0-5 閉部分空間と零点と積

$Z=Z(\mathcal J)$ と書く。
段 1（(a) の前から後）．$g=i\circ h$ とする。$i$ の層の射 $\mathcal O_X\to i_*\mathcal O_Z=\mathcal O_X/\mathcal J$ は $\mathcal J$ を $0$ に送るので、$g$ の層の射 $\mathcal O_X\to g_*\mathcal O_T$ も $\mathcal J$ を $0$ に送る。随伴（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「環付き空間と層の貼り合わせ」の $g^{-1}\dashv g_*$）で言い換えると、$g^{-1}\mathcal J\to\mathcal O_T$ は $0$ で、$\mathcal J\mathcal O_T=0$ である。
段 2（(a) の後から前：底の写像）．$\mathcal J\mathcal O_T=0$ とする。点 $t\in T$ と $x=g(t)$ について、$x\notin\mathrm{Supp}(\mathcal O_X/\mathcal J)$ なら $\mathcal J_x=\mathcal O_{X,x}$ で、$1\in\mathcal J_x$ の像 $1\in\mathcal O_{T,t}$ が $0$ になり、$\mathcal O_{T,t}\ne0$ に反する。ゆえに $g(T)\subset Z$ で、$g$ は連続写像 $h\colon T\to Z$（$Z$ の部分空間の位相）を経由する。
段 3（(a) の後から前：層の射）．段 1 の随伴の言い換えを逆にたどると、$g$ の層の射 $\mathcal O_X\to g_*\mathcal O_T$ は $\mathcal J$ を $0$ に送り、層の商 $\mathcal O_X/\mathcal J=i_*\mathcal O_Z$ を一意に経由する。$g_*\mathcal O_T=i_*h_*\mathcal O_T$ なので、射 $i_*\mathcal O_Z\to i_*h_*\mathcal O_T$ を得る。閉集合への包含では $i^{-1}i_*$ は恒等（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「環付き空間と層の貼り合わせ」）なので、これは $k$ 代数の層の射 $\mathcal O_Z\to h_*\mathcal O_T$ と同じで、$h$ と組んで射 $T\to Z$ を与える。構成により $i\circ h=g$ である。経由の一意性は、部分環付き空間の包含 $i$ が単射であること（本書『0-3 解析空間と数空間』の定理「解析空間の開部分空間とはめ込み」の (3)）による。最後の文は、(3) の定義の $(\mathcal J\mathcal O_T)\mathcal O_{T'}=\mathcal J\mathcal O_{T'}$ により $\{g:\mathcal J\mathcal O_T=0\}$ が部分前層になることと、本書『0-4 表現可能性の判定法』の注意「米田の約束」の (3) による。
段 4（(b)）．$Z'=Z(\mathcal J\mathcal O_{X'})$、$i'\colon Z'\to X'$ を包含とする。$\mathcal J\mathcal O_{Z'}=(\mathcal J\mathcal O_{X'})\mathcal O_{Z'}=0$ なので、(a) により $g\circ i'$ は射 $b\colon Z'\to Z$ を一意に経由する。射 $a\colon T\to Z$、$c\colon T\to X'$ が $i\circ a=g\circ c$ を満たすとする。段 1 により $\mathcal J\mathcal O_T=0$（$g\circ c$ による引き戻し）で、これは $(\mathcal J\mathcal O_{X'})\mathcal O_T=0$（$c$ による引き戻し）と同じなので、(a) により $c=i'\circ c'$ となる $c'\colon T\to Z'$ がただ一つある。$i\circ b\circ c'=g\circ i'\circ c'=g\circ c=i\circ a$ で、$i$ は単射なので $b\circ c'=a$ である。ゆえに $(Z';i',b)$ はファイバー積である。$(\mathrm{An})_{/S}$ でも同じものがファイバー積である（本書『0-4 表現可能性の判定法』の補題「スライス圏」の (2)）。閉はめ込み $f=i\circ\varphi$（$\varphi$ は同型）に沿うファイバー積も、$Z\times_XX'$ に同型を合成したものとして存在する。ファイバー積の別の選び方は、射影に源の同型を合成したものになるので、射影はどの選び方でも閉はめ込みである。
