3-1 Plücker 射の局所計算

段 1（写像が定まる）．代表を同型 $\psi$ で $\psi q$ に替えると $(\psi qj')^{-1}\psi qj''=(qj')^{-1}qj''$ なので、$u_q$ は類だけで決まる。
段 2（(2)）．局所切断 $x=j'(x')+j''(x'')$ について $q(x)=qj'(x')+qj''(x'')=qj'\bigl(x'+u_q(x'')\bigr)=(qj')(\rho_{u_q}(x))$ である。二つの射は局所切断の上で一致するので等しい。
段 3（逆写像）．$\rho_u$ は $\rho_uj'=\mathrm{id}$ なので全射で、目標 $\mathcal M'$ は階数 $d$ の局所自由、$\rho_uj'$ は同型なので、$[\rho_u]\in\mathcal Q(\mathcal M;\mathcal M')$ である。$u_{\rho_u}=\mathrm{id}^{-1}\circ u=u$ である。逆に (2) により $q$ は $\rho_{u_q}$ に同型 $qj'$ を合成したものなので、$[q]=[\rho_{u_q}]$ である。ゆえに二つの写像は互いに逆である。
段 4（(3)）．$g^*$ は関手で、同型を同型に、全射を全射に移し（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (1)(3)）、階数 $d$ の局所自由を階数 $d$ の局所自由に移す（同じ定理の (4)）。標準同型 $g^*\mathcal M\cong g^*\mathcal M'\oplus g^*\mathcal M''$ は $g^*j'$、$g^*j''$ を成分の包含に移すので、$g^*(qj')=g^*q\circ g^*j'$ は同型で、$u_{g^*q}=(g^*q\,g^*j')^{-1}g^*q\,g^*j''=g^*\bigl((qj')^{-1}qj''\bigr)=g^*u_q$ である。類が代表によらないことは本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の補題「商と核」の (4) による。

$\mathcal B$ は有限表示である（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (4)）ので、引用する事実の 5 により $V(\mathcal B)$ が存在する。同じ定理の (1)(2) の標準同型 $\mathcal B_{(T)}\cong\bigoplus_j\mathcal B_{j,(T)}$ は $\iota_{j,(T)}$ を成分の包含に移す。有限直和からの射は成分への制限の組で決まるので、$y\mapsto(y\circ\iota_{j,(T)})_j$ は全単射 $F_{\mathcal B}(T)\to\prod_jF_{\mathcal B_j}(T)$ で、本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果「ベクトル束の関手の二重関手性」の (3) により $T$ について自然である。$\mathrm{Hom}_S(T,V(\mathcal B))\cong F_{\mathcal B}(T)\cong\prod_jF_{\mathcal B_j}(T)\cong\prod_j\mathrm{Hom}_S(T,V(\mathcal B_j))$ の合成は、定義「ベクトル束の間の射」により $g\mapsto(V(\iota_j)\circ g)_j$ である。ゆえに $V(\mathcal B)$ は積で、本書『0-4 表現可能性の判定法』の補題「スライス圏」の (2) により $S$ 上のファイバー積でもある。$l=0$ は同じ補題の (1) と $V(0)=S$ による。

段 1（零点）．$\mathcal B_{(Z)}$ は有限型（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (4)）で、$\mathcal O_Z$ は階数 $1$ の局所自由なので、引用する事実の 2 により $h_Z$ の部分前層 $\{g:g^*c=0\}$ は $Z(\mathcal J_c)$ で表される。
段 2（引き戻しの計算）．$S$ 射 $g\colon T\to Z$ は、上の補題により $T$ 点の組 $(x,y)=(g^*a,g^*b)\in F_{\mathcal A}(T)\times F_{\mathcal B}(T)$ と一対一である。$F_{\mathcal B}(g)$ は加法的で（引用する事実の 5）、$\phi_T$ は $T$ について自然なので、$g^*c=g^*b-g^*(\phi_Z(a))=y-\phi_T(x)$ である。ゆえに $g^*c=0$ は $y=\phi_T(x)$ と同値である。
段 3（グラフ）．$h\colon T\to V(\mathcal A)$ の一次形式を $x$ とすると、$\Gamma_\phi\circ h$ は組 $(x,\phi_T(x))$ に当たる。ゆえに $\Gamma_\phi$ との合成は、$\mathrm{Hom}_S(T,V(\mathcal A))$ から段 2 の部分前層 $\{g:g^*c=0\}$ の値への全単射で（逆は第 1 成分をとる写像）、$T$ について自然である。本書『0-4 表現可能性の判定法』の注意「米田の約束」の (1)〜(3) により、$\Gamma_\phi$ は $V(\mathcal A)$ から $Z(\mathcal J_c)$ への同型と包含の合成で、閉はめ込みである。(3) は $\phi=\mathrm{id}$ の場合で、$c=b-a$ である。

