3-2 閉はめ込み定理

全射・成分への分解・外積・テンソル積から来る四つの射が閉はめ込みであるという原論文の命題 2.2 を、証明を補ってまとめる。Plücker 射は、底の上で局所化し、全射による消去で自由な加群に帰着し、標準の開集合が射影束を覆うことを使って、前の頁の局所計算に落とす。原論文が「類似でより簡単」とだけ書いた Segre 射も同じ方法で示す。命題 2.2 の文が有限表示を書き落とした所の読みも述べる。
前提知識: 閉はめ込み, Grassmann多様体, 射影空間, Segre埋め込み, 旗多様体, 解析空間

この頁で示すこと

$S$ を解析空間とし、関手は $S$ 上の解析空間の圏 $(\mathrm{An})_{/S}$ の上で考える。$\mathcal E$、$\mathcal F$ を $\mathcal O_S$ 加群、$m=(m_1,\dots,m_p)$ を $0$ 以上の整数の増加列、$n\ge0$ を整数とする。旗束・Grassmann 束・射影束は本書『2-3 旗束の存在定理』の定義「旗束」のもので、Plücker 射 $\pi_{\mathcal E}$ と Segre 射 $\sigma_{\mathcal E,\mathcal F}$ は下の定義「Plücker 射と Segre 射」で置く。
本頁の主結果は次の三つである。

1. Plücker 射の閉はめ込み（原論文 §3 の Plücker 射の段、印字 12-12〜12-14）：$\mathcal E$ が有限表示なら、Plücker 射 $\pi_{\mathcal E}\colon\underline{\mathrm{Grass}}_n(\mathcal E)\to\mathcal P(\bigwedge^n\mathcal E)$ は閉はめ込みである。［条件付き：本書『3-1 Plücker 射の局所計算』の主結果「Plücker 射の標準の開集合での計算」、本書『2-2 Grassmann 束の存在』の主結果「Grassmann 束とその積の存在」、本書『2-3 旗束の存在定理』の主結果「全射から来る旗束の閉はめ込み」による。本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「閉部分空間の普遍性と閉はめ込みの計算」と本書『0-3 解析空間と数空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」を引用。足した仮定：旗の読み］
2. Segre 射の閉はめ込み（原論文 §3 の「類似でより簡単」の一文、印字 12-12）：$\mathcal E$、$\mathcal F$ が有限表示なら、Segre 射 $\sigma_{\mathcal E,\mathcal F}\colon\mathcal P(\mathcal E)\times_S\mathcal P(\mathcal F)\to\mathcal P(\mathcal E\otimes\mathcal F)$ は閉はめ込みである。始域は本書『2-2 Grassmann 束の存在』の主結果「Grassmann 束とその積の存在」で存在する。［条件付き：主結果 1 と同じ引用に加え、本書『3-1 Plücker 射の局所計算』の補題「直和因子の上で同型になる商」「直和のベクトル束は積」「ベクトル束への射のグラフ」と本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果「ベクトル束の存在」による。本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「全射になる点の開集合」を引用。足した仮定：旗の読み、有限表示の読み］
3. 閉はめ込み定理（原論文の命題 2.2、印字 12-09）：有限表示の加群の全射 $\mathcal E\to\mathcal F$ から来る射 $\underline{\mathrm{Drap}}_m(\mathcal F)\to\underline{\mathrm{Drap}}_m(\mathcal E)$、旗を成分に送る射 $\underline{\mathrm{Drap}}_m(\mathcal E)\to\prod_i\underline{\mathrm{Grass}}_{m_i}(\mathcal E)$、Plücker 射、Segre 射の四つの $S$ 射は、どれも閉はめ込みである（$\mathcal E$、$\mathcal F$ は有限表示）。［条件付き：主結果 1・2、本書『2-3 旗束の存在定理』の主結果「旗束の Grassmann 束の積への閉はめ込み」「全射から来る旗束の閉はめ込み」による。足した仮定：旗の読み、有限表示の読み］
   三つとも、空間の存在を Grassmann 束の存在から受け取り、その先で本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果「ベクトル束の存在」を通して連作第 III 回 Gro61iii の定理に依るので、［条件付き］で「解析空間の定義の下では完結」の句を添えない。証明はほかに、本書『0-4 表現可能性の判定法』の定理「スライス圏の間の底変換」「点の関手の充満忠実性」（第 9 巻『表現可能関手の一般形式』で［完結］）、本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の主結果「全射から来る写像と成分への分解」「標準の写像の関手性」、本書『2-2 Grassmann 束の存在』の主結果「旗の関手の局所性」の (2)、本書『0-2 環付き空間の上の加群』で証明した加群の事実（どれも完結の入力）を使う。札の「有限表示の読み」は、命題 2.2 の文が書き落とした有限表示を補う本書の読みで、下の注意「有限表示の読み」で述べる。

