1-2 切断の関手と二つの規約

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

加群 $\mathcal E$ の引き戻しの大域切断を値にとる関手を、前頁のベクトル束の関手と比べる。$\mathcal E$ が局所自由ならこの関手は双対の加群のベクトル束で表され、逆に $\mathcal E$ が有限表示でこの関手が表現可能なら $\mathcal E$ は局所自由である。後者は原論文が「容易に示せる」とだけ書く主張で、冪零元をもつ一点の空間を使って証明を補う。これにより、切断の層が $\mathcal E$ になる従来の規約と、原論文が採る双対規約の関係が定まる。
前提知識: ベクトル束, 局所自由層, 表現可能関手, 中山の補題, Krullの交叉定理, 解析空間

この頁で示すこと

$S$ を解析空間、$\mathcal E$ を $\mathcal O_S$ 加群とし、$S$ 上の解析空間 $T$ について $\mathcal E_{(T)}$ を構造射 $p_T$ による逆像とする。$F_{\mathcal E}$ と $V(\mathcal E)$ は本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の定義「ベクトル束の関手」「ベクトル束」のとおりである。$\mathcal E$ が有限階数の局所自由であるとは、各点が開近傍 $U$ と整数 $r\ge0$ で $\mathcal E|_U\cong\mathcal O_U^r$ となるものをもつことをいう（階数は点ごとに変わってよい）。記号は本書『0-6 記号と約束』のとおりである。
本頁の主結果は次の三つである。

  1. 局所自由な加群の切断の関手（原論文 注意 1.3 の一部、印字 12-03〜12-04）：$\mathcal E$ が有限階数の局所自由なら、切断の関手 $G_{\mathcal E}(T)=\Gamma(T,\mathcal E_{(T)})$ は $F_{\check{\mathcal E}}$ と自然に同型で、$V(\check{\mathcal E})$ で表される。［条件付き：本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果「ベクトル束の存在」による］
  2. 切断の関手の表現可能性と局所自由性（原論文 注意 1.3 の「容易に示せる」主張、印字 12-03）：$\mathcal E$ が有限表示で $G_{\mathcal E}$ が $(\mathrm{An})_{/S}$ 上で表現可能なら、$\mathcal E$ は有限階数の局所自由である。［条件付き：本書『0-3 解析空間と数空間』の定理「局所環のネーター性」（連作第 II 回の命題 2.3 a の前半）と補題「有限次元局所代数の一点の空間」、本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「Krull の交叉定理」を引用。同じ 0-3 の定理「局所環の剰余体」と補題「一点の解析空間と終対象」「剰余体が基礎体の局所代数の射」（引用に依らずに証明済み）も使う。連作第 III 回の定理は使わない］
  3. 二つの規約の比較（原論文 注意 1.3 の規約の段、印字 12-04）：任意の有限表示の加群 $\mathcal E$ にベクトル束 $V(\mathcal E)$ が対応する。$\mathcal E$ が有限階数の局所自由なら、切断の層が $\check{\mathcal E}$ になる従来の意味の「$\check{\mathcal E}$ の定めるベクトル束」、すなわち $G_{\check{\mathcal E}}$ を表す空間は $V(\mathcal E)$ に等しく、従来の意味の「$\mathcal E$ の定めるベクトル束」は $V(\check{\mathcal E})$ である。局所自由でない有限表示の加群には、従来の意味のベクトル束は無い。［条件付き：主結果 1・2 と本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果「ベクトル束の存在」による］
    主結果 1 と 3 は、本書『0-2 環付き空間の上の加群』で証明した双対と逆像の事実（本書の札では完結の入力）で関手の同型を作り、表現可能性を前頁の主結果に帰着させる（主結果 3 の、局所自由でない場合の部分は主結果 2 による）。主結果 2 は、局所環の極大イデアルの冪で割った環とその二つの写しを貼り合わせた環を一点に与えた空間で関手を調べ、表現可能性から茎の自由性を導く。解析空間の局所環のネーター性（連作第 II 回）と Krull の交叉定理は引用し、連作第 III 回 Gro61iii の定理は使わない。

背景と動機

原論文の注意 1.3（印字 12-03〜12-04）は、前頁の関手 $F_{\mathcal E}$ と、$\mathcal E$ について共変な関手 $G_{\mathcal E}(T)=\Gamma(T,\mathcal E_{(T)})$ を比べる。$G_{\mathcal E}$ を表す空間は、$S$ の開集合 $U$ の上の切断が $\Gamma(U,\mathcal E)$ になる空間で、$\mathcal E$ が局所自由のとき、それまで $\mathcal E$ の定めるベクトル束と呼ばれていたのはこの空間である。原論文は、$\mathcal E$ が有限表示なら $G_{\mathcal E}$ は $\mathcal E$ が局所自由のときにしか表現可能でないことが「容易に示せる」と書き、局所自由のときの表現可能性は命題 1.1 を双対の加群に当てれば含まれるとする。そのうえで、双対の規約を採るほうが、任意の有限表示の加群にベクトル束が対応するので好ましい、と述べる。
したがって、原論文の規約の選択には二つの事実が要る。局所自由なら二つの規約は双対をとって行き来できること（主結果 1・3）と、従来の規約は局所自由の外では働かないこと（主結果 2）である。後者を原論文は証明しない。証明には、被約な点だけでなく冪零元をもつ一点の空間で関手を調べることが本質的に要る。被約な点 $e_s$ の上の値 $G_{\mathcal E}(e_s)=\mathcal E(s)$ は既約ファイバーしか見ず、局所自由でない加群も区別できないからである（下の反例）。

