colon\operatorname{Pic}(X)=H^1(X,\mathcal O_X^\times)\to H^1(X,\Omega^1_X)$$
を $d\log$ 写像といい、線束 $L$ の類の像 $d\log[L]$ を $L$ の（Hodge コホモロジーでの）第 1 Chern 類 $c_1(L)$ とする。Čech 表示では $c_1(L)$ はコサイクル $\{dg_{ij}/g_{ij}\}$ の類である。
$d\log\colon\operatorname{Pic}(X)\to H^1(X,\Omega^1_X)$ は群準同型で（$c_1(L\otimes L')=c_1(L)+c_1(L')$）、射 $g\colon X'\to X$ について $c_1(g^*L)=g^*c_1(L)$ を満たす。$k$ の標数が $p>0$ なら $c_1(L^{\otimes p})=p\cdot c_1(L)=0$ であり、$d\log$ は $\operatorname{Pic}(X)/p\operatorname{Pic}(X)$ を経由する。
要点のみ述べる。$L\otimes L'$ の変換関数は積 $g_{ij}g'_{ij}$ で、$d\log$ が乗法を加法に写すからコサイクルの和になる。$g^*L$ の変換関数は $g_{ij}\circ g$ で、$d\log$ は引き戻しと交換する。$H^1(X,\Omega^1_X)$ は $k$ ベクトル空間だから標数 $p$ では $p$ 倍が零である。
$d\log$ が原論文 2° の与件 b（$p_X\colon\operatorname{Pic}(X)\to A^1(X)$）である。Chow 環のモデルでは $p_X$ が同型であるのに対し、Hodge コホモロジーでは単射でも全射でもないことが、下の「例と反例」で見える。
- 使いどころ：本書『2-2 三つのモデル』の 2°（与件 b と A 2 の検証）。本書『3-1 Chern 類の定義と一意性』で $\xi_E=c_1(L_E)$ を作るとき。与件 c（余次元 $c$ の非特異閉部分多様体についての Gysin 写像 $i_*\colon H^q(Y,\Omega^p_Y)\to H^{q+c}(X,\Omega^{p+c}_X)$）は、原論文が Grothendieck の双対定理 Gro57 の「形式」で定義すると述べるもので、本書は引用として扱い確かめない。
- 案内：Har77 III Ex. 7.4、Huy05 第 4 章、Voi02 第 4 章、Stacks「Duality for Schemes」。
Leray スペクトル系列と射影束
$f\colon P\to X$ を（位相空間またはスキームの）射、$\mathcal F$ を $P$ 上のアーベル群の層とする。第 1 象限のスペクトル系列
$$E_2^{a,b}=H^a(X,R^bf_*\mathcal F)\Longrightarrow H^{a+b}(P,\mathcal F)$$
があり、$\mathcal F$ について関手的である。層の積 $\mathcal F\otimes\mathcal G\to\mathcal H$ があれば、$E_2$ 項の積 $H^a(X,R^bf_*\mathcal F)\otimes H^{a'}(X,R^{b'}f_*\mathcal G)\to H^{a+a'}(X,R^{b+b'}f_*\mathcal H)$ が各 $E_r$ 項と両立し、極限でカップ積を与える。
Leray スペクトル系列そのものは本書では引用するだけだが、射影束についての次の計算は原論文が「$\xi_E$ を考えれば系列は自明」と一言で済ませる段なので、主張を明示し、証明の筋を添える。
$E$ を非特異多様体 $X$ 上の階数 $p$ のベクトル束、$f\colon P=P(E)\to X$ を射影束、$\xi=\xi_E=c_1(L_E)=d\log[\mathcal O_P(1)]\in H^1(P,\Omega^1_P)$ とする。
- 各 $a,q$ について、$\omega\mapsto f^*\omega\cdot\xi^q$ は $\mathcal O_X$ 加群の同型 $\Omega^{a-q}_X\xrightarrow{\ \sim\ }R^qf_*\Omega^a_P$ を与える（$0\le q\le p-1$。$q\ge p$ では $R^qf_*\Omega^a_P=0$）。
- Leray スペクトル系列は $E_2$ で退化し、写像
$$\bigoplus_{q=0}^{p-1}H^{n-q}(X,\Omega^{a-q}_X)\to H^n(P,\Omega^a_P),\qquad(x_q)_q\mapsto\sum_qf^*x_q\cdot\xi^q$$
