0-1 本書の読み方

本書の目的と原論文の位置づけ、本書の方針、章立て（第 0〜4 章、全 17 頁）と各章の要点、頁ごとに要る前提の対応表、読む順序の案、状態札の読み方と本書全体の集計、原論文が閉じていない点、第 9 巻と同じ連作の他の回との関係をまとめる。分野ごとの前提は本書『0-2 環付き空間の上の加群』、本書『0-3 解析空間と数空間』、本書『0-4 表現可能性の判定法』、本書『0-5 閉部分空間と零点と積』に、全頁に共通する記号、枠組みの規約、本書が足した仮定の文言と外したときに何が壊れるか、原論文の引き方、状態札の意味、原論文の不備と誤植の一覧は本書『0-6 記号と約束』に分けて置く。

本書の使い方

本書は、A. Grothendieck が 1961 年 2 月 6 日に Cartan セミナー第 13 年「Familles d'espaces complexes et fondements de la géométrie analytique」で行った講演「Techniques de construction en géométrie analytique. V. Fibrés vectoriels, fibrés projectifs, fibrés en drapeaux」（exposé n° 12、15 頁。本書では Gro61v と引く）を道案内にして、解析空間の上のベクトル束・射影束・旗束を、それらが表す関手から作る方法を主題ごとに解説する。講演は同じセミナーの連作「Techniques de construction en géométrie analytique」の第 V 回である。連作は、第 II 回 Gro61ii で解析空間を定義し、第 III 回 Gro61iii で数空間への射が大域関数の組と一対一であることとファイバー積の存在を示し、第 IV 回 Gro61iv で前層がいつ一つの空間で表されるかを判定する一般の方法を与えた。本講演はその判定法を初めて本格的に使う回で、有限表示の加群のベクトル束、局所自由な商の列である旗の束（Grassmann 束と射影束を含む）が存在することを示し、全射・外積・テンソル積から来る射が閉はめ込みであることを証明する。
原論文は、前置き「Remarques préliminaires」、§1 ベクトル束、§2 旗束などの定義と標準の射、§3 存在定理とはめ込み定理の証明、文献表からなる。§2 は命題 2.1（存在定理）、命題 2.2（閉はめ込み定理）と注意 2.3〜2.5 を述べて証明を §3 に回すので、本書は証明の順に並べ直した。§1 に第 1 章を、§2 の関手の段と §3 の存在の証明に第 2 章を、§3 の閉はめ込みの証明に第 3 章を、§2 の終わりの注意 2.3〜2.5 に第 4 章を当て、前提知識と読み方の第 0 章を加えて 5 章 17 頁とした。どの頁が原論文のどこに当たるかは、各頁の末の「原論文との対応表」と、本書『0-6 記号と約束』の「原論文の引き方」の表にある。
本書は原論文の翻訳ではない。第 1 章以後の各頁は、その頁で示すこと、背景と動機、定義と準備、主結果と証明、例と反例、その後の発展、原論文との対応表、という同じ形で書いてある。「この頁で示すこと」には主結果の名前と原論文の番号・印字頁、状態札が並び、札の中と直後の段に、その主結果が依る本書の頁と第 0 章の事実が見出し名で書いてある。
本書の方針は六つある。