定義と準備

切断の関手を定め、二つの規約を言葉にする。切断の関手の値は一点の空間の上では加群の茎とテンソル積で書けるので、その計算も準備する。

引用する事実

次の事実を本書の第 0 章と前頁から引用する。出典は連作第 II 回 Gro61ii と可換環論の標準の定理である。本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」「外積と双対の標準同型」「中山の補題」「有限表示と局所自由の基本性質」、補題「茎による計算」「可換環の上のテンソル積と外積」は同じ頁で証明したもので、本書の札では完結の入力に数える。下の 3 と 5 も、本書『0-3 解析空間と数空間』で引用に依らずに証明したもので、完結の入力に数える。

  1. ベクトル束の存在（本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果。連作第 III 回の定理に依る［条件付き］）：有限表示の加群 $\mathcal E$ について $F_{\mathcal E}$ は $V(\mathcal E)$ で表される。
  2. 局所環のネーター性（本書『0-3 解析空間と数空間』の定理。連作第 II 回の命題 2.3 a の前半）：解析空間の各点の局所環はネーター環である。
  3. 局所環の剰余体（同じ頁の定理）：解析空間の各点の局所環は局所 $k$ 代数で、剰余体は $k$ である。
  4. 有限次元局所代数の一点の空間（同じ頁の補題）：剰余体が $k$ の有限次元局所 $k$ 代数 $B$ について、一点に $B$ を与えた解析空間 $P_B$ がある。$P_k$ は一点の空間 $e$ である。
  5. 一点の解析空間と終対象、剰余体が基礎体の局所代数の射（同じ頁の補題）：一点からなる解析空間 $P$ から解析空間 $X$ への射は、点 $x\in X$ と $k$ 代数の射 $\mathcal O_{X,x}\to\mathcal O_P$ の組と一対一に対応し、射 $h\colon X\to X'$ との合成は組 $(h(x),\varphi\circ h^\sharp_x)$ に当たる。剰余体が $k$ の局所環への $k$ 代数の射は、源も剰余体 $k$ の局所環なら局所的である。
  6. Krull の交叉定理（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理）：ネーター局所環 $R$（極大イデアル $\mathfrak m$）の上の有限生成加群 $M$ について $\bigcap_{j\ge1}\mathfrak m^jM=0$ である。
切断の関手

$\mathcal E$ を $\mathcal O_S$ 加群とする。$S$ 上の解析空間 $T$ について $G_{\mathcal E}(T)=\Gamma(T,\mathcal E_{(T)})$ とおく。切断 $\sigma\in\Gamma(T,\mathcal E_{(T)})$ を射 $\mathcal O_T\to\mathcal E_{(T)}$（$1\mapsto\sigma$）とみて、$S$ 射 $f\colon T'\to T$ について $G_{\mathcal E}(f)(\sigma)$ を、合成 $\mathcal O_{T'}\cong f^*\mathcal O_T\xrightarrow{f^*\sigma}f^*\mathcal E_{(T)}\cong\mathcal E_{(T')}$ の $1$ の像とする（同型は逆像の標準同型）。加群の射 $u\colon\mathcal E\to\mathcal E'$ には $\sigma\mapsto u_{(T)}\circ\sigma$ を対応させる。$G_{\mathcal E}$ を $\mathcal E$ の切断の関手と呼ぶ。

本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果「ベクトル束の関手の二重関手性」と同じ証明で、$G_{\mathcal E}$ は $T$ について反変、$\mathcal E$ について共変な関手である。$G_{\mathcal E}$ と $F_{\mathcal E}$ の違いは加群の変数の向きにあり、原論文も「$F_{\mathcal E}$ と違って共変」と注意する（印字 12-03）。

二つの規約
  1. 有限表示の加群 $\mathcal E$ に $F_{\mathcal E}$ を表す空間 $V(\mathcal E)$ を対応させる規約を双対規約と呼ぶ（本書と原論文の規約）。
  2. 加群 $\mathcal E$ に、$G_{\mathcal E}$ が表現可能なとき、それを表す $S$ 上の空間を対応させる規約を従来の規約と呼び、その空間を従来の意味の「$\mathcal E$ の定めるベクトル束」と呼ぶ。
  3. $S$ 上の空間 $X$ について、$S$ の開集合 $U$ に $S$ 射 $U\to X$ の集合を対応させる $S$ の上の前層を $X$ の切断の層と呼ぶ。
  1. の前層は、$S$ 射が開被覆の上で貼り合わさることから層である（表現可能な関手は局所的なので。本書『0-4 表現可能性の判定法』の定理「表現可能な関手は局所的」）が、本頁では前層として扱えば足りる。$X$ が $G_{\mathcal E}$ を表すなら、$U$ の上の切断は $G_{\mathcal E}(U)=\Gamma(U,\mathcal E|_U)$ と一対一で、制限と両立するので、$X$ の切断の層は $\mathcal E$ である。原論文が従来の規約の空間を「切断の層が $\mathcal E$ と同型」と言い表すのはこの意味である。
    次の補題は、一点の空間の上での $G_{\mathcal E}$ の値を、加群の茎で書く。
一点の空間の上の切断