は同型である。すなわち $H^*(P,\Omega^*_P)$ は $H^*(X,\Omega^*_X)$ 上 $1,\xi,\dots,\xi^{p-1}$ を基底とする自由加群である。
要点のみ述べる。段 1（ファイバーの計算）．$m=p-1$ とする。$\mathbb P^m_k$ 上では $H^q(\mathbb P^m,\Omega^b)$ は $q=b\le m$ のとき $k$、それ以外は $0$ で、$H^q(\mathbb P^m,\Omega^q)$ は $h=d\log[\mathcal O(1)]$ の冪 $h^q$ で生成される（Har77 III Ex. 7.3、Bott の計算）。段 2（局所自明化）．$X$ の開集合 $U$ 上で $E$ が自明なら $f^{-1}(U)=U\times\mathbb P^m$ で、$\Omega^a_{U\times\mathbb P^m}=\bigoplus_b\mathrm{pr}_1^*\Omega^{a-b}_U\otimes\mathrm{pr}_2^*\Omega^b_{\mathbb P^m}$ だから、Künneth と段 1 により $R^qf_*\Omega^a_P|_U=\Omega^{a-q}_U\otimes_kH^q(\mathbb P^m,\Omega^q)$ で、$\mathcal O_P(1)$ が $\mathrm{pr}_2^*\mathcal O(1)$ に制限されることから $\xi|_{f^{-1}(U)}=\mathrm{pr}_2^*h$ である。段 3（大域化）．$\omega\mapsto f^*\omega\cdot\xi^q$ は $X$ 上で定義された層の射 $\Omega^{a-q}_X\to R^qf_*\Omega^a_P$ であり、段 2 によって各 $U$ 上で同型だから大域的に同型である。これが 1 である。段 4（退化）．$\xi^q$ は大域的な類だから、Leray スペクトル系列の積の構造により、$\Omega^{a-q}_X$ の（恒等射についての自明な）スペクトル系列から $f$ と $\Omega^a_P$ のスペクトル系列への射 $x\mapsto f^*x\cdot\xi^q$ が定まり、$E_2^{s,0}$ を $E_2^{s,q}$ へ写す。1 により $q$ についての和は $E_2$ 項で同型で、始域が退化しているから終域も退化し、極限でも同型である。これが 2 である。導来圏 で言えば、$\xi^q$ が定める射の和 $\bigoplus_q\Omega^{a-q}_X[-q]\to Rf_*\Omega^a_P$ が段 3 により擬同型で、$R\Gamma$ をとれば 2 が出る。
この命題が原論文 2° の公理 A 1（射影束公式）の検証である。基底 $1,\xi,\dots,\xi^{p-1}$ について $\xi^p$ を展開した係数が Chern 類になる（本書『3-1 Chern 類の定義と一意性』）。
- 使いどころ：本書『2-2 三つのモデル』の 2°（A 1 の検証）。第 3 章の分裂の議論は、この命題の $H^*(X,\Omega^*_X)\to H^*(P,\Omega^*_P)$ が単射であることを使う。
- 案内：Lerayスペクトル系列、Har77 III.8、Ex. 7.3、Ful98 第 3 章（Chow 環での同じ形の命題）、Stacks「Cohomology of Schemes」。
整係数コホモロジーと指数完全列（$k=\mathbb C$）
$k=\mathbb C$ とし、$n$ 次元非特異多様体 $X$ に付随する複素多様体を $X^{an}$ と書く。整係数の特異コホモロジー $H^*(X^{an},\mathbb Z)$ はカップ積で反可換な次数付き環になり、連続写像について反変である。$X$ が固有なら $X^{an}$ は複素構造から定まる向きをもつコンパクトな実 $2n$ 次元多様体だから、Poincaré 双対 $H^i(X^{an},\mathbb Z)\cong H_{2n-i}(X^{an},\mathbb Z)$（基本類とのキャップ積）がある。余次元 $c$ の非特異閉部分多様体 $i\colon Y\to X$ に対し、Gysin 写像 $i_*\colon H^j(Y^{an},\mathbb Z)\to H^{j+2c}(X^{an},\mathbb Z)$ を、双対でホモロジーに移して押し出し、双対で戻したものとして定め、$[Y]=i_*(1)\in H^{2c}(X^{an},\mathbb Z)$ を $Y$ の基本類という。射影公式 $i_*(i^*x\cdot y)=x\cdot i_*y$ が成り立つ。固有でない $X$ では、Borel–Moore ホモロジーを使えば同じ形の双対と Gysin 写像が得られる。
