2-2 Grassmann 束の存在
有限表示の加群の Grassmann 関手が、解析空間の圏で表現可能であることを示す。加群を生成する切断の部分族ごとに、選んだ切断が商の基底になる部分関手を作り、それがベクトル束の閉部分空間で表されること、ファイバーが開集合であること、全体を覆うことを確かめて、前の講演の判定法で貼り合わせる。原論文が前提にした Grassmann 束の積の存在も、同じ議論で示す。
前提知識: Grassmann多様体, 表現可能関手, ベクトル束, 開部分空間, 中山の補題, 解析空間
この頁で示すこと
$S$ を解析空間とし、関手はすべて $S$ 上の解析空間の圏 $(\mathrm{An})_{/S}$ に制限して考える（本書『0-3 解析空間と数空間』の定義「解析空間の射」。解析空間の射の茎の射は局所的である、本書『0-3 解析空間と数空間』の補題「剰余体が基礎体の局所代数の射」の (2)）。$\mathcal E$ を $\mathcal O_S$ 加群、$n\ge0$ を整数とし、旗の関手 $\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)$、$\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)$ は本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の定義「型の旗」と主結果「旗の逆像と旗の関手」のものとする。$\mathcal E$ を生成する切断の族 $(f_i)_{i\in I}$ と、$I$ の $n$ 元部分集合 $H$ について、標準の開部分関手 $F_H$ と開集合 $U_H$ を下の定義「標準の開部分関手」で置く。
本頁の主結果は次の六つである。
- 旗の関手の局所性（原論文 §3 冒頭の「Il est immédiat」の段、印字 12-10）：$\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)$ とその有限個の積は局所的な関手で、その表現可能性は $S$ の上で局所的な問題である。［条件付き：本書『0-4 表現可能性の判定法』の定義「局所的な関手」と定理「底の開被覆による表現可能性の判定」を引用。解析空間の定義の下では完結。足した仮定：解析空間は分離的とは限らない、空の和と空の被覆を含める、旗の読み］
- 標準の開部分関手（原論文 §3 の $F_H$ の定義に添えた主張、印字 12-10）：$\varphi_H$ との合成が全射になる商の全体 $F_H$ は $\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)$ の部分関手で、$F_H(T)$ の商では合成は同型である。［完結。足した仮定：旗の読み］
- 標準の開部分関手のベクトル束による表現（原論文 §3 の段 a.、印字 12-11）：$\mathcal E$ が有限表示なら、$F_H(T)$ は $v\circ\varphi_H=\mathrm{id}$ となる射 $v\colon\mathcal E_{(T)}\to\mathcal O_T^H$ の全体と $T$ について自然に一対一で、$F_H$ はベクトル束 $V(\mathcal E^{\oplus H})$ の閉部分空間で表される。［条件付き：本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果「ベクトル束の存在」による。本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「零点の部分空間」を引用。足した仮定：旗の読み］
- 標準の開部分関手のファイバーは開集合（原論文 §3 の段 b.、印字 12-11）：$\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)$ の $T$ 点 $\eta$ について、$F_H$ の $\eta$ の上のファイバーは $T$ の開部分空間 $U_H$ で表され、$U_H=T$ となるのは $\eta$ の商と $\varphi_H$ の合成が全射のときに限る。［条件付き：本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「全射になる点の開集合」、本書『0-4 表現可能性の判定法』の補題「開部分空間が表す前層」を引用。解析空間の定義の下では完結。足した仮定：旗の読み］
- 標準の開部分関手による被覆（原論文 §3 の段 c.、印字 12-11）：同じ状況で、$H$ が $I$ の $n$ 元部分集合の全体を動くとき、$U_H$ たちは $T$ を覆う。［完結。足した仮定：旗の読み］
- Grassmann 束とその積の存在（原論文 §3 の「Cela prouve donc」の結論と、一般の旗の段が前提にする積、印字 12-11〜12-12）：有限表示の加群 $\mathcal E^{(1)},\dots,\mathcal E^{(l)}$ と整数 $n_j\ge0$ について、$\prod_j\mathbf{Grass}_{n_j}(\mathcal E^{(j)})$ は表現可能である。とくに $\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)$ は表現可能で、$\mathcal E$ が $(f_i)_{i\in I}$ で生成されるなら $F_H$ はその開部分空間で表される。［条件付き：主結果 1〜5 による（主結果 3 を通して本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果「ベクトル束の存在」に依る）。本書『0-4 表現可能性の判定法』の定理「開部分関手で覆われる局所的な関手の表現可能性」「底の開被覆による表現可能性の判定」と補題「開部分空間が表す前層」、本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「零点の部分空間」「全射になる点の開集合」、本書『0-3 解析空間と数空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」を引用。足した仮定：解析空間は分離的とは限らない、空の和と空の被覆を含める、旗の読み］
主結果 2 と 5 は、本書『0-2 環付き空間の上の加群』で証明した加群の事実と、解析空間の局所環が局所環であること（本書『0-3 解析空間と数空間』の定理「局所環の剰余体」。同じ頁で証明する）、解析空間の射の茎の射が局所的であること（本書『0-3 解析空間と数空間』の補題「剰余体が基礎体の局所代数の射」の (2)。同じ頁で証明する）だけで閉じる。主結果 1 と 4 は第 9 巻『表現可能関手の一般形式』の判定法か本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題を引き、それらは連作の定理を使わない。主結果 3 と 6 はベクトル束の存在を通して連作第 III 回の定理に依る。札の「旗の読み」は本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の注意「旗の読み」の足した仮定である。
背景と動機
