2-1 旗の関手と標準の写像

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

加群の局所自由な商の増加列を旗と呼び、底変換で旗を引き戻して関手を作る。そのうえで、全射・成分への分解・外積・テンソル積から来る四つの標準の写像が関手の準同型であることを示す。原論文が書かない「商」と「増加」の意味は本書が明示し、足した仮定「旗の読み」として札に書く。この頁の議論は加群の水準だけで閉じ、表現可能性は次の頁から扱う。
前提知識: 旗多様体, Grassmann多様体, 射影空間, 局所自由層, 逆像層, 外積代数

この頁で示すこと

$S$ を局所環付き空間、$\mathcal E$、$\mathcal F$ を $\mathcal O_S$ 加群、$m=(m_1,\dots,m_p)$ を $0$ 以上の整数の増加列（$p\ge0$）とする。$S$ 上の局所環付き空間 $T$ について $\mathcal E_{(T)}$ は構造射 $p_T\colon T\to S$ による逆像である。集合 $\mathrm{Drap}_m(\mathcal E)$、$\mathrm{Grass}_n(\mathcal E)$、$\mathrm P(\mathcal E)$ と関手 $\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)$、$\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)$、$\mathbf P(\mathcal E)$ は下の定義「型の旗」と主結果「旗の逆像と旗の関手」で置く。立体は集合、太字は関手である（本書『0-6 記号と約束』）。
本頁の主結果は次の四つである。

  1. 旗の逆像と旗の関手（原論文 §2 の関手化の段、印字 12-07）：局所環付き空間の射による逆像は旗を旗に移し、この対応は推移的なので、$T\mapsto\mathrm{Drap}_m(\mathcal E_{(T)})$ は $S$ 上の局所環付き空間の圏の上の反変関手 $\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)$ になる。［完結。足した仮定：旗の読み］
  2. 全射から来る写像と成分への分解（原論文 §2 の全射からの写像と成分への写像の段、印字 12-07）：全射 $\mathcal E\to\mathcal F$ から来る写像 $\mathrm{Drap}_m(\mathcal F)\to\mathrm{Drap}_m(\mathcal E)$ と、旗を成分の列に送る写像 $\mathrm{Drap}_m(\mathcal E)\to\prod_i\mathrm{Grass}_{m_i}(\mathcal E)$ はどちらも単射で、前者は推移的、後者の像は増加の条件を満たす列の全体である。［完結。足した仮定：旗の読み］
  3. Plücker の写像と Segre の写像（原論文 §2 の外積とテンソル積の段、印字 12-07〜12-08）：階数 $n$ の局所自由な商の $n$ 次外積は可逆な商で、写像 $\mathrm{Grass}_n(\mathcal E)\to\mathrm P(\bigwedge^n\mathcal E)$ が定まる。可逆な商のテンソル積は可逆な商で、写像 $\mathrm P(\mathcal E)\times\mathrm P(\mathcal F)\to\mathrm P(\mathcal E\otimes\mathcal F)$ が定まる。［完結。足した仮定：旗の読み］
  4. 標準の写像の関手性（原論文 §2 の関手の準同型の段、印字 12-08）：主結果 2・3 の四つの写像は逆像と両立し、関手の準同型 $\mathbf{Drap}_m(\mathcal F)\to\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)$、$\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)\to\prod_i\mathbf{Grass}_{m_i}(\mathcal E)$、$\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)\to\mathbf P(\bigwedge^n\mathcal E)$、$\mathbf P(\mathcal E)\times\mathbf P(\mathcal F)\to\mathbf P(\mathcal E\otimes\mathcal F)$ を与える。［完結。足した仮定：旗の読み］
    四つとも、本書『0-2 環付き空間の上の加群』で証明した加群の事実（本書の札では完結の入力）と、この頁の補題「商と核」だけで閉じる。解析空間の事実も第 9 巻『表現可能関手の一般形式』の判定法も使わない。札の「旗の読み」は、下の定義「型の旗」に組み込んだ原論文の定義の読み方で、本書が足した仮定である（下の注意「旗の読み」）。

背景と動機

原論文の §2 は「旗束など：定義と、いくつかの標準の射」と題され（印字 12-06）、§1 のベクトル束の次に、Grassmann 束や射影束を含む旗束を扱う。§1 と同じく、求める空間を直接作らず、その空間の $T$ 点の集合を先に定める。$T$ 点は $\mathcal E_{(T)}$ の局所自由な商の列で、これを旗と呼ぶ。一点の上では、ベクトル空間 $V$ の余次元 $n$ の部分空間（商 $V\to V/K$ の核）の全体が $\mathrm{Grass}_n(V)$、超平面の全体が $\mathrm P(V)$ になる（下の例「一点の上の旗とベクトル空間の旗」）。
原論文は §2 の前半を、解析空間ではなく一般の局所環付き空間 $S$ の上で述べる（印字 12-06〜12-08）。旗の集合、その逆像、四つの標準の写像はどれも加群の操作だけで定まるからである。解析空間に限るのは命題 2.1（存在定理）の直前からで（印字 12-08）、本書もその区切りに従い、本頁は局所環付き空間の上で、次の頁『2-2 Grassmann 束の存在』からは解析空間の上で話を進める。命題 2.1 の証明は本書『2-3 旗束の存在定理』に、四つの写像が閉はめ込みを与えるという命題 2.2 は本書『3-2 閉はめ込み定理』にある。
旗を部分加群ではなく商で定めるのには理由がある。原論文は逆像が「右完全で、階数 $n$ の局所自由を階数 $n$ の局所自由に移す」ことを旗の逆像の根拠に挙げる（印字 12-07）。逆像は全射を全射に移すが、単射は一般に単射に移さないので、部分加群の側では底変換がうまく定まらない。局所自由な商の側なら、底変換で旗が旗に移る。

