5-2 零点サイクルの類

ベクトル束の最高次Chern類は、横断的な切断の零点部分空間を表す。しかし横断性を外すと、被約零点集合の基本類では重複度を失う。本頁では、横断的切断に対する式 (18)、任意切断について成り立つ零切断像の引き戻し公式 (18 bis)、期待余次元の零点スキームに付随する重複度付き零点サイクルの公式を区別する。さらに、射影的完備化の中では任意の切断像が零切断像と同じ基本類をもつことを示す。

この頁で示すこと

$X\in\mathbf V$、$E$ を $X$ 上の階数 $p$ のベクトル束、$s\in\Gamma(X,E)$ を正則切断とする。本頁の主結果は次の4つである。

1. 横断的切断の零点公式：$s$ が零切断に横断的なら、零点部分空間の基本類は $c_p(E)$ である。［完結］
2. 任意切断の引き戻し公式：横断性の有無によらず、射影的完備化における零切断像の類を $s$ で引き戻すと $c_p(E)$ になる。［完結］
3. 重複度付き零点サイクルの公式：Chow理論で零点スキームが期待余次元をもつ場合、refined Gysin写像に関する外部入力のもとで零点サイクルの類は $c_p(E)$ である。［条件付き完結］
4. 任意切断像の基本類：射影的完備化の中で、任意の切断像は零切断像と同じ式 (17) で表される。［完結］
   第1項の零点部分空間、第2項の引き戻し類、第3項の重複度付きサイクルは、条件が違う別の対象である。式が同じ $c_p(E)$ を与えることだけを理由に同一視しない。

設定と零点スキーム

自明線束を $\mathbf1$ とし、本書『5-1 射影的完備化と補題 3』の記号
$$ \widetilde E:=E\oplus\mathbf1, \qquad \widehat E:=P(\widetilde E), \qquad f\colon\widehat E\to X $$
を使う。$E$ は $\widehat E-P(E)$ と標準同型であり、零切断を
$$ s_0\colon X\longrightarrow E\subset\widehat E $$
と書く。標準線束とその第1 Chern類を
$$ L_{\widetilde E}=\mathcal O_{P(\widetilde E)}(1), \qquad \xi=c_1(L_{\widetilde E}) $$
とする。
任意の切断 $s\colon X\to E$ について
$$ Z(s)=s^{-1}(s_0(X)) $$
をスキーム論的零点とする。局所自明化 $E|_U\cong\mathcal O_U^{\oplus p}$ で $s=(s_1,\ldots,s_p)$ と書けば、$Z(s)|_U$ はイデアル $(s_1,\ldots,s_p)$ で定義される。

横断性が成り立つと、$Z(s)$ は空であるか滑らかな余次元 $p$ の閉部分スキームである。従って (V 0) と (V 2) により $\mathbf V$ の対象となり、その基本類 $p_X(Z(s))$ を取れる。

横断的切断の式 (18)

本書『5-1 射影的完備化と補題 3』で得た式 (17) は
$$ p_{\widehat E}(s_0(X)) =\sum_{i=0}^pf^*c_i(E)\xi^{p-i} $$
である。切断 $s$ を $X\to E\subset\widehat E$ とみなして引き戻す。

$p=0$ の場合、和の唯一の項は $c_0(E)=1$ である。$0^0$ を計算したのではない。

空の零点に対するこの系には、$\emptyset\in\mathbf V$ と $A(\emptyset)=0$ が必要である。「零点がないから積が零」とだけ書くと、公理系のどこで零を得たかが抜ける。

横断性の局所的な意味

零点 $x$ の近傍で $E$ を自明化し、$s=(s_1,\ldots,s_p)$ と書く。$s$ の零切断への横断性は、剰余体上の微分
$$ ds_1(x),\ldots,ds_p(x)\in \mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2 $$
が線形独立であることに等しい。$X$ が滑らかなら、これらを正則パラメータ系の一部へ延長できる。従って $(s_1,\ldots,s_p)$ は正則列をなし、零点スキームは局所的に滑らかな余次元 $p$ の部分スキームになる。
この局所計算は二つの役割をもつ。1つは式 (18) の左辺が公理系で基本類をもつ非特異閉部分空間になること、もう1つはChow理論での局所重複度が1になることである。横断性は単に「零点の個数を有限にする」条件ではなく、零点スキームの法方向に一次の消え方だけが残ることを保証する。

任意切断の式 (18 bis)

横断性がなくても、式 (17) を環準同型 $s^*$ で引き戻す操作自体は可能である。ただし、その引き戻しを直ちに零点集合の基本類と呼んではならない。

この証明はA5も横断性も使わない。左辺は $\widehat E$ にある零切断像の基本類を、反変関手としての $s^*$ で引き戻した類である。非横断交叉のスキーム論的重複度をこの左辺が表すことは、A1〜A5からは従わない。

ここで「零切断そのものを横断的切断の零点公式へ代入した」と説明してはいけない。束 $E$ の切断としての零切断の零点スキームは $X$ 全体であり、$p>0$ なら $X$ 内で余次元 $p$ ではない。自己交叉は $\widehat E$ 内の零切断像の類を $s_0$ で引き戻す別の操作である。