背景と動機

原論文 §2 は、旗の関手の四つの準同型（本書『2-1 旗の関手と標準の写像』）が表す空間の間の四つの $S$ 射を与えることを述べ、命題 2.2 で「上の射は閉はめ込みである」と主張する（印字 12-09）。証明は §3 に回される。§3 は存在定理を示したあと、第 1 の射（全射から来る射）を「全く同様」に示し（印字 12-12）、第 2 の射（成分への射）を一般の旗の段で示し（印字 12-11〜12-12。本書『2-3 旗束の存在定理』）、残る二つについて「Plücker 射について示す。Segre 射の場合の証明は類似でより簡単である」と述べる（印字 12-12）。
Plücker 射の証明は二段からなる。帰着の段（印字 12-12〜12-13）は、問題が $S$ の上で局所的であることから $\mathcal E$ を有限個の切断で生成される加群とし、前段の結果により $\mathcal E=\mathcal O_S^m$ の場合に帰着して、$n$ 元部分集合 $H$ ごとの開集合 $X_H$、$Y_H$ の上の問題にする。計算の段（印字 12-13〜12-14）が本書『3-1 Plücker 射の局所計算』である。
古典的には、これは Plücker 埋め込みと Segre 埋め込みが閉じた埋め込みであることの相対版である。ただし本書の射影束は超平面の集合なので（本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の例「一点の上の旗とベクトル空間の旗」）、Plücker 射は余次元 $n$ の部分空間に $n$ 次外積の超平面を対応させる。原論文は帰着の段で、局所化・消去・被覆の三つの一歩を一言か無言で済ませる。本頁はそれを順に補う。

定義と準備

四つの射に名前を付け、証明で使う事実を並べる。

引用する事実

次の事実を本書の第 0 章と前の頁から使う。第 0 章の頁の結果の出典は、第 9 巻（原論文が引く第 IV 回 Gro61iv）と第 0 章の各頁の案内のとおりである。表現可能な前層の間の射を表す空間の射とみることは、本書『0-4 表現可能性の判定法』の注意「米田の約束」に従って断らずに行う。