原論文 §3 は「存在定理と閉はめ込み定理の証明」と題され（印字 12-10）、§2 で述べた命題 2.1・2.2 を証明する。まず $p=1$、すなわち Grassmann 関手の表現可能性を示し、一般の旗はそれに帰着する（本書『2-3 旗束の存在定理』）。道具は連作第 IV 回 Gro61iv の命題 5.6（本書『0-4 表現可能性の判定法』の定理「開部分関手で覆われる局所的な関手の表現可能性」）である。局所的な関手が、表現可能な開部分関手の族で覆われれば、関手自身が表現可能になる。
古典的な Grassmann 多様体の標準のアフィン開被覆がその開部分関手の手本である。$k^N$ の余次元 $n$ の部分空間 $K$ のうち、選んだ $n$ 個の座標で $k^N/K$ の基底が得られるものの全体は $k^{n(N-n)}$ と同一視される。原論文はこれを相対的な状況で行う。$\mathcal E$ を生成する切断を $n$ 個選び、それが商の基底になる部分を $F_H$ とする。原論文は、第 IV 回の命題 5.6 の条件を段 a.（各 $F_H$ が表現可能）、段 b.（$F_H$ が開部分関手）、段 c.（$F_H$ たちが全体を覆う）の三つに分けて確かめる（印字 12-11）。本頁の主結果 3・4・5 がこの三段に当たる。
局所性の段は「Il est immédiat」の一文で済まされている（印字 12-10）。本頁の主結果 1 はそれを補う。また、次の段落（印字 12-11〜12-12）で原論文は一般の旗を扱うのに Grassmann 束の積を空間として使うが、その存在には触れない。本頁の主結果 6 は、積の存在も同じ議論で示す。
定義と準備
生成切断の部分族から開部分関手を作る。定義の前に引用する事実をまとめる。
引用する事実
次の事実を本書の第 0 章と第 1 章から引用する。出典は第 9 巻（原論文が引く第 IV 回）と連作第 III 回 Gro61iii である。本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理と補題はすべて同じ頁で証明したもので、本書の札では完結の入力に数える。表現可能な前層の間の射を表す空間の射とみることは、本書『0-4 表現可能性の判定法』の注意「米田の約束」に従って断らずに行う。
- 局所的な関手と底の開被覆による表現可能性の判定（本書『0-4 表現可能性の判定法』の定義と定理。第 9 巻の頁『4-2 局所的な関手の表現可能性』の定義と主結果）：$(\mathrm{An})_{/S}$ 上の前層 $G$ が局所的とは、各 $S$ 上の空間 $T$ の開集合の上で、空の被覆を含めて層になることをいう。$S$ の開被覆 $(S_\lambda)$ について、$G$ が表現可能であることは、$G$ が局所的で、各 $G_{/S_\lambda}$ が表現可能であることと同値である。
- 開部分関手で覆われる局所的な関手の表現可能性（同じ頁の定理。第 9 巻の同じ頁の主結果）：前層の射の族 $u_i\colon F_i\to G$（各 $F_i$ は表現可能）について、(a) どの $T$ とどの $\eta\in G(T)$ についてもファイバー $F_{i\eta}$ が $T$ の開部分空間 $T_{i\eta}$ で表され、$T=\bigcup_iT_{i\eta}$ であり、(b) $G$ が局所的であれば、$G$ は表現可能で、$u_i$ を表す射はすべて開はめ込みで、その像は表す空間を覆う。
- 開部分空間が表す前層（同じ頁の補題）：$T$ の開集合 $W$ について、$(\mathrm{An})_{/T}$ 上の前層で、$q\colon T''\to T$ に $q(T'')\subset W$ なら一点、そうでなければ空集合を対応させるものは、$W$ で表される。
- 零点の部分空間（本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題）：解析空間 $X$ の上の有限型の加群 $\mathcal K$ から有限階数の局所自由な加群 $\mathcal L$ への射 $c$ について、$g^*c=0$ となる射 $g\colon T\to X$ のなす $h_X$ の部分前層は、閉部分空間 $Z(\mathcal J_c)$ で表される（$(\mathrm{An})_{/S}$ でも同じ）。
- 全射になる点の開集合（同じ頁の補題）：解析空間 $T$ の上の射 $\alpha\colon\mathcal A\to\mathcal B$（$\mathcal B$ は有限型）について、既約ファイバーの射 $\alpha(t)$ が全射になる点の集合 $U_\alpha$ は開で、$\alpha$ は $U_\alpha$ の上で全射であり、射 $g\colon T''\to T$ について $g^*\alpha$ が全射であることは $g(T'')\subset U_\alpha$ と同値である。
- ベクトル束の存在（本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果）：有限表示の加群 $\mathcal B$ について、$T\mapsto\mathrm{Hom}_{\mathcal O_T}(\mathcal B_{(T)},\mathcal O_T)$ は $S$ 上の解析空間 $V(\mathcal B)$ で表される。$V(0)=S$ である。
$S$ 上の空間 $T$ について、$S$ の上の切断 $f$ の $T$ への引き戻し $1\otimes f\in\Gamma(T,\mathcal E_{(T)})$ を $f_{(T)}$ と書き、加群の射 $\varphi$ の引き戻し $p_T^*\varphi$ を、源と目標の標準同型で書き直したものを $\varphi_{(T)}$ と書く。有限集合 $H$ について、$\mathcal O_S^H$ は $H$ で番号づけた基底 $(b_h)_{h\in H}$ をもつ自由加群で、$H$ に順序を入れれば $\mathcal O_S^n$（$n$ は $H$ の元の個数）と同一視される。
$\mathcal E$ を $\mathcal O_S$ 加群、$(f_i)_{i\in I}$ を $\mathcal E$ の $S$ の上の切断の族、$n\ge0$ を整数とする。
(1) $I$ の $n$ 元部分集合 $H$ について、$b_h\mapsto f_h$ で定まる射を $\varphi_H\colon\mathcal O_S^H\to\mathcal E$ と書く。$S$ 上の空間 $T$ について $\varphi_{H,T}=(\varphi_H)_{(T)}\colon\mathcal O_T^H\to\mathcal E_{(T)}$ は $b_h\mapsto f_{h,(T)}$ で定まる射である。
(2) $F_H(T)$ を、$\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)(T)$ の元のうち、代表 $q\colon\mathcal E_{(T)}\to\mathcal E_1$ について合成 $q\circ\varphi_{H,T}\colon\mathcal O_T^H\to\mathcal E_1$ が全射になるものの集合とする。これを標準の開部分関手と呼ぶ（部分関手であることは下の主結果「標準の開部分関手」で示す）。
(3) $\eta\in\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)(T)$ の代表を $q\colon\mathcal E_{(T)}\to\mathcal E_1$ とし、$\alpha_H=q\circ\varphi_{H,T}$ とおく。既約ファイバーの射 $\alpha_H(t)\colon k(t)^H\to\mathcal E_1(t)$ が全射になる点 $t\in T$ の集合を $U_H$ または $U_H(\eta)$ と書く。
