0-2 ベクトル束・射影束・旗多様体

スキーム $X$ 上の $\mathcal O_X$ 加群 $E$ が階数 $p$ の局所自由層であるとは、$X$ の開被覆 $\{U_\alpha\}$ で $E|_{U_\alpha}\cong\mathcal O_{U_\alpha}^{\oplus p}$ となるものがあることをいう。本書では階数 $p$ の局所自由層を階数 $p$ のベクトル束と呼び、階数 1 のものを線束と呼ぶ。$E$ の全空間は $\mathbb V(E^\vee)=\operatorname{Spec}\operatorname{Sym}(E^\vee)$ で、これは $X$ 上のアフィン空間束であり、点 $x$ の上のファイバーは $k(x)$ ベクトル空間 $E_x=E\otimes_{\mathcal O_X}k(x)$ である。$X$ 上の射 $X\to\mathbb V(E^\vee)$（幾何的な意味の切断）と $E$ の大域切断 $s\in H^0(X,E)$ は一対一に対応する。原論文の記号 $s\colon X\to E$ はこの意味であり、本書もそれに従って $E$ と $\mathbb V(E^\vee)$ を同じ文字で書く。

$X$ 上のベクトル束 $E$、$F$ に対し、双対 $E^\vee=\mathcal{H}om_{\mathcal O_X}(E,\mathcal O_X)$、テンソル積 $E\otimes F$、外冪 $\wedge^iE$、対称冪 $\operatorname{Sym}^iE$、$\mathcal{H}om(E,F)=E^\vee\otimes F$ はいずれもベクトル束で、階数はそれぞれ $p$、$pq$、$\binom pi$、$\binom{p+i-1}i$、$pq$ である（$p=\operatorname{rank}E$、$q=\operatorname{rank}F$）。$\det E=\wedge^pE$ は線束で、$(E^\vee)^\vee=E$、$\det(E^\vee)=(\det E)^\vee$ が成り立つ。階数は連結成分ごとに一定で、原論文は $X$ の上で階数が一定と仮定する（$X$ が連結なら自動的に成り立つ）。本書も同じ仮定をとる。

ベクトル束の完全列 $0\to E'\to E\to E''\to0$ とは、$\mathcal O_X$ 加群の完全列で三項がすべてベクトル束であるものをいう。このとき列は局所的に分裂し（大域的には分裂するとは限らない）、$\operatorname{rank}E=\operatorname{rank}E'+\operatorname{rank}E''$、$\det E\cong\det E'\otimes\det E''$ である。また $\wedge^nE$ は $\wedge^iE'\otimes\wedge^{n-i}E''$（$0\le i\le n$）を次数商とするフィルトレーションをもつ。$E$ の部分層 $E'\subset E$ が部分束であるとは、$E'$ がベクトル束で商 $E/E'$ もベクトル束であることをいう。各点でのファイバーの写像 $E'_x\to E_x$ が単射であることと同値である。ベクトル束の単射 $E'\to E$ で商が局所自由でないものがある（$\mathbb A^2$ 上の $\mathcal O\xrightarrow{(x,y)}\mathcal O^{\oplus2}$ は原点でファイバーの写像が零）ので、「部分束」は商が局所自由な場合に限って使う。

$E$ を階数 $p$ のベクトル束、$s\in H^0(X,E)$ を切断とする。$s$ の双対 $s^\vee\colon E^\vee\to\mathcal O_X$ の像のイデアル層を $\mathcal I_s$ と書き、閉部分スキーム $Z(s)=V(\mathcal I_s)$ を $s$ の零点スキームという。$E|_U\cong\mathcal O_U^{\oplus p}$ の上で $s=(f_1,\dots,f_p)$ と書けば $\mathcal I_s|_U=(f_1,\dots,f_p)$ である。$Z(s)$ は $s\colon X\to E$ と零切断 $X\to E$ のファイバー積に等しく、その各既約成分の余次元は $p$ 以下である（Krull の標高定理）。原論文の言葉では、$X\to E$ の任意の射 $s$ を「正則切断」と呼び（後年の「正則列を定める切断」の意味ではない）、零点集合が空か、至る所余次元 $p$ のときに零点サイクルが定義される。

