3-3 双対・外冪・テンソル積
分裂原理のもとでは、ベクトル束の双対・外冪・テンソル積はChern根への単純な操作に変わる。本頁では旗の束上で各操作後の根を求め、対称多項式として底へ降ろすことで、Chern類だけを使った普遍公式を導く。
この頁で示すこと
$X\in\mathbf V$ 上の階数 $p$ の束 $E$ と階数 $q$ の束 $F$ を考える。Chern類は本書『3-2 存在の証明』で特徴づけたものとし、旗の束への引き戻し後に $E$ のChern根を $x_1,\ldots,x_p$、$F$ のChern根を $y_1,\ldots,y_q$ と書く。
本頁の主結果は次の3つである。
- 双対束のChern類（原論文 §3 系、式 (7)、印字 p.147）：$c_i(E^\vee)=(-1)^ic_i(E)$ である。［完結］
- 外冪のChern類（原論文 §3 系、印字 p.147）：$c(\bigwedge^mE)$ は $c_1(E),\ldots,c_p(E)$ の整数係数普遍多項式であり、Chern根では $m$ 個ずつの和を根にもつ。［完結］
- テンソル積のChern類（原論文 §3 系、印字 p.147）：$c(E\otimes F)$ は両束のChern類の整数係数普遍多項式であり、Chern根では全ての $x_i+y_j$ を根にもつ。［完結］
各公式は、二つの束を同時に完全分裂させる旗の束上で証明する。根による積が各根の置換に不変であることから対称多項式の基本定理を使ってChern類の多項式へ書き直し、引き戻しの単射性で底へ戻す。
背景と動機
全Chern類の乗法性は短完全列と直和を扱うが、双対、外冪、テンソル積は加法的な操作ではない。これらのChern類を直接射影束関係式から計算するのは複雑である。完全旗へ移れば、束は線束の逐次商へ分解され、三つの操作は第1類の符号、部分和、二つの根の和という初等的な計算になる。
原論文 Gro58 は双対の式を明記し、外冪とテンソル積はHirzebruchの本にある周知の対称関数計算へ委ねる。本頁では委譲だけで済ませず、操作後の完全旗、その商線束、対称式としての降下を示す。
Chern根 $x_i$ は一般には $A(X)$ の元として個別に存在しない。旗の束 $D(E)$ 上の商線束の第1類を形式的な根として扱っているだけである。根を使った式から底へ戻せるのは、その式が根の置換に不変で、$c_i(E)$ だけの対称式に直せる場合である。
この方法は情報を意図的に捨てる。外冪やテンソル積の束そのものをChern類から復元するのではなく、その特性類だけを普遍多項式として計算する。旗上の個々の根の順序や、短完全列の拡大類は底へ戻らない。
定義と準備
Chern根による記法
一つまたは二つの束を同時に完全分裂させる空間を選び、そこでだけ根を用いる。
$u\colon T\to X$ が $u^*E$ を完全分裂させ、
$$
u^*E=E_0\supset E_1\supset\cdots\supset E_p=0
$$
という完全旗を備えるとする。商線束 $E_{i-1}/E_i$ の第1類
$$
x_i:=c_1(E_{i-1}/E_i)\in A^1(T)
$$
を、この旗に関する $E$ のChern根と呼ぶ。本書『3-2 存在の証明』により
$$
u^*c(E)=\prod_{i=1}^p(1+x_i),
\qquad u^*c_j(E)=e_j(x_1,\ldots,x_p).
$$
根は旗とその順序に依存するが、基本対称式 $e_j(x)$ は $u^*c_j(E)$ に一致する。計算の最後に対称式へ直すことが、根を底へ降ろすための条件になる。
二つの束を同時に分裂させる
テンソル積では $E$ と $F$ の根を同じ環で扱う必要がある。旗の束を二段に取ればよい。
まず $u_1\colon D(E)\to X$ を取り、その上の $u_1^*F$ に対して
$$
u_2\colon T:=D(u_1^*F)\longrightarrow D(E)
$$
を取る。合成を $u=u_1u_2\colon T\to X$ とする。このとき $u^*E$ と $u^*F$ はともに完全旗をもち、
$$
u^*\colon A(X)\longrightarrow A(T)
$$
は単射である。$u^*E$ の根を $x_i$、$u^*F$ の根を $y_j$ と書く。
この構成は束を直和へ分解するのではなく、線束の逐次商を作る。以下の証明は、その逐次商を外冪とテンソル積に沿って追跡する。
対称多項式の降下
根の式をChern類の式へ変換する代数的な仕組みを明示する。
$P(x_1,\ldots,x_p)$ を各 $x_i$ の置換で不変な整数係数多項式とする。このとき一意な整数係数多項式 $Q$ があり、
$$
P(x_1,\ldots,x_p)
=Q(e_1(x),\ldots,e_p(x)).