原論文は同じ記号 $\varphi_H$、$f_i$ を $T$ への引き戻しにも使い、$F_H(T)$ を「合成が全射、したがって同型（二つの層は同じ階数の局所自由なので）」となる商の集合とする（印字 12-10）。$F_H(T)$ と $U_H$ が代表 $q$ の選び方によらないことは、代表を同型 $\varphi$ で $\varphi\circ q$ に替えても $\alpha_H$ が $\varphi\circ\alpha_H$ に替わるだけであることから分かる。$U_H$ の定義に、生成するという仮定は要らない。生成の仮定は主結果 5 の被覆にだけ使う。
主結果と証明
判定法を当てる前に、旗の関手が局所的であることを確かめる。次に、部分関手 $F_H$ を置いて原論文の三段 a.・b.・c. を順に示し、最後に判定法で貼り合わせる。
局所性
$\mathcal E^{(1)},\dots,\mathcal E^{(l)}$（$l\ge0$）を $\mathcal O_S$ 加群、$m^{(1)},\dots,m^{(l)}$ を $0$ 以上の整数の増加列とし、$G=\prod_{j=1}^l\mathbf{Drap}_{m^{(j)}}(\mathcal E^{(j)})$（値ごとの積。$l=0$ ならどの $T$ でも一点をとる前層）とする。
(1) $G$ は $(\mathrm{An})_{/S}$ 上の局所的な関手である。とくに $\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)$ と $\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)$ は局所的である。
(2) $S$ の開集合 $S_\lambda$ について、$G$ の $(\mathrm{An})_{/S_\lambda}$ への制限 $G_{/S_\lambda}$ は、$\mathcal E^{(j)}$ を制限 $\mathcal E^{(j)}|_{S_\lambda}$ に替えた同じ形の積と自然に同型である。
(3) $S$ の開被覆 $(S_\lambda)$ について、$G$ が表現可能であることは、各 $G_{/S_\lambda}$ が表現可能であることと同値である。
段 1（開集合の上の値）．$S$ 上の空間 $T$ の開集合 $U$ を、包含 $\iota\colon U\to T$ と構造射の合成で $S$ 上の空間とみる。本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (1) と補題「茎による計算」の (3) により、$\mathcal E_{(U)}\cong\iota^*\mathcal E_{(T)}=\mathcal E_{(T)}|_U$ で、この同一視の下で、$\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)(\iota)$ は旗の各成分の代表を $U$ に制限する写像である。本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の補題「商と核」の (3)(4) により、旗を核の列で表せば、この写像は核 $\mathcal K_i\subset\mathcal E_{(T)}$ を $\mathcal K_i|_U$ に送る。したがって $U\mapsto\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)(U)$ は、$T$ の上の前層として、$\mathcal E_{(T)}|_U$ の部分加群の列 $\mathcal K_1\supset\dots\supset\mathcal K_p$ で各 $(\mathcal E_{(T)}|_U)/\mathcal K_i$ が階数 $m_i$ の局所自由なものの集合に、制限写像を対応させたものである。
段 2（層の条件）．$U$ の開被覆 $(U_\alpha)$ と、各 $U_\alpha$ の上の核の列 $(\mathcal K^\alpha_i)$ で重なりで一致するものをとる。$U$ の開集合 $W$ の上の $\mathcal E_{(T)}$ の切断 $s$ で、すべての $\alpha$ について $s|_{W\cap U_\alpha}\in\mathcal K^\alpha_i(W\cap U_\alpha)$ となるものの全体を $\mathcal K_i(W)$ とする。$\mathcal E_{(T)}$ は層なので $\mathcal K_i$ は部分加群の層で、重なりで一致することから $\mathcal K_i|_{U_\alpha}=\mathcal K^\alpha_i$ である。余核は茎で計算される（同じ頁の補題「茎による計算」の (3)）ので $(\mathcal E_{(T)}|_U/\mathcal K_i)|_{U_\alpha}=\mathcal E_{(T)}|_{U_\alpha}/\mathcal K^\alpha_i$ で、階数 $m_i$ の局所自由であることは局所的な条件なので $U$ の上でも成り立つ。包含 $\mathcal K_{i+1}\subset\mathcal K_i$ も各 $U_\alpha$ の上で成り立つので $U$ の上で成り立つ。部分加群の層はその切断が制限で決まるので、貼り合わせはただ一つである。$U=\emptyset$ では $\mathcal E_{(T)}|_\emptyset=0$ で、核の列は $(0,\dots,0)$ だけなので値は一点であり、空の被覆についても条件が成り立つ。ゆえに $\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)$ は局所的である（本書『0-4 表現可能性の判定法』の定義「局所的な関手」）。
段 3（積）．層の積は層で、一点の前層は空の被覆も含めて層なので、$G$ は局所的である。
段 4（底の制限）．$S_\lambda$ 上の空間 $T$ を包含 $S_\lambda\to S$ との合成で $S$ 上の空間とみると、段 1 と同じ標準同型により $\mathcal E_{(T)}\cong(\mathcal E|_{S_\lambda})_{(T)}$ で、これは $T$ について自然である。旗の集合をこの同型で移し替えれば (2) の同型を得る（本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の主結果「旗の逆像と旗の関手」の段 2・段 3 と同じ議論）。
段 5（(3)）．(1) と本書『0-4 表現可能性の判定法』の定理「底の開被覆による表現可能性の判定」による。
段 2 の貼り合わせは部分加群の層を切断で定めるだけで、層を片から貼り合わせる構成（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「環付き空間と層の貼り合わせ」）は要らない。旗を核で表したことがここで効く。原論文はこの主張を、第 IV 回の 5.4 を引いて「Il est immédiat」と書き、5.7 により「問題は $S$ の上で局所的」と続ける（印字 12-10）。以後、表現可能性を示すときは $S$ を開集合に取り替えてよい。
標準の開部分関手と段 a.