定義と準備

原論文の定義 2.1（印字 12-06）は、旗を「$\mathcal E$ の商加群の増加列 $\mathcal E_1,\dots,\mathcal E_p$ で、それぞれ階数 $m_1,\dots,m_p$ の局所自由なもの」と書く。どの意味の商か、何が増加するかは書かれていない。本書は次の定義でその二点を決める。

型の旗

$S$ を局所環付き空間、$\mathcal E$ を $\mathcal O_S$ 加群とする。
(1) 全射 $q\colon\mathcal E\to\mathcal Q$、$q'\colon\mathcal E\to\mathcal Q'$ は、同型 $\varphi\colon\mathcal Q\to\mathcal Q'$ で $\varphi\circ q=q'$ となるものがあるとき同値であるという。この同値類を $\mathcal E$ の商と呼び、代表の目標 $\mathcal Q$ で呼ぶ。$\mathcal Q$ が階数 $n$ の局所自由であるとき、階数 $n$ の局所自由な商という（代表によらない）。
(2) $\mathcal E$ の商 $\mathcal E'$（代表 $q'$）が商 $\mathcal E''$（代表 $q''$）を押さえるとは、$q''=\psi\circ q'$ となる加群の射 $\psi\colon\mathcal E'\to\mathcal E''$ があること、すなわち $\mathcal E\to\mathcal E''$ が $\mathcal E\to\mathcal E'$ を経由することをいう（代表によらない）。
(3) $m=(m_1,\dots,m_p)$ を $0$ 以上の整数の増加列（$p\ge0$）とする。$\mathcal E$ の型 $m$ の旗とは、$\mathcal E$ の商の列 $(\mathcal E_1,\dots,\mathcal E_p)$ で、各 $\mathcal E_i$ が階数 $m_i$ の局所自由であり、各 $1\le i< p$ で $\mathcal E_{i+1}$ が $\mathcal E_i$ を押さえるものをいう。$p=0$ では空の列がただ一つの旗である。型 $m$ の旗の集合を $\mathrm{Drap}_m(\mathcal E)$ と書く。
(4) $p=1$、$m=(n)$ のとき $\mathrm{Drap}_m(\mathcal E)$ を $\mathrm{Grass}_n(\mathcal E)$ と書き、さらに $n=1$ のとき $\mathrm P(\mathcal E)$ と書く。$\mathrm P(\mathcal E)$ は $\mathcal E$ の可逆な商の集合である。

  1. と (2) が本書の読みで、(1) は「商加群」を全射の同値類と読み、(2) は「増加列」を後の成分が前の成分を押さえる列と読む。(2) の向きは、原論文 §3 の一般の旗の段が「$(\mathcal E_{i+1})_{(T)}$ が $(\mathcal E_i)_{(T)}$ を押さえる」と書くこと（印字 12-12）と、階数の列 $m$ が増加であることに合う。この二点を合わせて本書が足した仮定「旗の読み」と呼ぶ。読みを外すと何が壊れるかは、主結果の後の注意「旗の読み」で述べる。
    同値類は、同じ核をもつ全射の全体なので、そのままでは大きすぎる集まりである。次の補題で、商を核である部分加群と同一視し、$\mathrm{Drap}_m(\mathcal E)$ を集合として扱えるようにする。証明は本書『0-2 環付き空間の上の加群』の補題「茎による計算」だけを使う。
商と核

$S$ を環付き空間、$\mathcal E$ を $\mathcal O_S$ 加群とする。
(1) 全射 $q'\colon\mathcal E\to\mathcal Q'$ と射 $q\colon\mathcal E\to\mathcal Q$ について、$q=\psi\circ q'$ となる射 $\psi\colon\mathcal Q'\to\mathcal Q$ があることは $\mathrm{Ker}\,q'\subset\mathrm{Ker}\,q$ と同値で、そのとき $\psi$ はただ一つである。$q$ が全射なら $\psi$ も全射である。
(2) 二つの全射が同値であることは、核が等しいことと同値で、同値を与える同型はただ一つである。
(3) 部分加群 $\mathcal K\subset\mathcal E$ について、余核への射 $\mathcal E\to\mathcal E/\mathcal K$ は全射で、その核は $\mathcal K$ である。したがって、商に核を対応させる写像は、$\mathcal E$ の商の全体から $\mathcal E$ の部分加群の全体への全単射である。商 $\mathcal E'$、$\mathcal E''$ について、$\mathcal E'$ が $\mathcal E''$ を押さえることは、核について $\mathrm{Ker}(\mathcal E\to\mathcal E')\subset\mathrm{Ker}(\mathcal E\to\mathcal E'')$ となることと同値である。
(4) 環付き空間の射 $g\colon T\to S$ と全射 $q\colon\mathcal E\to\mathcal Q$ について、$g^*q$ は全射で、その核は $g^*(\mathrm{Ker}\,q)\to g^*\mathcal E$ の像である。同値な全射は同値な全射に移る。