段 5（(c)）．$Y=Z(\mathcal J)$ の有限型のイデアル $\mathcal J'$ と、$\mathcal O_X\to\mathcal O_X/\mathcal J=i_*\mathcal O_Y$ による $i_*\mathcal J'$ の逆像 $\mathcal J''$ を考える。$\mathcal J''$ は、局所的に $\mathcal J$ の生成元と $\mathcal J'$ の生成元の持ち上げで生成される（層の全射の切断は局所的に持ち上がる）ので、有限型である。射 $T\to X$ が $\mathcal J''$ を引き戻して $0$ にすることは、$\mathcal J$ を $0$ にし（(a) により $Y$ を経由し）、そのうえで $\mathcal J'$ を $0$ にすることと同じである。ゆえに (a) により、$Y$ の閉部分空間 $Z_Y(\mathcal J')$ と $Z(\mathcal J'')$ は $h_X$ の同じ部分前層を表し、注意「米田の約束」の (1)〜(3) により、この同型は $X$ への射と両立する（$X$ 上の同型である）。したがって包含の合成は閉はめ込みで、同型を挟んだ一般の閉はめ込みの合成も閉はめ込みである。後半は、(a) により、射が $Z(\mathcal J_1)$ と $Z(\mathcal J_2)$ をともに経由することが $\mathcal J_1+\mathcal J_2$ を引き戻して $0$ にすることと同じだからである。
段 6（(d)）．$\mathcal J=\mathrm{Ker}(\mathcal O_X\to f_*\mathcal O_Y)$ とする。$X_\lambda$ の上では、$f^{-1}(X_\lambda)\to X_\lambda$ は同型と $Z(\mathcal J_\lambda)$ の包含の合成なので、$\mathcal O_{X_\lambda}\to\mathcal O_{X_\lambda}/\mathcal J_\lambda$ の核として $\mathcal J|_{X_\lambda}=\mathcal J_\lambda$ であり、$\mathcal J$ は有限型である。$f$ は $\mathcal J$ を $0$ に送るので、(a) により射 $h\colon Y\to Z(\mathcal J)$ を経由し、$h$ は各 $X_\lambda$ の上で同型 $f^{-1}(X_\lambda)\to Z(\mathcal J)\cap X_\lambda$ である。局所的な逆射は重なりで一致する（逆射は一意）ので、本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「環付き空間と層の貼り合わせ」により貼り合わさって $h$ の逆射になる。ゆえに $f$ は閉はめ込みである。
段 7（(e)）．$g\circ f$ を同型と $Z(\mathcal J_1)\subset W$ の包含の合成とし、$\mathcal J=\mathcal J_1\mathcal O_Y$（$g$ による引き戻し）とおく。射 $y\colon T\to Y$ について、$\mathcal J\mathcal O_T=0$ は $\mathcal J_1\mathcal O_T=0$（$g\circ y$ による引き戻し）と同じで、(a) により $g\circ y$ が $g\circ f$ を経由すること、すなわち $g\circ y=g\circ f\circ x$ となる $x\colon T\to X$ があることと同じである。(f)（下の段 8。(a) だけから出る）により $g$ は単射なので、これは $y=f\circ x$ と同じである。(f) により $g\circ f$ も単射なので $f$ も単射で、$x$ は一意である。ゆえに $h_X\to h_Y$（$f$ との合成）は、$h_Y$ の部分前層 $\{y:\mathcal J\mathcal O_T=0\}$ への同型で、(a) によりこの部分前層は $Z_Y(\mathcal J)$ が表す。注意「米田の約束」の (1)〜(3) により、$f$ は $X$ から $Z_Y(\mathcal J)$ への同型と包含の合成である。
段 8（(f)）．(a) の一意性により、包含 $i$、したがって同型との合成も単射である。底の写像は閉集合 $\mathrm{Supp}(\mathcal O_X/\mathcal J)$ への包含と同相の合成である。