$\mathcal E$ を $\mathcal O_S$ 加群、$(f_i)_{i\in I}$ を $\mathcal E$ の $S$ の上の切断の族、$H$ を $I$ の $n$ 元部分集合とする。
(1) $S$ 射 $g\colon T'\to T$ について、$\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)(g)$ は $F_H(T)$ を $F_H(T')$ に写す。したがって $F_H$ は $\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)$ の部分関手である。
(2) $F_H(T)$ の元の代表 $q\colon\mathcal E_{(T)}\to\mathcal E_1$ について、$q\circ\varphi_{H,T}\colon\mathcal O_T^H\to\mathcal E_1$ は同型である。
段 1（(1)）．$q\circ\varphi_{H,T}$ が全射なら、本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (3) により $g^*(q\circ\varphi_{H,T})=g^*q\circ g^*\varphi_{H,T}$ は全射である。同じ定理の (1)(2) により、標準同型 $g^*\mathcal E_{(T)}\cong\mathcal E_{(T')}$、$g^*\mathcal O_T^H\cong\mathcal O_{T'}^H$ の下で $g^*\varphi_{H,T}$ は $\varphi_{H,T'}$ に対応する（どちらも基底 $b_h$ を $f_h$ の引き戻しに送る）。ゆえに $g^*\eta$ の代表と $\varphi_{H,T'}$ の合成は全射で、$g^*\eta\in F_H(T')$ である。
段 2（(2)）．$\mathcal O_T^H$ と $\mathcal E_1$ はどちらも階数 $n$ の局所自由なので、同じ頁の定理「有限表示と局所自由の基本性質」の (4) により、その間の全射は同型である。$n=0$ でも成り立つ。
原論文は、逆像が全射を全射に移すことを「$F_H(T)$ は $T$ の関手である」の理由に挙げる（印字 12-10）。上の証明の段 1 がそれで、加群の事実だけで閉じる。(2) により、$F_H(T)$ の商は、選んだ $n$ 個の切断の像を基底とする自由加群である。この基底で商を書き直すと、商は $\mathcal E_{(T)}$ から $\mathcal O_T^H$ への射で表され、ベクトル束に移る。
$\mathcal E$ を有限表示の $\mathcal O_S$ 加群とし、$(f_i)_{i\in I}$、$H$ を上の主結果（標準の開部分関手）のとおりとする。
(1) $F_H(T)$ の元（代表 $q$）に $v=(q\circ\varphi_{H,T})^{-1}\circ q\colon\mathcal E_{(T)}\to\mathcal O_T^H$ を対応させる写像は、$F_H(T)$ から集合 $\{v\in\mathrm{Hom}(\mathcal E_{(T)},\mathcal O_T^H):v\circ\varphi_{H,T}=\mathrm{id}\}$ への全単射で、$T$ について自然である。
(2) $X=V(\mathcal E^{\oplus H})$ とし、その普遍元に対応する射を $v_X\colon\mathcal E_{(X)}\to\mathcal O_X^H$ とする。$c=v_X\circ\varphi_{H,X}-\mathrm{id}\colon\mathcal O_X^H\to\mathcal O_X^H$ の零点の部分空間 $Z(\mathcal J_c)$ が $F_H$ を表す。
段 1（写像が定まる）．代表を同型 $\psi$ で $\psi q$ に替えると $(\psi q\varphi_{H,T})^{-1}\psi q=(q\varphi_{H,T})^{-1}q$ なので、$v$ は類だけで決まる。上の主結果（標準の開部分関手）の (2) により $q\varphi_{H,T}$ は同型なので $v$ は定まり、$v\varphi_{H,T}=\mathrm{id}$ である。
段 2（逆写像）．$v\varphi_{H,T}=\mathrm{id}$ なら $v$ は右逆をもつので全射で、$\mathcal O_T^H$ は階数 $n$ の局所自由なので、$v$ は $\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)(T)$ の元の代表である。$v\circ\varphi_{H,T}=\mathrm{id}$ は全射なので、その類は $F_H(T)$ に入る。$v$ から作った類に段 1 の写像を当てると $v$ に戻る。逆に $q$ の類から作った $v$ の類は、$v=(q\varphi_{H,T})^{-1}q$ が $q$ と同型で違うだけなので $q$ の類である。ゆえに全単射である。
段 3（自然性）．$S$ 射 $g\colon T'\to T$ について、$g^*v$ を標準同型で書き直した射を $v'$ とすると、上の主結果（標準の開部分関手）の証明の段 1 と同じ理由で $v'\varphi_{H,T'}$ は $g^*(v\varphi_{H,T})=\mathrm{id}$ に対応し、$v'$ は $g^*q$ の類から作った射である（$g^*$ は射の合成と逆射を保つ）。ゆえに (1) の全単射は引き戻しと可換である。
段 4（ベクトル束）．有限直和からの射は成分への制限の組で決まり、有限直和への射は成分の組で決まるので、$\mathrm{Hom}(\mathcal E_{(T)},\mathcal O_T^H)=\mathrm{Hom}(\mathcal E_{(T)},\mathcal O_T)^H=\mathrm{Hom}(\mathcal E_{(T)}^{\oplus H},\mathcal O_T)$ である。本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (1)(2) の標準同型 $(\mathcal E^{\oplus H})_{(T)}\cong\mathcal E_{(T)}^{\oplus H}$ を合わせると、$T$ について自然な全単射 $\mathrm{Hom}(\mathcal E_{(T)},\mathcal O_T^H)\cong\mathrm{Hom}((\mathcal E^{\oplus H})_{(T)},\mathcal O_T)$ を得る。$\mathcal E^{\oplus H}$ は有限表示なので（同じ定理の (4)）、引用する事実の 6 により右辺は $X=V(\mathcal E^{\oplus H})$ が表す。ゆえに $S$ 射 $g\colon T\to X$ に $g^*v_X$（標準同型で書き直したもの）を対応させる写像は、$\mathrm{Hom}_S(T,X)$ から $\mathrm{Hom}(\mathcal E_{(T)},\mathcal O_T^H)$ への $T$ について自然な全単射である。