$$
従って旗の束上で $P(x)$ として表された類は、底上の
$$
Q(c_1(E),\ldots,c_p(E))
$$
の引き戻しである。二組の根 $x_i$、$y_j$ のそれぞれの置換に不変な多項式も、$c_a(E)$ と $c_b(F)$ の整数係数多項式へ一意に降りる。
対称多項式の基本定理により最初の $Q$ が存在して一意である。旗の束上では $e_i(x)=u^*c_i(E)$ だから
$$
P(x)=u^*Q(c_1(E),\ldots,c_p(E)).
$$
二組の場合は、まず $x$ について、次に $y$ について同じ定理を適用すればよい。$u^*$ は単射なので、旗の上で得た二つの底由来の類の等式は $A(X)$ の等式へ戻る。
対称多項式の基本定理の標準的な参考文献として Mac95 を挙げるが、本頁で用いるのは整数係数多項式環のこの基本形だけである。
引用する事実
次を用いる。
- 本書『1-2 旗多様体と完全分裂』の完全旗と引き戻しの単射性。
- 本書『3-2 存在の証明』の完全分裂した束の積公式と短完全列に対する乗法性。
- 局所自由層の双対、外冪、テンソル積が引き戻しと可換すること。本書『0-2 ベクトル束・射影束・旗多様体』。
- 線束商 $M$ をもつ完全列 $0\to E_1\to E\to M\to0$ に対する
$$ 0\to\bigwedge^mE_1\to\bigwedge^mE \to\bigwedge^{m-1}E_1\otimes M\to0. $$
射影空間の接束の例ではEuler完全列を Har77 から引用する。本書は現時点でその該当箇所の番号を実読確認していないため、例の出典として明示する。
主結果と証明
双対
完全旗を双対にすると、商線束は元の商線束の双対になり、各根の符号が反転する。
階数 $p$ のベクトル束 $E$ に対し
$$
c_i(E^\vee)=(-1)^ic_i(E)
$$
が全ての $i$ について成り立つ。Chern根では
$$
c(E^\vee)=\prod_{i=1}^p(1-x_i)
$$
である。
段 1（旗の双対）．$u^*E=E_0\supset\cdots\supset E_p=0$ を完全旗とする。$E_i^\perp:=\ker((u^*E)^\vee\to E_i^\vee)$ と置くと
$$
0=E_0^\perp\subset E_1^\perp\subset\cdots\subset E_p^\perp=(u^*E)^\vee
$$
は完全旗であり、
$$
E_i^\perp/E_{i-1}^\perp
\cong(E_{i-1}/E_i)^\vee.
$$
従って双対束の根は $-x_1,\ldots,-x_p$ である。
段 2（積公式）．完全分裂した束の積公式から
$$
u^*c(E^\vee)=\prod_i(1-x_i).
$$
次数 $i$ の成分は
$$
e_i(-x_1,\ldots,-x_p)=(-1)^ie_i(x_1,\ldots,x_p)
=(-1)^iu^*c_i(E).
$$
段 3（底へ戻る）．$u^*$ は単射だから
$$
c_i(E^\vee)=(-1)^ic_i(E)
$$
が $A(X)$ で成り立つ。
双対では対称式の降下は単純な符号だけになる。特に奇数次Chern類は符号を変え、偶数次Chern類は変わらない。
外冪
外冪の根は、元の根を重複なしに $m$ 個選んだ和になる。完全旗に沿う帰納で、この根の一覧を実際の逐次商として得る。
$0\leq m\leq p$ とする。$\bigwedge^mE$ の全Chern類は $c_1(E),\ldots,c_p(E)$ の整数係数普遍多項式である。旗の束上では
$$
u^*c\!\left(\bigwedge^mE\right)
=\prod_{1\leq i_1<\cdots< i_m\leq p}
\left(1+x_{i_1}+\cdots+x_{i_m}\right).