段 1（全射は右から消せる）．全射 $q'$ と射 $a$、$b\colon\mathcal Q'\to\mathcal M$ で $a\circ q'=b\circ q'$ となるものについて、各点で $q'_x$ は全射なので $a_x=b_x$ で、差 $d=a-b$ の茎の射はすべて $0$ である。切断 $s$ について $d(s)$ の芽 $d_x(s_x)$ はすべて $0$ なので、層の条件（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定義「層と茎」）により $d(s)=0$ で、$a=b$ である。
段 2（(1)）．$\mathcal K'=\mathrm{Ker}\,q'$ とする。$q=\psi q'$ なら $q$ は $\mathcal K'$ を消す。逆に $q$ が $\mathcal K'$ を消すとする。余核 $\mathcal E/\mathcal K'$ は開集合ごとの余核の層化なので、同じ補題の (1) により、$\mathcal K'$ を消す射 $\mathcal E\to\mathcal M$ は射影 $\rho\colon\mathcal E\to\mathcal E/\mathcal K'$ をただ一通りに経由する。$q=\bar q\circ\rho$、$q'=\bar q'\circ\rho$ と書く。同じ補題の (3) により $(\mathcal E/\mathcal K')_x=\mathcal E_x/\mathcal K'_x$ で、$q'_x$ は全射で核が $\mathcal K'_x$ なので、$\bar q'_x$ は全単射である。同じ補題の (2) により $\bar q'$ は同型で、$\psi=\bar q\circ\bar q'^{-1}$ が $q=\psi q'$ を満たす。一意性は段 1 による。$q$ が全射なら $\psi_x$ は全射で、$\psi$ は全射である。
段 3（(2)）．同値な全射は、同型を合成しても核が変わらないので核が等しい。核が等しければ、(1) により $q=\psi q'$、$q'=\psi'q$ となる $\psi$、$\psi'$ があり、$\psi\psi'q=q$、$\psi'\psi q'=q'$ と段 1 から $\psi\psi'=\mathrm{id}$、$\psi'\psi=\mathrm{id}$ である。同型の一意性は段 1 による。
段 4（(3)）．茎は $(\mathcal E/\mathcal K)_x=\mathcal E_x/\mathcal K_x$ なので射影は全射で、その核の茎は $\mathcal K_x$ である。包含 $\mathcal K\to\mathrm{Ker}(\mathcal E\to\mathcal E/\mathcal K)$ は茎で全単射なので、同じ補題の (2) により等しい。ゆえに核をとる写像は全射で、(2) により単射である。押さえることの言い換えは (1) である。
段 5（(4)）．完全列 $\mathrm{Ker}\,q\to\mathcal E\to\mathcal Q\to0$ に本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (3)（右完全性）を当てる。同型 $\varphi$ で $\varphi q=q'$ なら $g^*\varphi$ は同型で $g^*\varphi\circ g^*q=g^*q'$ である。

  1. により、$\mathrm{Drap}_m(\mathcal E)$ は、部分加群の列 $\mathcal K_1\supset\mathcal K_2\supset\dots\supset\mathcal K_p$ で各 $\mathcal E/\mathcal K_i$ が階数 $m_i$ の局所自由なものの集合と一対一に対応する。核は減り、商は大きくなる。以後、旗の成分を代表の全射 $q_i\colon\mathcal E\to\mathcal E_i$ で書くが、主張はすべて同値類について述べる。原論文は同じ段で「$\mathrm{Grass}_n(\mathcal E)$ は階数 $n$ の局所自由な商加群の集合」と言い直す（印字 12-06）。

主結果と証明

まず旗を底変換で引き戻して関手を作る。次に、加群の側の三つの操作（全射との合成、成分への分解、外積とテンソル積）が旗の集合の間の写像を与えることを示し、最後にそれらが関手の準同型であることを確かめる。どれも逆像の右完全性と標準同型の両立に帰着する。

旗の関手

$\mathcal O_S$ 加群の同型 $\theta\colon\mathcal M\to\mathcal M'$ は、商 $q\colon\mathcal M\to\mathcal Q$ を商 $q\circ\theta^{-1}\colon\mathcal M'\to\mathcal Q$ に移し、核を $\theta$ で移す。これを同型による移し替えと呼ぶ。移し替えは旗を旗に移し、同型の合成について推移的である。

旗の逆像と旗の関手

$S$ を局所環付き空間、$\mathcal E$ を $\mathcal O_S$ 加群、$m=(m_1,\dots,m_p)$ を $0$ 以上の整数の増加列とする。
(1) 局所環付き空間の射 $g\colon S'\to S$ について、旗 $(\mathcal E_i)$（代表 $q_i\colon\mathcal E\to\mathcal E_i$）に、代表 $g^*q_i\colon g^*\mathcal E\to g^*\mathcal E_i$ の定める列を対応させる写像 $g^*\colon\mathrm{Drap}_m(\mathcal E)\to\mathrm{Drap}_m(g^*\mathcal E)$ が定まる。
(2) 局所環付き空間の射 $g'\colon S''\to S'$ について、$(g\circ g')^*$ は、$g'^*\circ g^*$ に標準同型 $(gg')^*\mathcal E\cong g'^*g^*\mathcal E$ による移し替えを合成したものに等しい。$\mathrm{id}_S^*$ は恒等写像である。
(3) $S$ 上の局所環付き空間 $T$ について $\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)(T)=\mathrm{Drap}_m(\mathcal E_{(T)})$ とし、$S$ 射 $f\colon T'\to T$ について、$\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)(f)$ を $f^*$ と標準同型 $f^*\mathcal E_{(T)}\cong\mathcal E_{(T')}$ による移し替えの合成とする。これは $S$ 上の局所環付き空間の圏の上の反変関手（前層）である。とくに $m=(n)$、$m=(1)$ の場合の関手を $\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)$、$\mathbf P(\mathcal E)$ と書く。