段 1（局所的な生成元）．$T$ の開集合 $W$ で、$\mathcal L|_W$ が $\mathcal O_W^r$ と同型で、$\mathcal K|_W$ が切断 $x_1,\dots,x_s$ で生成されるものをとる。$\mathcal O_W^r$ の座標の射影を $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ とすると、$\check{\mathcal L}|_W$ は $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ を基底とする自由加群で、$\mathcal K\otimes\check{\mathcal L}$ は $W$ の上で $x_l\otimes\lambda_j$ で生成される。ゆえに $\mathcal J_c$ は $W$ の上で関数 $\lambda_j(c(x_l))$（$1\le j\le r$、$1\le l\le s$）で生成される。このような $W$ は $T$ を覆うので、(1) が成り立つ。
段 2（引き戻しの計算）．条件 $g^*c=0$ と $\mathcal J_c\mathcal O_{T'}=0$ はどちらも $T'$ の上で局所的なので、$g^{-1}(W)$ の上で比べればよい。逆像は右完全なので、$g^*\mathcal K$ は $g^*x_l$ で生成され、$g^*\mathcal L$ は $g^*\lambda_1,\dots,g^*\lambda_r$ を座標とする自由加群である（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」）。加群の射の合成の逆像は逆像の合成で、関数の定める $\mathcal O\to\mathcal O$ の逆像は、引き戻した関数による掛け算なので、$(g^*\lambda_j)(g^*c(g^*x_l))=g^\sharp(\lambda_j(c(x_l)))$ である。したがって $g^*c=0$ は、すべての $j$、$l$ で $g^\sharp(\lambda_j(c(x_l)))=0$ であることと同値で、定義「閉部分空間とイデアルの引き戻し」の (3) により、これは $\mathcal J_c\mathcal O_{T'}=0$ と同値である。
段 3（表現）．(2) と上の補題（閉部分空間の普遍性と閉はめ込みの計算）の (a) により、$g^*c=0$ は $g$ が $Z(\mathcal J_c)$ を経由することと同値で、経由の仕方はただ一つである。$(\mathrm{An})_{/S}$ では、$Z(\mathcal J_c)$ に構造射の制限を与えればよい。最後の文は $\check{\mathcal O_T}=\mathcal O_T$ から明らかである。

段 1（余核）．$\mathcal C=\mathrm{Coker}\,\alpha$ は有限型 $\mathcal B$ の商なので有限型である。$\otimes k(t)$ は右完全なので $\mathcal C(t)=\mathrm{Coker}\,\alpha(t)$ で、$t\in U_\alpha$ は $\mathcal C(t)=0$ と同値である。
段 2（(1)）．$t\in U_\alpha$ なら、本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「中山の補題」（層の形）により $t$ の近傍で $\mathcal C=0$ で、その近傍の点はすべて $U_\alpha$ に入る。ゆえに $U_\alpha$ は開で、その上で $\mathcal C=0$、すなわち $\alpha$ は全射である。逆に $\alpha_t$ が全射なら $\mathcal C_t=0$ で $\mathcal C(t)=0$、$t\in U_\alpha$ である。
段 3（(2)）．逆像は右完全なので $\mathrm{Coker}(g^*\alpha)=g^*\mathcal C$ で、これも有限型である。点 $t'\in T'$ と $t=g(t')$ について、
$$(g^*\mathcal C)(t')=\mathcal C_t\otimes_{\mathcal O_{T,t}}\mathcal O_{T',t'}\otimes_{\mathcal O_{T',t'}}k(t')=\mathcal C(t)\otimes_{k(t)}k(t')$$
で、茎の射は局所的な $k$ 代数の射なので剰余体の射 $k(t)\to k(t')$ は $k$ の恒等写像である（本書『0-3 解析空間と数空間』の定理「局所環の剰余体」と補題「剰余体が基礎体の局所代数の射」）。ゆえに $(g^*\mathcal C)(t')=\mathcal C(g(t'))$ である。$g^*\alpha$ が全射であることは $g^*\mathcal C=0$ と同じで、中山の補題（層の形）により、これはすべての $t'$ で $(g^*\mathcal C)(t')=0$ であること、すなわちすべての $t'$ で $g(t')\in U_\alpha$ であることと同じである。