1. 原論文が「容易に示せる」「全く同様」「類似でより簡単」「Il est immédiat」で済ませた段と、確かめを省いた段を補って閉じる。切断の関手が表現可能なら加群は局所自由であることの証明（『1-2』）、全射から来る旗束の射と Segre 射が閉はめ込みであることの証明（『2-3』『3-2』）、ベクトル束の存在の証明に要る積の存在（『1-1』）、閉はめ込みの目標の上での局所性と消去（『1-3』『3-2』）、Grassmann 束の積の存在（『2-2』）、核の有限表示性（『2-3』）、Plücker 射の標準の開集合が全体を覆うこと（『3-2』）などがそれに当たる。
2. 第 9 巻の上に立つ。原論文は第 IV 回の判定法を番号で引くだけで進む。本書はそれを、第 9 巻『表現可能関手の一般形式』の頁で証明された結果として引用し、本書『0-4 表現可能性の判定法』に第 9 巻と同じ名前で主張だけ述べ直した。第 9 巻を読んでいなくても、主張と使い方は 0-4 で分かる。
3. 解析空間の枠組みを連作の前の回から受け取る。原論文は解析空間を定義せず、数空間への射が大域関数の組と一対一であることを出典なしで使う。本書は連作第 II 回の定義を「解析空間の定義」として受け取り、第 II 回・第 III 回の定理は外部の結果として引用する（本書『0-3 解析空間と数空間』）。引用した定理のうち、ほとんどの主結果の条件になるのは連作第 III 回の定理一つである（下の「状態札の読み方」）。
4. 閉部分空間と閉はめ込みは本書の中で扱う。閉部分空間の普遍性、閉はめ込みの底変換・合成・局所性・消去、射の零点の部分空間、全射になる点の開集合、底と数空間の積を本書『0-5 閉部分空間と零点と積』で証明し、第 9 巻が引用した「はめ込みの底変換」も、解析空間のファイバー積の一般の存在も、判定には使わない。
5. 原論文が黙って使う読みは、本書が足した仮定として明示する（四つある。下の「状態札の読み方」）。
6. 原論文の主張が印字のままでは成り立たないときは、訂正した形を主結果とし、原論文の印字と反例を注意と反例のボックスに置く（本書では一件）。
   使い方は三通りを想定している。
7. 最初に通して読む：次の「本書の章立てと各章の要点」で全体の地図をつかみ、第 0 章の残りの五つの頁（0-2〜0-6）は見出しと各ボックスの名前だけ拾う。
8. 頁を読んでいて分からない語や事実に出会ったら引く：第 0 章の各項目は分野ごとに頁を分け、定義・補題・引用する事実をボックスに書き、本書での使いどころと教科書への案内を付けた。記号は本書『0-6 記号と約束』の一覧と読み分けを引く。
9. どこから読むかを決める：本頁の「頁ごとの前提の対応表」と「読む順序の案」を見る。
   用語解説記事へのリンク（ベクトル束、射影束、Grassmann多様体、旗多様体、表現可能関手、解析空間、環付き空間、局所自由加群、閉はめ込み、外積代数 など）は、記事が未作成のものもリンクの形で示してある。定義は各頁の中でも短く繰り返す。

本書の章立てと各章の要点

章ごとに、頁と原論文の対応と要点を挙げる。各頁の「この頁で示すこと」に並ぶ主結果を要約したもので、詳しくは各頁の冒頭を見よ。印字頁は原論文の頁番号 12-01〜12-15 である。

