2-2 三つのモデル

公理 A 1〜A 4は、Chow環、Hodgeコホモロジー、複素多様体の整係数コホモロジーという異なる理論で同じChern類の証明を動かす。本頁では三モデルのデータを具体化し、射影束公式を得る仕組みと、Gysin写像など外部入力に残る部分を分けて検証する。

この頁で示すこと

$k$ を完全体とし、本書『2-1 公理 A 1〜A 4 と補題 2』の圏 $\mathbf V$、反変次数付き環 $A$、線束の類 $p_X$、閉埋め込みの押し出し $i_*$ を用いる。各モデルでは次数を原論文の半分にし、Chern類が $A^i(X)$ に属する規約で比較する。
本頁の主結果は次の3つである。

1. Chow環モデル（原論文 §2 特別な場合 1°、印字 pp.142–143）：滑らかな準射影スキームのChow環は、射影束公式、横断的零点、押し出しの関手性、射影公式を満たす。［条件付き：Chow環の交叉積・Gysin写像・射影束公式を Ful98 から引用］
2. Hodgeコホモロジーモデル（原論文 §2 特別な場合 2°、印字 p.143）：対角Hodgeコホモロジー $\bigoplus_aH^a(X,\Omega_X^a)$ は $d\log$ により器をなし、射影束公式は相対微分の濾過とLerayスペクトル系列から得られる。［条件付き：Gysin写像と A 2〜A 4を Gro57 から引用］
3. 整係数コホモロジーモデル（原論文 §2 特別な場合 3°、印字 pp.143–144）：$k=\mathbb C$ では $H^{2*}(X^{\mathrm{an}},\mathbb Z)$ が器をなし、射影束公式はLeray–Hirschの定理から得られる。［条件付き：Gysin写像と A 2〜A 4を BT82、MS74 から引用］
   三モデルとも外部入力の仮定・結論を特定した条件付き完結である。原論文の「周知」や「容易に分かる」を本書内の証明として扱わず、頁内で閉じる A 1と、文献に委ねる A 2〜A 4を区別する。

背景と動機

公理化の価値は、三つの理論を同一の環へ押し込むことではない。各理論は係数、次数、押し出しの構成、適用できる空間の範囲が異なる。それでも A 1〜A 4が共通なら、Chern類の定義と特徴づけの証明を一度だけ行い、各モデルへ移せる。
原論文 Gro58 の第1モデルは、有理同値による代数的サイクルの環である。第2モデルは代数微分形式の層コホモロジーをまとめたHodgeコホモロジー、第3モデルは複素点の通常位相における整係数コホモロジーである。これらは同じChern類を別の係数理論で実現するが、モデル間の比較写像や一致定理は本頁の公理から自動的には出ない。
1958年当時、滑らかだが準射影とは限らない代数多様体について、原論文は有理同値によるサイクル群へ必要な環構造と引き戻しを一般に構成できないと明記した。この歴史的な未解決表明を、後代のFulton流交叉理論で得られた枠組みと無言で置き換えてはならない。
また原論文の文献 [4] は、巻末ではChevalleyセミナーの Classification des groupes de Lie algébriques Che58 と印刷される。一方、Chow環に直接関係する同時期の論考としてGrothendieckの Sur quelques propriétés fondamentales en théorie des intersections Gro58b がある。本書は印刷された [4] と内容上関連する資料を別文献として記録し、一方を他方へ訂正したことにはしない。

定義と準備

モデルを検証する項目

各モデルについて、単に環 $A(X)$ を書くだけでは足りない。線束の類と閉埋め込みの押し出しを指定し、公理を一つずつ照合する。

圏の条件は三モデルで同じではない。Chow環では準射影性を課し、Hodgeコホモロジーでは滑らかな代数スキームを扱い、整係数コホモロジーでは $k=\mathbb C$ として解析空間へ移る。

Hodgeコホモロジーの積

Hodgeコホモロジーでは、層コホモロジー次数と微分形式次数の二つがある。素朴なカップ積は総次数についての符号規則とずれるため、補正を入れる。

素朴な積ではコホモロジー次数の交換から $(-1)^{qq'}$、微分形式の交換から $(-1)^{aa'}$ が現れる。大きな環に上の補正を入れると
$$ \beta\cdot\alpha =(-1)^{(a+q)(a'+q')}\alpha\cdot\beta $$
となり、総次数に関する次数付き可換性が成り立つ。対角成分は総次数が偶数なので通常の意味で可換であり、以下の公理検証は $A_H(X)$ 上で行う。

線束の類

三モデルで線束の第1類の構成は異なるが、テンソル積を加法へ送り、引き戻しと可換する点が共通する。

Chow環での因子類、Hodge側の $d\log$、位相側の指数完全列は、互いに別の構成である。本頁はこれらの間の比較を仮定せず、それぞれが与件 b を満たすことだけを使う。

