0-5 記号と約束

本書の全頁で共通に使う記号と約束をまとめた頁である。記号は各頁でも必要な箇所で短く繰り返し、頁の中で変えるときはその頁で断る。前提となる概念の要点は本書『0-2 ベクトル束・射影束・旗多様体』から『0-4 コホモロジー的モデルと K 群』までにある。

一般の約束

体と多様体

• 基礎体 $k$：固定した任意の体である。原論文は「代数閉と思ってよい」と書くが、原論文も本書も代数閉性を仮定しない。$k=\mathbb C$ を仮定するのは整係数コホモロジーのモデルだけである。
• 非特異代数多様体：$k$ 上分離的で有限型のスキームで、$k$ 上滑らかなもの（$k$ が完全体なら、すべての局所環が正則であることと同じ）。原論文の「espace algébrique non singulier」をこう読む。既約性・連結性は仮定しない。$X$、$Y$、$Z$ はつねに非特異代数多様体を表し、射・部分多様体・束はすべて $k$ 上で考える。「余次元 $p$」はどの既約成分でも余次元が $p$ であること、「準射影」は $\mathbb P^N_k$ の局所閉部分スキームであることをいう。
• 圏 $\mathbf V$：非特異代数多様体のなす圏の部分圏（射は $k$ 上の射すべて）で、条件 (V 1)：$X\in\mathbf V$ と $X$ 上のベクトル束 $E$ について $P(E)\in\mathbf V$、を満たすもの。第 5 章ではさらに (V 2)：$X\in\mathbf V$ の非特異閉部分多様体は $\mathbf V$ に属する、を課す。空のスキーム $\emptyset$ はつねに $\mathbf V$ に属するものとする（後述）。

次数の約束

原論文は $A(X)$ を反可換な次数付き環とし、線束の類を $A^2(X)$ に、$i$ 番目の Chern 類を $A^{2i}(X)$ に置いたうえで、§4 1°（印字 p. 147）で「偶数次しか使わないので次数を半分にして可換とみなしてよい」と注意する。本書は最初からこの約束を採り、$A(X)=\bigoplus_{i\ge0}A^i(X)$ を可換な次数付き環、$p_X$ の値域を $A^1(X)$、$c_i(E)$ の属する群を $A^i(X)$ とする。原論文の $A^{2i}$ は本書の $A^i$ であり、$i_*$ は次数を $p$（原論文では $2p$）上げる。Hodge コホモロジーのモデルでは $H^p(X,\Omega^p_X)$ だけを、整係数のモデルでは偶数次だけを $A(X)$ にとる。

束と射影束の記号

• 射影束の規約：EGA II EGA2 以後の Grothendieck 自身の規約と Hartshorne Har77 II §7 の $\mathbb P(\mathcal E)=\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}\mathcal E$ では点は $\mathcal E$ の階数 1 の商である。本書の $P(E)$ はこの規約の $\mathbb P(E^\vee)$ で、$L_E$ はその $\mathcal O(1)$ に当たる。原論文は直線の規約で書かれており、本書もそれに従う。
• 正則切断：原論文の「section régulière」は $X\to E$ の射を指す。後年の「正則列を定める切断」ではなく、零点の良さは横断性として別に仮定する。
• 横断的：$s$ が零切断に横断的とは、$Z(s)$ の各点 $x$ で、局所自明化に関する $s$ の成分関数 $f_1,\dots,f_p\in\mathcal O_{X,x}$ が正則パラメータ系の一部をなすことをいう。このとき $Z(s)$ は余次元 $p$ の非特異閉部分多様体である（本書『1-3 正則切断・零点サイクル・横断性』）。$Z(s)$ が空か至る所余次元 $p$ のとき、それが定めるサイクルを零点サイクルという。

与件・公理・Chern 類の記号

原論文は与件 b の準同型と部分多様体の類の両方に $p_X$ を使う。本書は後者を $[Y]_X$ と書いて区別し、原論文が一つの文字を二つの意味で使う他の箇所も各頁で書き分ける。

三つのモデル

原論文 §2 の「特別な場合」1°〜3°（印字 pp. 142–144）を本書は次の名で呼ぶ（本書『2-2 三つのモデル』）。

原論文の引き方

番号と頁

• 「原論文」は Grothendieck Gro58 を指す。Borel–Serre の Riemann–Roch の解説 BS58 の付録として同じ巻に載る。
• 構成は Introduction と §1〜§5。定理は定理 1（§3）と定理 2（§5）、補題は補題 1・2（§2）と補題 3（§5）、式は (1)〜(18) の通し番号（§3 が (1)〜(7)、§4 が (8)〜(16)、§5 が (17)(18)）で、ほかに (5 bis)・(7 bis)・(18 bis) と補題 2 の証明中の (★) がある。公理は A 1〜A 5、圏の条件は (V 1)(V 2)、§2 のモデルと §4 の小節は 1°〜3°。「原論文 §3 定理 1」「式 (6)」「補題 2」「A 2」「§4 2°」のように引く。
• 番号のない箇所は印字頁で引く（「印字 p. 145」）。印字頁は 137〜154 で、Numdam の PDF では表紙が PDF 1、印字 p. 137 が PDF 2、以後 印字頁 = PDF 頁 + 135 である。
• 原論文の文献 [1]〜[4] は本書のラベルでは Ati57、Che53、Gro57、Che58 に当たる。ただし [4] は紙面の文献表の題名と本文での引き方が合わず（読解ノート U-04）、本書は本文の引き方に従って Chow 環の exposés と読む。この同定は本書が確かめていない。