原論文の 3° は、$A(X)$ を $H^*(X^{an},\mathbb Z)$ の全体（本書では偶数次の部分 $\bigoplus_pH^{2p}(X^{an},\mathbb Z)$ を次数を半分にして）にとり、与件 c を Poincaré 双対で「古典的に」定義するモデルである。与件 b には次の二つの作り方があり、原論文はどちらも周知として挙げる。
$X^{an}$ 上の正則関数の層 $\mathcal O_{X^{an}}$ と可逆正則関数の層 $\mathcal O_{X^{an}}^\times$ について、アーベル群の層の完全列
$$0\to\mathbb Z\xrightarrow{\ 2\pi i\ }\mathcal O_{X^{an}}\xrightarrow{\ \exp\ }\mathcal O_{X^{an}}^\times\to0$$
がある（指数完全列）。長完全列の境界写像
$$\delta\colon H^1(X^{an},\mathcal O_{X^{an}}^\times)\to H^2(X^{an},\mathbb Z)$$
は加法的で関手的であり、線束 $L$ に対し $c_1(L)=\pm\delta[L^{an}]$ が位相的な第 1 Chern 類である。符号は文献ごとの約束で、本書では切断の零点の因子 $D$ について $c_1(\mathcal O(D))=[D]$ となるように選ぶ（公理 A 2 の正規化）。$X$ が射影的なら GAGA により $\operatorname{Pic}(X)\to H^1(X^{an},\mathcal O_{X^{an}}^\times)$ は同型で（Har77 付録 B）、$\delta$ の核は $H^1(X^{an},\mathcal O_{X^{an}})/H^1(X^{an},\mathbb Z)$ の像、像は Néron–Severi群 $\operatorname{NS}(X)$ で、Lefschetz の (1,1) 定理により $H^2(X^{an},\mathbb Z)\cap H^{1,1}$ に等しい。
指数完全列は代数的な層 $\mathcal O_X$ には存在しないので、この作り方は $k=\mathbb C$ の解析的な世界に固有である。もう一つの作り方は $L$ の有理切断の因子 $D$ の基本類 $[D]\in H^2(X^{an},\mathbb Z)$ を対応させるもので、上の正規化により二つは一致する。
$f\colon P\to X$ をファイバー $F$ をもつ局所自明なファイバー束、$R$ を可換環とする。類 $e_1,\dots,e_r\in H^*(P,R)$ の各ファイバーへの制限が $H^*(F,R)$ の $R$ 基底をなすなら、$H^*(P,R)$ は $H^*(X,R)$ 上 $e_1,\dots,e_r$ を基底とする自由加群である（$x\mapsto\sum f^*x_i\cdot e_i$）。とくに $P=P(E)^{an}$、$\xi=c_1(\mathcal O_P(1))$ については、$H^*(\mathbb P^{p-1},\mathbb Z)=\mathbb Z[h]/(h^p)$ だから、$H^*(P(E)^{an},\mathbb Z)$ は $H^*(X^{an},\mathbb Z)$ 上 $1,\xi,\dots,\xi^{p-1}$ を基底とする自由加群である。
これが 3° での公理 A 1 の検証である。原論文はこの箇所を「A 2 は再び Leray スペクトル系列から」と印字するが、内容は A 1 の検証である。証明は上の命題（射影束の Hodge コホモロジー）と同じ筋である。
$X$ を $k$ 上の非特異多様体とする。de Rham 複体 $\Omega^\bullet_X$ の超コホモロジー $H^i_{dR}(X/k)=\mathbb H^i(X,\Omega^\bullet_X)$（de Rham コホモロジー）に対し、次数によるフィルトレーションから
$$E_1^{p,q}=H^q(X,\Omega^p_X)\Longrightarrow H^{p+q}_{dR}(X/k)$$