段 4（(3)）．(2) と本書『0-4 表現可能性の判定法』の補題「開部分空間が表す前層」による。

段 1（局所性）．$T$ の開集合 $U$ について $\Gamma^p(U)=\Gamma(U,\mathcal O_T)^p$ で、構造層は層なので、$\Gamma^p$ は各 $T$ の開集合の上で層の条件を満たす。空集合では $\Gamma(\emptyset,\mathcal O_T)=0$ で $\Gamma^p(\emptyset)$ は一点なので、空の被覆についても条件が成り立つ。ゆえに $\Gamma^p$ は局所的である（本書『0-4 表現可能性の判定法』の定義「局所的な関手」）。
段 2（模型への帰着）．本書『0-3 解析空間と数空間』の定義「解析空間の定義」により、$S$ は開集合 $S_\lambda$ で覆われ、各 $S_\lambda$ は、ある $k^N$（$N$ は $\lambda$ による）の開集合 $\Omega_\lambda$ の上の有限型のイデアル $\mathcal J_\lambda$ の閉部分空間 $Z(\mathcal J_\lambda)$ に同型である。ここで $\Omega_\lambda$ は $E^N$ の開部分空間とみる。本書『0-4 表現可能性の判定法』の定理「底の開被覆による表現可能性の判定」と段 1 により、各 $\lambda$ について $\Gamma^p$ の $(\mathrm{An})_{/S_\lambda}$ への制限が表現可能であることを示せばよい。以下 $\lambda$ を固定し、$S_\lambda$ を $Z(\mathcal J_\lambda)$ と同一視する。
段 3（数空間への射）．本書『0-3 解析空間と数空間』の定理「数空間への射と大域関数」により、射 $w\colon T\to E^{N+p}$ は、座標関数の引き戻しの組 $(a,b)\in\Gamma(T,\mathcal O_T)^N\times\Gamma(T,\mathcal O_T)^p$ と一対一に対応し、この対応は $T$ について自然である。点 $t$ について、座標関数 $z_i$ から $w(t)$ での値を引いたものは $w(t)$ の局所環の極大イデアルに入り、茎の射は局所的なので、その引き戻しは $t$ の局所環の極大イデアルに入る。ゆえに $w(t)$ の座標は、$a$、$b$ の成分の $t$ での値 $(a(t),b(t))$ である。$W_\lambda$ を $\Omega_\lambda\times k^p$ の上の $E^{N+p}$ の開部分空間とする。本書『0-3 解析空間と数空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」により、$w$ が $W_\lambda$ を経由すること（経由の仕方はただ一つ）は、すべての $t$ で $a(t)\in\Omega_\lambda$ となることと同値で、同じことが $\Omega_\lambda$ への射と $a$ についても成り立つ。最初の $N$ 個の座標の定める射 $\rho_\lambda\colon W_\lambda\to\Omega_\lambda$ をとると、$w\mapsto(\rho_\lambda\circ w,b)$ は $T$ について自然な全単射 $\mathrm{Hom}(T,W_\lambda)\cong\mathrm{Hom}(T,\Omega_\lambda)\times\Gamma(T,\mathcal O_T)^p$ を与える。
段 4（閉部分空間を切る）．$W'_\lambda=Z(\mathcal J_\lambda\mathcal O_{W_\lambda})$（$\rho_\lambda$ による引き戻し）とする。上の補題（閉部分空間の普遍性と閉はめ込みの計算）の (a) と、定義「閉部分空間とイデアルの引き戻し」の (3) の推移性により、$w\colon T\to W_\lambda$ が $W'_\lambda$ を経由することは、$\rho_\lambda\circ w$ が $\mathcal J_\lambda$ を引き戻して $0$ にすること、すなわち $\rho_\lambda\circ w$ が $Z(\mathcal J_\lambda)=S_\lambda$ を経由することと同値である。段 3 と合わせて、$T$ について自然な全単射 $\mathrm{Hom}(T,W'_\lambda)\cong\mathrm{Hom}(T,S_\lambda)\times\Gamma(T,\mathcal O_T)^p$ を得る。$W'_\lambda$ に第一成分の射 $W'_\lambda\to S_\lambda$ を構造射として与えると、$S_\lambda$ 上の $T$ について $\mathrm{Hom}_{S_\lambda}(T,W'_\lambda)\cong\Gamma^p(T)$ となり、$W'_\lambda$ は $\Gamma^p$ の $(\mathrm{An})_{/S_\lambda}$ への制限を表す。