原論文の記号との対応表

頁の読み方の約束

頁の構成と引用

• 第 1 章以降の各頁は「この頁で示すこと」「背景と動機」「定義と準備」「主結果と証明」「例と反例」「その後の発展」「原論文との対応表」の順に並ぶ。文献は本書共通の一覧にあり、本文中では [[ラベル]] で示す。頁をまたぐ参照は「本書『n-m 頁名』」と書く。
• 他の文献の結果に頼る段は「引用」と明記し、各頁の「引用する事実」に一覧で示す。原論文が省いた段を本書で補ったときは、そのことを明記する。

状態語と原論文の確信度

• 各主張には本書の判定として状態語を一つ付ける。「完結」は本書の中で証明し切ったもの、「条件付き」は引用した定理に依るもの（何を引用したかを添える）、「未完結」は証明を閉じられなかったもの、「偽」はそのままでは成り立たないもの（反例と正しい形を添える）である。
• これとは別に、原論文自身の確信度を「定理」（証明または証明の筋がある）、「主張」（断定形だが証明なし。式 (16) など）、「予告」（Introduction の位相的・解析的な場合など）、「未解決」（著者が知らないと明記したもの。$\varphi$ が同型かどうか）の 4 つで添える。原論文で「主張」だった式が後代に定理になっていても、本書の状態語はその頁で証明を閉じたかどうかだけで決まる。

後代の名称

• 分裂原理、Chern 指標、Todd 類、Grothendieck–Riemann–Roch、γ フィルトレーション、Adams 演算などの後代の名称は「その後の発展」の節で使い、原論文の主張として帰属しない。「その後の発展」は何年の時点の知見かを明記し、文献を開いて確かめていないものは「本書は確かめていない」と書く。

原論文の誤植のうち数学に関わるもの

原論文の印字の誤りのうち数学的な読みに関わるものを挙げる（ID は読解ノートのもの）。本書はどの箇所も「本書の読み」で扱い、該当する頁でも「原論文は〜と印字」と断る。根拠は紙面の中で閉じるものに限る。綴り・文法・組版の誤りは省く。

このほか印字 p. 147 の横断性の局所計算は標準部分束 $l$ とその双対を区別しない（U-05）。本書は超平面を零点とする切断をもつのは $l^\vee$ の側と読む。

未解決の箇所のうち本書が判断したもの

読解ノートが紙面上の省略や表現の不正確さとして記録した箇所のうち、本書全体で一つの読みに固定するものを挙げる。

• 横断性の局所判定（U-01、印字 p. 139）：原論文は「すべての $x\in X$ で」成分関数が正則パラメータ系の一部をなす、と書く。零点でない点では成分関数がすべて極大イデアルに入ることはないので、この条件は零点集合 $Z(s)$ の点に限って課すものと読む。
• 空集合（U-02、印字 p. 142）：補題 2 の系は「$s$ が零にならなければ $Y_p=\emptyset$ で $[Y_p]_X=0$」と読む必要がある。本書は $\emptyset\in\mathbf V$ と $A(\emptyset)=0$ を約束として置く（三つのモデルはいずれも満たす）。補題 2 の $Y_0$（U-11）は $X$ と読む。
• 「捩れを除いた同型」（U-12、印字 p. 151）：$\tilde c$ が「$K(X)$ から $A(X)$ への捩れを除いた同型」とは、必要な解消性・局所化・Grothendieck--Riemann--Roch の入力が使える範囲で、随伴次数付きの $\psi\varphi\colon CH^*(X)\to A'(X)$ を経由し、$A'(X)$ を群として $A(X)$ と同一視した条件付きの言明と読む（本書『4-2 K 群のフィルトレーションと Chow 環』）。
• $\tilde c$ の定義域（U-17、印字 p. 150）：原論文の $\tilde c$ はベクトル束について定義されるので、最初の定義域は $K_0^{\mathrm{vb}}(X)$ である。滑らかな準射影 $X$ で有限局所自由分解定理を入力し $K_0^{\mathrm{vb}}(X)\cong G_0(X)$ を得た場合に限り、連接層の類へ延長して共通値 $K(X)$ 上の写像と読む。一般の非準射影正則 $X$ では、この比較同型と延長を無条件には主張しない（本書『4-1 λ 環と完備 Chern 類』）。
• 「morphisme fibrant」（U-13、印字 p. 152）：原論文が定義しない語。本書は局所的に積である滑らかな射と読む（本書『5-1 射影的完備化と補題 3』）。
• Chow 理論での系（U-14、印字 p. 153）：(18 bis) の左辺を零点サイクルの類と読み替える段は原論文にない。本書『5-2 零点サイクルの類』で補う。