4-2 K 群のフィルトレーションと Chow 環
連接層のGrothendieck群を支持の余次元で濾過すると、その随伴次数付き環には交叉積の主要項が残る。本頁では、Chow環から随伴次数付きK群への写像 $\varphi$ と、完備Chern類から逆向きに得る写像 $\psi$ を構成し、値域の積が通常の交叉積ではなくstar積になることを示す。さらに構造層の最初の非零Chern成分を与える式 (16) を、整数係数で完結する場合、有理係数で外部定理に依存する場合、未完結の一般整数係数の場合に分ける。
この頁で示すこと
$X$ を滑らかな準射影 $k$-スキームとし、$K_0^{\mathrm{coh}}(X)$ を連接層のGrothendieck群、$CH^*(X)$ をChow環とする。主結果は次の6つである。
- 支持フィルトレーションの積との両立：構造層類による生成とTorによる交叉公式を外部入力とすれば、支持余次元フィルトレーションは積を保つ。［条件付き完結］
- Chow環からの写像：サイクル $Z$ を $[\mathcal O_Z]$ の主要項へ送る写像 $\varphi\colon CH^*(X)\twoheadrightarrow GK(X)$ は、Borel–Serreの外部結果のもとで全射次数付き環準同型である。［条件付き完結］
- star積の公式：完備Chern類の値域の随伴次数付き環では、次数 $p,q$ の元の積は明示的な階乗係数を伴う。［完結］
- 完備Chern類からの写像：局在性を外部入力とすれば、完備Chern類は $\psi\colon GK(X)\to A'(X)$ を誘導する。［条件付き完結］
- 構造層の最初のChern成分：式 (16) は段階的横断完全交叉では整数係数で完結し、一般の非特異閉埋め込みでは有理係数で条件付き完結、一般整数係数では未完結である。［未完結］
- 二つの合成と有理同型：式 (15) と有理同型は式 (16) の有理版のもとで条件付き完結するが、整数係数の同型は従わない。［条件付き完結］
状態の異なる三つの式 (16) を一つの定理として合格扱いしない。とくに有理係数の同型から整数係数の単射性を推論せず、捩れを残す。
二つのGrothendieck群と前提
本書『4-1 λ 環と完備 Chern 類』では、ベクトル束から作る $K_0^{\mathrm{vb}}(X)$ 上に完備Chern類を定義した。連接層の群へ移すには、各連接層が有限局所自由分解をもち、自然写像
$$
K_0^{\mathrm{vb}}(X)\xrightarrow{\sim}K_0^{\mathrm{coh}}(X)
$$
が環同型であるという外部定理を用いる。本頁ではこの比較を仮定し、$K(X):=K_0^{\mathrm{coh}}(X)$ と略記する。
閉部分スキーム $Y\subset X$ に対して
$$
\gamma(Y):=[\mathcal O_Y]\in K(X)
$$
と置く。サイクル $Z=\sum_an_a[Y_a]$ には線形に
$$
\gamma(Z):=\sum_an_a[\mathcal O_{Y_a}]
$$
と定める。この段階では、$\gamma$ が有理同値を消すとはまだ仮定しない。
支持余次元フィルトレーション
$K^i(X)$ を、台の余次元が $i$ 以上である連接層 $\mathcal F$ の類 $[\mathcal F]$ で生成される部分群とする。
$$
K(X)=K^0(X)\supset K^1(X)\supset K^2(X)\supset\cdots
$$
その随伴次数付き群を
$$
GK(X):=\bigoplus_{i\geq0}G^iK(X),
\qquad
G^iK(X):=K^i(X)/K^{i+1}(X)
$$
と書く。
これは後代にいうγフィルトレーションとは別物である。原論文の $K_{n-i}(X)$ は、$X$ が $n$ 次元等次元の場合に、台の次元が $n-i$ 以下である層を使って同じフィルトレーションを添字付けした記法である。
積との両立には二つの外部入力を使う。1つ目は $K^i(X)$ が余次元 $i$ 以上のサイクル $Z$ の $\gamma(Z)$ で生成されること、2つ目は適正に交叉するサイクルの構造層類の積が、主要余次元でSerreの交叉重複度と一致することである。
上の二つの外部入力を仮定する。余次元 $p,q$ の適正に交叉するサイクル $Z,Z'$ に対して
$$
\gamma(Z)\gamma(Z')
\equiv\gamma(Z\cdot Z')
\pmod{K^{p+q+1}(X)}
$$
であり、
$$
K^p(X)K^q(X)\subset K^{p+q}(X)
$$
が成り立つ。［条件付き完結：構造層類による生成とTor交叉公式］
連接層の積を導来テンソル積で表すと
$$
[\mathcal O_Z][\mathcal O_{Z'}]
=\sum_{a\geq0}(-1)^a
[\operatorname{Tor}^{\mathcal O_X}_a(\mathcal O_Z,\mathcal O_{Z'})].
