0-3 Chow 環と交叉理論の初歩

$X$ を $k$ 上の代数多様体（分離的で有限型の $k$ スキーム）とする。$X$ の既約閉部分多様体 $V$（既約かつ被約な閉部分スキーム）の余次元は、$V$ の生成点における局所環の次元 $\operatorname{codim}(V,X)=\dim\mathcal O_{X,V}$ である。余次元 $i$ の既約閉部分多様体を基底とする自由アーベル群を $Z^i(X)$ と書き、その元を余次元 $i$ の代数的サイクルという。$Z^*(X)=\bigoplus_iZ^i(X)$ とおく。閉部分スキーム $W\subset X$ に対し、その基本サイクルを $[W]=\sum_V\ell(\mathcal O_{W,V})\,[V]$（$V$ は $W$ の既約成分、$\ell$ はアルティン局所環の長さ）で定める。$X$ が非特異なら各連結成分は等次元で、連結成分の次元が $n$ のとき $Z^i(X)$ は次元 $n-i$ のサイクルの群 $Z_{n-i}(X)$ と同じものである。

$V\subset X$ を余次元 $i-1$ の既約閉部分多様体、$r\in k(V)^\times$ を $V$ 上の零でない有理関数とする。$V$ の余次元 1 の既約閉部分多様体 $W$ ごとに位数 $\operatorname{ord}_W(r)=\ell(\mathcal O_{V,W}/(a))-\ell(\mathcal O_{V,W}/(b))$（$r=a/b$、$a,b\in\mathcal O_{V,W}$、$\ell$ は長さ）を定め、$r$ の因子を $\operatorname{div}(r)=\sum_W\operatorname{ord}_W(r)\,[W]\in Z^i(X)$ とおく。このような $\operatorname{div}(r)$ 全体で生成される $Z^i(X)$ の部分群を $\operatorname{Rat}^i(X)$ と書き、二つのサイクルの差が $\operatorname{Rat}^i(X)$ に入るとき両者は有理同値であるという。同じ部分群は $\mathbb P^1$ の族でも与えられる。すなわち $X\times\mathbb P^1$ の余次元 $i$ の既約閉部分多様体 $\mathcal V$ で第 2 射影 $\mathcal V\to\mathbb P^1$ が支配的なものをとり、$\mathcal V(0)$、$\mathcal V(\infty)$ をファイバー $0$、$\infty$ の上の部分スキームとするとき、$[\mathcal V(0)]-[\mathcal V(\infty)]$ の形のサイクル全体が生成する部分群は $\operatorname{Rat}^i(X)$ に一致する。商群 $CH^i(X)=Z^i(X)/\operatorname{Rat}^i(X)$ を余次元 $i$ の Chow群 といい、$CH^*(X)=\bigoplus_iCH^i(X)$ とおく。

有理同値の定義で $\mathbb P^1$ を任意の非特異連結曲線 $T$ に置き換える。より正確には、$X\times T$ 上の余次元 $i$ のサイクル $\mathcal Z$ で、その各成分が $T$ 上平坦であるものをとり、二つの閉点 $t_0,t_1\in T$ におけるファイバーの差 $[\mathcal Z_{t_0}]-[\mathcal Z_{t_1}]$ で生成される部分群を $\operatorname{Alg}^i(X)\subset Z^i(X)$ とする。その差がここに入る二つのサイクルを代数的同値であるという。平坦性により両ファイバーは同じ余次元のサイクルとして定まる。$\operatorname{Rat}^i(X)\subset\operatorname{Alg}^i(X)$ であり、逆の包含は一般に成り立たない（本頁の反例）。$i=1$ では $Z^1(X)/\operatorname{Alg}^1(X)$ が Néron–Severi群 $\operatorname{NS}(X)$ で、$X$ が非特異射影なら有限生成である（Néron–Severi の定理）。