$s\in S$、$R=\mathcal O_{S,s}$、$M=\mathcal E_s$ とする。$B$ を剰余体が $k$ の有限次元局所 $k$ 代数、$\rho\colon R\to B$ を $k$ 代数の射とし、引用する事実の 5 により $(s,\rho)$ が定める射 $P_B\to S$ で $P_B$ を $S$ 上の空間とみる。
(1) $G_{\mathcal E}(P_B)=M\otimes_RB$ である（$B$ は $\rho$ で $R$ 加群とみる）。
(2) $(s,\rho')$ で $S$ 上の空間とみた $P_{B'}$ と、$k$ 代数の射 $\theta\colon B'\to B$ で $\theta\circ\rho'=\rho$ となるものについて、$(*,\theta)$ が定める射 $P_B\to P_{B'}$ は $S$ 射で、$G_{\mathcal E}$ の値の写像は $1_M\otimes\theta\colon M\otimes_RB'\to M\otimes_RB$ である。

  1. $P_B$ の空でない開集合は全体だけなので、$P_B$ の上の層の大域切断はただ一つの点での茎である。本書『0-2 環付き空間の上の加群』の補題「茎による計算」の (3) により、逆像 $\mathcal E_{(P_B)}$ の茎は $B\otimes_RM$ である。
  2. 引用する事実の 5 の合成の規則により、$P_B\to P_{B'}\to S$ は組 $(s,\theta\circ\rho')=(s,\rho)$ に当たるので $S$ 射である。$G_{\mathcal E}$ の値の写像は、逆像の茎の上で $b'\otimes m\mapsto\theta(b')\otimes m$ である（標準同型は $1\otimes$ の形の元を $1\otimes$ の形の元に送る。同じ頁の定理「逆像と加群の演算」の (2)）。

$B=k$、$\rho$ を剰余写像にとると、$P_k$ は $s$ の上の被約な一点で、これを $e_s$ とも書く（本書『0-3 解析空間と数空間』の補題「点の部分空間の存在」の $e_s$ と同じものである）。上の補題の (1) により $G_{\mathcal E}(e_s)=M\otimes_Rk=\mathcal E(s)$ である。

主結果と証明

局所自由な場合に二つの関手を双対で結び、次に表現可能性から局所自由性を導き、最後に二つの規約を比べる。

局所自由な場合

局所自由な加群の切断の関手

$\mathcal E$ を有限階数の局所自由な $\mathcal O_S$ 加群とする。$S$ 上の解析空間 $T$ について、逆像の射 $\varphi_T\colon(\check{\mathcal E})_{(T)}\to(\mathcal E_{(T)})^\vee$（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (5) の同型）を使い、$\sigma\in G_{\mathcal E}(T)$ に
$$\psi_T(\sigma)=\mathrm{ev}_\sigma\circ\varphi_T\colon(\check{\mathcal E})_{(T)}\to\mathcal O_T,\qquad\mathrm{ev}_\sigma(\mu)=\mu(\sigma)$$
を対応させる。$\psi_T\colon G_{\mathcal E}(T)\to F_{\check{\mathcal E}}(T)$ は全単射で、$T$ について自然である。したがって $G_{\mathcal E}$ は $F_{\check{\mathcal E}}$ と同型で、ベクトル束 $V(\check{\mathcal E})$ で表される。

段 1（加群の性質）．$\check{\mathcal E}$ と $\mathcal E_{(T)}$ は有限階数の局所自由である（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「外積と双対の標準同型」の (1) と定理「逆像と加群の演算」の (4) を、階数が一定の開集合ごとに当てる。主張はどれも局所的である）。とくに $\check{\mathcal E}$ は有限表示である。
段 2（全単射）．$\sigma\mapsto\mathrm{ev}_\sigma$ は、同型 $\mathcal E_{(T)}\to(\mathcal E_{(T)})^{\vee\vee}$（同じ頁の定理「外積と双対の標準同型」の (1)）の大域切断の写像 $\Gamma(T,\mathcal E_{(T)})\to\mathrm{Hom}((\mathcal E_{(T)})^\vee,\mathcal O_T)$ で、全単射である。$\varphi_T$ は同型なので、$\varphi_T$ との合成も全単射である。
段 3（自然性）．$S$ 射 $f\colon T'\to T$ と $\sigma\in G_{\mathcal E}(T)$ について、$\psi_{T'}(G_{\mathcal E}(f)(\sigma))$ と $F_{\check{\mathcal E}}(f)(\psi_T(\sigma))$ はどちらも $(\check{\mathcal E})_{(T')}\cong f^*(\check{\mathcal E})_{(T)}$ から $\mathcal O_{T'}$ への射である。同じ頁の定理「逆像と加群の演算」の (2) により、$1\otimes(1\otimes\lambda)$（$\lambda$ は $\check{\mathcal E}$ の局所切断）の形の元の上で比べればよい。前者の値は $(p_{T'}^*\lambda)(f^*\sigma)$、後者の値は $f^\sharp\bigl((p_T^*\lambda)(\sigma)\bigr)$ である。$p_{T'}^*\lambda$ は標準同型の下で $f^*(p_T^*\lambda)$ に対応し、射の合成 $\mathcal O_T\xrightarrow{\sigma}\mathcal E_{(T)}\xrightarrow{p_T^*\lambda}\mathcal O_T$ の逆像は逆像の合成で、関数倍の射 $\mathcal O_T\to\mathcal O_T$ の逆像は $f^\sharp$ で引き戻した関数の倍なので、二つの値は等しい。
段 4（表現）．段 1 により $\check{\mathcal E}$ は有限表示なので、本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果「ベクトル束の存在」により $F_{\check{\mathcal E}}$ は $V(\check{\mathcal E})$ で表される。段 2・段 3 の同型を合成すれば、$V(\check{\mathcal E})$ が $G_{\mathcal E}$ を表す。
段 5（境界の場合）．$\mathcal E=0$（階数 $0$）なら $G_0(T)=0$ はどの $T$ でも一点で、$G_0$ は終対象 $S=V(0)$ で表される。