第 0 章は引用と準備の頁である。『0-2 環付き空間の上の加群』は、層と茎、逆像とテンソル積・外積・双対、有限表示と局所自由、中山の補題、体の上の線形代数をまとめ、定義から数行で出るこれらの事実を証明まで書く。引用にとどめるのは、層と環付き空間の貼り合わせと Krull の交叉定理の二つである。『0-3 解析空間と数空間』は、連作第 II 回の解析空間の定義、開部分空間とはめ込み、局所環の剰余体、解析空間の射、一点の空間と点の部分空間、開はめ込みの底変換と非交和を、第 9 巻と同じ名前で述べ直し、局所環の剰余体と補題・命題には証明を添える。連作第 II 回の開部分空間とはめ込み、局所環のネーター性、第 III 回の数空間への射と大域関数の定理とファイバー積の存在は引用で、最後のものは判定に使わない。剰余体が基礎体の有限次元局所代数を一点に与えた空間を作る補題もここにある。『0-4 表現可能性の判定法』は、第 9 巻の米田の対応、群構造と群対象、スライス圏と底変換、底変換で安定な射のクラスの判定、局所的な関手と開部分関手と底の開被覆による判定、開はめ込みの点ごとの判定を、第 9 巻の頁名と札を添えて主張だけ述べ直し、本書が断らずに使う「米田の約束」を置く。『0-5 閉部分空間と零点と積』は本書の構成の道具で、閉部分空間の普遍性と閉はめ込みの計算、零点の部分空間、全射になる点の開集合、底と数空間の積を、第 0 章の引用から証明する。『0-6 記号と約束』は枠組みの規約、記号、足した仮定、原論文の引き方、状態札の意味、不備と誤植の一覧である。
第 1 章は原論文の前置きと §1 である。『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』は、加群 $\mathcal E$ に、各空間 $T$ の上で引き戻し $\mathcal E_{(T)}$ から構造層への射の集合を対応させる関手を定め、それが空間と加群の二つの変数について関手であること、有限表示から来る完全列、加群が有限表示ならこの関手が表現可能であること（命題 1.1）を示す。表す空間がベクトル束 $V(\mathcal E)$ で、$T$ 点は引き戻しの上の一次形式である。証明は第 9 巻の判定法で局所的な問題に落とし、表示から来る完全列で、自明な束の中の零点の部分空間として作る。原論文は自明な束を空間の積として使うがその存在に触れないので、本書は『0-5』の補題「底と数空間の積」で積を作った。前置きの、相対スキームの解析化による代数幾何からの移し替えの予告は、証明が無いので［未完結］とした。『1-2 切断の関手と二つの規約』は、局所自由な加群の切断の関手が双対のベクトル束で表されること、逆に有限表示の加群の切断の関手が表現可能なら加群は局所自由であること（原論文の「容易に示せる」主張。本書は一点に有限次元局所代数を与えた空間での計算で証明を補った）、そこから双対規約と従来の規約の比較を示す。『1-3 ベクトル束の群構造と閉はめ込み』は、ベクトル束が $S$ 上の空間の圏の中の $k$ ベクトル空間対象であること、$\mathcal E\mapsto V(\mathcal E)$ の関手性、有限表示の加群の全射から来る射が閉はめ込みであること（命題 1.5）、局所自由な場合の部分ベクトル束（注意 1.6）を示す。ベクトル空間の構造とベクトル空間対象の対応は、第 9 巻の群の場合の議論を書き直して本頁で証明した。全射でない射、双対の単射性だけの射、局所自由でない加群の三つの反例も置く。『1-4 ベクトル束の底変換とファイバー』は、ベクトル束が底変換と両立すること（命題 1.7）、点の上のファイバーが既約ファイバーの双対空間になること（系 1.8）、目標が局所自由なら加群の射の関手がベクトル束で表されること（命題 1.9）を示す。
第 2 章は原論文 §2 の前半と §3 の前半である。『2-1 旗の関手と標準の写像』は、加群の局所自由な商の増加列を旗と呼び、旗の逆像で関手を作り、全射から来る写像、成分への写像、Plücker の写像、Segre の写像の四つを定めて、前の二つが単射であること、四つとも逆像と両立して関手の準同型を与えることを示す。この頁だけは原論文に合わせて一般の局所環付き空間の上で書き、主結果は解析空間を使わない（解析空間は一点の上の例と、表す空間を予告する説明の文にだけ出る）。「商」と「増加列」の読みは本書が足した仮定「旗の読み」として定義に組み込んだ。『2-2 Grassmann 束の存在』は、旗の関手が局所的であることを示して問題を局所化し、加群を生成する切断の $n$ 元部分族ごとに標準の開部分関手を作って、それがベクトル束の閉部分空間で表されること（段 a.）、ファイバーが開部分空間で表されること（段 b.）、全体を覆うこと（段 c.）を確かめ、第 9 巻の判定法で Grassmann 束とその有限個の積の存在を導く。原論文は後の段で Grassmann 束の積を空間として使うがその存在を示さないので、本書は同じ型の議論で示した。『2-3 旗束の存在定理』は、一般の旗の関手を Grassmann 束の積の中の零点の条件で切り出し、旗束の存在定理（命題 2.1）を得て、有限表示の加群の全射から来る旗束の射が閉はめ込みであることを示す（原論文は「全く同様」とだけ書く）。旗の読みの向きを逆にすると原論文の旗の判定が崩れる反例もここに置いた。
第 3 章は原論文 §3 の後半である。『3-1 Plücker 射の局所計算』は、加群が階数 $n$ の局所自由な因子をもつ直和のとき、射影束の標準の開部分関手を外積の成分の射で記述し、Grassmann 束の標準の開部分が射影束の標準の開部分の Plücker 射による逆像で、その上で Plücker 射がベクトル束の射のグラフになり閉はめ込みであることを示す。原論文はグラフ射が閉はめ込みであることを分離性から出して結ぶが、本書はグラフを零点の部分空間として直接示した。『3-2 閉はめ込み定理』は、底の開集合への制限と全射による消去で一般の場合を自由な加群の場合に帰着して Plücker 射の閉はめ込みを示し、原論文が証明を書かない Segre 射も同じ方法で示して、命題 2.2（全射から来る射、旗を成分に送る射、Plücker 射、Segre 射の四つが閉はめ込み）をまとめる。
第 4 章は原論文 §2 の終わりの注意 2.3〜2.5 である。『4-1 射影束の規約と底変換とファイバー』は、旗束が底変換と両立し、点の上のファイバーの点がその点の既約ファイバーの旗と一対一であること（2.4）を示し、射影束の点が超平面であることから、局所自由な加群の射影束が従来の規約での双対の射影束に当たることを示す。構造層の有限型のイデアルによる商の射影束がもとの閉部分空間になることも示し、そこから非特異な直線の上でも射影束が冪零元をもつ例を置く。『4-2 旗束の射影束への閉はめ込み』は、旗束を成分の外積のテンソル積の射影束の閉部分空間として埋め込む。原論文の注意 2.5 は「$\mathcal E$ の $p$ 個のテンソル積」と書くが、零の加群の例と四次元空間の二次元の商の例で破れるので、外積のテンソル積を使う訂正形を主結果にした。最後に、存在の証明は分離的とは限らない空間の圏を通るが、底が分離的なら旗束と Grassmann 束の積は分離的であることを命題として示す。