$$
Tor交叉公式は、この交代和の余次元 $p+q$ の成分が交叉サイクル $Z\cdot Z'$ の構造層類と一致し、差の台が余次元 $p+q+1$ 以上になることを与える。これが合同式である。
$K^p(X)$ と $K^q(X)$ をそれぞれサイクルの構造層類で生成し、合同式を双線型に拡張すれば積は $K^{p+q}(X)$ に入る。
ここで捨てた情報を把握しておく必要がある。合同式は $K^{p+q+1}$ に入る高余次元成分を消す。随伴次数付き環は交叉積の先頭項を回復するが、元のK群における拡張や高余次元の補正項を回復しない。
Chow環から随伴次数付きK群へ
余次元 $i$ の既約閉部分空間 $Y$ のサイクル類を
$$
[Y]\longmapsto[\mathcal O_Y]\bmod K^{i+1}(X)
$$
と送る。この候補が有理同値を消すことは定義からは従わない。
Borel–Serreの比較結果を外部入力として仮定する。上の対応は有理同値を消し、全射な次数付き環準同型
$$
\varphi\colon CH^*(X)\twoheadrightarrow GK(X)
$$
を定める。［条件付き完結：Borel–Serreの比較結果と前定理］
外部入力が有理同値に関するwell-defined性を与える。$G^iK(X)$ は余次元 $i$ のサイクルの構造層類で生成され、余次元 $i+1$ 以上のサイクルは商で零になるので、$\varphi$ は全射である。
積との両立は前定理の合同式を随伴次数付きで読む。余次元 $p,q$ のサイクルについて
$$
\varphi([Z]\cdot[Z'])
=\gamma(Z\cdot Z')
=\gamma(Z)\gamma(Z')
=\varphi([Z])\varphi([Z'])
$$
が $G^{p+q}K(X)$ で成り立つ。
原論文 Gro58 はこの段で BS58 の命題を引用するが、その証明を再掲しない。本頁も引用内容を外部入力に残すため、$\varphi$ の構成を無条件の完結とは判定しない。
完備Chern類側のフィルトレーション
$A(X)=CH^*(X)$ とし、完備Chern類の値域 $\widetilde{A(X)}$ を考える。
$F^0\widetilde{A(X)}=\widetilde{A(X)}$ とする。$p\geq1$ では
$$
(r,1+a_1+a_2+\cdots)\in F^p
$$
であることを
$$
r=0,
\qquad
a_1=\cdots=a_{p-1}=0
$$
で定める。$F^p/F^{p+1}$ を先頭成分 $a_p$ により $A^p(X)$ と同一視し、その随伴次数付き環を $A'(X)$ と書く。
群としては $A'(X)\cong A(X)$ だが、積は通常のChow積ではない。完備Chern類の普遍積から誘導される積を $\star$ と書く。
star積の計算
$p,q\geq1$ とし、$x_p\in A^p(X)$、$y_q\in A^q(X)$ をそれぞれ $F^p/F^{p+1}$、$F^q/F^{q+1}$ の元とみなす。このとき
$$
x_p\star y_q
=-
\frac{(p+q-1)!}{(p-1)!(q-1)!}
x_py_q,
$$
ここで右辺の $x_py_q$ は通常のChow積である。［完結］
普遍分裂環で形式根の冪和を $P_n$ と書く。全Chern級数とNewton恒等式から
$$
\log c(u)=
\sum_{n\geq1}(-1)^{n-1}\frac{P_n(u)}n
$$
である。$u\in F^p$ の先頭成分を $x_p$ とすると、$c_1(u),\ldots,c_{p-1}(u)$ は零なので
$$
P_a(u)=0\quad(a< p),
\qquad
P_p(u)=(-1)^{p-1}p\,x_p.
$$
同様に、$v\in F^q$ の先頭成分が $y_q$ なら
$$
P_b(v)=0\quad(b< q),
\qquad
P_q(v)=(-1)^{q-1}q\,y_q.