段 1（(1)）．上の補題（商と核）の (4) により $g^*q_i$ は全射で、その同値類は $q_i$ の同値類だけで決まる。本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (4) により $g^*\mathcal E_i$ は階数 $m_i$ の局所自由である。$q_i=\psi\circ q_{i+1}$ なら、$g^*$ は関手なので $g^*q_i=g^*\psi\circ g^*q_{i+1}$ で、$g^*\mathcal E_{i+1}$ は $g^*\mathcal E_i$ を押さえる。$p=0$ では空の列を空の列に送る。
段 2（(2)）．同じ定理の (1) の標準同型 $(gg')^*\cong g'^*g^*$ は加群について自然なので、$(gg')^*q_i$ は、源と目標の標準同型の下で $g'^*g^*q_i$ に対応する。目標の側の同型は同値類を変えないので、$(gg')^*q_i$ の類は $g'^*g^*q_i$ の類を源の標準同型で移し替えたものである。$\mathrm{id}^*$ は同じ定理の (1) の $\mathrm{id}^*\mathcal E\cong\mathcal E$ を挟むだけで、類を変えない。
段 3（(3)）．$\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)(\mathrm{id}_T)$ は段 2 により恒等写像である。$S$ 射 $T''\xrightarrow{f'}T'\xrightarrow{f}T$ について、$\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)(f\circ f')$ と $\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)(f')\circ\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)(f)$ は、段 2 により、どちらも $f'^*f^*$ に $\mathcal E_{(T'')}$ と $f'^*f^*\mathcal E_{(T)}$ の間の標準同型の組み合わせによる移し替えを合成したものである。同じ定理の (2) により、標準同型を組み合わせて同じ二つの加群の間に作った同型は等しいので、二つの写像は等しい。

証明は本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果「ベクトル束の関手の二重関手性」の段 1 と同じ型で、原論文が「明らかな推移性」と一言で済ませる所（印字 12-07）を標準同型の両立で埋めた。関手 $\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)$ の値は旗の集合で、原論文は記号に波下線を引いて集合と区別する。本書は太字で区別する。

旗の集合の間の写像

加群の側の操作から来る写像を置く。原論文は、全射を射とする加群の圏の上で $\mathrm{Drap}_m(\mathcal E)$ が $\mathcal E$ について反変になる、と言い表す（印字 12-07）。

全射から来る写像と成分への分解

$S$ を局所環付き空間、$\mathcal E$、$\mathcal F$ を $\mathcal O_S$ 加群とする。
(a) 全射 $w\colon\mathcal E\to\mathcal F$ について、$\mathcal F$ の旗（代表 $r_i\colon\mathcal F\to\mathcal F_i$）に代表 $r_i\circ w$ の定める列を対応させる写像 $\mathrm{Drap}_m(w)\colon\mathrm{Drap}_m(\mathcal F)\to\mathrm{Drap}_m(\mathcal E)$ が定まる。これは単射で、その像は、各成分の核が $\mathrm{Ker}\,w$ を含む旗の全体である。全射 $w'\colon\mathcal F\to\mathcal G$ について $\mathrm{Drap}_m(w'\circ w)=\mathrm{Drap}_m(w)\circ\mathrm{Drap}_m(w')$、$\mathrm{Drap}_m(\mathrm{id})=\mathrm{id}$ である。
(b) 旗をその成分の列に送る写像 $\mathrm{Drap}_m(\mathcal E)\to\prod_{i=1}^p\mathrm{Grass}_{m_i}(\mathcal E)$ は単射で、その像は、各 $1\le i< p$ で第 $i+1$ 成分が第 $i$ 成分を押さえる列の全体である。$p=0$ では右辺は一点集合で、写像は全単射である。

段 1（写像が定まる）．$r_i\circ w$ は全射の合成なので全射で、目標は変わらないので階数 $m_i$ の局所自由である。$r_i$ を同値な $\varphi\circ r_i$ に替えれば $\varphi\circ r_i\circ w$ で、類は変わらない。$r_i=\psi\circ r_{i+1}$ なら $r_iw=\psi\circ r_{i+1}w$ なので、押さえる関係も保たれる。
段 2（単射）．$\mathcal K_i=\mathrm{Ker}\,r_i$ とすると、$\mathrm{Ker}(r_iw)$ の茎は $w_x^{-1}(\mathcal K_{i,x})$ である（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の補題「茎による計算」の (3)）。$w_x$ は全射なので $w_x(w_x^{-1}(\mathcal K_{i,x}))=\mathcal K_{i,x}$ で、$w$ による $\mathrm{Ker}(r_iw)$ の像は $\mathcal K_i$ と茎が等しい部分加群である。同じ補題の (2) により像は $\mathcal K_i$ に等しい。ゆえに $\mathrm{Ker}(r_iw)$ から $\mathcal K_i$ が戻り、上の補題（商と核）の (3) により $r_i$ の類が戻る。
段 3（像）．像の旗の成分 $r_iw$ は $\mathrm{Ker}\,w$ を消す。逆に $\mathcal E$ の旗 $(q_i)$ の各核が $\mathrm{Ker}\,w$ を含むとする。上の補題（商と核）の (1) により $q_i=r_i\circ w$ となる全射 $r_i\colon\mathcal F\to\mathcal E_i$ がただ一つある。$q_i=\psi\circ q_{i+1}$ なら $r_iw=\psi r_{i+1}w$ で、$w$ は全射なので同じ補題の段 1 により $r_i=\psi r_{i+1}$ である。ゆえに $(r_i)$ は $\mathcal F$ の旗で、$(q_i)$ はその像である。
段 4（推移性と (b)）．$(r_iw')w=r_i(w'w)$ から推移性が出る。(b) は定義「型の旗」の (3) そのものである。