が定まる（Hodge–de Rham スペクトル系列。複素多様体では Frölicher スペクトル系列と呼ばれる）。$k=\mathbb C$ なら $H^i_{dR}(X/\mathbb C)\cong H^i(X^{an},\mathbb C)$ であり（固有なら GAGA と正則な Poincaré 補題、一般には Grothendieck の 1966 年の定理）、$X$ が固有ならスペクトル系列は $E_1$ で退化し（Hodge 理論、Del71）、$H^{2p}(X^{an},\mathbb C)=\bigoplus_{a+b=2p}H^{a,b}$ で $H^p(X,\Omega^p_X)=H^{p,p}$ はその直和因子である。このとき、位相的な第 1 Chern 類 $\delta[L]$ の $H^2(X^{an},\mathbb C)$ での像は $H^{1,1}$ に入り、$2\pi i$ と符号を除いて $d\log[L]$ に一致する。
原論文の Introduction が名を付けずに述べる「$H^p(X,\Omega^q_X)$ と $H^*(X,\mathbf C)$ を結ぶスペクトル系列」がこれで、本書は第 1 Chern 類について上に述べたにとどめる。
Grothendieck 群 $K(X)$
ネーター的スキーム $X$ に対し、連接層の同型類を生成元とし、各短完全列 $0\to\mathcal F'\to\mathcal F\to\mathcal F''\to0$ について関係 $[\mathcal F]=[\mathcal F']+[\mathcal F'']$ を課して得られるアーベル群を $K_0^{\mathrm{coh}}(X)=G_0(X)$ と書く。局所自由層について直和を加法として作る Grothendieck 群を $K_0^{\mathrm{vb}}(X)$ と書く。$K_0^{\mathrm{vb}}(X)$ はテンソル積 $[E][F]=[E\otimes F]$ で可換環になり、射 $g\colon X'\to X$ について $g^*$ で反変関手である。$G_0(X)$ は局所自由層とのテンソル積により $K_0^{\mathrm{vb}}(X)$ 加群になる。
[条件付き完結] $X$ が滑らかな準射影多様体で、任意の連接層 $\mathcal F$ が有限な局所自由分解 $0\to E_r\to\dots\to E_0\to\mathcal F\to0$ をもつという解消定理を入力すると、自然写像 $K_0^{\mathrm{vb}}(X)\to G_0(X)$ は同型であり、逆写像は $[\mathcal F]\mapsto\sum_i(-1)^i[E_i]$ で与えられる。この条件下で原論文の記号にならい共通の群を $K(X)$ と書く。準射影でない正則スキームについては、大域的な有限局所自由分解とこの比較同型を本頁では確認していないので、二つの群を無条件には同一視しない。
[条件付き完結] $X$ を滑らかな準射影多様体とし、上の有限局所自由分解定理を入力する。このとき $K(X)=K_0^{\mathrm{vb}}(X)\cong G_0(X)$ の積は連接層 $\mathcal F,\mathcal G$ について
$$[\mathcal F]\cdot[\mathcal G]=\sum_{i\ge0}(-1)^i[\mathcal Tor_i^{\mathcal O_X}(\mathcal F,\mathcal G)]$$
で与えられる。ここで $\mathcal Tor_i^{\mathcal O_X}(\mathcal F,\mathcal G)$ は連接層で、$i>\dim X$ では $0$ である（Tor関手。正則局所環の大域次元が有限であることによる）。閉部分多様体 $Y,Z$ について $\gamma(Y)=[\mathcal O_Y]$ とおくと、$\gamma(Y)\gamma(Z)=\sum(-1)^i[\mathcal Tor_i(\mathcal O_Y,\mathcal O_Z)]$ であり、$Y$ と $Z$ が固有に交わるとき、この交代和の各既約成分での長さが Serre の交叉重複度である（Tor 公式、Ser65。本書『0-3 Chow 環と交叉理論の初歩』）。
仮定した解消定理により $\mathcal F$ の有限局所自由分解 $E_\bullet$ をとる。すると $\mathcal Tor_i(\mathcal F,\mathcal G)=\mathcal H_i(E_\bullet\otimes\mathcal G)$ であり、複体の項の交代和はそのホモロジーの交代和に等しい（複体とホモロジー）から、$\sum_i(-1)^i[E_i\otimes\mathcal G]$ は右辺に一致する。ここで使った積と証明は比較同型が成り立つ上記の範囲のものであり、一般の非準射影正則 $X$ の $G_0(X)$ に同じ環構造を無条件には入れていない。