段 5（零点）．$S$ 射 $g\colon T\to X$ について、$g^*$ は射の差を差に移す（茎の上でテンソル積が射の和と両立するため）ので、標準同型の下で $g^*c=g^*v_X\circ\varphi_{H,T}-\mathrm{id}$ である。ゆえに $g^*c=0$ は $g^*v_X$ が (1) の集合に入ることと同値である。$\mathcal O_X^H$ は有限型でかつ有限階数の局所自由なので、引用する事実の 4 により部分前層 $\{g:g^*c=0\}$ は $Z(\mathcal J_c)$ で表される。段 4 の全単射はこの部分前層を (1) の集合に移し、(1) によりそれは $F_H(T)$ と $T$ について自然に一対一である。ゆえに $h_{Z(\mathcal J_c)}\cong F_H$ である。
段 6（境界）．$n=0$ なら $H=\emptyset$、$\mathcal O_S^\emptyset=0$、$\mathcal E^{\oplus\emptyset}=0$、$X=V(0)=S$ で、$c$ は $0\to0$ なので $Z(\mathcal J_c)=S$ である。$F_\emptyset=\mathbf{Grass}_0(\mathcal E)$ はどの $T$ でも一点で、$S$ が表す。
段 4 と段 5 で、原論文の段 a. の二つの事実、すなわち $F_H(T)$ が $v\circ\varphi_H=\mathrm{id}$ となる $v$ の集合と同一視されることと、それがベクトル束の中で表されることを示した。原論文はこの表現を「組 $(\alpha,\beta)$ の核」と書く。その読み方を次の注意で確かめる。
原論文の段 a.（印字 12-11）は、集合の完全列
$$F_H(T)\to\mathrm{Hom}(\mathcal E_{(T)},\mathcal O_T^n)\rightrightarrows\mathrm{Hom}(\mathcal O_T^n,\mathcal O_T^n)$$
（二つの矢は $\alpha(v)=v\circ\varphi_H$ と、恒等射を値とする定値写像 $\beta$）を書き、後の二項が命題 1.1 によりベクトル束の $n$ 個の積で表されるので、$F_H$ は「組 $(\alpha,\beta)$ の核」として表現可能だ、とする。ここでの核は等化子、すなわち $\alpha(v)=\beta(v)$ となる $v$ の集合で、それは $\alpha(v)-\beta(v)=0$ となる $v$ の集合と同じである。上の証明の $c$ は、普遍元の上で $\alpha-\beta$ をとったものなので、原論文の核と本書の $Z(\mathcal J_c)$ は同じ部分前層を表す。原論文は等化子が表現可能である理由を書かない。本書は差の零点の部分空間として直接示した。後の二項を表す空間の $n$ 個の積は、直和のベクトル束 $V(\mathcal E^{\oplus n})$、$V(\mathcal O_S^{n\cdot n})$ として存在する（上の証明の段 4 と同じ）。
段 b. と段 c.
$F_H$ が $\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)$ の中で開いた部分であることを、$T$ 点ごとのファイバーで述べる。ファイバーの言葉は本書『0-4 表現可能性の判定法』の定義「射のファイバー」のもので、$\eta\in\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)(T)$ の上のファイバー $(F_H)_\eta$ は、$T$ 上の空間 $g\colon T''\to T$ に $\{x\in F_H(T''):x=g^*\eta\}$ を対応させる $(\mathrm{An})_{/T}$ 上の前層である。
$\mathcal E$、$(f_i)_{i\in I}$、$H$ を上の主結果（標準の開部分関手）のとおりとし、$\eta\in\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)(T)$ の代表を $q\colon\mathcal E_{(T)}\to\mathcal E_1$、$\alpha_H=q\circ\varphi_{H,T}$ とする。
(1) $U_H$ は $T$ の開集合で、$\alpha_H$ は $U_H$ の上で同型である。
(2) ファイバー $(F_H)_\eta$ は、開部分空間 $U_H$（包含を構造射とする）で表される。
(3) $U_H=T$ であることは、$\alpha_H$ が全射であること、すなわち $\eta\in F_H(T)$ であることと同値である。
段 1（ファイバーの値）．$F_H$ は部分関手なので、$(F_H)_\eta(g)$ は $g^*\eta\in F_H(T'')$ なら一点 $\{g^*\eta\}$、そうでなければ空である。上の主結果（標準の開部分関手）の証明の段 1 のとおり、$g^*\eta$ の代表と $\varphi_{H,T''}$ の合成は標準同型の下で $g^*\alpha_H$ に対応するので、$g^*\eta\in F_H(T'')$ は $g^*\alpha_H$ が全射であることと同値である。
段 2（開集合）．$\mathcal E_1$ は局所自由なので有限型である。引用する事実の 5 を $\alpha_H$ に当てると、$U_{\alpha_H}=U_H$ は開で、$\alpha_H$ はその上で全射、したがって同じ階数の局所自由の間の全射として同型である（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「有限表示と局所自由の基本性質」の (4)）。また $g^*\alpha_H$ が全射であることは $g(T'')\subset U_H$ と同値である。
段 3（表現）．段 1・段 2 により、$(F_H)_\eta(g)$ は $g(T'')\subset U_H$ のとき一点、そうでないとき空である。引用する事実の 3 により $(F_H)_\eta$ は $U_H$ で表される。
段 4（(3)）．$U_H=T$ なら段 2 により $\alpha_H$ は全射である。逆に $\alpha_H$ が全射なら、各点で $\alpha_H(t)$ は全射である（同じ頁の定理「逆像と加群の演算」の (6)）。
原論文はこの段 b. を、第 IV 回の 5.9 の判定と中山の補題で述べる。本書は本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「全射になる点の開集合」で直接示した（中山の補題はその補題の証明の中で使われる）。二つの道が同じ開集合を与えることを確かめておく。