原論文は、局所自由の場合の表現可能性は命題 1.1 を双対の加群に当てたものに含まれる、と書き、「Cf. 1.9」を添える（印字 12-03〜12-04）。上の定理がその内容である。参照先の命題 1.9 は、加群の射の関手 $T\mapsto\mathrm{Hom}(\mathcal E_{(T)},\mathcal F_{(T)})$ が $\mathcal F$ が局所自由なら $V(\check{\mathcal F}\otimes\mathcal E)$ で表されるという主張で（本書『1-4 ベクトル束の底変換とファイバー』の主結果「加群の射の関手の表現」）、源を $\mathcal O_S$、目標を $\mathcal E$ とすれば $G_{\mathcal E}$ が $V(\check{\mathcal E})$ で表されることになり、上の定理と合う。

表現可能性から局所自由性へ

逆向きを示すには、関手の値を冪零元をもつ一点の空間で比べる。表現可能な関手は、一点の空間を剰余体で貼り合わせた空間の上で、値が貼り合わさる。

一点の空間の押し出し

$s\in S$、$R=\mathcal O_{S,s}$ とし、$B_1$、$B_2$ を剰余体が $k$ の有限次元局所 $k$ 代数、$\rho_i\colon R\to B_i$ を $k$ 代数の射、$\epsilon_i\colon B_i\to k$ を剰余写像とする。
(1) $C=B_1\times_kB_2=\{(b_1,b_2):\epsilon_1(b_1)=\epsilon_2(b_2)\}$ は剰余体が $k$ の有限次元局所 $k$ 代数で、$\rho=(\rho_1,\rho_2)$ は $R$ から $C$ への $k$ 代数の射である。
(2) $P_{B_i}$、$P_C$、$P_k=e$ をそれぞれ $(s,\rho_i)$、$(s,\rho)$、$(s,\text{剰余写像})$ で $S$ 上の空間とみる。二つの射影 $C\to B_i$ と $\epsilon_i$ が定める $S$ 射 $q_i\colon P_{B_i}\to P_C$、$r_i\colon P_k\to P_{B_i}$ について $q_1\circ r_1=q_2\circ r_2$ で、任意の $S$ 上の空間 $X$ について
$$\mathrm{Hom}_S(P_C,X)\to\mathrm{Hom}_S(P_{B_1},X)\times_{\mathrm{Hom}_S(P_k,X)}\mathrm{Hom}_S(P_{B_2},X),\qquad g\mapsto(g\circ q_1,g\circ q_2)$$
は全単射である。
(3) したがって、$(\mathrm{An})_{/S}$ 上の表現可能な前層 $G$ について、$G(q_1)$、$G(q_2)$ が定める写像 $G(P_C)\to G(P_{B_1})\times_{G(P_k)}G(P_{B_2})$ は全単射である。