$$
完備Chern類の積では根が二群の根の全ての和になるため、二項定理により
$$
P_n(uv)=\sum_{a=0}^n\binom naP_a(u)P_{n-a}(v).
$$
$u,v$ の階数は0なので端の項も消える。$n< p+q$ では各項の少なくとも一方が先頭次数未満になり、$n=p+q$ では $a=p$ の項だけが残る。従って
$$
P_{p+q}(uv)
=\binom{p+q}{p}
(-1)^{p-1}p\,x_p
(-1)^{q-1}q\,y_q.
$$
$uv$ の低いChern成分も零なので、もう一度Newton恒等式を使うと
$$
c_{p+q}(uv)
=\frac{(-1)^{p+q-1}}{p+q}P_{p+q}(uv)
=-
\frac{(p+q-1)!}{(p-1)!(q-1)!}x_py_q.
$$
途中では分母を扱うため普遍環を有理化したが、最後の係数は
$$
q\binom{p+q-1}{p-1}
$$
という整数である。torsion-freeな普遍対称関数環で成立した整数係数恒等式として任意の $A(X)$ へ特殊化できる。
例えば $p=q=1$ では $x_1\star y_1=-x_1y_1$、$p=2,q=1$ では $x_2\star y_1=-2x_2y_1$ である。通常積とstar積を同じ記号で書くと、後の階乗係数と符号が説明できなくなる。
完備Chern類から随伴次数付き環へ
支持余次元 $p$ 以上の連接層類で、階数と低いChern成分が消えることが必要になる。この局在性は原論文が「直ちに分かる」とする箇所だが、本頁では外部入力として分離する。
有限局所自由分解による二つのK群の比較と、支持余次元 $p$ 以上のK類について
$$
\operatorname{rank}=c_1=\cdots=c_{p-1}=0
$$
となる局在性を仮定する。このとき完備Chern類は
$$
\widetilde c(K^p(X))\subset F^p\widetilde{A(X)}
$$
を満たし、次数付き環準同型
$$
\psi\colon GK(X)\longrightarrow A'(X)
$$
を誘導する。値域の積はstar積である。［条件付き完結：有限局所自由分解と局在性］
有限局所自由分解により、連接層のK群上で完備Chern類が定義される。局在性は $K^p(X)$ の像の階数と次数 $p$ 未満のChern成分が消えることを与えるので、像は $F^p$ に入る。
定義域のフィルトレーションは支持フィルトレーションの積との両立により積を保ち、値域のフィルトレーションはstar積の公式により積を保つ。完備Chern類は環準同型だから、随伴次数付きへ移した $\psi$ も環準同型である。
写像の向きを固定しておく。
$$
CH^*(X)\xrightarrow{\ \varphi\ }GK(X)
\xrightarrow{\ \psi\ }A'(X).
$$
原論文の印字には合成の向きが逆に読める箇所があるが、定義上の合成は $\psi\varphi\colon CH^*(X)\to A'(X)$ である。
式 (16)：三つの状態
$i\colon Y\hookrightarrow X$ を余次元 $d$ の非特異閉部分スキームとする。有限局所自由分解を通じて
$$
\gamma(Y)=[\mathcal O_Y]\in K(X)
$$
のChern類を定める。原論文の式 (16) は
$$
c_j(\gamma(Y))=0\quad(j< d),
\qquad
c_d(\gamma(Y))=(-1)^{d-1}(d-1)![Y]
$$
である。
式 (16) の状態は次の三層に分かれる。
- $Y$ が線束の切断により段階ごとに横断的に切り出される大域的完全交叉なら、式 (16) は整数係数で成り立つ。［完結］
- 一般の非特異閉埋め込みでは、有限局所自由分解、局在性、Grothendieck–Riemann–Rochを仮定すれば $CH^d(X)_{\mathbb Q}$ で式 (16) が成り立つ。［条件付き完結］
- 一般の非特異閉埋め込みについて、整数係数で同じ式を保証する外部定理とその正確な仮定は本書では確定していない。［未完結］
従って定理全体の判定は未完結である。
まず第1層を示す。$Y$ が線束 $L_1,\ldots,L_d$ の切断の共通零点で、各段が横断的な余次元1の零点であるとする。$x_a=c_1(L_a)$ と置けば、本書『1-3 正則切断・零点サイクル・横断性』の交叉計算から
$$
[Y]=x_1x_2\cdots x_d.