$E$ を $X$ 上の階数 $p$ のベクトル束とする。本書の射影束 $P(E)$ は
$$P(E)=\operatorname{Proj}_X\operatorname{Sym}(E^\vee)\xrightarrow{\;f\;}X$$
である。点 $x\in X$ の上のファイバーは $E_x$ の 1 次元部分空間（直線）全体のなす射影空間 $\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}(E_x^\vee)$ であり、$E_x^\vee$ の元がその斉次座標である。関手の言葉では、$X$ スキーム $g\colon T\to X$ に対して $P(E)$ の $T$ 値点は、$g^*E$ の階数 1 の部分束 $L\subset g^*E$（商が局所自由）と一対一に対応する。$P(E)\to X$ は射影的で滑らかな射で、相対次元は $p-1$、$X$ が非特異（準射影的）なら $P(E)$ も非特異（準射影的）である。Hartshorne Har77 II.7 の $\mathbb P(\mathcal E)=\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}(\mathcal E)$ は $\mathcal E_x$ の 1 次元商（同じことだが $\mathcal E_x^\vee$ の直線）を点とするので、本書の記号では $P(E)=\mathbb P(E^\vee)$、$\mathbb P(\mathcal E)=P(\mathcal E^\vee)$ である。Fulton Ful98 の $P(E)$ は本書と同じ向きである。原論文（1958 年）の $P(E)$ は直線を点とし、後の EGA2 の $\mathbb P(\mathcal E)$ は商を点とするので、「Grothendieck の規約」といっても二つあり、本書は原論文の向きに従う。線束 $M$ をひねっても射影束は変わらず、標準同型 $P(E\otimes M)\cong P(E)$ がある。

$f\colon P(E)\to X$ の上では、点 $d$（直線 $d\subset E_x$）でのファイバーが $d$ そのものである階数 1 の部分束 $\mathcal O_{P(E)}(-1)\subset f^*E$ が標準的に定まる（標準部分束）。その双対を
$$L_E:=\mathcal O_{P(E)}(1)=\mathcal O_{P(E)}(-1)^\vee$$
と書き、$P(E)$ の標準線束という。商 $E^{(1)}:=f^*E/L_E^\vee$ は $P(E)$ 上の階数 $p-1$ のベクトル束で、標準完全列
$$0\to L_E^\vee\to f^*E\to E^{(1)}\to0$$
が得られる。$\operatorname{Proj}$ の言葉では、$\operatorname{Sym}(E^\vee)$ の普遍商 $f^*E^\vee\twoheadrightarrow\mathcal O_{P(E)}(1)$ の双対が標準部分束の包含である。したがって $f_*\mathcal O_{P(E)}(n)=\operatorname{Sym}^n(E^\vee)$（$n\ge0$）、とくに $H^0(P(E),L_E)=H^0(X,E^\vee)$ であり、$L_E$ の大域切断は $E$ の上の線形形式である。線束 $M$ でひねると $L_{E\otimes M}=L_E\otimes f^*M^\vee$ となる。原論文は標準部分束を $\check L_E$、その双対を $L_E$ と書き、基本類を $\xi_E=c_1(L_E)$ と定める（$E^{(1)}$ の定義で原論文は分母を $L_E$ と印字するが、部分束は $L_E^\vee$ である。読解ノートの誤植 T-01）。