  1. $C$ は $B_1\times B_2$ の $k$ 部分代数なので有限次元である。$\mathfrak n=\{(b_1,b_2):\epsilon_1(b_1)=\epsilon_2(b_2)=0\}$ について $C/\mathfrak n\cong k$ である。$(b_1,b_2)\notin\mathfrak n$ なら $b_1$、$b_2$ は可逆で、逆元の剰余も等しいので $(b_1^{-1},b_2^{-1})\in C$ である。ゆえに $C$ は $\mathfrak n$ を極大イデアルとする局所環である。$\epsilon_i\rho_i$ はどちらも $R$ の剰余写像なので（引用する事実の 5 により $\rho_i$ は局所的で、剰余体の $k$ 代数の射 $k\to k$ は恒等写像）、$\rho$ は $C$ に値をとる。
  2. 引用する事実の 5 により、$S$ 射 $P_B\to X$（$B$ は $B_1$、$B_2$、$C$、$k$ のどれか）は、構造射 $p\colon X\to S$ で $s$ の上にある点 $x$ と、$k$ 代数の射 $\varphi\colon\mathcal O_{X,x}\to B$ で $\varphi\circ p^\sharp_x$ が $B$ の構造の射に等しいものとの組と一対一である。$\varphi$ と剰余写像の合成は $k$ 代数の射 $\mathcal O_{X,x}\to k$ で、局所的なので $\mathcal O_{X,x}$ の剰余写像に等しい。とくに $\mathrm{Hom}_S(P_k,X)$ は $s$ の上の点の集合と一対一で、$q_i$、$r_i$ との合成は $\varphi$ に射影・剰余写像を合成する操作である（合成の規則）。$q_1r_1$ と $q_2r_2$ はどちらも組 $(*,C\to k)$ に当たるので等しい。右辺の元は、同じ点 $x$ と二つの射 $\varphi_i\colon\mathcal O_{X,x}\to B_i$ の組で、上に見たとおり $\epsilon_1\varphi_1=\epsilon_2\varphi_2$（どちらも剰余写像）なので、$(\varphi_1,\varphi_2)$ は $C$ への $k$ 代数の射で、$R$ の構造と両立する。これが逆写像を与える。
  3. $G\cong h_X$ として (2) を読み替える。

この補題の (3) は、$P_C$ が解析空間の圏で $P_{B_1}$ と $P_{B_2}$ を $P_k$ に沿って貼り合わせた空間（押し出し）であることを、関手の値で言ったものである。切断の関手の値は一点の空間の上では茎のテンソル積なので（上の補題（一点の空間の上の切断））、この条件は茎 $M$ についての条件になる。

切断の関手の表現可能性と局所自由性

$\mathcal E$ を有限表示の $\mathcal O_S$ 加群とする。$G_{\mathcal E}$ が $(\mathrm{An})_{/S}$ 上で表現可能なら、$\mathcal E$ は有限階数の局所自由である。

段 1（茎の極小な表示）．$s\in S$ を固定し、$R=\mathcal O_{S,s}$、その極大イデアルを $\mathfrak m$、$M=\mathcal E_s$ とする。$\mathcal E$ の局所的な表示の茎をとれば（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の補題「茎による計算」の (3)）、$M$ は有限表示の $R$ 加群である。同じ頁の定理「有限表示と局所自由の基本性質」の (6) により、完全列 $0\to N\to R^r\to M\to0$ で、$N$ が有限生成かつ $N\subset\mathfrak mR^r$ となるものがある。
段 2（有限次元の商環）．引用する事実の 2・3 により、$R$ はネーター環で剰余体は $k$ である。$\mathfrak m$ は有限生成なので、各 $i\ge0$ で $\mathfrak m^i/\mathfrak m^{i+1}$ は $R/\mathfrak m=k$ の上の有限次元のベクトル空間である。ゆえに $j\ge1$ について $A_j=R/\mathfrak m^j$ は剰余体が $k$ の有限次元局所 $k$ 代数である。$\pi\colon R\to A_j$ を商写像とし、上の補題（一点の空間の押し出し）を $B_1=B_2=A_j$、$\rho_1=\rho_2=\pi$ に当てて、$C=A_j\times_kA_j$ と $\rho=(\pi,\pi)$ をとる。
段 3（単射性）．$G_{\mathcal E}$ は表現可能なので、上の補題（一点の空間の押し出し）の (3) と補題（一点の空間の上の切断）により、
$$M\otimes_RC\to(M\otimes_RA_j)\times_{M\otimes_Rk}(M\otimes_RA_j)$$
は全単射で、とくに二つの射影が誘導する写像 $M\otimes_RC\to(M\otimes_RA_j)^2$ は単射である。
段 4（テンソル積の記述）．$R$ 代数 $Q$ について、テンソル積の右完全性（同じ頁の補題「可換環の上のテンソル積と外積」の (1)）により $M\otimes_RQ=Q^r/NQ$ である。ここで $NQ$ は、$N$ の元の $Q^r$ での像が生成する $Q$ 部分加群である。この記述で、段 3 の写像は $C^r\to A_j^r$ の二つの射影が誘導する写像である。
段 5（$N\subset\mathfrak m^jR^r$）．$n\in N$ をとり、その $A_j^r$ での像を $\bar n$ と書く。$n\in\mathfrak mR^r$ なので $\bar n$ の剰余は $0$ で、$w=(\bar n,0)$ は $C^r=A_j^r\times_{k^r}A_j^r$ の元である。$w$ の二つの射影はそれぞれ $NA_j$ に入るので、$w$ の $M\otimes_RC$ での類は段 3 の写像で $0$ に写り、単射性から $w\in NC$ である。すなわち $n_1,\dots,n_q\in N$ と $C$ の元 $(\bar a_l,\bar b_l)$（$a_l,b_l\in R$、剰余が等しいので $a_l-b_l\in\mathfrak m$）で $w=\sum_l(\bar a_l,\bar b_l)(\bar n_l,\bar n_l)$ となるものがある。成分を比べると $n-\sum_la_ln_l\in\mathfrak m^jR^r$、$\sum_lb_ln_l\in\mathfrak m^jR^r$ で、差をとって
$$n-\sum_l(a_l-b_l)n_l\in N\cap\mathfrak m^jR^r$$
を得る。$a_l-b_l\in\mathfrak m$ なので $N=(N\cap\mathfrak m^jR^r)+\mathfrak mN$ である。$N$ は有限生成なので、同じ頁の定理「中山の補題」の (1) の後半により $N=N\cap\mathfrak m^jR^r$、すなわち $N\subset\mathfrak m^jR^r$ である。
段 6（Krull の交叉定理）．段 5 はすべての $j\ge1$ で成り立つので、引用する事実の 6 を有限生成加群 $R^r$ に当てて $N\subset\bigcap_j\mathfrak m^jR^r=0$ を得る。ゆえに $M\cong R^r$ は自由である。
段 7（近傍での自由性）．同じ頁の定理「有限表示と局所自由の基本性質」の (5) により、$s$ の近傍で $\mathcal E\cong\mathcal O^r$ である。$s$ は任意なので、$\mathcal E$ は有限階数の局所自由である。