段 1（補題への帰着）．上の補題（直和因子の上で同型になる商）を、$\mathcal M=(\bigwedge^n\mathcal E)_{(T)}$、$\mathcal M'=\mathcal L'_{(T)}$（階数 $1$）、$\mathcal M''=\bigoplus_i\mathcal R_{i,(T)}$ に当てる。直和分解は $\kappa$ を $T$ に引き戻したもので、$\mathcal M'$ の包含は $(\bigwedge^n\iota')_{(T)}$ である。定義「Plücker 射の標準の開部分関手」の (2) により、$Y'(T)=\mathcal Q(\mathcal M;\mathcal M')$ である。
段 2（部分関手）．$S$ 射 $g\colon T'\to T$ について、$\mathbf P(\bigwedge^n\mathcal E)(g)$ は $g^*$ と逆像の標準同型による移し替えの合成である（本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の主結果「旗の逆像と旗の関手」の (3)）。同じ補題の (3) により $g^*$ は $\mathcal Q(\mathcal M;\mathcal M')$ を $\mathcal Q(g^*\mathcal M;g^*\mathcal M')$ に写す。標準同型は $\kappa$ の引き戻しどうしを対応させる（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (2)）ので、移し替えは $Y'(T')$ の条件を保つ。これが (1) である。
段 3（(2)）．同じ補題の (1) により、$[r]\mapsto u_r=\sigma_r$ は $Y'(T)$ から $\mathrm{Hom}(\bigoplus_i\mathcal R_{i,(T)},\mathcal L'_{(T)})$ への全単射で、逆は (2) の射の類である。有限直和からの射は成分の組で決まるので、右辺は $\prod_i\mathrm{Hom}(\mathcal R_{i,(T)},\mathcal L'_{(T)})$ である。自然性は同じ補題の (3) と、段 2 の標準同型の両立による。
段 4（(3)）．$n=0$ なら $\mathcal L'=\bigwedge^0\mathcal E'=\mathcal O_S$ で、$i$ の範囲は空なので $\kappa$ は $\mathcal O_S=\bigwedge^0\mathcal E$ の恒等射である。$\mathbf P(\mathcal O_S)(T)$ は恒等写像の類だけからなり（本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の例「階数零と空の列と零の加群の旗」の (e)）、それは $Y'(T)$ に入る。

段 1（(1)(2) の存在）．$u_i$ を、$\kappa$ の第 $i$ の直和因子への制限と $\bigwedge^n\rho_u$ の合成と定める。$\kappa$ は $(x_1\wedge\dots\wedge x_{n-i})\otimes(y_1\wedge\dots\wedge y_i)$ を $\mathcal E'\oplus\mathcal E''$ の $n$ 次外積の元 $(x_1,0)\wedge\dots\wedge(x_{n-i},0)\wedge(0,y_1)\wedge\dots\wedge(0,y_i)$ に送り、$\bigwedge^n\rho_u$ は各因子に $\rho_u$ を当てる。$\rho_u(x_j,0)=x_j$、$\rho_u(0,y_l)=u(y_l)$ なので、式が成り立つ。$i=0$ では $\bigwedge^0\mathcal E''=\mathcal O_X$ で、$u_0(\xi'\otimes1)=\xi'$ である。(2) は定義そのものである。
段 2（一意性）．本書『0-2 環付き空間の上の加群』の補題「茎による計算」の (3) により、$\bigwedge^{n-i}\mathcal E'\otimes\bigwedge^i\mathcal E''$ の茎は $\bigwedge^{n-i}\mathcal E'_x\otimes\bigwedge^i\mathcal E''_x$ で、$(x_1\wedge\dots)\otimes(y_1\wedge\dots)$ の形の元の芽で生成される。二つの射がそれらの上で一致すれば、茎の射が一致し、差の茎の射がすべて $0$ なので、層の条件（同じ頁の定義「層と茎」の (1)）により差は $0$ である。
段 3（(3)）．標準同型 $g^*(\mathcal E'\oplus\mathcal E'')\cong g^*\mathcal E'\oplus g^*\mathcal E''$ の下で $g^*\rho_u$ は $\rho_{g^*u}$ に対応する（成分の包含との合成を比べる）。同じ頁の定理「逆像と加群の演算」の (1)(2) により、$g^*\bigwedge^n$、$g^*(\cdot\otimes\cdot)$ の標準同型の下で $g^*\kappa$ は $g^*\mathcal E'$、$g^*\mathcal E''$ についての $\kappa$ に、$g^*\bigwedge^n\rho_u$ は $\bigwedge^n\rho_{g^*u}$ に対応する（どれも茎の生成元 $1\otimes(\cdots)$ の上で確かめられる）。ゆえに合成 $g^*u_i$ は $(g^*u)_i$ に対応する。