原論文の段 b.（印字 12-11）は、$(F_H)_\eta$ が $T$ の開集合で表されることを、第 IV 回の 5.9（本書『0-4 表現可能性の判定法』の定理「開はめ込みの点ごとの判定」）により「$U_H$ が開で、$U_H=T$ となるのは合成が全射のときに限る」と言い換え、それを中山の補題（有限型の加群への射が点の既約ファイバーで全射なら近傍で全射。本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「中山の補題」の (3)）から導く。判定は、底 $T$ の上で前層の射 $(F_H)_\eta\to h_T$ に当てる。その条件 (a) は $(F_H)_\eta$ の値が高々一点であることで、成り立つ。点 $t$ の部分空間 $i_t\colon e_t\to T$（本書『0-3 解析空間と数空間』の補題「点の部分空間の存在」）での $\eta$ の値の商は $\mathcal E_1$ の $e_t$ への引き戻し、すなわち既約ファイバー $\mathcal E_1(t)$ で、それが $F_H(e_t)$ に入るのは $\alpha_H(t)$ が全射のときである。ゆえに判定の点の集合は $U_H$ に等しい。$T$ 上の空間 $g\colon T''\to T$ に $\eta$ を引き戻せば、同じ理由で点の集合は $g^{-1}(U_H)$ になるので、条件 (b) は $U_H$ が開であること、条件 (c) は上の主結果の (3) の一方向（$g^*\eta$ について）である。どちらの道でも、ファイバーは同じ開部分空間 $U_H$ で表される。判定を使う道も本書の道も、第 9 巻で「解析空間の定義の下では完結」とされた結果にだけ依る。
段 c. は、生成切断のどれかの $n$ 元部分族が各点で商の基底になる、という線形代数である。
$(f_i)_{i\in I}$ が $\mathcal E$ を生成するとし、$T$、$\eta$ を上の主結果（標準の開部分関手のファイバーは開集合）のとおりとする。$H$ が $I$ の $n$ 元部分集合の全体を動くとき、$T=\bigcup_HU_H$ である。とくに、$I$ の元が $n$ 個未満で $T$ が空でなければ、$\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)(T)$ は空である。
段 1（既約ファイバーの生成）．点 $t\in T$ をとる。解析空間の局所環は局所環である（本書『0-3 解析空間と数空間』の定理「局所環の剰余体」）ので、既約ファイバー $\mathcal E_1(t)$ は体 $k(t)$ の上のベクトル空間で、$\mathcal E_1$ は階数 $n$ の局所自由なので $n$ 次元である（構造射 $p_T$ の茎の射が局所的であること、本書『0-3 解析空間と数空間』の補題「剰余体が基礎体の局所代数の射」の (2) により、本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (6) が使える）。同じ (6) により引き戻しの族 $(f_{i,(T)})$ は $\mathcal E_{(T)}$ を生成し、$q$ は全射なので像 $(q(f_{i,(T)}))$ は $\mathcal E_1$ を生成し、したがってその既約ファイバーの像は $\mathcal E_1(t)$ を生成する。
段 2（基底を選ぶ）．同じ頁の補題「体の上の線形代数」の (1) により、この族の中から $\mathcal E_1(t)$ の基底になる $n$ 個の元を選べる。その添字の集合を $H$ とすると、$\alpha_H(t)$ は基底 $b_h$ を基底に送るので全射で、$t\in U_H$ である。
段 3（境界）．$n=0$ なら $H=\emptyset$ で、$\alpha_\emptyset\colon0\to0$ は全射なので $U_\emptyset=T$ である。$I$ の元が $n$ 個未満なら $H$ は無いので、段 2 により $T$ は点をもたない。
証明は剰余体が $k$ であることを使わず、どの体の上でも同じである。局所環付き空間であることだけが、既約ファイバーを体の上のベクトル空間にするのに使われた。原論文は「たとえば $\mathcal E_1$ の既約ファイバーを見れば」とだけ書く（印字 12-11）。
Grassmann 束の存在
三段がそろったので、判定法で貼り合わせる。原論文は $\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)$ についてだけこれを述べるが、一般の旗の段で積 $\prod_i\mathbf{Grass}_{m_i}(\mathcal E)$ を表す空間を使うので、積をまとめて扱う。
$\mathcal E^{(1)},\dots,\mathcal E^{(l)}$（$l\ge0$）を有限表示の $\mathcal O_S$ 加群、$n_1,\dots,n_l\ge0$ を整数とする。
(1) $G=\prod_{j=1}^l\mathbf{Grass}_{n_j}(\mathcal E^{(j)})$ は $(\mathrm{An})_{/S}$ 上で表現可能である。とくに $\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)$ は表現可能である（$\mathcal E$ は有限表示）。
(2) $\mathcal E$ が $S$ の上の切断の族 $(f_i)_{i\in I}$ で生成されるなら、各 $F_H\to\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)$ を表す射は開はめ込みで、その像たちは $\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)$ を表す空間を覆う。
段 1（局所化）．各 $\mathcal E^{(j)}$ は有限型なので、$S$ の各点は、すべての $j$ について $\mathcal E^{(j)}$ が有限個の切断で生成される開近傍をもつ（$l$ 個の近傍の共通部分をとる）。上の主結果（旗の関手の局所性）の (2)(3) と、有限表示が開集合への制限で保たれること（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (4)）により、各 $\mathcal E^{(j)}$ が族 $(f^{(j)}_i)_{i\in I_j}$ で生成される場合に (1) を示せばよい。