$$
Koszul複体によりK群で
$$
[\mathcal O_Y]
=\prod_{a=1}^d(1-[L_a^\vee]).
$$
各 $u_a:=1-[L_a^\vee]$ は階数0であり、
$$
\widetilde c(u_a)
=(0,(1-x_a)^{-1})
=(0,1+x_a+x_a^2+\cdots)
$$
だから最初の非零成分は $c_1(u_a)=x_a$ である。
star積の公式を反復する。次数 $a$ までの積に次数1の因子を掛ける係数は $-a$ なので、先頭係数は
$$
1,-1,2,-6,\ldots,(-1)^{d-1}(d-1)!
$$
となる。従って $d$ 未満のChern成分は零で、
$$
c_d([\mathcal O_Y])
=(-1)^{d-1}(d-1)!x_1\cdots x_d
=(-1)^{d-1}(d-1)![Y].
$$
これは整数係数で閉じている。
次に第2層を示す。局在性から $j< d$ の成分は零である。Grothendieck–Riemann–Rochを正則閉埋め込み $i$ と $1_Y$ に適用すると
$$
\operatorname{ch}(i_*1_Y)
=i_*(\operatorname{td}(N_{Y/X})^{-1}).
$$
右辺の最低次数は $d$ で、その成分は $[Y]$ である。従って
$$
\operatorname{ch}_j(\gamma(Y))=0\quad(j< d),
\qquad
\operatorname{ch}_d(\gamma(Y))=[Y].
$$
低いChern成分が零であるときのNewton恒等式は
$$
\operatorname{ch}_d
=\frac{(-1)^{d-1}}{(d-1)!}c_d
$$
を与える。これを解けば有理係数で式 (16) を得る。
Chern指標とTodd類によるこの議論は分母を含むので、Chow群の捩れ成分について整数係数の等式を与えない。第1層のKoszul証明は任意の非特異閉埋め込みが大域的にこの形であることを示さない。従って第3層は未完結のまま残る。
Grothendieck–Riemann–Rochによる説明は後代の証明であり、原論文自身の証明ではない。後代の体系は SGA6 と Ful98 にある。本頁では、必要なGrothendieck–Riemann–Rochの対象範囲と仮定を文献中の定理番号まで実読確定していないため、有理版も条件付きと判定する。
$d=1$ では $Y=Z(s_1)$ に対し
$$
c_1([\mathcal O_Y])=[Y].
$$
$d=2$ では $Y=Z(s_1,s_2)$ に対し
$$
c_1([\mathcal O_Y])=0,
\qquad
c_2([\mathcal O_Y])=-[Y].
$$
符号はstar積 $x_1\star x_2=-x_1x_2$ から出る。通常積だけを使うと、この符号を失う。
式 (15) と有理同型
式 (16) を二つの比較写像の合成へ適用する。
次数 $d\geq1$ とする。式 (16) が採用する係数環で成り立つなら
$$
\psi\varphi
=(-1)^{d-1}(d-1)!\,\mathrm{id}_{CH^d(X)},
$$
$$
\varphi\psi
=(-1)^{d-1}(d-1)!\,\mathrm{id}_{G^dK(X)}.
$$
従ってGrothendieck–Riemann–Rochを含む前節の外部入力のもとで
$$
CH^d(X)_{\mathbb Q}
\xrightarrow[\sim]{\ \varphi\ }
G^dK(X)_{\mathbb Q}
\xrightarrow[\sim]{\ \psi\ }
A^d(X)_{\mathbb Q}
$$
である。［有理係数では条件付き完結、一般整数係数では未完結］
$CH^d(X)$ は余次元 $d$ の部分多様体の類で生成される。生成元 $[Y]$ に対し、$\varphi([Y])$ は $\gamma(Y)$ の随伴次数 $d$ の類であり、$\psi$ は最初の非零Chern成分を取る。式 (16) から
$$
\psi\varphi([Y])
=(-1)^{d-1}(d-1)![Y]
$$
を得る。線形性で第1式が従う。
$\varphi$ は全射だから、$\beta\in G^dK(X)$ に対し $\varphi(\alpha)=\beta$ となる $\alpha\in CH^d(X)$ を選べる。すると
$$
\varphi\psi(\beta)
=\varphi\psi\varphi(\alpha)
=(-1)^{d-1}(d-1)!\varphi(\alpha)
=(-1)^{d-1}(d-1)!\beta.