証明は $G_{\mathcal E}$ の値を $s$ の上の一点の空間 $P_{A_j}$、$P_C$、$e$ でしか使っていない。したがって結論は、$G_{\mathcal E}$ がこれらの空間の押し出しの条件（上の補題の (3) の全単射性）を満たすという、表現可能性より弱い仮定から出る。上の定理（局所自由な加群の切断の関手）と合わせると、有限表示の加群 $\mathcal E$ について、$G_{\mathcal E}$ が表現可能であることと $\mathcal E$ が有限階数の局所自由であることは同値である。

原論文の「容易に示せる」と証明の要
  1. 原論文は、有限表示の $\mathcal E$ について $G_{\mathcal E}$ が局所自由のときにしか表現可能でないことを「容易に示せる」とだけ書き、証明を与えない（印字 12-03）。上の証明は本書が補ったものである。
  2. 要は段 3 で、冪零元をもつ一点の空間 $P_{A_j}$ を二つ剰余体で貼り合わせた空間 $P_C$ の上の値を使う。被約な一点 $e_s$ の上の値 $G_{\mathcal E}(e_s)=\mathcal E(s)$ だけでは、局所自由でない加群を区別できない（下の反例では $\mathcal E(0)$ も $\mathcal O_S(0)$ も $k$ である）。原論文の枠組みの解析空間が冪零元をもつことを許すのは、この種の議論のためにも要る。
  3. 引用した事実のうち、局所環のネーター性は段 2 の有限次元性と段 6 の Krull の交叉定理に使う。段 2 の有限次元性だけなら、極大イデアルが座標関数で生成されること（本書『0-3 解析空間と数空間』の補題「点の部分空間の存在」の (2)）でも得られるが、段 6 にはネーター性が欠かせない。連作第 III 回の定理（数空間への射と大域関数）は使わない。
  4. 有限表示の仮定は、段 1 の極小な表示の核 $N$ が有限生成であること（段 5 の中山の補題に要る）と、段 7 の茎から近傍への移行に使う。

二つの規約

以上で、局所自由な加群では切断の関手が双対のベクトル束で表され、それ以外の有限表示の加群では表されないことが分かった。これを規約の言葉にまとめる。

二つの規約の比較
  1. 任意の有限表示の $\mathcal O_S$ 加群 $\mathcal E$ に、双対規約のベクトル束 $V(\mathcal E)$ が対応する。
  2. $\mathcal E$ が有限階数の局所自由なら、$\varphi_T$ が与える $T$ について自然な全単射
    $$G_{\check{\mathcal E}}(T)=\Gamma(T,(\check{\mathcal E})_{(T)})\cong\Gamma(T,(\mathcal E_{(T)})^\vee)=\mathrm{Hom}(\mathcal E_{(T)},\mathcal O_T)=F_{\mathcal E}(T)$$
    により、従来の意味の「$\check{\mathcal E}$ の定めるベクトル束」は存在して $V(\mathcal E)$ に等しい。$V(\mathcal E)$ の切断の層は $\check{\mathcal E}$ である。
  3. $\mathcal E$ が有限階数の局所自由なら、従来の意味の「$\mathcal E$ の定めるベクトル束」は存在して $V(\check{\mathcal E})$ に等しく、その切断の層は $\mathcal E$ である。
  4. $\mathcal E$ が有限表示で局所自由でなければ、従来の意味の「$\mathcal E$ の定めるベクトル束」は存在しない。
  1. 本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果「ベクトル束の存在」である。
  2. $\varphi_T$ は同型（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (5)）で、双対の層の大域切断は定義により $\mathrm{Hom}(\mathcal E_{(T)},\mathcal O_T)$ である。$T$ についての自然性は、上の定理（局所自由な加群の切断の関手）の段 3 と同じく、$1\otimes(1\otimes\lambda)$ の形の元の上で確かめられる。ゆえに $G_{\check{\mathcal E}}\cong F_{\mathcal E}$ で、(1) の $V(\mathcal E)$ が $G_{\check{\mathcal E}}$ を表す。$S$ の開集合 $U$ の上の切断は $\mathrm{Hom}_S(U,V(\mathcal E))=F_{\mathcal E}(U)=\mathrm{Hom}(\mathcal E|_U,\mathcal O_U)=\Gamma(U,\check{\mathcal E})$ で、制限と両立するので、切断の層は $\check{\mathcal E}$ である。
  3. 上の定理（局所自由な加群の切断の関手）により $V(\check{\mathcal E})$ が $G_{\mathcal E}$ を表す。切断の層は定義「二つの規約」の後の段落のとおり $\mathcal E$ である。
  4. 上の定理（切断の関手の表現可能性と局所自由性）の対偶である。
  1. と (3) は、局所自由な加群の範囲では二つの規約が双対をとる操作で入れ替わるだけであることを言う。(4) は、局所自由でない有限表示の加群には従来の規約の空間が無く、双対規約の空間だけがあることを言う。原論文が双対規約を採る理由はこの非対称にある。局所自由でない加群の双対は情報を失う（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の例「直線の原点の剰余加群」では双対が $0$ になる）ので、「$\check{\mathcal E}$ の従来のベクトル束」で置き換えることもできない。
原論文の所見（Picard 多様体）