1. 閉部分空間の普遍性と閉はめ込みの計算（本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題）：(b) 閉はめ込みの全体は $(\mathrm{An})_{/S}$ で底変換で安定である（ファイバー積のどの選び方でも射影は閉はめ込み）。(c) 閉はめ込みの合成は閉はめ込みである。同型は閉はめ込みである（同じ頁の定義「閉部分空間とイデアルの引き戻し」の (1)(2)、イデアル $0$）。(d) 射 $f\colon X\to Y$ と $Y$ の開被覆 $(Y_\lambda)$ について、各 $f^{-1}(Y_\lambda)\to Y_\lambda$ が閉はめ込みなら $f$ は閉はめ込みである。(e) $g$ と $g\circ f$ が閉はめ込みなら $f$ は閉はめ込みである。
2. 開はめ込みの底変換と非交和（本書『0-3 解析空間と数空間』の命題）の (1)(3)：$S$ 上の空間 $X$（構造射 $p_X$）と $S$ の開集合 $S_\lambda$ について、開集合 $p_X^{-1}(S_\lambda)$ の開部分空間は $(\mathrm{An})_{/S}$ のファイバー積 $X\times_SS_\lambda$ である。
3. スライス圏の間の底変換（本書『0-4 表現可能性の判定法』の定理。第 9 巻で［完結］）：$(\mathrm{An})_{/S}$ 上の前層 $G$ が $X$ で表され、$S'$ が $S$ 上の空間でファイバー積 $X\times_SS'$ が存在するなら、$X\times_SS'$ は $G$ の $(\mathrm{An})_{/S'}$ への制限を表す。
4. Grassmann 束とその積の存在（本書『2-2 Grassmann 束の存在』の主結果）：(1) 有限表示の加群 $\mathcal E^{(1)},\dots,\mathcal E^{(l)}$（$l\ge0$）と整数 $n_j\ge0$ について $\prod_j\mathbf{Grass}_{n_j}(\mathcal E^{(j)})$ は表現可能である。(2) $\mathcal E$ が $S$ の上の切断の族 $(f_i)_{i\in I}$ で生成されるなら、$n$ 元部分集合 $H$ ごとの標準の開部分関手 $F_H$（同じ頁の定義「標準の開部分関手」。代表 $q$ と $\varphi_H$ の合成が全射になる商）を表す射は開はめ込みで、その像たちは $\underline{\mathrm{Grass}}_n(\mathcal E)$ を覆う。
5. 旗束の存在定理と全射から来る旗束の閉はめ込みと旗束の Grassmann 束の積への閉はめ込み（本書『2-3 旗束の存在定理』の主結果）：$\mathcal E$ が有限表示なら旗束 $\underline{\mathrm{Drap}}_m(\mathcal E)$ が存在し、旗を成分に送る射 $\underline{\mathrm{Drap}}_m(\mathcal E)\to\prod_i\underline{\mathrm{Grass}}_{m_i}(\mathcal E)$ は閉はめ込みである。有限表示の加群の全射 $w\colon\mathcal E\to\mathcal F$ について、$\mathbf{Drap}_m(\mathcal F)\to\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)$（成分の代表に $w_{(T)}$ を合成する準同型）に対応する射 $\underline{\mathrm{Drap}}_m(\mathcal F)\to\underline{\mathrm{Drap}}_m(\mathcal E)$ は閉はめ込みである。
6. Plücker 射の標準の開集合での計算（本書『3-1 Plücker 射の局所計算』の主結果）：$\mathcal E=\mathcal E'\oplus\mathcal E''$、$\mathcal E'$ は階数 $n$ の局所自由、$\mathcal E''$ は有限表示とする。$\underline{\mathrm{Grass}}_n(\mathcal E)$ の部分関手 $X'$（$\mathcal E'$ への制限が同型になる商）と $\mathcal P(\bigwedge^n\mathcal E)$ の部分関手 $Y'$（$\bigwedge^n\mathcal E'$ への制限が同型になる可逆な商）は開部分空間で表され、$X'=\pi^{-1}(Y')$ で、$X'\to Y'$ は閉はめ込みである。$n\ge1$ なら $X'$ は $\mathbf V_P=V(\check{\mathcal E}'\otimes\mathcal E'')$ に同型で、$T$ 点の上では $u\in\mathrm{Hom}(\mathcal E''_{(T)},\mathcal E'_{(T)})$ に商 $\rho_u\colon\mathcal E'_{(T)}\oplus\mathcal E''_{(T)}\to\mathcal E'_{(T)}$、$(x',x'')\mapsto x'+u(x'')$ が当たる（同じ頁の補題「直和因子の上で同型になる商」）。
7. 直和のベクトル束は積とベクトル束への射のグラフ（同じ頁の補題）：有限表示の $\mathcal B_j$ について $V(\bigoplus_j\mathcal B_j)$ は $S$ 上のファイバー積 $\prod_jV(\mathcal B_j)$ で、$T$ 点の上では一次形式を成分への制限の組に送る。有限表示の $\mathcal A$、$\mathcal B$ と $S$ 射 $\psi\colon V(\mathcal A)\to V(\mathcal B)$ について、グラフ射 $(\mathrm{id},\psi)\colon V(\mathcal A)\to V(\mathcal A)\times_SV(\mathcal B)$ は閉はめ込みである。