$$
従って
$$
c_1\!\left(\bigwedge^mE\right)
=\binom{p-1}{m-1}c_1(E)
$$
であり、とくに $c_1(\det E)=c_1(E)$ である。
段 1（完全旗に沿う帰納）．$p=0$ または $m=0$ では $\bigwedge^0E=\mathcal O$ で、右辺は空積1である。$p\geq1$ とし、完全列
$$
0\to E_1\to E\to M_1\to0
$$
を旗の最初の段とする。外冪には完全列
$$
0\to\bigwedge^mE_1\to\bigwedge^mE
\to\bigwedge^{m-1}E_1\otimes M_1\to0
$$
がある。階数について帰納すると、左の束の根は $x_2,\ldots,x_p$ から選ぶ $m$ 個の和、右の束の根は $x_1$ と $x_2,\ldots,x_p$ から選ぶ $m-1$ 個の和である。二つの完全旗を短完全列に沿って継ぎ足すと、$\bigwedge^mE$ の根は全ての
$$
x_{i_1}+\cdots+x_{i_m}
\qquad(i_1<\cdots< i_m)
$$
となる。
段 2（積公式と降下）．完全分裂した束の積公式を適用して、主張の根による積を得る。この積は $x_1,\ldots,x_p$ の置換に不変だから、対称式の降下により $c_i(E)$ の整数係数普遍多項式として底へ戻る。
段 3（第1類）．積の第1次成分は
$$
\sum_{i_1<\cdots< i_m}(x_{i_1}+\cdots+x_{i_m}).
$$
各 $x_i$ は、残り $p-1$ 個から $m-1$ 個を選ぶ $\binom{p-1}{m-1}$ 回現れる。従って旗の上で
$$
c_1(\bigwedge^mE)=\binom{p-1}{m-1}\sum_ix_i.
$$
単射性で底へ戻り、$\sum_ix_i=c_1(E)$ を使えば式を得る。$m=p$ では係数は1で、$\bigwedge^pE=\det E$ だから最後の主張が従う。
外冪の階数は $\binom pm$ であり、右辺の因子の個数と一致する。原論文は外冪の次数 $m$ を明示しない箇所があるが、本頁では各 $0\leq m\leq p$ を別々に扱う。
テンソル積
二つの束を同時に完全分裂させると、各商線束のテンソル積が新しい根を与える。
$E$ の階数を $p$、$F$ の階数を $q$ とする。$c(E\otimes F)$ は
$$
c_1(E),\ldots,c_p(E),c_1(F),\ldots,c_q(F)
$$
の整数係数普遍多項式である。同時分裂の旗の束上では
$$
u^*c(E\otimes F)
=\prod_{i=1}^p\prod_{j=1}^q(1+x_i+y_j).
$$
特に
$$
c_1(E\otimes F)=q\,c_1(E)+p\,c_1(F),
$$
$$
\begin{aligned}
c_2(E\otimes F)={}&\binom q2c_1(E)^2+q\,c_2(E)
+\binom p2c_1(F)^2+p\,c_2(F)\\
&+(pq-1)c_1(E)c_1(F).
\end{aligned}
$$
段 1（テンソル積の完全旗）．同時分裂の空間 $T$ 上で考える。$E=E_0\supset\cdots\supset E_p=0$ の列を $F$ とテンソルすると
$$
E\otimes F=E_0\otimes F\supset\cdots\supset E_p\otimes F=0
$$
を得て、その商は $(E_{i-1}/E_i)\otimes F$ である。さらに $F$ の完全旗を各商へテンソルすると、商線束は
$$
(E_{i-1}/E_i)\otimes(F_{j-1}/F_j)
$$
となり、その第1類は $x_i+y_j$ である。これらの旗を継ぎ足せば $E\otimes F$ の完全旗を得る。
段 2（積公式と降下）．完全分裂した束の積公式から
$$
c(E\otimes F)=\prod_{i,j}(1+x_i+y_j)
$$
が旗の上で成り立つ。右辺は $x$ の置換と $y$ の置換のそれぞれに不変だから、対称式の降下により両束のChern類の整数係数多項式として底へ戻る。
段 3（第1類）．全ての根の和は
$$
\sum_{i,j}(x_i+y_j)
=q\sum_ix_i+p\sum_jy_j.