原論文は注意 1.3 の終わりで、局所自由とは限らない加群のベクトル束と、とくにそれに付随する射影束が、幾何で実際に現れ、たとえば「Picard 多様体」の研究に現れる、と述べる（印字 12-04）。例も文献も挙げられていない所見で、本書は判定しない。

例と反例

局所自由でない最も簡単な加群で、切断の関手が表現可能でないことを、上の補題の条件が破れる所まで具体的に計算する。続いて、二つの規約が一致する場合と、一点の上の場合を見る。

反例：局所自由でない加群の切断の関手は表現可能でない

上の定理（局所自由な加群の切断の関手）の、$\mathcal E$ が局所自由であるという仮定を外す。$S=E^1$（座標 $z$）、$\mathcal E=\mathcal O_S/z\mathcal O_S$（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の例「直線の原点の剰余加群」。有限表示で局所自由でない）とすると、$G_{\mathcal E}$ は表現可能でない。上の定理（切断の関手の表現可能性と局所自由性）からも出るが、ここでは局所環のネーター性も Krull の交叉定理も使わずに、上の補題（一点の空間の押し出し）の条件が破れることを直接確かめる。
原点 $s=0$ で $R=k\{z\}$、$M=\mathcal E_0=R/zR$ である。$A_2=R/z^2R=k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$（$\varepsilon$ は $z$ の類。$P_{A_2}$ は本書『0-3 解析空間と数空間』の例「二重点」の空間）とし、$C=A_2\times_kA_2$ をとる。$C$ は $1$、$\varepsilon_1=(\varepsilon,0)$、$\varepsilon_2=(0,\varepsilon)$ を基底とし、$\varepsilon_1^2=\varepsilon_1\varepsilon_2=\varepsilon_2^2=0$ で、$z$ は $\varepsilon_1+\varepsilon_2$ に写る。
(a) $M\otimes_RA_2=A_2/\varepsilon A_2=k$、$M\otimes_Rk=k$ で、$(M\otimes A_2)\times_{M\otimes k}(M\otimes A_2)=k\times_kk$ は $1$ 次元である。
(b) $M\otimes_RC=C/(\varepsilon_1+\varepsilon_2)C$ で、$(\varepsilon_1+\varepsilon_2)C$ は $\varepsilon_1+\varepsilon_2$ の張る $1$ 次元の部分空間なので、$M\otimes_RC$ は $2$ 次元である。
(c) (b) から (a) への写像は、$(a+b\varepsilon,a+b'\varepsilon)$ の類を $(a,a)$ に送る。$\varepsilon_1$ の類は $0$ でないが $0$ に写るので、この写像は単射でない。
上の補題（一点の空間の押し出し）の (3) と補題（一点の空間の上の切断）により、$G_{\mathcal E}$ が表現可能ならこの写像は全単射のはずなので、$G_{\mathcal E}$ は表現可能でない。一方、双対規約のベクトル束 $V(\mathcal E)$ は存在する（本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の例「原点で潰れた直線のベクトル束」）。被約な点の上の値 $G_{\mathcal E}(e_0)=\mathcal E(0)=k$ は、$\mathcal O_S$ の値 $\mathcal O_S(0)=k$ と区別がつかず、区別は冪零元をもつ $P_C$ の上で初めて現れる。

一点の上の切断の関手

$S=e$ とする。$\mathcal O_e$ 加群は $k$ ベクトル空間で、有限表示であることは有限次元であることと同じなので、有限表示の加群はどれも自由 $k^n$ で、上の定理（切断の関手の表現可能性と局所自由性）の結論は自動的に成り立つ。$G_{k^n}(T)=\Gamma(T,\mathcal O_T^n)=\Gamma(T,\mathcal O_T)^n$ は数空間 $E^n$ で表される（本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「底と数空間の積」を $S=e$ に当てると $e\times E^n$ で、これは $E^n$ である）。双対規約でも $F_{k^n}(T)=\Gamma(T,\mathcal O_T)^n$ で、二つの規約の空間は同じ $E^n$ になる。ただし基底に依らない形では、$V(k^n)$ の点は $k^n$ の双対空間の元で、従来の規約の空間の点は $k^n$ の元である。