原論文は「連接層の類の環 $K(X)$」と Tor の交代和による積を名指しで使い、準射影でない非特異多様体では Chow 環の代わりに $K(X)$ を台の余次元でフィルターした随伴次数付き環を使う案を述べる（本書『4-2 K 群のフィルトレーションと Chow 環』）。
- 使いどころ：本書『2-2 三つのモデル』の 1° の注意（準射影でない場合）、本書『4-1 λ 環と完備 Chern 類』（完備 Chern 類の最初の定義域は $K_0^{\mathrm{vb}}(X)$。連接層の類への延長は比較同型を仮定した条件付きの主張）、本書『4-2 K 群のフィルトレーションと Chow 環』（$\gamma$、$K^i(X)$、$\varphi$、$\psi$）。
- 案内：Grothendieck群、BS58、Man69、SGA6、Ful98 第 15 章、Har77 II Ex. 6.10。
λ 環と対称関数
可換環 $R$ と写像の列 $\lambda^i\colon R\to R$（$i\ge0$）の組が λ 環（原論文の λ-anneau。後年の文献では pre-λ-ring）であるとは、すべての $x,y\in R$ について $\lambda^0(x)=1$、$\lambda^1(x)=x$、$\lambda^n(x+y)=\sum_{i+j=n}\lambda^i(x)\lambda^j(y)$ が成り立つことをいう。$\lambda_t(x)=\sum_{i\ge0}\lambda^i(x)t^i$ とおくと、この条件は $\lambda_t$ が加法群 $R$ から乗法群 $1+tR[\![t]\!]$ への準同型で $\lambda_t(x)\equiv1+xt\pmod{t^2}$ を満たすことと同じである。さらに、下で定める整数係数の普遍多項式 $P_n$、$P_{n,m}$ について
$$\lambda^n(xy)=P_n(\lambda^1x,\dots,\lambda^nx;\lambda^1y,\dots,\lambda^ny),\qquad\lambda^m(\lambda^nx)=P_{m,n}(\lambda^1x,\dots,\lambda^{mn}x)$$
と $\lambda^n(1)=0$（$n\ge2$）が成り立つとき特殊 λ 環（原論文の λ-anneau spécial。後年の文献では単に λ-ring）という。$1+tR[\![t]\!]$ には、加法を形式冪級数の積、積 $\circ$ と演算 $\lambda^i$ を $(1+at)\circ(1+bt)=1+abt$、$\lambda^i(1+at)=1$（$i\ge2$）で決まる普遍多項式で定めた標準的な特殊 λ 環の構造があり、$R$ が特殊であることは $\lambda_t$ が λ 環の準同型であることと同値である。
例は、$\lambda^i(n)=\binom ni$ を入れた $\mathbb Z$、外冪 $\lambda^i[E]=[\bigwedge^iE]$ を入れた $K^0(X)$（短完全列 $0\to E'\to E\to E''\to0$ に対し $\bigwedge^nE$ が $\bigwedge^iE'\otimes\bigwedge^jE''$ を次数商とするフィルトレーションをもつことから加法性が出る。Har77 II Ex. 5.16）、外冪を入れた群の表現環である。いずれも特殊であるが、その証明には次の分裂の議論が要る（本書『4-1 λ 環と完備 Chern 類』）。
- 使いどころ：本書『4-1 λ 環と完備 Chern 類』（$\widetilde{A(X)}$ の λ 環構造、式 (9)〜(13)）。
- 案内：λ環、AT69、Knu73、Yau10、SGA6 第 V 講。
変数 $x_1,\dots,x_n$ の対称多項式の環 $\mathbb Z[x_1,\dots,x_n]^{S_n}$ は基本対称式 $e_1=\sum x_i$、$e_2=\sum_{i< j}x_ix_j$、…、$e_n=x_1\cdots x_n$ を代数的に独立な生成元とする多項式環 $\mathbb Z[e_1,\dots,e_n]$ である（対称多項式の基本定理）。したがって対称多項式は $e_1,\dots,e_n$ の整数係数多項式として一意に書け、この多項式は $n$ を大きくしても変わらない。普遍多項式 $P_n$、$P_{n,m}$ は
$$\prod_{i,j}(1+x_iy_jt)=\sum_nP_n(e_1(x),\dots;e_1(y),\dots)\,t^n,\qquad\prod_{i_1<\dots< i_m}(1+x_{i_1}\cdots x_{i_m}t)=\sum_nP_{n,m}(e_1(x),\dots)\,t^n$$