$$
$\mathbb Q$ 上では $(d-1)!$ が可逆なので、二つの写像は符号付きスカラー倍の逆になる。
これは原論文の式 (15) に対応する。ただし、整数係数の式 (15) は整数係数の式 (16) に依存する。本頁で一般整数版の式 (16) が未完結である以上、整数版の式 (15) も未完結である。
捩れが残る理由
仮に整数係数で二つの合成公式が得られたとしても、直ちに $\varphi$ が同型になるわけではない。合成の係数は $(d-1)!$ であり、次のことしか従わない。
- $\ker\varphi$ は $(d-1)!$ で消える。
- $\ker\psi$ は $(d-1)!$ で消える。
- $\operatorname{coker}\psi$ は $(d-1)!$ で消える。
有理化すればこれらの捩れは消えるが、整数係数では残り得る。原論文は $\varphi$ が整数係数で同型そのものか知らないと明記している。この未解決状態を保存する。
群準同型 $f\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$、$f(n)=2n$ は、$\mathbb Q$ とテンソルすれば同型になる。しかし整数係数では余核 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ が残り、同型ではない。
同じ論理で、$\varphi\otimes\mathbb Q$ が同型であることは、$\ker\varphi$ や余核の捩れが零であることを示さない。破れているのは有理化で失われた捩れ情報を無条件に復元した点である。
次数 $d=1,2$ では $(d-1)!=1$ である。しかし低次数で整数係数の同型を結論するには、その次数で整数係数の式 (16) が一般に成り立つことを別途確立する必要がある。有理版の証明だけから「係数が1だから整数でもよい」とは言えない。
情報の流れ
本頁の比較は次の順に進む。
$$
\text{サイクル}
\longrightarrow
[\mathcal O_Z]\text{の支持主要項}
\longrightarrow
\text{最初の非零Chern成分}.
$$
1本目の矢印は高余次元のK群成分を捨て、2本目の矢印は構造層類から一つのChern成分だけを取る。式 (16) はこの二段の合成が階乗倍で元のサイクル類へ戻ることを述べる。階乗を反転すれば復元できるが、整数係数では階乗捩れが障害として残る。
また、$A'(X)$ は加法群として $CH^*(X)$ と同じでも、その積はstar積である。したがって「$\psi$ の値域はChow環だから通常積を保つ」と書くのは誤りである。star積の係数を含めて初めて $\psi$ は環準同型になる。
原論文との境界
原論文 Gro58 は、構造層類による生成を短く述べ、TorとSerreの交叉重複度により積を比較し、BS58 の結果を使って $\varphi$ を得る。$\psi$ のフィルトレーション両立とstar積は形式的だと述べるが、詳細な計算を記さない。本頁はstar積の係数をNewton恒等式から補った。
式 (16) について、原論文は正式な一般証明を与えず、捩れを無視すればRiemann–Rochの特別な場合だと述べる。本頁の一般有理版は後代のChern指標とGrothendieck–Riemann–Rochによる説明であって、1958年の紙面にある証明の復元ではない。段階的横断完全交叉の整数版だけは、Koszul複体とstar積により本書内で閉じた。
原論文との対応表
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 | 状態 |
|---|---|---|---|
| 支持余次元フィルトレーションと $\gamma$ | §4 3° | pp.149–150 | 条件付き完結 |
| $\varphi\colon CH^*(X)\to GK(X)$ | §4 3° | p.150 | 条件付き完結 |
| $\psi\colon GK(X)\to A'(X)$ | §4 3° | p.150 | 条件付き完結 |
| star積 | §4 3° | p.150 | 完結 |
| 構造層のChern成分 | 式 (16) | p.150 | 三層に分岐 |
| 二つの合成 | 式 (15) | p.150 | 有理版は条件付き、整数版は未完結 |
| $\varphi$ の整数同型性 | §4 3°末尾 | p.150 | 原論文で未解決 |
この比較により、Chow環と随伴次数付きK群は有理係数では密接に対応する。しかし、本頁が得たのは元のフィルター付きK群そのものの同型ではなく、随伴次数付き環の比較である。随伴次数付きの同型から元のフィルター付き対象の同型へ戻るには、フィルトレーションの有限性、分離性、各段の拡張を別途検討しなければならない。
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