自明な直線束の二つの規約

$\mathcal E=\mathcal O_S$ とする。$\check{\mathcal O_S}=\mathcal O_S$（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の補題「茎による計算」の (4)）で、$F_{\mathcal O_S}(T)=\mathrm{Hom}(\mathcal O_T,\mathcal O_T)=\Gamma(T,\mathcal O_T)=G_{\mathcal O_S}(T)$ である。二つの規約はどちらも $S\times E^1$ を与え、切断の層はどちらも $\mathcal O_S$ である。一般の可逆な加群 $\mathcal L$ では、双対規約の空間は切断の層が $\check{\mathcal L}$ の $V(\mathcal L)$、従来の規約の空間は切断の層が $\mathcal L$ の $V(\check{\mathcal L})$ で（上の定理（二つの規約の比較））、$\check{\mathcal L}$ と $\mathcal L$ が同型でなければ二つの空間の切断の層は異なる。$\mathcal O_S$ で二つが一致するのは、$\check{\mathcal O_S}=\mathcal O_S$ だからである。

その後の発展

以下は後代の文献の紹介である（本書は文献を開いて該当箇所を確かめていない）。

  • 幾何的ベクトル束と局所自由層（1961〜1977 年）：代数幾何では EGA2 が双対規約で準連接な加群にベクトル束を対応させ、教科書 Har77 は演習で、局所自由な加群と、切断の層が双対になる幾何的なベクトル束との対応を扱う。本頁の主結果「二つの規約の比較」の代数幾何版に当たる。
  • Picard スキーム（1961〜1962 年）：原論文が所見で触れる Picard 多様体は、代数幾何では Picard スキームとして Grothendieck の Bourbaki セミナーの講演 FGA で構成された。そこで局所自由とは限らない加群のベクトル束や射影束がどう使われるかを、本書は確かめていない。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Gro61v である。印字頁は PDF の頁番号から 1 を引いたもの（PDF $n$ が印字 12-$(n-1)$）である。

本頁原論文印字頁
定義「切断の関手」注意 1.3 の冒頭12-03
主結果「切断の関手の表現可能性と局所自由性」、注意「原論文の「容易に示せる」と証明の要」注意 1.3 の「容易に示せる」主張12-03
主結果「局所自由な加群の切断の関手」注意 1.3 の、命題 1.1 を双対の加群に当てる段と「Cf. 1.9」12-03〜12-04
定義「二つの規約」、主結果「二つの規約の比較」注意 1.3 の規約の段12-04
注意「原論文の所見（Picard 多様体）」注意 1.3 の終わり12-04

参考文献

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[2]
Alexander Grothendieck, Schémas et espaces analytiques, Séminaire de Géométrie algébrique, Institut des Hautes Études Scientifiques, Paris, 1961
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Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique I：Le langage des schémas, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 1960, 5–228
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Jean-Pierre Serre, Géométrie algébrique et géométrie analytique, Annales de l'Institut Fourier, 1956, 1–42
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Jean-Pierre Serre, Faisceaux algébriques cohérents, Annals of Mathematics, 1955, 197–278
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Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique II : Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 1961, 5–222
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Alexander Grothendieck, Techniques de construction en géométrie analytique. III. Produits fibrés d'espaces analytiques（exposé n° 10）, Séminaire Henri Cartan, Familles d'espaces complexes et fondements de la géométrie analytique 13e année (1960/61), tome 13, n° 1, 1961, 1–11
[10]
Alexander Grothendieck, Techniques de construction en géométrie analytique. IX. Quelques problèmes de modules（exposé n° 16）, Séminaire Henri Cartan, Familles d'espaces complexes et fondements de la géométrie analytique 13e année (1960/61), tome 13, n° 2, 1961, 1–20
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Adrien Douady, Le problème des modules pour les sous-espaces analytiques compacts d'un espace analytique donné, Annales de l'Institut Fourier, 1966, 1–95
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Alexander Grothendieck, Fondements de la géométrie algébrique（Séminaire Bourbaki の講演の集成）, Secrétariat mathématique, Paris, 1962
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Alexander Grothendieck, Techniques de construction en géométrie analytique. IV. Formalisme général des foncteurs représentables（exposé n° 11）, Séminaire Henri Cartan, Familles d'espaces complexes et fondements de la géométrie analytique 13e année (1960/61), tome 13, n° 1, 1961, 1–28
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Alexander Grothendieck, Techniques de construction en géométrie analytique. VIII. Rapport sur les théorèmes de finitude de Grauert et Remmert, Séminaire Henri Cartan, 13e année, exposé 15, 1960, 1–10
[22]
Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique I（新版）, 166, Springer, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 1971
[24]
Alexander Grothendieck, Techniques de construction en géométrie analytique. II. Généralités sur les espaces annelés et les espaces analytiques（exposé n° 9）, Séminaire Henri Cartan, Familles d'espaces complexes et fondements de la géométrie analytique 13e année (1960/61), tome 13, n° 1, 1961, 1–14

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