本書を読むのに要る分野

分野ごとに、本書で要る水準の目安を示す。「◎」は本書の多くの頁で証明の中で使うもの、「○」は一部の頁で使うもの、「△」は言明の理解のために触れるだけのものである。

第 0 章に頁を設けない事実は、使う頁の「定義と準備」で証明するか出典とともに述べる。局所環の冪等元が $0$ と $1$ だけであることのような数行の事実は、使う箇所で示すか一文で断ってある（たとえば本書『1-3 ベクトル束の群構造と閉はめ込み』の反例「反例：双対の単射性だけでは部分ベクトル束にならない」）。

頁ごとの前提の対応表

行は第 1〜4 章の頁、列は第 0 章の頁 0-2〜0-5 である。「引」はその頁の主結果の札が、その第 0 章の頁の引用（または引用に依って証明した補題・命題）を名指すもの、「○」は札の引用には入らないが、完結の入力として使うか、証明・注意・例で見出しを引くもの、空欄は引かないものを表す。0-6 の記号と約束はすべての頁が使うので列を設けない。「頁の前提」の列には、その頁の「この頁で示すこと」（札とその直後の段）が引く本書の頁を番号で挙げた（第 0 章の頁は省く）。括弧内は、そこには現れないが、定義・証明・例で定義や主結果を引く頁である。後の頁への言及（予告と「その後の発展」）と、原論文の段を説明するだけの注意は数えない。

表から読み取れることを五つ挙げておく。

• 『0-2 環付き空間の上の加群』の引用（Krull の交叉定理）を札に引くのは『1-2』の主結果「切断の関手の表現可能性と局所自由性」だけで、ほかの頁は 0-2 を完結の入力としてだけ使う。『0-4 表現可能性の判定法』の条件付きの判定法（局所的な関手、開部分関手と底の開被覆による判定、開部分空間が表す前層）を札に引くのは『1-1』と『2-2』だけで、ほかの頁の主結果の証明は、0-4 からは第 9 巻で［完結］の結果（米田の対応、スライス圏の間の底変換、底変換で安定な射のクラスの判定など）だけを使う（条件付きの判定法には、『1-2』の定義「二つの規約」の後の説明、『1-4』の注意、『4-2』の背景と動機と命題「分離的な読みでの旗束と Grassmann 束」の後の段（別の道）で触れるだけである。0-5 の補題「底と数空間の積」の証明が引く判定法を通した間接の依存は、『1-4』の主結果「ベクトル束のファイバー」の札の足した仮定に現れる）。『0-5 閉部分空間と零点と積』は、『1-2』と『2-1』を除くすべての頁の札に現れる。
• 『2-1』はどの頁にも依らず、第 0 章からは 0-2 だけで閉じる（主結果「旗の逆像と旗の関手」の証明が『1-1』の一段と同じ型であることを断るだけで、『1-1』の結果は使わない）。『2-1』を除くすべての頁が、直接か他の頁を通して『1-1』の主結果「ベクトル束の存在」に依る。
• 第 2〜4 章が第 1 章から使うのは、『1-1』の主結果「ベクトル束の存在」のほかは、『3-1』が引く『1-1』の主結果「ベクトル束の関手の二重関手性」と『1-4』の主結果「加群の射の関手の表現」と『1-3』の定義「ベクトル束の間の射」、『4-1』が引く『1-2』の定義「二つの規約」と主結果「二つの規約の比較」と『1-4』の定義「点の上のファイバー」と主結果「ベクトル束のファイバー」だけである（ほかは、『3-1』『3-2』の例の計算が『1-1』の例「自明なベクトル束と零の加群のベクトル束」「原点で潰れた直線のベクトル束」を引く所と、同じ型の議論であることや記号を断る言及である）。『1-3』は『1-2』を主結果「局所自由な場合の部分ベクトル束」の前後の言い換えでだけ引き、『1-4』は『1-2』を注意と反例でだけ引く。
• 存在の筋は『1-1』→『2-2』→『2-3』で、閉はめ込みの筋は『3-1』→『3-2』→『4-2』である。『4-2』は『4-1』から、主結果「商環の射影束」（札）と補題「一点の空間からの射と点」（命題「分離的な読みでの旗束と Grassmann 束」の証明と、反例の (b)）だけを引き、旗束の底変換と二つの規約の比較には依らない。
• 証明で使う引用はすべて前の頁への引用で、後の頁への言及は予告と注意だけである。