段 2（開部分関手）．$I_j$ の $n_j$ 元部分集合の組 $H=(H_1,\dots,H_l)$ について $F_H=\prod_jF_{H_j}$ とおく。これは $G$ の部分関手である。上の主結果（標準の開部分関手のベクトル束による表現）の証明を成分ごとに行えば、$F_H(T)$ は射の組 $(v_j\colon\mathcal E^{(j)}_{(T)}\to\mathcal O_T^{H_j})_j$ で $v_j\circ\varphi_{H_j,T}=\mathrm{id}$ となるものの集合と $T$ について自然に一対一である。組 $(v_j)$ は $\mathcal B=\bigoplus_j(\mathcal E^{(j)})^{\oplus H_j}$（有限表示）の $T$ への引き戻しから $\mathcal O_T$ への射と同じなので、$X=V(\mathcal B)$ の普遍元の成分 $v_{j,X}$ について $c=(v_{j,X}\circ\varphi_{H_j,X}-\mathrm{id})_j\colon\bigoplus_j\mathcal O_X^{H_j}\to\bigoplus_j\mathcal O_X^{H_j}$ の零点の部分空間 $X_H$ が $F_H$ を表す（引用する事実の 4・6）。
段 3（ファイバー）．$\eta=(\eta_j)\in G(T)$ について、$(F_H)_\eta(g)$ は、すべての $j$ で $g^*\eta_j\in F_{H_j}$ のとき一点、そうでないとき空である。上の主結果（標準の開部分関手のファイバーは開集合）の証明の段 1・段 2 により、これは $g(T'')\subset W_H:=\bigcap_jU_{H_j}(\eta_j)$ と同値で、$W_H$ は有限個の開集合の共通部分として開である（$l=0$ なら $W_H=T$）。引用する事実の 3 により $(F_H)_\eta$ は $W_H$ で表される。
段 4（被覆）．点 $t\in T$ について、上の主結果（標準の開部分関手による被覆）により各 $j$ で $t\in U_{H_j}(\eta_j)$ となる $H_j$ があり、その組 $H$ について $t\in W_H$ である。ゆえに $T=\bigcup_HW_H$ である。
段 5（貼り合わせ）．上の主結果（旗の関手の局所性）の (1) により $G$ は局所的である。段 2〜段 4 により、引用する事実の 2 の条件 (a)(b) が族 $(F_H\to G)_H$ についてそろい、$G$ は表現可能で、各 $F_H\to G$ を表す射は開はめ込みで、像は表す空間を覆う。$l=1$ でこれが (2) である。段 1 により (1) が一般に成り立つ。
段 6（境界）．$l=0$ なら $G$ はどの $T$ でも一点をとり、$(\mathrm{An})_{/S}$ の終対象 $S$ が表す（本書『0-4 表現可能性の判定法』の補題「スライス圏」の (1)）。組 $H$ が一つも無いとき、すなわちある $j$ で $I_j$ の元が $n_j$ 個未満のときは、上の主結果（標準の開部分関手による被覆）により $G(T)$ は空でない $T$ で空、$T=\emptyset$ で一点である。空の解析空間 $\emptyset$ への射は源が $\emptyset$ のときだけある（本書『0-3 解析空間と数空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」の (2)）ので、$G$ は $\emptyset$ で表される。段 5 の判定を空の族で引いても同じ結論になるが、この場合は判定を使わずに済む。
表す空間を $\underline{\mathrm{Grass}}_n(\mathcal E)$ と書き、$\mathcal E$ の Grassmann 束と呼ぶ（原論文の定義 2.2。旗束一般の名前と $\mathcal P(\mathcal E)=\underline{\mathrm{Grass}}_1(\mathcal E)$ は本書『2-3 旗束の存在定理』で置く）。(2) の開部分空間は、古典的な Grassmann 多様体の標準のアフィン開被覆の相対版である。これで原論文の「Cela prouve donc la représentabilité de $\mathbf{Grass}_n$」（印字 12-11）に当たる主張と、それを積に拡げた主張が示された。
原論文は段 c. の後に Grassmann 関手の表現可能性を結論し、続く一般の旗の段（印字 12-11〜12-12）で、関手の射 $\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)\to G=\prod_i\mathbf{Grass}_{m_i}(\mathcal E)$ を扱うのに $G$ を表す空間を使う。しかし、Grassmann 束の積が $S$ 上の解析空間の圏に存在すること（$S$ 上のファイバー積の存在）には触れない。これは確かめを省いた段で、推論が誤っているのではない。解析空間のファイバー積の一般の存在（連作第 III 回の定理 2.1、本書『0-3 解析空間と数空間』の定理「解析空間のファイバー積の存在」）からも出るが、本書はその定理を判定に使わず、上の主結果の $l\ge2$ の場合として、Grassmann 関手と同じ議論で積を直接作った。本書『2-3 旗束の存在定理』と本書『3-2 閉はめ込み定理』の Segre 射の始域は、この主結果で存在する。
- 主結果（旗の関手の局所性）と主結果（Grassmann 束とその積の存在）は、第 9 巻の判定法（本書『0-4 表現可能性の判定法』の定理「底の開被覆による表現可能性の判定」「開部分関手で覆われる局所的な関手の表現可能性」）を引く。第 9 巻はこれらを、解析空間に分離性を課さない読みと、空の被覆を含める約束の下で証明したので、札に「足した仮定：解析空間は分離的とは限らない、空の和と空の被覆を含める」と書いた（本書『0-4 表現可能性の判定法』の注意「本書に効く第 9 巻の足した仮定」）。
- 空の被覆の約束は結論に効かない。旗の関手は空の空間で一点をとり（本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の例「階数零と空の列と零の加群の旗」の (f)）、第 9 巻の反例「反例：空の被覆を除くと判定が崩れる」の型は起きない。開部分関手の族が空になる場合は、上の証明の段 6 で判定を使わずに示した。
- 開部分関手で覆われる局所的な関手の判定は、分離的な空間だけの圏では一般に偽である（第 9 巻『表現可能関手の一般形式』の頁『4-2 局所的な関手の表現可能性』の反例「反例：分離的な読みでは局所的な関手の判定が崩れる」）。したがって上の証明は分離的な読みではそのまま通らない。それでも結論は分離的な読みで成り立つ。$S$ が分離的なら Grassmann 束とその積も分離的であることを、本書『4-2 旗束の射影束への閉はめ込み』の命題「分離的な読みでの旗束と Grassmann 束」で示す（本書『0-3 解析空間と数空間』の注意「分離性を課す流儀との違い」）。
- $F_H$ の定義の段（印字 12-10）の「épimorphiemes」は épimorphismes の綴りの崩れと読む。
- 段 a.（印字 12-11）は二つ目の空間を「$V(\mathcal O_T^n)^n$」と印字するが、$S$ 上の空間なので $V(\mathcal O_S^n)^n$ と読む。
- 段 b.（印字 12-11）は商を「$\mathcal F_{(T)}$ の商加群 $\mathcal E_1$」と花文字の F で印字するが、この段で商をとるのは $\mathcal E_{(T)}$ なので $\mathcal E_{(T)}$ と読む。