重複度付き零点サイクル

横断性を外した切断では、零点スキームが非被約になることがある。期待余次元を保つ場合には、各既約成分の一般点における局所環の長さを重複度にする。

横断的なら $Z(s)$ は滑らかで各 $m_a=1$ だから、零点サイクルは被約零点部分空間の基本サイクルと一致する。非横断的なら一般に一致しない。

原論文 Gro58 は式 (18 bis) から零点サイクルの公式を導く段を短く述べるだけで、refined pullbackと局所重複度の一致を証明しない。本頁ではこの橋を外部入力として残す。後代の交叉理論による体系的な説明は Ful98 にある。

期待余次元を課す理由

$p$ 個の局所方程式で定まる零点スキームの各成分は、余次元が高くても $p$ を超えない。切断が一つの成分上で恒等的に零になると、余次元が $p$ より小さい成分が現れる。この場合、一般点の局所環の長さを係数にして余次元 $p$ のサイクルを作るという上の定義は、その低余次元成分を扱えない。
典型例は $p>0$ の束の零切断 $s_0$ である。その零点スキームは $X$ 全体で余次元0だから、$[Z(s_0)]_{\mathrm{cyc}}\in CH^p(X)$ という上の形の零点サイクルは定義されない。一方、式 (18 bis) の自己交叉類 $s_0^*p_{\widehat E}(s_0(X))=c_p(E)$ は定義される。期待余次元の仮定は、引き戻し類と通常のサイクルを同じ次数で比較するために必要である。
局所化最高Chern類の理論では、期待余次元を外した場合にも零点スキーム上に支持をもつ精密な類を構成できる。しかし、それを $X$ へ押し出した結果と本頁の単純な零点サイクルは別の対象である。本書ではその一般化を式 (18) の一部へ無言で含めない。

二重零点が示す横断性の役割

この例で式 (18 bis) は壊れていない。壊れるのは、非横断交叉の引き戻しを被約零点の類と同一視する段である。重複度を保持すれば正しい値へ戻る。

任意の切断像の類

零点を調べる切断 $s$ 自身の像も、$\widehat E$ の非特異閉部分スキームである。零切断像と同じ類をもつことを、別の束の横断的切断として実現して示す。
切断 $s$ は $E\oplus\mathbf1$ の自明な部分線束
$$ S_x:=k(s(x),1) $$
を定める。第2成分への射影 $S\to\mathbf1$ は同型なので $S\cong\mathbf1$ である。$\widehat E$ 上で完全列
$$ 0\longrightarrow f^*S \longrightarrow f^*(E\oplus\mathbf1) \longrightarrow Q\longrightarrow0 $$
を取り、$Q$ を階数 $p$ の商束とする。

この定理は任意切断の零点スキームの公式ではなく、射影的完備化の中の切断像そのものの公式である。$s(X)$ は $X$ と同型なので常に非特異だが、$s(X)$ と $s_0(X)$ の交叉である $Z(s)$ は非横断的・非被約になり得る。

底変換との整合性

$g\colon X'\to X$ を滑らかな射とし、$E'=g^*E$、$s'=g^*s$ とする。滑らかな底変換は非特異閉部分空間に横断的なので、$s$ が横断的なら $s'$ も横断的であり、
$$ Z(s')=X'\times_XZ(s) $$
である。公理A5とChern類の関手性から
$$ p_{X'}(Z(s')) =g^*p_X(Z(s)) =g^*c_p(E) =c_p(E') $$
を得る。これは式 (18) が滑らかな底変換と整合することを示す。
任意切断の引き戻し公式も同様に関手的である。射影的完備化は底変換と可換し、標準線束も引き戻されるため、式 (18 bis) を $X'$ へ引き戻した式は $s'$ に対する式 (18 bis) と一致する。ここでは零点スキームを被約化していないことが重要である。被約化は一般に底変換と期待どおり可換せず、重複度も保存しない。
この整合性は、旗の束へ移して式を証明する方法が正当である理由とも対応する。旗の束への射は滑らかで、引き戻した束が完全分裂した後に得た等式を、引き戻しの単射性で底へ戻せる。ただし一般の非横断的な射について同じ基本類の引き戻し公式を主張するものではない。

三つの等式の使い分け

本頁の結論を、対象と仮定ごとに整理する。

横断的な場合には最初の3行が同じ幾何を異なる言葉で表し、重複度は全て1である。非横断的な場合にも2行目と4行目は成り立つが、1行目は適用できない。3行目には期待余次元と外部交叉理論が要る。

原論文との境界

原論文は補題3の式 (17) を切断で引き戻して式 (18) と (18 bis) を得る。横断的な場合の式 (18) は公理A5と標準線束の自明化で本書内に閉じる。任意切断の式 (18 bis) は単なる反変引き戻しとして閉じる。
これに対し、(18 bis) の左辺を非横断零点の重複度付きサイクルへ読み替える段は原論文に詳しく書かれない。本頁はその段をrefined Gysin写像または局所化最高Chern類の外部入力として明示した。任意切断像の公式は原論文が構成を概説する部分を、商束 $Q$ と横断的切断 $\tau$ により補った。

原論文との対応表

本頁が直接対応する原論文は Gro58 である。

式 (18) の横断性を外して被約零点集合へ適用すること、式 (18 bis) の引き戻し類を外部入力なしに零点サイクルと同一視すること、零切断の自己交叉を零切断自身の零点集合と混同することは、いずれも別の誤りである。本頁では対象と仮定を分離することで、最高次Chern類がどの意味で零点を数えるかを確定した。