段 4（(4)）．同じ頁の定理「外積と双対の標準同型」の (5) の全単射を $\mathrm{Ad}\colon\mathrm{Hom}(\bigwedge^{n-1}\mathcal E'\otimes\mathcal E'',\bigwedge^n\mathcal E')\to\mathrm{Hom}(\mathcal E'',\mathcal Hom(\bigwedge^{n-1}\mathcal E',\bigwedge^n\mathcal E'))$ と書く。(1) により局所切断 $\xi'$、$y$ について $u_1(\xi'\otimes y)=\xi'\wedge u(y)=\varepsilon(u(y))(\xi')$ なので、$\mathrm{Ad}(u_1)=\varepsilon\circ u$ である。$\varepsilon$ は同型（同じ定理の (4)）なので $u\mapsto\varepsilon\circ u$ は全単射で、$\Theta=\mathrm{Ad}^{-1}\circ(\varepsilon\circ-)$ は全単射である。

段 1（空間の存在）．$\mathcal E'$ は有限階数の局所自由なので有限表示で、$\mathcal E$ と $\bigwedge^n\mathcal E$ は有限表示である（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (4)）。引用する事実の 6 により $X$、$Y$ が存在する。その普遍の商の代表を $q_X\colon\mathcal E_{(X)}\to\mathcal E_1$、$r_Y\colon(\bigwedge^n\mathcal E)_{(Y)}\to\mathcal M_Y$ とする。$\pi$ は引用する事実の 7 の準同型に対応する射で、$S$ 射 $g\colon T\to X$（商の代表 $q$）について $\pi\circ g$ は $\bigwedge^nq$ の類（移し替えたもの）に当たる。
段 2（(1)）．$\alpha=q_X\circ\iota'_{(X)}\colon\mathcal E'_{(X)}\to\mathcal E_1$ とする。$\mathcal E_1$ は局所自由なので有限型である。$S$ 射 $g\colon T\to X$ について、逆像の標準同型の下で $g^*\alpha$ は $g^*q_X\circ\iota'_{(T)}$ に対応し、$g^*q_X$ は $g$ に当たる商の代表である。ゆえに $g^*\alpha$ が全射であることは、その商が $X'(T)$ に入ること（定義「Plücker 射の標準の開部分関手」の後の段により全射と同型は同じ）と同値である。引用する事実の 1 により、$h_X\cong\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)$ の下で $X'$ に当たる部分前層は開部分空間 $U_\alpha$ で表され、とくに部分関手である。$Y'$ は $\beta=r_Y\circ(\bigwedge^n\iota')_{(Y)}$（目標は可逆）で同じようにして $U_\beta$ で表される。
段 3（外積で全射性を判定する）．$S$ 射 $g\colon T\to X$ に当たる商の代表を $q$、$\alpha_T=q\circ\iota'_{(T)}\colon\mathcal E'_{(T)}\to\mathcal E_1$ とする。$\bigwedge^n$ は関手なので、$\bigwedge^nq$ の $\mathcal L'_{(T)}$ への制限は $\bigwedge^n\alpha_T$ である。$\alpha_T$ が全射であることと $\bigwedge^n\alpha_T$ が全射であることは同値である。実際、引用する事実の 1 により、どちらも各点 $t$ の既約ファイバーで全射であることと同値である。$\mathcal E'_{(T)}(t)$ と $\mathcal E_1(t)$ はどちらも $k(t)$ の上の $n$ 次元ベクトル空間で（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (6)）、既約ファイバーは外積と可換である（同じ頁の補題「茎による計算」の (3) と補題「可換環の上のテンソル積と外積」の (2)）から $(\bigwedge^n\alpha_T)(t)=\bigwedge^n(\alpha_T(t))$ である。同じ頁の補題「体の上の線形代数」の (2) により、$\alpha_T(t)$ が全射であることは $\bigwedge^n(\alpha_T(t))\ne0$、すなわち一次元の $\bigwedge^n\mathcal E_1(t)$ への全射であることと同値である。