(a) にも (b) にも、$\mathcal E$ が有限表示であることは要らない。本書が有限表示を読み込む箇所は空間の水準の主張だけで、本書『3-2 閉はめ込み定理』で扱う。次に、階数を一つにする二つの操作を置く。

Plücker の写像と Segre の写像

$S$ を局所環付き空間、$\mathcal E$、$\mathcal F$ を $\mathcal O_S$ 加群とする。
(a) $\mathcal E$ の階数 $n$ の局所自由な商 $q\colon\mathcal E\to\mathcal E_1$ について、$\bigwedge^nq\colon\bigwedge^n\mathcal E\to\bigwedge^n\mathcal E_1$ は全射で、$\bigwedge^n\mathcal E_1$ は可逆である。$\bigwedge^nq$ の同値類は $q$ の同値類だけで決まり、写像 $\pi_{\mathcal E}\colon\mathrm{Grass}_n(\mathcal E)\to\mathrm P(\bigwedge^n\mathcal E)$ が定まる。これを Plücker の写像と呼ぶ。$n=0$ では $\bigwedge^0\mathcal E=\mathcal O_S$ で、$\pi_{\mathcal E}$ はただ一つの元（商 $\mathcal E\to0$）を $\mathrm P(\mathcal O_S)$ のただ一つの元（恒等写像の類）に送る。
(b) 可逆な商 $q\colon\mathcal E\to\mathcal L$、$r\colon\mathcal F\to\mathcal M$ について、$q\otimes r\colon\mathcal E\otimes\mathcal F\to\mathcal L\otimes\mathcal M$ は全射で、$\mathcal L\otimes\mathcal M$ は可逆である。$q\otimes r$ の同値類は $q$、$r$ の同値類だけで決まり、写像 $\sigma\colon\mathrm P(\mathcal E)\times\mathrm P(\mathcal F)\to\mathrm P(\mathcal E\otimes\mathcal F)$ が定まる。これを Segre の写像と呼ぶ。

段 1（全射）．本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (3) により、$\bigwedge^n$ は全射を全射に、全射どうしのテンソル積は全射に移す。
段 2（可逆）．同じ頁の定理「外積と双対の標準同型」の (2) により、階数 $n$ の局所自由の $\bigwedge^n$ は可逆で、可逆どうしのテンソル積は可逆である。
段 3（類で決まる）．$\varphi$、$\chi$ を同型として $q'=\varphi q$、$r'=\chi r$ とすると、$\bigwedge^n$ と $\otimes$ は関手なので $\bigwedge^nq'=\bigwedge^n\varphi\circ\bigwedge^nq$、$q'\otimes r'=(\varphi\otimes\chi)\circ(q\otimes r)$ で、$\bigwedge^n\varphi$、$\varphi\otimes\chi$ は同型である。
段 4（$n=0$）．階数 $0$ の局所自由は $0$ なので $\mathrm{Grass}_0(\mathcal E)$ は商 $\mathcal E\to0$ だけからなり、$\bigwedge^0$ はそれを $\mathrm{id}\colon\mathcal O_S\to\mathcal O_S$ に送る。$\mathcal O_S$ の可逆な商 $\mathcal O_S\to\mathcal L$ は、局所的に $\mathcal O\to\mathcal O$ の全射で、同じ階数の局所自由の間の全射なので同型である（同じ頁の定理「有限表示と局所自由の基本性質」の (4)）。ゆえに核は $0$ で、上の補題（商と核）の (3) により $\mathrm P(\mathcal O_S)$ は恒等写像の類だけからなる。

原論文は二つの写像をそれぞれ Plücker の写像、Segre の写像と名付け、根拠を「$n$ 次外積をとれば可逆な商が得られる」「テンソルをとれば可逆な商が得られる」とだけ書く（印字 12-07〜12-08）。段 1・段 2 がその根拠である。空間の水準の Plücker 射・Segre 射は、これらの写像が表現可能な関手の間の準同型になった後に得られる。