1. 平坦引き戻し。$f\colon X'\to X$ が相対次元一定の平坦射なら、$f^*[V]=[f^{-1}(V)]$（逆像スキームの基本サイクル）は余次元を保ち、有理同値を保って $f^*\colon CH^i(X)\to CH^i(X')$ を定める。(2) 固有押し出し。$f\colon X'\to X$ が固有射なら、$f_*[V]=\deg(V/f(V))\,[f(V)]$（$\dim f(V)=\dim V$ のとき。そうでなければ $0$）は次元を保ち、有理同値を保って $f_*\colon CH_k(X')\to CH_k(X)$ を定める。とくに余次元 $p$ の閉埋め込み $i\colon Y\to X$ に対し $i_*\colon CH^j(Y)\to CH^{j+p}(X)$ で、$[Y]_X=i_*(1_Y)$ である。(3) 非特異準射影多様体の間の任意の射 $f\colon X'\to X$ に対しては、グラフ $\Gamma_f\subset X'\times X$ と $\operatorname{pr}_2^*\alpha$ の交叉類を作る。この類は $\Gamma_f$ に台をもち、同型 $\operatorname{pr}_1|_{\Gamma_f}\colon\Gamma_f\xrightarrow{\sim}X'$ を通して $CH^*(X')$ の類へ移すことで $f^*\alpha$ を定める。したがって、固有とは限らない $\operatorname{pr}_1$ の押し出しは用いていない。現代的には、同じ構成をグラフの Gysin 写像 $f^*\alpha=\Gamma_f^!(\operatorname{pr}_2^*\alpha)$ と書く。こうして得る $f^*\colon CH^*(X)\to CH^*(X')$ は次数を保つ環準同型で、$(g\circ f)^*=f^*\circ g^*$ を満たし、$f$ が平坦なら (1) と一致する。(4) 射影公式。$f\colon X'\to X$ が非特異準射影多様体の間の固有射なら $f_*(f^*\alpha\cdot\beta)=\alpha\cdot f_*\beta$ で、とくに閉埋め込み $i\colon Y\to X$ では $i_*(i^*\alpha)=\alpha\cdot[Y]_X$ である。

$X$ を非特異多様体、$V$、$W\subset X$ を既約閉部分多様体、$Z$ を $V\cap W$ の既約成分とし、$A=\mathcal O_{X,Z}$（正則局所環）、$\mathfrak p$、$\mathfrak q$ を $V$、$W$ に対応する $A$ の素イデアルとする。Serre の交叉重複度は
$$i(Z;V,W)=\sum_{i\ge0}(-1)^i\,\ell_A\big(\operatorname{Tor}_i^A(A/\mathfrak p,A/\mathfrak q)\big)$$
である。右辺は有限和で各項は有限長である。$k$ 上の多様体では、$\operatorname{codim}Z=\operatorname{codim}V+\operatorname{codim}W$（固有な交わり）のとき $i(Z;V,W)>0$、$\operatorname{codim}Z<\operatorname{codim}V+\operatorname{codim}W$ のとき $i(Z;V,W)=0$ である。$A/\mathfrak p$ と $A/\mathfrak q$ がともに Cohen–Macaulay で固有に交わるときは $i\ge1$ の Tor が消え、$i(Z;V,W)=\ell_A(A/(\mathfrak p+\mathfrak q))$ である。

$X$ を非特異準射影多様体とする。$K_0^{\mathrm{coh}}(X)=G_0(X)$ は $X$ 上の連接層の同型類を生成元とし、短完全列 $0\to\mathcal F'\to\mathcal F\to\mathcal F''\to0$ ごとに $[\mathcal F]=[\mathcal F']+[\mathcal F'']$ を関係とする Grothendieck群である。他方、$K_0^{\mathrm{vb}}(X)$ は局所自由層の類から作る環（積は $[E]\cdot[F]=[E\otimes F]$）である。非特異準射影多様体では任意の連接層が有限な局所自由分解をもち、自然写像 $K_0^{\mathrm{vb}}(X)\to G_0(X)$ は同型になるので、この共通の群を原論文にならって $K(X)$ と書く。積は連接層で $[\mathcal F]\cdot[\mathcal G]=\sum_i(-1)^i[\mathcal Tor_i^{\mathcal O_X}(\mathcal F,\mathcal G)]$ と表せる。準射影でない正則スキームではこの同一視に解消性などの追加条件が必要であり、本書は二つの群を無条件には同一視しない。既約閉部分多様体 $V$ に $\gamma(V)=[\mathcal O_V]$ を対応させ線型に延ばして $\gamma\colon Z^*(X)\to K(X)$ を得る。台の余次元が $i$ 以上の連接層の類で生成される部分群を $K^i(X)$ と書くと、$K(X)=K^0(X)\supset K^1(X)\supset\cdots\supset K^{n+1}(X)=0$（$n=\dim X$）は減少する余次元フィルトレーションで、$K^i(X)$ は余次元 $i$ 以上のサイクル $Z$ の $\gamma(Z)$ 全体に一致する。$GK(X)=\bigoplus_iK^i(X)/K^{i+1}(X)$ を随伴次数付き群という。