$$
従って単射性で底へ戻れば第1類の式を得る。
段 4（第2類）．根 $z_{ij}=x_i+y_j$ に対して
$$
e_2(z)=\frac12\left(\left(\sum z_{ij}\right)^2-\sum z_{ij}^2\right)
$$
を展開し、
$$
\sum_i x_i^2=c_1(E)^2-2c_2(E),
\qquad
\sum_j y_j^2=c_1(F)^2-2c_2(F)
$$
を代入する。整理すると主張の $c_2$ の式になる。これは整数係数の恒等式なので、2で割る表示は計算途中に限り、最終式は任意の係数環で有効である。
テンソル積の公式には階数 $p,q$ が本質的に現れる。線束どうしでは $p=q=1$ となり、第1類は和、第2類は0で、線束のテンソル積の規則へ戻る。
$M$ を線束、$\mu=c_1(M)$ とする。階数 $p$ の $E$ に対して
$$
c(E\otimes M)
=\prod_{i=1}^p(1+x_i+\mu)
=\sum_{j=0}^pc_j(E)(1+\mu)^{p-j}.
$$
特に
$$
c_1(E\otimes M)=c_1(E)+p\mu.
$$
テンソル積のChern根の式で $F=M$、$q=1$、$y_1=\mu$ とする。多項式恒等式
$$
\prod_i((1+\mu)+x_i)
=\sum_je_j(x)(1+\mu)^{p-j}
$$
と $e_j(x)=c_j(E)$ を使えばよい。
この系は射影束の規約を変えるときの符号確認や、射影空間上の束の計算に頻繁に使う。
例と反例
線束の直和
根が底上で実在する最も簡単な場合から公式を確認する。
$E=L\oplus M$、$x=c_1(L)$、$y=c_1(M)$ とする。このとき
$$
c(E)=(1+x)(1+y),
$$
$$
c_1(E)=x+y,
\qquad c_2(E)=xy.
$$
双対では
$$
c(E^\vee)=(1-x)(1-y),
$$
外冪では $\bigwedge^2E=L\otimes M$ だから
$$
c_1(\det E)=x+y=c_1(E).
$$
この例は、双対で各根の符号が変わり、最高外冪では全ての根の和が一つの根になることを直接示す。
射影空間の接束
Euler完全列と乗法性を使うと、接束のChern類が一行で計算できる。
Chow環モデル $A(X)=CH^*(X)$ で $X=\mathbb P_k^n$、$h=c_1(\mathcal O_X(1))$ とする。射影空間のChow環は
$$
CH^*(\mathbb P_k^n)\cong\mathbb Z[h]/(h^{n+1})
$$
である Ful98。Euler完全列
$$
0\longrightarrow\mathcal O_X
\longrightarrow\mathcal O_X(1)^{\oplus(n+1)}
\longrightarrow T_X
\longrightarrow0
$$
を Har77 から引用する。乗法性と $c(\mathcal O_X)=1$ により
$$
c(T_X)=(1+h)^{n+1}.
$$
$T_X$ の階数は $n$ で、Chow環の関係 $h^{n+1}=0$ を用いると
$$
c_i(T_X)=\binom{n+1}{i}h^i
\qquad(0\leq i\leq n).
$$
特に $c_n(T_X)=(n+1)h^n$ である。
この例では接束を線束の直和とみなしていない。Euler完全列とWhitney乗法性だけを使っている。
引き続きChow環モデルで、$E=\mathcal O_{\mathbb P^n}(a)\oplus\mathcal O_{\mathbb P^n}(b)$ とする。$c_1(\mathcal O(d))=d h$ なので
$$
c(E)=(1+ah)(1+bh)
=1+(a+b)h+ab\,h^2.
$$
従って
$$
c_1(E)=(a+b)h,
\qquad c_2(E)=ab\,h^2.