関手の準同型

四つの写像を $S$ 上の各空間 $T$ の上で作り、底変換と両立することを確かめる。関手の積は値ごとの積である。

標準の写像の関手性

$S$ を局所環付き空間、$\mathcal E$、$\mathcal F$ を $\mathcal O_S$ 加群とする。$S$ 上の局所環付き空間 $T$ について、次の写像は $T$ について自然で、関手の準同型を与える。
(a) 全射 $w\colon\mathcal E\to\mathcal F$ について、$\mathrm{Drap}_m(w_{(T)})\colon\mathbf{Drap}_m(\mathcal F)(T)\to\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)(T)$。ここで $w_{(T)}=p_T^*w$ は全射である。これにより関手の準同型 $\mathbf{Drap}_m(\mathcal F)\to\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)$ を得る。
(b) 成分への写像 $\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)(T)\to\prod_i\mathbf{Grass}_{m_i}(\mathcal E)(T)$。これにより $\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)\to\prod_i\mathbf{Grass}_{m_i}(\mathcal E)$ を得る。
(c) Plücker の写像 $\pi_{\mathcal E_{(T)}}$ に、標準同型 $\bigwedge^n(\mathcal E_{(T)})\cong(\bigwedge^n\mathcal E)_{(T)}$ による移し替えを合成した写像。これにより $\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)\to\mathbf P(\bigwedge^n\mathcal E)$ を得る。
(d) Segre の写像 $\sigma$（$\mathcal E_{(T)}$、$\mathcal F_{(T)}$ についてのもの）に、標準同型 $\mathcal E_{(T)}\otimes\mathcal F_{(T)}\cong(\mathcal E\otimes\mathcal F)_{(T)}$ による移し替えを合成した写像。これにより $\mathbf P(\mathcal E)\times\mathbf P(\mathcal F)\to\mathbf P(\mathcal E\otimes\mathcal F)$ を得る。

$S$ 射 $f\colon T'\to T$ をとり、各写像が $f$ に沿う引き戻しと可換であることを示す。
段 1（(a)）．$w_{(T)}$ が全射であることは本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (3) による。$\mathcal F_{(T)}$ の旗の成分 $r_i$ について、$f^*(r_i\circ w_{(T)})=f^*r_i\circ f^*w_{(T)}$ で、同じ定理の (1) の標準同型 $f^*\mathcal E_{(T)}\cong\mathcal E_{(T')}$、$f^*\mathcal F_{(T)}\cong\mathcal F_{(T')}$ は加群について自然なので、$f^*w_{(T)}$ はこの同型の下で $w_{(T')}$ に対応する。ゆえに、先に $w$ と合成してから引き戻しても、引き戻してから $w_{(T')}$ と合成しても、同じ類になる。
段 2（(b)）．引き戻しは成分ごとに行うので可換である。
段 3（(c)）．$f^*(\bigwedge^nq)$ は、同じ定理の (1) の標準同型 $f^*\bigwedge^n\cong\bigwedge^nf^*$ の下で $\bigwedge^n(f^*q)$ に対応する。(c) の写像を $T$ で作ってから引き戻したものと、引き戻してから $T'$ で作ったものは、$\bigwedge^n$ の標準同型と合成の標準同型を組み合わせた二つの同型 $\bigwedge^n(\mathcal E_{(T')})\to(\bigwedge^n\mathcal E)_{(T')}$ で移し替えた違いしかない。同じ定理の (2) により、標準同型を組み合わせて同じ二つの加群の間に作った同型は等しいので、二つは同じ類である。
段 4（(d)）．段 3 の $\bigwedge^n$ をテンソル積に替えて同じ議論をする。

これで §2 の関手の水準の段がすべて埋まった。原論文は「四つの写像は逆像の形成と両立するので、実際に関手の準同型を定める」とだけ書く（印字 12-08）。上の定理がその両立で、どこでも関手の値が表現可能かどうかは使っていない。関手の積 $\mathbf P(\mathcal E)\times\mathbf P(\mathcal F)$ は、$S$ 上の解析空間の圏では、表現可能なら二つの表す空間の $S$ 上のファイバー積で表される（本書『0-4 表現可能性の判定法』の補題「スライス圏」の (2)）。その存在は本書『2-2 Grassmann 束の存在』の主結果「Grassmann 束とその積の存在」で示す。

旗の読みと印字

四つの主結果の札に書いた足した仮定が、どこで効き、外すと何が壊れるかをまとめる。

旗の読み
  1. 原論文の定義 2.1（印字 12-06）は旗を「商加群の増加列」とだけ書く。本書は定義「型の旗」で、商を全射の同値類（上の補題（商と核）により核である部分加群）と読み、増加を「後の成分が前の成分を押さえる」と読んだ。後者は、原論文 §3 の一般の旗の段が旗の条件を「$(\mathcal E_{i+1})_{(T)}$ が $(\mathcal E_i)_{(T)}$ を押さえる」と書くこと（印字 12-12）と、階数の列 $m$ が増加であることに合う。本書はこれを足した仮定「旗の読み」と呼び、旗を使う主結果の札に書く。
  2. 商を同値類でなく全射そのものと読むと、同じ核をもつ全射は目標をどの同型な加群に取り替えてもよいので、全体は集合にならない。また引き戻しは目標の標準同型を除いてしか比べられず、たとえば $(ff')^*\mathcal Q$ と $f'^*f^*\mathcal Q$ は同型だが一般には等しくないので、主結果（旗の逆像と旗の関手）の (3) の等式 $\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)(f\circ f')=\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)(f')\circ\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)(f)$ が値の上で成り立たず、前層が定まらない。
  3. 増加の向きを逆に読み、$\mathcal E\to\mathcal E_{i+1}$ が $\mathcal E\to\mathcal E_i$ を経由することを要求すると、上の補題（商と核）の (1) により全射 $\mathcal E_i\to\mathcal E_{i+1}$ が要る。$m_i< m_{i+1}$ なら、空でない $T$ の点 $t$ で、既約ファイバーの全射 $k(t)^{m_i}\to k(t)^{m_{i+1}}$ が要ることになり（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (6)）、そのような写像は無い。したがって、ある $i< p$ で $m_i< m_{i+1}$ なら（とくに $p\ge2$ で $m$ が狭義増加なら）、空でないどの $T$ でも旗の集合は空になる。このとき、成分の組が旗になるのは押さえる関係が成り立つときに限るという原論文 §3 の判定（印字 12-12）が偽になる。これは本書『2-3 旗束の存在定理』の反例「反例：増加列の向きを逆に読むと旗の判定が崩れる」で確かめる。
  4. 本書の読みでは、同じ階数が続く $m_i=m_{i+1}$ の所で $\mathcal E_i=\mathcal E_{i+1}$ が強いられる（下の例「階数零と空の列と零の加群の旗」の (d)）。原論文の「suite croissante」は広義の増加と読め、本書もこの場合を除かない。