で定まる。とくに $P_2(x_1,x_2;y_1,y_2)=x_1^2y_2+x_2y_1^2-2x_2y_2$ である。冪和 $p_k=\sum x_i^k$ は Newton の恒等式で $e_i$ の多項式になる。Chern 類の普遍環は $\mathbb Z[c_1,\dots,c_n]$（$\deg c_i=i$）で、$c_i\mapsto e_i$ は単射 $\mathbb Z[c_1,\dots,c_n]\to\mathbb Z[x_1,\dots,x_n]$ を与える。分裂原理の代数版とは、Chern 類や λ 演算の多項式恒等式は $c_i=e_i(x_1,\dots,x_n)$ と置いた（線束の和に相当する）場合に示せば十分である、という言明で、この単射性と旗多様体への引き戻し $A(X)\to A(D(E))$ の単射性（本書『1-2 旗多様体と完全分裂』）からなる。
- 使いどころ：本書『3-3 双対・外冪・テンソル積』（$c(E\otimes F)$、$c(\bigwedge^iE)$ の計算）、本書『4-1 λ 環と完備 Chern 類』（普遍多項式の存在と一意性）。
- 案内：対称多項式、Mac95 第 I 章、Knu73、Ful98 §3.2、Hir66 §4。
位相的 Chern 類と他の定義
$BU(n)$ を無限 Grassmann 多様体 $\varinjlim_NG_n(\mathbb C^N)$、$\gamma_n$ をその上の普遍束とする。パラコンパクト空間 $X$ 上の階数 $n$ の複素ベクトル束の同型類はホモトピー類 $[X,BU(n)]$ と一対一に対応し（$E\cong f_E^*\gamma_n$）、$H^*(BU(n),\mathbb Z)=\mathbb Z[c_1,\dots,c_n]$（$\deg c_i=2i$）である。$c_i(E)=f_E^*c_i\in H^{2i}(X,\mathbb Z)$ が位相的 Chern 類で、関手性、Whitney の和公式 $c(E'\oplus E'')=c(E')c(E'')$、$\mathbb P^1$ 上の $\mathcal O(1)$ での正規化で一意に定まる。極大トーラス $T^n\subset U(n)$ について $H^*(BU(n),\mathbb Z)\to H^*(BT^n,\mathbb Z)=\mathbb Z[x_1,\dots,x_n]$ は単射で像は対称多項式全体である（分裂原理の位相版）。射影束 $P(E)$ と $\xi=c_1(\mathcal O_{P(E)}(1))$ について $\sum_ic_i(E)\xi^{n-i}=0$ が成り立ち、Leray–Hirsch の定理と合わせると、原論文の定義 (1) は位相的 Chern 類を復元する。
- 使いどころ：原論文 Introduction の「同じ筋書きは位相多様体上の複素ベクトル束でも働く」という主張（C-Int.2）と、本書『2-2 三つのモデル』の 3°。
- 案内：分類空間、Chern類、MS74 §14、Hus94、BT82 §20–21（射影束による定義を採る）。
Hirzebruch の本 Hir56（英訳 Hir66）§4 は、Chern 類を形式的な根 $\gamma_1,\dots,\gamma_n$ で $c(E)=\prod(1+\gamma_i)$ と分解し、根の対称式はすべて $c_i$ の多項式であることを使って $c(E^\vee)=\sum(-1)^ic_i(E)$、$c(E\otimes F)$、$c(\bigwedge^iE)$ を計算する。これが原論文の系（式 (7)）で「周知の基本関数の計算（Hirzebruch の本を見よ）」と呼ばれるものである。乗法的列 $\prod Q(\gamma_i)$（Todd 類、Chern 指標）も同じ形式で扱われる。Atiyah Ati57 は複素多様体上の正則ベクトル束 $E$ について、正則接続の存在の障害類 $a(E)\in H^1(X,\Omega^1_X\otimes\mathcal End(E))$（1 次ジェットの完全列 $0\to\Omega^1_X\otimes E\to J^1(E)\to E\to0$ の拡大類）を導入し、その特性多項式の係数として $c_p(E)\in H^p(X,\Omega^p_X)$ を定めた。$p=1$ では $\operatorname{tr}a(L)$ が符号を除いて $d\log[L]$ である。原論文 Introduction は自分の定義との一致を「確かに容易」と述べるだけで、本書はこの一致を確かめない。
例と反例
三つのモデルの与件 b の細かさを曲線で比べ、射影束と $K$ 群と λ 環の計算を一つずつ挙げる。