段 5（(1)）．段 2 の帰着により、$\Gamma^p$ は $(\mathrm{An})_{/S}$ 上で表現可能である。
段 6（(2)）．任意の解析空間 $T$ について、$T$ から $S\times E^p$ への射は、$S$ への射 $s$ と、$s$ で $T$ を $S$ 上の空間とみたときの $S$ 射に分かれるので、
$$\mathrm{Hom}(T,S\times E^p)=\coprod_{s\in\mathrm{Hom}(T,S)}\Gamma(T,\mathcal O_T)^p=\mathrm{Hom}(T,S)\times\Gamma(T,\mathcal O_T)^p\cong\mathrm{Hom}(T,S)\times\mathrm{Hom}(T,E^p)$$
である（最後は本書『0-3 解析空間と数空間』の定理「数空間への射と大域関数」）。この全単射は $T$ について自然で、二つの射影との合成で与えられるので、$S\times E^p$ は積である。
段 7（(3)）．本書『0-3 解析空間と数空間』の補題「一点の解析空間と終対象」の (1) により、$e$ から解析空間 $X$ への射は、点 $x$ と $k$ 代数の射 $\mathcal O_{X,x}\to k$ の組と一対一で、後者は局所的（補題「剰余体が基礎体の局所代数の射」）なので剰余写像に限る。ゆえに $X$ の点は $\mathrm{Hom}(e,X)$ と一対一で、(2) により $S\times E^p$ の点は $\mathrm{Hom}(e,S)\times\mathrm{Hom}(e,E^p)=S\times k^p$ と一対一である。位相を調べる。$S\times E^p$ の中で $S_\lambda$ の上にある開部分空間 $Y_\lambda$ は、本書『0-3 解析空間と数空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」により $(S\times E^p)\times_SS_\lambda$ で、本書『0-4 表現可能性の判定法』の定理「スライス圏の間の底変換」により $\Gamma^p$ の $(\mathrm{An})_{/S_\lambda}$ への制限を表す。したがって $Y_\lambda$ と $W'_\lambda$ は $S_\lambda$ 上同型で、同型は点の対応（どちらも $e$ からの射で読む）を保つ。$W'_\lambda$ の底は、$\mathcal J_\lambda\mathcal O_{W_\lambda}$ の茎が単位イデアルになるのは像の点が $\mathrm{Supp}(\mathcal O/\mathcal J_\lambda)$ の外にあるときに限る（茎の射が局所的なので）ことから、$W_\lambda$ の閉集合 $\rho_\lambda^{-1}(S_\lambda)=S_\lambda\times k^p$ で、位相は $\Omega_\lambda\times k^p$ の部分空間の位相、すなわち $S_\lambda$ と $k^p$ の積位相である。集合 $S_\lambda\times k^p$ は、$S\times E^p$ の位相でも積位相でも開で、全体を覆い、その上で二つの位相は一致するので、全体でも一致する。
段 8（(4)）．$\mathcal O_T^p$ から $\mathcal O_T$ への射は、基底の像である $p$ 個の大域関数と一対一である（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「外積と双対の標準同型」の (5)）。この対応が逆像と両立すること、すなわち $S$ 射 $h\colon T'\to T$ について $h^*\mathcal O_T^p\cong\mathcal O_{T'}^p$ が基底 $1\otimes e_l$ を $e_l$ に送り、$h^*\varphi$ が $1\otimes e_l$ を $1\otimes\varphi(e_l)=h^\sharp(\varphi(e_l))$ に送ることは、本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (1)(2) による。ゆえに二つの前層は同型で、(1) の空間が表す。（(4) の関手の値を本書『1-1』が $V(\mathcal O_S^p)$ として使うのにも、$(\mathcal O_S^p)_{(T)}\cong\mathcal O_T^p$ という同じ定理の (1) の標準同型が要る。）