原論文の §2 の前半には、判読や記号の揺れがいくつかある。読み方をまとめておく。

印字の読み（§2 の前半）
  1. 定義 2.1 の後の段（印字 12-06）で可逆な商の集合を「F(ℰ) l'ensemble」と書くが、F の字は P の丸みが欠けた印字で、$\mathrm P(\mathcal E)$ と読む。直前の定義が $\mathrm P(\mathcal E)$ を導入している。
  2. 関手の準同型の段（印字 12-08）の最後の行は右辺を $\mathbf P(\mathcal E\times\mathcal F)$ と印字するが、$\mathbf P(\mathcal E\otimes\mathcal F)$ と読む。同じ頁の Segre の写像と、定義 2.2 の後の空間の射の列（印字 12-09）ではどちらも $\otimes$ である。
  3. Segre の写像と関手の準同型の左辺の $\times$ は、それぞれ集合の積と関手の積である。空間の水準の射の列（印字 12-09）の始域 $\mathcal P(\mathcal E)\times\mathcal P(\mathcal F)$ は、$S$ 上の解析空間の圏の積、すなわち $S$ 上のファイバー積 $\mathcal P(\mathcal E)\times_S\mathcal P(\mathcal F)$ と読む。これは誤りではなく記号の読みである。
  4. 命題 2.1 の直前（印字 12-08）の「(Cf. Introduction)」の参照先は、本講演に Introduction と題する節が無いので確定しない。本講演の前置きか、連作第 IV 回 Gro61iv の序の節かを本書は決めず、留保する。どちらでも数学には影響しない。
  5. 射影束の記号は、印字 12-06〜12-08 では立体の P、印字 12-09 以後は花文字の $\mathcal P$ で、同じものを指す。本書は立体の $\mathrm P$ を集合、太字の $\mathbf P$ を関手、花文字の $\mathcal P$ を表す空間に使い分ける。
  6. 原論文は定義 2.1 と命題 2.1、定義 2.2 と命題 2.2 に同じ番号を使う（印字 12-06、12-08、12-09）。本書は「定義 2.1（旗）」「命題 2.1（存在定理）」「定義 2.2（旗束の命名）」「命題 2.2（閉はめ込み定理）」と括弧で区別する。

例と反例

一点の上では、旗は古典的なベクトル空間の旗の双対になる。次に、階数や列の長さが $0$ の場合と、零の加群の場合を確かめる。

一点の上の旗とベクトル空間の旗

$S=e$（一点に $k$ を与えた空間。本書『0-3 解析空間と数空間』の定義「解析空間の定義」）とする。一点の上の層はただ一つの開集合での値で決まるので、$\mathcal O_e$ 加群は $k$ ベクトル空間 $V$ と同じもので、階数 $n$ の局所自由は $n$ 次元のことである。以下 $V=k^N$ とする。
(a) 上の補題（商と核）の (3) により、$V$ の商は部分空間 $K$ と一対一で、$\mathrm{Grass}_n(V)$ は余次元 $n$ の部分空間の集合、$\mathrm{Drap}_m(V)$ は部分空間の列 $K_1\supset\dots\supset K_p$ で $\dim V/K_i=m_i$ のものの集合である。零化空間 $K^\perp\subset V^*$（$K$ で消える一次形式の全体）は $(V/K)^*$ と同一視され $\dim K^\perp=\dim V/K$ なので、$K_i\mapsto K_i^\perp$ により型 $m$ の旗は双対空間 $V^*$ の部分空間の列 $K_1^\perp\subset\dots\subset K_p^\perp$（次元 $m_1\le\dots\le m_p$）、すなわち古典的な旗と一対一に対応する。
(b) $\mathrm P(V)$ は $V$ の超平面の集合で、本書『0-2 環付き空間の上の加群』の補題「体の上の線形代数」の (3) により $V^*$ の直線の集合と一対一である。本書の $\mathrm P(k^N)$ は、$k^N$ の直線の集合ではなく超平面の集合である（双対規約）。
(c) Plücker の写像を計算する。余次元 $n$ の $K$ について、$K^\perp$ の基底 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ をとると、$v\mapsto(\lambda_1(v),\dots,\lambda_n(v))$ は全射 $V\to k^n$ で核は $K$ なので、商 $V\to V/K$ の代表である。その $n$ 次外積は、同じ頁の補題「可換環の上のテンソル積と外積」の (4) の同一視 $\bigwedge^nk^n=k$ の下で、$v_1\wedge\dots\wedge v_n\mapsto\det(\lambda_i(v_j))$ という $\bigwedge^nV$ 上の一次形式である。ゆえに $\pi_V(K)$ は、この一次形式の核である $\bigwedge^nV$ の超平面である。
(d) Segre の写像は、超平面 $\mathrm{Ker}\,\lambda\subset V$、$\mathrm{Ker}\,\mu\subset W$ に、$v\otimes w\mapsto\lambda(v)\mu(w)$ の核である $V\otimes W$ の超平面を対応させる。