$E$ を $X$ 上の階数 $p$ のベクトル束とする。$X^{(1)}=P(E)$、$f^{(1)}=f$、$E^{(1)}=f^*E/L_E^\vee$（階数 $p-1$）とおき、帰納的に $X^{(i+1)}=P(E^{(i)})$（$X^{(i)}$ 上の射影束）、$E^{(i+1)}=(E^{(i)})^{(1)}$（階数 $p-i-1$）、$f^{(i+1)}\colon X^{(i+1)}\to X^{(i)}\to X$ と定める（$1\le i\le p-1$）。$X^{(i)}$ の上では $E_i:=(f^{(i)})^*E$ が部分束の列
$$0=V_0\subset V_1\subset\cdots\subset V_i\subset E_i,\qquad\operatorname{rank}V_j=j,$$
をもち、$V_j/V_{j-1}$ は線束、$E_i/V_i=E^{(i)}$ である。$V_1$ は $P(E)$ の標準部分束 $L_E^\vee$ の引き戻し、$V_j/V_{j-1}$ は $X^{(j)}=P(E^{(j-1)})$ の標準部分束 $L_{E^{(j-1)}}^\vee$ の引き戻しである。関手の言葉では、$X^{(i)}$ の $T$ 値点は $g\colon T\to X$ と $g^*E$ の長さ $i$ の旗（階数 $j$ の部分束の増大列 $V_1\subset\cdots\subset V_i$）の組である。$X^{(i)}\to X$ は射影束の合成なので射影的で滑らかであり、$X$ が非特異なら $X^{(i)}$ も非特異である。

$X$ 上の線束の同型類の全体は、テンソル積を演算として可換群をなす。これをPicard群 $\operatorname{Pic}(X)$ と書き、線束 $L$ の類を $cl_X(L)$ と書く。単位元は $cl_X(\mathcal O_X)$、逆元は $cl_X(L^\vee)=-cl_X(L)$ で、$cl_X(L\otimes L')=cl_X(L)+cl_X(L')$ である。層コホモロジーでは $\operatorname{Pic}(X)\cong H^1(X,\mathcal O_X^\times)$（Zariski 位相で十分で、エタール位相でも同じ群になる）。射 $g\colon X\to Y$ と $Y$ 上の線束 $L$ に対して $g^*cl_Y(L):=cl_X(g^*L)$ は群準同型 $g^*\colon\operatorname{Pic}(Y)\to\operatorname{Pic}(X)$ を定め、$\operatorname{Pic}$ はスキームの圏から可換群の圏への反変関手である。$g^*$ は一般に単射でも全射でもない。原論文は $\operatorname{Pic}(X)$ を $\mathbf P(X)$ と書く（関手性の式で原論文は左辺を $cl_X(L)$ と印字するが、$L$ は $Y$ 上の束なので $cl_Y(L)$ である。読解ノートの誤植 T-05）。

$X$ を整スキーム、$K$ をその関数体とする。Cartier 因子とは、開被覆 $\{U_\alpha\}$ と $f_\alpha\in K^\times$ の組で、$U_\alpha\cap U_\beta$ 上 $f_\alpha/f_\beta$ が可逆正則関数になるものをいう（同値な組を同一視する）。Cartier 因子 $D$ に対して、$U_\alpha$ 上 $f_\alpha^{-1}\mathcal O_{U_\alpha}$ で生成される $K$ の部分 $\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal O_X(D)$ は線束で、$D\mapsto\mathcal O_X(D)$ は Cartier 因子の群から $\operatorname{Pic}(X)$ への全射準同型を与え、核は主因子（一つの $f\in K^\times$ による因子 $\operatorname{div}(f)$）の群である。逆に線束 $L$ とその零でない有理切断 $s$（$K$ 上の $L$ の切断）に対して、$L|_{U_\alpha}\cong\mathcal O_{U_\alpha}$ で $s$ を $f_\alpha$ と書けば $\operatorname{div}(s)=\{(U_\alpha,f_\alpha)\}$ が Cartier 因子で、$L\cong\mathcal O_X(\operatorname{div}(s))$ である。$X$ が正則（局所環がすべて正則局所環、本書の非特異多様体はこれを満たす）なら Cartier 因子と Weil 因子（余次元 1 の既約閉部分多様体の有限和）は一致し、$\operatorname{Pic}(X)$ は Weil 因子の線形同値類の群 $\operatorname{Cl}(X)$ に同型である。