- 同じ段の「$k^n\to\mathcal O_{1,t}\otimes k$」は、全射性を問うのが商 $\mathcal E_1$ の点 $t$ での既約ファイバーなので、$\mathcal E_{1,t}\otimes k=\mathcal E_1(t)$ と読む。
例と反例
最も簡単な射影束で標準の開部分空間を書き下し、次に開部分関手の族が空になる場合を見る。
$S=e$、$\mathcal E=\mathcal O_e^2=k^2$、生成切断を標準基底 $f_1$、$f_2$、$n=1$ とし、$H=\{1\}$、$\{2\}$ をとる。
(a) 上の主結果（標準の開部分関手のベクトル束による表現）により、$F_{\{1\}}(T)$ は $v(f_1)=1$ となる $v\colon\mathcal O_T^2\to\mathcal O_T$、すなわち関数の組 $v=(1,y)$（$y\in\Gamma(T,\mathcal O_T)$）と一対一である（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「外積と双対の標準同型」の (5)）。$X=V(\mathcal O_e^2)=E^2$（座標 $(y_1,y_2)$。本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「底と数空間の積」）の中で $c=y_1-1$ の零点の部分空間が $F_{\{1\}}$ を表し、これは座標 $y=y_2$ の $E^1$ に同型である（$T$ 点の比較による。本書『0-3 解析空間と数空間』の定理「数空間への射と大域関数」）。同じく $F_{\{2\}}$ は $v=(x,1)$ の座標 $x$ の $E^1$ で表される。
(b) $F_{\{1\}}$ の普遍の点、すなわち $T=E^1$（座標 $y$）の上の商 $q=(1,y)\colon\mathcal O_T^2\to\mathcal O_T$ をとる。$\alpha_{\{2\}}=q\circ\varphi_{\{2\},T}$ は $y$ 倍の射なので、$U_{\{2\}}=E^1-\{0\}$ である（本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の例「座標倍の射が全射になる所」）。そこで $q$ は同型 $y^{-1}$ 倍を合成した $(y^{-1},1)$ と同値なので、$F_{\{2\}}$ の座標は $x=1/y$ である。ゆえに $\mathcal P(k^2)=\underline{\mathrm{Grass}}_1(\mathcal O_e^2)$ は、上の主結果（Grassmann 束とその積の存在）の (2) により二つの $E^1$ で覆われ、その交わりは $y\ne0$ の部分で、$y\mapsto1/y$ で貼り合わさっている。
(c) $e$ 点で見ると、$(1,y)$ は核 $k\,(-y,1)$ の商で、$F_{\{1\}}(e)$ に入らないのは核が $kf_1$ の商、すなわち $F_{\{2\}}$ の $x=0$ の点だけである。点の集合は $k$ に一点を足したもので、本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の例「一点の上の旗とベクトル空間の旗」の (b) のとおり $k^2$ の超平面（直線）の集合である。
$\mathcal E=\mathcal O_S^r$、$r< n$ とし、生成切断を標準基底 $f_1,\dots,f_r$ とする。$n$ 元部分集合 $H$ は無いので、上の主結果（標準の開部分関手による被覆）により、$\mathbf{Grass}_n(\mathcal O_S^r)(T)$ は空でない $T$ で空、$T=\emptyset$ で一点である。上の主結果（Grassmann 束とその積の存在）の証明の段 6 により、$\underline{\mathrm{Grass}}_n(\mathcal O_S^r)=\emptyset$ で、$S$ が空でなくても Grassmann 束は空である。直接には、$n$ 次元の既約ファイバー $\mathcal E_1(t)$ が $r$ 個の元で生成されることは無い。$r=0$、$n=1$ では $\mathcal P(0)=\emptyset$ で、本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の例「階数零と空の列と零の加群の旗」の (c) と合う。この場合は、判定法を空の族で引かずに結論が得られる。
その後の発展
以下は後代の文献の紹介である（本書は文献を開いて該当箇所を確かめていない）。
- Grassmann 多様体の標準の開被覆（古典〜）：選んだ座標が商の基底になる部分による Grassmann 多様体のアフィン開被覆と Plücker 座標は、教科書 GH78（1978 年）、EH16（2016 年）で扱われる。本頁の $F_H$ はその相対版である。
- Quot 関手（1961 年）：同じ連作の第 IX 回 Gro61ix は、局所自由とは限らない商の関手（Quot 関手）と Hilbert 関手を扱い、本頁の Grassmann 束はその最も簡単な場合である。
- 解析的な Hilbert 空間（1966 年）：解析空間の中のコンパクトな部分空間の族を表す空間は、Douady Dou66 が構成した。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Gro61v である。印字頁は PDF の頁番号から 1 を引いたもの（PDF $n$ が印字 12-$(n-1)$）である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 背景と動機、主結果「旗の関手の局所性」 | §3 冒頭（第 IV 回の 5.4・5.7 による帰着） | 12-10 |
| 定義「標準の開部分関手」、主結果「標準の開部分関手」 | §3 の $\varphi_H$ と $F_H$ の定義 | 12-10 |
| 主結果「標準の開部分関手のベクトル束による表現」、注意「原論文の段 a と核」 | 段 a. | 12-11 |
| 主結果「標準の開部分関手のファイバーは開集合」、注意「原論文の段 b の道」 | 段 b. | 12-11 |
| 主結果「標準の開部分関手による被覆」 | 段 c. | 12-11 |
| 主結果「Grassmann 束とその積の存在」、注意「原論文の段と積の表現可能性」 | 「Cela prouve donc」の結論、一般の旗の段の冒頭 | 12-11〜12-12 |
| 注意「分離的な読み」 | §3 冒頭と段 a.〜c.（第 IV 回の 5.6・5.7 を引く所） | 12-10〜12-11 |
| 注意「印字の読み（段 a. と段 b.）」 | $F_H$ の定義の段、段 a.、段 b. | 12-10〜12-11 |
参考文献
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