引用する事実

次の外部入力を用いる。参考文献は挙げるが、本書は現時点で該当箇所の定理番号と全仮定を実読確認していないため、これらに依存するモデルの判定は条件付き完結とする。

1. Chow環の入力（Ful98）：滑らかな準射影スキームのChow群の交叉積、任意の射の引き戻しに必要な構成、滑らかな閉埋め込みの押し出し、横断的因子の類、押し出しの関手性、射影公式、射影束公式。
2. Hodge-Gysin入力（Gro57）：滑らかな閉埋め込み $i\colon Y\hookrightarrow X$ に対する
   $$ i_*\colon H^q(Y,\Omega_Y^a)\longrightarrow H^{q+r}(X,\Omega_X^{a+r}) $$
   と、横断的零点、合成、射影公式との両立。
3. 射影空間のHodgeコホモロジー（Del71 を後代の参考として挙げる）：相対射影空間で $R^jf_*\Omega^b_{P/X}$ が $j=b$ のとき超平面類の冪で生成され、他は消えるという計算、およびLerayスペクトル系列と射影公式。
4. 位相的入力（BT82、MS74）：複素ベクトル束の射影束に対するLeray–Hirsch、閉埋め込みのGysin写像、横断的零点のPoincaré双対、押し出しの関手性、射影公式。
   以下では、A 1については使う入力から導く道筋を頁内に書く。A 2〜A 4は上のGysin入力に残し、証明したとは扱わない。

主結果と証明

Chow環

Chow環モデルはChern類を代数的サイクルの類として実現する。準射影性は、1958年の原論文が実際に検証できた範囲を保存するために課す。

この検証はChow環を構成し直す証明ではない。とくに交叉積、一般の引き戻し、射影束公式の仮定照合を文献へ残しているため、状態は条件付き完結である。

Hodgeコホモロジー

Hodgeモデルの A 1は、射影空間の微分形式のコホモロジーが対角に集中し、$\mathcal O(1)$ の第1類の冪で生成されることから出る。本書『0-4 コホモロジー的モデルと K 群』の計算を、公理の形へまとめ直す。

頁内で示したのは、射影空間の相対コホモロジーとLerayの入力から A 1を得る道筋である。Gysin写像の構成と全仮定は Gro57 の引用に残るため、モデル全体の状態は条件付き完結である。

この注意は記法の整合を取るもので、原論文の証明へ新しい数学的仮定を加えるものではない。対角部分だけを使う本書の次数規約は、Chow環と同じ添字でChern類を比較するためのものである。

整係数コホモロジー

位相的モデルでは、射影束のファイバーの整係数コホモロジーが自由であるため、Leray–Hirschを直接使える。ここでは符号を、$c_1(\mathcal O(1))$ が超平面類になるよう選ぶ。

原論文はこの箇所で、Lerayスペクトル系列から再び A 2が出ると印刷する。しかし射影束の自由基底性を検証している文脈なので、内容上は A 1の誤植と読む。本頁では訂正形を採用し、A 2は横断的零点の位相的基本類として別に引用した。

例と反例

射影空間で三モデルを比較する

三モデルは係数環が異なるが、射影空間では同じ形の自由基底をもつ。

同じ多項式表示をもつことは、環が自然に同一であることを意味しない。比較にはサイクル類写像やde Rham比較など、追加の写像と定理が必要である。

モデルごとの情報量

曲線上の線束を見ると、Chow環の第1類が他の二モデルより細かい場合がある。

この例は、器 $A$ 自身の一意性を主張してはならない理由を具体化する。共通の証明形式は、異なる値域を同一視しない。

準射影性を外した歴史的境界

1958年の状態と後代の解決を分けるため、原論文の未解決表明をそのまま記録する。

後代の結果は現代的な適用範囲を広げる一方、原論文の歴史的主張の状態を変更しない。本書では「原論文の状態」と「現在利用できる外部入力」を別々に記録する。

比較定理を加えれば、サイクル類写像が代数的Chern類を位相的Chern類へ送るという別の主張を立てられる。しかし、それは本頁の公理だけから出る結論ではない。

その後の発展

ここからは1958年の原論文自身の証明ではなく、後代の発展である。
Fultonの交叉理論 Ful98 は、非準射影の場合を含むChow群、refined Gysin写像、局所化Chern類を統一的に扱う。これにより、原論文が困難として記した対象範囲は大きく広がった。ただし本書では、Ful98 の定理番号と仮定の実読確認が済むまで、Chow環モデルの外部入力を条件付きとして保つ。
Hodgeモデルと整係数モデルの比較には、Hodge–de Rhamスペクトル系列と代数的de Rham比較が関わる Del71。固有滑らかな複素多様体では、代数的線束の位相的第1 Chern類の複素化が型 $(1,1)$ に入り、$d\log$ の類と対応する。しかしこの比較はモデルごとの A 1〜A 4とは別の定理である。
原論文のIntroductionは、Atiyahの正則接続の障害類によるChern類との一致にも触れる Ati57。原論文は一致を証明せず、本書の再構成稿でも未完結としているため、本頁は三モデルの検証からその一致を推論しない。
位相的Chern類は、後代には分類空間 $BU(r)$ の普遍類としても定義される MS74。この定義とLeray–Hirschによる射影束公式は整合するが、分類空間の構成は原論文の公理的証明に必要ではない。本書は射影束公式とGysin写像という、三モデルに共通する最小限の構造だけを用いる。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Gro58 である。

原論文はChow環モデルを文献 [4] へ委ね、Hodgeモデルを容易として済ませ、整係数モデルを周知として扱う。本頁では、三モデルすべてを条件付き完結とし、射影束公式 A 1の導出だけをモデルごとに示した。A 2〜A 4はそれぞれのGysin理論へ明示的に委ね、文献 [4] の印刷 Che58 と内容上関連する Gro58b を別資料として記録した。