$\mathbb P^1_k$ を $U_0=\{x_0\ne0\}$、$U_1=\{x_1\ne0\}$ で被覆し、$t=x_1/x_0$ とする。$\mathcal O(1)$ の変換関数は $g_{01}=t$ で、$c_1(\mathcal O(1))$ は Čech コサイクル $dt/t\in\Omega^1(U_0\cap U_1)$ の類である。$\Omega^1(U_0)=k[t]\,dt$、$\Omega^1(U_1)$ は $t^{-m}dt$（$m\ge2$）で張られるから、$H^1(\mathbb P^1,\Omega^1)=k[t,t^{-1}]\,dt/(\Omega^1(U_0)+\Omega^1(U_1))$ は $dt/t$ の類を基底とする 1 次元空間で、$c_1(\mathcal O(d))=d\cdot[dt/t]$ である。標数 $0$ では $d\log\colon\operatorname{Pic}(\mathbb P^1)=\mathbb Z\to k$ は単射で、$[dt/t]\mapsto1$ を送る跡写像 $H^1(\mathbb P^1,\Omega^1)\to k$ を合成すると次数を与える。
標数 $p>0$ では上の計算から $c_1(\mathcal O(p))=p\cdot[dt/t]=0$ である。すなわち 2° のモデルでは $p_X=d\log$ は単射でなく、$\mathcal O(p)$ は自明束と同じ第 1 Chern 類をもつ。Chow 環のモデルでは $p_X$ が同型だから、2° は 1° より粗い。これは標数 $p$ に固有の情報の損失である。
$k=\mathbb C$ 上の楕円曲線 $C$ では $\operatorname{Pic}(C)\cong\operatorname{Pic}^0(C)\times\mathbb Z$ で $\operatorname{Pic}^0(C)\cong C(\mathbb C)$ である。3° の $\delta\colon\operatorname{Pic}(C)\to H^2(C^{an},\mathbb Z)=\mathbb Z$ も 2° の $d\log\colon\operatorname{Pic}(C)\to H^1(C,\Omega^1)=\mathbb C$ も次数写像で、核はともに $\operatorname{Pic}^0(C)$ である。1° では $A^1(C)=\operatorname{Pic}(C)$ そのものである。$A^1$ は 1° が最も細かい。
$X=\mathbb P^1$、$E=\mathcal O\oplus\mathcal O(-a)$（$a\ge0$）とし、$F_a=P(E)$ とする。上の命題（射影束の Hodge コホモロジー）により $H^*(F_a,\Omega^*)$ は $H^*(\mathbb P^1,\Omega^*)$ 上 $1,\xi$ を基底とする自由加群で、$H^1(F_a,\Omega^1)=H^1(\mathbb P^1,\Omega^1)\cdot1\oplus H^0(\mathbb P^1,\mathcal O)\cdot\xi$ は 2 次元、$H^2(F_a,\Omega^2)=H^1(\mathbb P^1,\Omega^1)\cdot\xi$ は 1 次元、$H^1(F_a,\mathcal O)=H^0(F_a,\Omega^1)=0$ である。これは有理曲面 $F_a$ の Hodge 数 $h^{1,1}=2$、$h^{2,2}=1$、$h^{0,1}=h^{1,0}=0$ に合う。$h=c_1(\mathcal O_{\mathbb P^1}(1))$ とおくと $c_1(E)=-a\,h$、$c_2(E)=0$ だから、定義式 $\xi^2+c_1(E)\xi+c_2(E)=0$ は $\xi^2=a\,f^*h\cdot\xi$ を与える。$f^*h\cdot\xi$ は点の類だから、$\xi^2$ は $a$ 倍の点の類で、$\mathcal O_{F_a}(1)$ の自己交点数 $a$ に合う。
$C$ を非特異曲線、$x\in C$ を閉点とする。$0\to\mathcal O(-x)\to\mathcal O\to\mathcal O_x\to0$ から $\gamma(x)=[\mathcal O_x]=[\mathcal O]-[\mathcal O(-x)]$ であり、$\mathcal O_x\otimes L\cong\mathcal O_x$ から $[\mathcal O(-x)]-[\mathcal O(-2x)]=[\mathcal O_x]$ だから、$K(C)$ で $\gamma(x)^2=[\mathcal O]-2[\mathcal O(-x)]+[\mathcal O(-2x)]=\gamma(x)-\gamma(x)=0$ である。Tor で見れば $\mathcal Tor_0(\mathcal O_x,\mathcal O_x)=\mathcal Tor_1(\mathcal O_x,\mathcal O_x)=\mathcal O_x$ で交代和が $0$ になることと合う。$\gamma(x)\in K^1(C)$ の平方が $K^2(C)=0$ に落ちる、と読める。