原論文はこの四つの射を、定義 2.2 の直後に空間の射の列として並べる（印字 12-09）。Segre 射の始域の積は、原論文では $\times$ と印字されるが、$S$ 上の解析空間の圏の積、すなわち $S$ 上のファイバー積である（本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の注意「印字の読み（§2 の前半）」の (3)）。

主結果と証明

まず Plücker 射を扱う。原論文の帰着の段の三つの一歩（局所化、自由な加群への帰着、標準の開集合による被覆）のうち、はじめの二つを補題として確かめ、Segre 射にも使えるようにしておく。

局所化と自由な加群への帰着

旗の関手の $(\mathrm{An})_{/S_\lambda}$ への制限は、加群を $S_\lambda$ に制限した旗の関手と自然に同型である（本書『2-2 Grassmann 束の存在』の主結果「旗の関手の局所性」の (2)）。この同型は外積とテンソル積の逆像の標準同型と両立するので、Plücker 射と Segre 射の制限 $f_\lambda$ は、両側の同型を除いて、$\mathcal E|_{S_\lambda}$ の Plücker 射、$\mathcal E|_{S_\lambda}$ と $\mathcal F|_{S_\lambda}$ の Segre 射である。同型との合成は閉はめ込みであるかどうかを変えない（引用する事実の 1 の (c)）。したがって、Plücker 射と Segre 射が閉はめ込みであることは $S$ の上で局所的な問題である。
次に、全射で自由な加群に帰着する。原論文の「前段により $\mathcal E=\mathcal O_S^m$ の場合に帰着する」（印字 12-12）の中身である。

積の空間の存在（段 3 の $\mathcal P(\mathcal E_0)\times_S\mathcal P(\mathcal F)$ など）は、引用する事実の 4 の (1) で保証されている。原論文はこの帰着を「前段により」の一句で済ませ、消去の一歩（上の証明の段 4）を述べない。

Plücker 射

残るのは自由な加群の場合で、そこでは前の頁の局所計算が、射影束を覆う開集合の族で当てはまる。

原論文は「そのような開集合がとれることは前に見た」（印字 12-13）とするだけで、$Y_H$ たちが $Y$ を覆うこと（段 3）を明言しない。原論文の帰着の段が省いた確かめを、次の注意にまとめる。

Segre 射

原論文は Segre 射の証明を書かない。Plücker 射と同じく、局所化と帰着のあとは、階数 $1$ の標準の開集合の上でグラフの形を読めばよい。

証明が使ったのは、階数 $1$ の標準の開集合と、二つの一次形式の積というただ一つの二次の成分だけである。Plücker 射ではすべての $i$ 次の成分 $u_i$ が現れたのに比べ、原論文が「類似でより簡単」と書く理由はここにあると読める（原論文は証明を書かないので、本書はこれを原論文の意図として帰属させない）。

命題 2.2

四つの射がそろったので、原論文の命題 2.2 をまとめる。

1. の $\mathcal F$ と (4) の $\mathcal F$ に有限表示を課したのは本書の読みである。原論文の命題 2.2 の文はこれを書かない。その扱いを次の注意で述べる。

例と反例

射影直線二つの Segre 射の像を標準の開集合で書き、次に空になる場合を確かめる。

その後の発展

以下は後代の文献の紹介である（本書は文献を開いて該当箇所を確かめていない）。

• Plücker 埋め込みと Segre 埋め込みの相対版（1961 年〜）：代数幾何では、Grothendieck–Dieudonné の EGA2（1961 年）が射影束と Segre 射を、新版 EGA1n（1971 年）が Grassmann 関手の表現可能性と Plücker 射を扱うとされる。教科書 Har77（1977 年）は体の上の Segre 埋め込みを扱う。後代の文献には射影束の点を超平面とする規約と直線とする規約の両方があるので、比べるときは向きに注意が要る。
• 旗束の射影埋め込み：本頁の四つの閉はめ込みを合成すると、旗束が一つの射影束の閉部分空間に入る。原論文の注意 2.5 はその形を述べるが印字のままでは成り立たず、本書『4-2 旗束の射影束への閉はめ込み』で正しい形に直す。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Gro61v である。印字頁は PDF の頁番号から 1 を引いたもの（PDF $n$ が印字 12-$(n-1)$）である。