段 4（(2)）．段 1・段 3 により、$g$ が $X'$ に入ることは $\pi\circ g$ が $Y'$ に入ることと同値である。引用する事実の 4 により、開部分空間 $\pi^{-1}(Y')$ は $\pi\circ g$ が $Y'$ を経由する $g$ の全体を表す。ゆえに $\pi^{-1}(Y')$ と $X'$ は $h_X$ の同じ部分前層を表し、本書『0-4 表現可能性の判定法』の注意「米田の約束」により $X$ 上同型なので、二つの包含の像である開集合は等しい。
段 5（$T$ 点の記述）．$n\ge1$ とする。上の補題（直和因子の上で同型になる商）を $\mathcal M=\mathcal E_{(T)}$、$\mathcal M'=\mathcal E'_{(T)}$、$\mathcal M''=\mathcal E''_{(T)}$ に当てると、$X'(T)$ は $\mathrm{Hom}(\mathcal E''_{(T)},\mathcal E'_{(T)})$ と $T$ について自然に一対一で、$u$ には商 $[\rho_u]$ が当たる。引用する事実の 5 により右辺は $\mathbf V_P$ が表すので、$X'\cong\mathbf V_P$ である。$Y'(T)$ は、上の主結果（射影束の標準の開部分関手の記述）により $\prod_{1\le i\le n}\mathrm{Hom}(\mathcal R_{i,(T)},\mathcal L'_{(T)})$ と、さらに上の主結果（外積の成分の射の計算）の (4) の $\Theta$ の逆を第 1 因子に当てて $\mathrm{Hom}(\mathcal E''_{(T)},\mathcal E'_{(T)})\times\prod_{2\le i\le n}\mathrm{Hom}(\mathcal R_{i,(T)},\mathcal L'_{(T)})$ と、$T$ について自然に一対一である。$\mathcal R_i$ は有限表示なので、引用する事実の 5 により各因子は $F_{\check{\mathcal L}'\otimes\mathcal R_i}$ と自然に同型で、上の補題（直和のベクトル束は積）により後ろの積は $\mathbf V_Q$ が、全体は $V\bigl((\check{\mathcal E}'\otimes\mathcal E'')\oplus\bigoplus_{i\ge2}\check{\mathcal L}'\otimes\mathcal R_i\bigr)=\mathbf V_P\times_S\mathbf V_Q$ が表す。ゆえに $Y'\cong\mathbf V_P\times_S\mathbf V_Q$ である。
段 6（Plücker 射の計算）．$u\in\mathrm{Hom}(\mathcal E''_{(T)},\mathcal E'_{(T)})$ に当たる $X'$ の $T$ 点 $[\rho_u]$ の Plücker 射による像は $[\bigwedge^n\rho_u]$ である。上の主結果（外積の成分の射の計算）の (2) を $T$ の上で当てると、$\bigwedge^n\rho_u\circ\kappa_{(T)}=(\mathrm{id},u_1,\dots,u_n)$ である。とくに $\mathcal L'_{(T)}$ への制限は恒等射で、上の主結果（射影束の標準の開部分関手の記述）の $\sigma$ は $(u_1,\dots,u_n)$、$\Theta^{-1}$ を当てれば $(u,u_2,\dots,u_n)$ である。$\phi_T(u)=(u_2,\dots,u_n)$ は上の主結果（外積の成分の射の計算）の (3) により $T$ について自然なので、$S$ 射 $\phi\colon\mathbf V_P\to\mathbf V_Q$ を与える。以上により、段 5 の同型の下で $\pi|_{X'}$ と $\Gamma_\phi$ は $T$ 点の上で同じ写像 $u\mapsto(u,\phi_T(u))$ を与え、本書『0-4 表現可能性の判定法』の定理「点の関手の充満忠実性」により対応する。これが (3) である。
段 7（(4)）．$n\ge1$ とする。上の補題（ベクトル束への射のグラフ）により $\Gamma_\phi$ は閉はめ込みである。$\pi|_{X'}$ は $\Gamma_\phi$ の両側に同型を合成したもので、同型は閉はめ込みなので、引用する事実の 3 により閉はめ込みである。
段 8（(5)）．$n=0$ なら $\mathcal E'=0$ で、$\mathbf{Grass}_0(\mathcal E)$ はどの $T$ でも一点（商 $\mathcal E_{(T)}\to0$）をとり（本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の例「階数零と空の列と零の加群の旗」の (a)）、その点は $X'(T)$ に入る。ゆえに $X'=X$ は終対象 $S$ が表す（本書『0-4 表現可能性の判定法』の補題「スライス圏」の (1)）。上の主結果（射影束の標準の開部分関手の記述）の (3) により $Y'=Y=\mathcal P(\mathcal O_S)$ も $S$ で、$S$ から $S$ への $S$ 射は恒等射だけである。恒等射は同型なので、$n=0$ でも (4) が成り立つ。$n=1$ なら $i\ge2$ の項は無く、$\mathbf V_Q=V(0)=S$、$\mathbf V_P\times_SS=\mathbf V_P$ で、$\Gamma_\phi$ は同型である。