ネーター局所環 $(A,\mathfrak m,\kappa)$ が正則局所環であるとは、$\dim_\kappa\mathfrak m/\mathfrak m^2=\dim A$ であることをいう。このとき $\mathfrak m$ を生成する $n=\dim A$ 個の元の組 $x_1,\dots,x_n$ を正則パラメータ系といい、$x_1,\dots,x_r\in\mathfrak m$ が正則パラメータ系の一部であるとは、これを延長して正則パラメータ系にできることをいう。次は同値である。(a) $x_1,\dots,x_r$ は正則パラメータ系の一部である。(b) $x_1,\dots,x_r$ の像は $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ で一次独立である。(c) $A/(x_1,\dots,x_r)$ は次元 $n-r$ の正則局所環である。このとき $x_1,\dots,x_r$ は $A$ 正則列である。正則局所環は整域で一意分解整域（Auslander–Buchsbaum）であり、とくに Cohen–Macaulay である。$k$ 上有限型のスキーム $X$ の点 $x$ で $\mathcal O_{X,x}$ が正則なとき $X$ は $x$ で正則といい、すべての点で正則なとき正則という。$k$ が完全体なら、$X$ が正則であることと $k$ 上滑らかであることは同値で、閉点では Jacobi 行列の階数で判定できる。本書の「非特異代数多様体」は分離的で有限型の正則な $k$ スキームである。

$X$ を非特異多様体、$E$ を階数 $p$ のベクトル束、$s\colon X\to E$ を切断、$X'\subset E$ を零切断の像とする。$X'$ は $E$ の非特異な余次元 $p$ の閉部分多様体で、$s$ は $X$ から $s(X)$ への同型である。$s$ が零切断に横断的であるとは、零点 $x\in Z(s)$ のすべてで接写像 $T_xX\to T_{s(x)}E$ と商 $T_{s(x)}E\to T_{s(x)}E/T_{s(x)}X'\cong E_x$ の合成が全射であることをいう。局所判定は次のとおりである。$E|_U\cong\mathcal O_U^{\oplus p}$ の上で $s=(f_1,\dots,f_p)$ と書くとき、$s$ が $U$ 上で横断的であることは、$Z(s)\cap U$ の各点 $x$ で $f_1,\dots,f_p$ が $\mathcal O_{X,x}$ の正則パラメータ系の一部であることと同値である。横断的なら $Z(s)$ は空か、非特異で至る所余次元 $p$ の閉部分多様体であり、零点サイクルの各成分の重複度は 1 である。条件は零点でだけ課す（原論文は「すべての $x\in X$ について」と印字するが、零点でない点では $f_i$ のどれかが単元になり正則パラメータ系の一部にはなりえない。読解ノートの U-01）。

閉部分スキーム $Y\subset X$（イデアル層 $\mathcal I$）に沿うブローアップは $\pi\colon\operatorname{Bl}_YX=\operatorname{Proj}_X\bigoplus_{n\ge0}\mathcal I^n\to X$ であり、$Y$ の逆像 $D=\pi^{-1}(Y)=\operatorname{Proj}_Y\bigoplus_{n\ge0}\mathcal I^n/\mathcal I^{n+1}$ は Cartier 因子（例外因子）で、$\pi$ は $X\smallsetminus Y$ の上で同型である。$X$ と $Y$ が非特異で $Y$ の余次元が $c$ のとき、$\mathcal I/\mathcal I^2$ は $Y$ 上の階数 $c$ のベクトル束（余法束）で、$\bigoplus_n\mathcal I^n/\mathcal I^{n+1}=\operatorname{Sym}(\mathcal I/\mathcal I^2)$ である。法束を $N=N_{Y/X}=(\mathcal I/\mathcal I^2)^\vee$ とおくと、本書の規約で
$$D=\operatorname{Proj}_Y\operatorname{Sym}(N^\vee)=P(N)$$
であり、$D$ の点は $Y$ の点 $y$ と法空間 $N_y$ の直線（$Y$ を法とする方向）の組である。$\operatorname{Bl}_YX$ は非特異で、$X$ が準射影的なら $\operatorname{Bl}_YX$ も準射影的である。例外因子の法束は $\mathcal O_{\operatorname{Bl}_YX}(D)|_D=\mathcal O_{P(N)}(-1)=L_N^\vee$（標準部分束）である。