特殊 λ 環の条件を外す。$\mathbb Z$ に $\lambda_t(n)=(1+t+t^2)^n$ で λ 演算を入れると、$\lambda_t$ は加法的で $\lambda^1(n)=n$ だから λ 環である。しかし $\lambda^2(1)=1\ne0$ であり、また $\lambda^2(1\cdot1)=1$ に対し $P_2(\lambda^11,\lambda^21;\lambda^11,\lambda^21)=P_2(1,1;1,1)=1+1-2=0$ だから、積についての普遍多項式の条件が破れ、特殊でない。$\lambda_t(n)=(1+t)^n$ とした $\mathbb Z$ は $\lambda^2(1)=0$、$P_2(1,0;1,0)=0$ で条件を満たす。原論文が $\widetilde{A(X)}$ について「実は特殊である」と断るのは、(9) だけでは (12)(13) が出ないからである。
その後の発展
以下は後代の結果の紹介である（時点を明記）。
- Chow 環の一般化（1984）：準射影でない場合の困難（原論文 1° の注意）は、Fulton と MacPherson の交叉理論で、任意の代数的スキームの Chow 群への Chern 類の作用として解決され、非特異なら対角線を使って環構造が入る（Ful98 第 3・8 章）。
- λ 環と $K$ 理論（1965〜1973）：$K^0(X)$ の特殊 λ 環構造、γ フィルトレーション、Riemann–Roch の相対版は SGA 6（SGA6、1971 刊）で整備され、λ 環の一般論は Atiyah–Tall AT69、Knutson Knu73、Yau Yau10 にまとめられた。「pre-λ-ring」の呼び名はこの流れで定着した。高次 $K$ 理論での Riemann–Roch は Gillet Gil81。
- 他のコホモロジーでの Chern 類（1965 以降）：ℓ 進コホモロジー（ℓ進コホモロジー、SGA 5）、クリスタルコホモロジー、de Rham コホモロジーでも、射影束公式から同じ公理系で Chern 類が定義される（本書は各文献を確かめていない）。
- Hodge–de Rham スペクトル系列（1987）：退化は標数 $p$ でも $W_2(k)$ へ持ち上がる場合に Deligne–Illusie が代数的に示した（本書は確かめていない）。
- Atiyah 類による Chern 類（1957〜）：Atiyah Ati57 の定義は任意の標数の非特異多様体で Hodge コホモロジーに値をもつ Chern 類を与え、原論文の定義と一致するとされる（本書は確かめていない）。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Gro58 である。本頁は前提の頁で、原論文の主張の証明は含まない。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（Hodge コホモロジー）、定義（$d\log$ 写像）、命題（$d\log$ の基本性質） | §2 2° | 143 |
| 命題（射影束の Hodge コホモロジー） | §2 2°（Leray スペクトル系列から A 1） | 143 |
| 定義（特異コホモロジーと Poincaré 双対）、命題（指数完全列と第 1 Chern 類）、定理（Leray–Hirsch の定理） | §2 3°（「A 2 は Leray から」と印字） | 143–144 |
| 定理（Hodge–de Rham スペクトル系列）、定理（分類空間と位相的 Chern 類）、注意（Hirzebruch の形式的性質と Atiyah の接続による定義） | Introduction、§3 系 (7) | 137–138、147 |
| 定義（Grothendieck 群）、命題（$K(X)$ の環構造と Tor の交代和） | §2 1° の注意、§4 3° | 143、150 |
| 定義（λ 環）、定義（対称関数と普遍多項式） | §4 2°、式 (9)〜(13) | 148–149 |
参考文献
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