$$
$n=1$ では $CH^2(\mathbb P^1)=0$、従って $h^2=0$ なので第2類は消える。$n\geq2$ では $h^2$ はChow環で非零であり、二つの線束の積を検出する。
同じ整数 $a,b$ でも、底の次元によって高次成分が消える範囲が変わる。公式自体は普遍的で、環 $A(X)$ の次数による消滅が個別の計算を簡約する。
符号と階数を落とした誤公式
双対とテンソル積では、よくある誤った単純化を低階数の例で退けられる。
Chow環モデルで $X=\mathbb P^1$、$L=\mathcal O(1)$、$h=c_1(L)$ とする。$CH^1(\mathbb P^1)\cong\mathbb Z h$ なので $h\ne0$ である。双対は $L^\vee=\mathcal O(-1)$ だから
$$
c_1(L^\vee)=-h.
$$
従って「双対を取っても第1 Chern類は変わらない」という主張は偽である。破れているのは双対がPicard群で逆元を取ることを無視した点であり、正しい式は $c_i(E^\vee)=(-1)^ic_i(E)$ である。
偶数次だけを見れば符号が消えるため、双対公式を全次数で記すことが重要である。
Chow環モデルで $X=\mathbb P^1$、$E=\mathcal O_X^{\oplus2}$、$M=\mathcal O_X(1)$ とする。$h=c_1(M)\ne0$ であり、
$$
E\otimes M\cong M^{\oplus2}
$$
なので
$$
c_1(E\otimes M)=2h.
$$
一方、階数を無視した誤公式 $c_1(E\otimes M)=c_1(E)+c_1(M)$ は $h$ を与える。破れているのは $M$ の根が $E$ の各根へ一回ずつ加わることを数えていない点であり、正しい式は
$$
c_1(E\otimes M)=c_1(E)+\operatorname{rank}(E)c_1(M)
$$
である。
テンソル積の普遍式はChern類だけでなく階数にも依存する。第4章で完備Chern類に階数を組み込む理由の一つがここにある。
その後の発展
ここからは1958年の原論文自身の証明ではなく、後代の整理である。
外冪の全てをまとめる形式級数
$$
\lambda_t(E)=\sum_{m\geq0}[\bigwedge^mE]t^m
$$
は、Grothendieck群にλ構造を与える。根の上では $\lambda_t(E)=\prod_i(1+[L_i]t)$ となり、本頁の外冪公式はそのChern類側の影である。本書『4-1 λ 環と完備 Chern 類』では、これを普遍多項式として公理化する。
Chern指標は、根に対して
$$
\operatorname{ch}(E)=\sum_i e^{x_i}
$$
と置くことで、直和を和へ、テンソル積を積へ送る。この指数関数には分母が現れるため有理係数が自然であり、整数係数の全Chern類とは情報の扱いが異なる。原論文 §4の式 (16) を後代のChern指標で説明するときにも、この係数の違いを明示する必要がある。
Adams演算は根の冪和 $\sum_i x_i^k$ と結びつき、Newton恒等式を介してChern類と関係する。これらは原論文 §3の系の直接の内容ではなく、λ環の後代的な整理である。
本頁の三公式は、根の置換に不変な式だけが底へ降りるという同じ原理に従う。個々の根を大域的な線束の第1類として扱うのではなく、対称関数環の計算装置として使うことが、分裂原理の安全な運用である。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Gro58 である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 双対束のChern類 | §3 系、式 (7) | p.147 |
| 外冪のChern類 | §3 系の外冪に関する記述 | p.147 |
| テンソル積のChern類 | §3 系のテンソル積に関する記述 | p.147 |
| Chern根と対称式の降下 | 原論文がHirzebruchへ委ねた計算の本書での補足 | p.147 |
原論文は双対の符号公式を明記する一方、外冪とテンソル積については普遍多項式の存在を述べ、計算をHirzebruchへ委ねる。本頁では、外冪とテンソル積に完全旗を移す段、根の一覧、対称多項式としての降下、引き戻しの単射性を補い、低次の明示式まで導いた。
従って、ここで得た公式は特定の分裂表示に依存せず、元の景上のChern類の等式として確定している。
参考文献
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