(c) の行列式は、後代の言葉では $K^\perp$ の Plücker 座標に当たる（下の「その後の発展」）。本書の規約では、Plücker の写像は部分空間 $K$ を直接ではなく、その零化空間の外積を通して射影空間の点に送る。

階数零と空の列と零の加群の旗

$S$ を局所環付き空間、$\mathcal E$ を $\mathcal O_S$ 加群とする。
(a) 階数 $0$ の局所自由は $0$ なので、$\mathrm{Grass}_0(\mathcal E)$ は商 $\mathcal E\to0$ だけからなる一点集合で、関手 $\mathbf{Grass}_0(\mathcal E)$ はどの $T$ でも一点をとる。
(b) $p=0$ では $\mathrm{Drap}_{()}(\mathcal E)$ は空の列だけからなる一点集合である。
(c) $\mathcal E=0$、$n\ge1$ とする。$0$ の商は $0\to0$ だけで、$S$ が空でなければ $0$ は階数 $n$ の局所自由でない（局所環付き空間の茎は局所環で $0$ でないので、$\mathcal O^n$ の茎は $0$ でない）。ゆえに $\mathrm{Grass}_n(0)$ は $S$ が空でなければ空で、$S=\emptyset$ なら一点である。関手 $\mathbf{Grass}_n(0)$ は、空でない $T$ で空、$T=\emptyset$ で一点をとる。
(d) $m_i=m_{i+1}$ なら、押さえる関係から全射 $\mathcal E_{i+1}\to\mathcal E_i$ があり（上の補題（商と核）の (1)）、同じ階数の局所自由の間の全射なので同型である（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「有限表示と局所自由の基本性質」の (4)）。ゆえに $\mathcal E_i=\mathcal E_{i+1}$ で、たとえば $\mathrm{Drap}_{(n,n)}(\mathcal E)$ は成分への写像で $\mathrm{Grass}_n(\mathcal E)\times\mathrm{Grass}_n(\mathcal E)$ の対角と一対一である。
(e) $\mathrm P(\mathcal O_S)$ は恒等写像の類だけからなる一点集合である（上の主結果（Plücker の写像と Segre の写像）の証明の段 4）。
(f) 空の空間の上では加群はすべて $0$ で、$0$ はどの階数の局所自由でもあるので、どの $m$ についても $\mathrm{Drap}_m(\mathcal E_{(\emptyset)})$ は一点である。旗の関手はどれも空の空間で一点をとる。

(f) は、次の頁で旗の関手が局所的であることを示すとき、空集合の空の被覆の条件を満たすことに当たる。(c) は、次の頁で Grassmann 束が空の空間で表される場合の最も簡単な例である。

その後の発展

以下は後代の文献の紹介である（本書は文献を開いて該当箇所を確かめていない）。

  • 商の Grassmann 関手（1961 年〜）：局所自由な商の関手としての Grassmann 関手は、同じ連作の第 IX 回 Gro61ix の Quot 関手・Hilbert 関手の最も簡単な場合である。代数幾何では、Grothendieck–Dieudonné の本の新版 EGA1n（1971 年）が Grassmann 関手の表現可能性と Plücker 射を扱い、Nitsure の解説 FGAex（2005 年）が Quot 関手の構成の中で同じ関手を扱うとされる。
  • Plücker 座標（19 世紀〜）：一点の上の例 (c) の行列式による記述は、古典的な Plücker 座標の双対版である。本書は射影空間を超平面の集合として扱うので、座標の向きが後代の多くの教科書と逆になる。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Gro61v である。印字頁は PDF の頁番号から 1 を引いたもの（PDF $n$ が印字 12-$(n-1)$）である。

本頁原論文印字頁
背景と動機の §2 の設定の段§2 冒頭（局所環付き空間 $S$、加群 $\mathcal E$、増加列 $m$）12-06
定義「型の旗」、補題「商と核」定義 2.1 とその後の段12-06
主結果「旗の逆像と旗の関手」§2 の関手化の段12-07
主結果「全射から来る写像と成分への分解」§2 の全射からの写像と成分への写像の段12-07
主結果「Plücker の写像と Segre の写像」§2 の外積とテンソル積の段12-07〜12-08
主結果「標準の写像の関手性」§2 の関手の準同型の段12-08
背景と動機の解析空間に限る段命題 2.1 の直前12-08
注意「旗の読み」定義 2.1、§3 の一般の旗の段12-06、12-12
注意「印字の読み（§2 の前半）」定義 2.1 の後の段、関手の準同型の段、命題 2.1 の直前、定義 2.2 の後の射の列12-06、12-08〜12-09

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Alexander Grothendieck, Schémas et espaces analytiques, Séminaire de Géométrie algébrique, Institut des Hautes Études Scientifiques, Paris, 1961
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Alexander Grothendieck, Techniques de construction en géométrie analytique. III. Produits fibrés d'espaces analytiques（exposé n° 10）, Séminaire Henri Cartan, Familles d'espaces complexes et fondements de la géométrie analytique 13e année (1960/61), tome 13, n° 1, 1961, 1–11
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Alexander Grothendieck, Techniques de construction en géométrie analytique. IX. Quelques problèmes de modules（exposé n° 16）, Séminaire Henri Cartan, Familles d'espaces complexes et fondements de la géométrie analytique 13e année (1960/61), tome 13, n° 2, 1961, 1–20
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