読む順序の案

原論文の順序（§1 → §2 → §3）は、§2 で主張を述べて §3 で証明する形なので、本書は証明の順に章を立てた。本書の順に読めば、証明で使う結果はすべて前に出てくる。そのうえで、四つの道筋を想定している。どの道筋でも、各頁の冒頭の「この頁で示すこと」に主結果と原論文の番号、状態札がまとめてあるので、まずそこだけを全頁通して読み、原論文のどの主張がどこまで閉じているかの全体像を先につかむのも一つの方法である。第 0 章は、必要になった見出しをその都度引けばよい。

ベクトル束だけを読む

原論文 §1 の内容を知りたい読者のための道筋である。
『0-2 環付き空間の上の加群』→『0-3 解析空間と数空間』→『0-4 表現可能性の判定法』→『0-5 閉部分空間と零点と積』→『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』→『1-2 切断の関手と二つの規約』→『1-3 ベクトル束の群構造と閉はめ込み』→『1-4 ベクトル束の底変換とファイバー』
第 0 章は、0-4 のうち米田の対応と局所的な関手・底の開被覆による判定、0-5 のうち零点の部分空間と底と数空間の積を先に見ておけば、『1-1』が読める。

旗束の存在定理まで読む

原論文の命題 2.1 へ向かう道筋である。
『2-1 旗の関手と標準の写像』→『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』→『2-2 Grassmann 束の存在』→『2-3 旗束の存在定理』
『2-1』は第 1 章に依らないので最初に読める。第 1 章から要るのは『1-1』の主結果「ベクトル束の存在」だけである。

閉はめ込み定理と射影束への閉はめ込みまで通して読む

原論文の命題 2.2 と注意 2.5 へ向かう道筋である。
上の道筋に続けて『1-3 ベクトル束の群構造と閉はめ込み』→『1-4 ベクトル束の底変換とファイバー』→『3-1 Plücker 射の局所計算』→『3-2 閉はめ込み定理』→『4-1 射影束の規約と底変換とファイバー』→『4-2 旗束の射影束への閉はめ込み』
『1-2』はこの道筋では飛ばしてよい（『1-3』『1-4』は『1-2』を言い換えと反例でしか引かず、『4-2』が『4-1』から引く主結果「商環の射影束」と補題「一点の空間からの射と点」は『1-2』に依らない）。『4-1』は、主結果「商環の射影束」と補題「一点の空間からの射と点」だけなら『2-1』の定義と補題「商と核」と第 0 章で読める。

射影束の性質を読む

原論文の注意 2.3・2.4 の内容を知りたい読者のための道筋である。
『1-1』〜『1-4』と『2-1』〜『2-3』→『4-1 射影束の規約と底変換とファイバー』
『4-1』の主結果「旗束の底変換とファイバー」は『2-3』の存在定理に、主結果「射影束の二つの規約の比較」はさらに『1-2』の主結果「二つの規約の比較」と『1-4』の主結果「ベクトル束のファイバー」に依る。『1-3』は『1-4』の主結果が線形構造との両立に使う。

状態札の読み方

各主結果には、本書の判定として状態札を一つ付ける。［完結］は本書の中で証明し切ったもの、［条件付き：…］は引用した事実に依るもの（何を引用したかを札の中に書く）、［未完結：…］は証明を閉じられなかったもの（何が足りないかを書く）である。原論文に証明が無くても、本書が証明を与えたものは［完結］か［条件付き］であり、原論文にも本書にも証明が無いものだけが［未完結］である。札の定義の全文は本書『0-6 記号と約束』の「状態札の意味」にある。ここでは、どこまでを完結の入力に数えたかと、条件がどこに集まるかを述べる。
本書の基準は第 4〜9 巻と同じく厳しい。［完結］の入力は、(i) 本書の他の頁で［完結］とした主結果と、頁の中で引用に依らずに証明した補題・命題、(ii) 本書『0-2 環付き空間の上の加群』で証明まで書いた加群の事実と同じ頁の冒頭で既知とした前提、および本書『0-3 解析空間と数空間』で引用を使わずに証明した三つ、(iii) 第 9 巻『表現可能関手の一般形式』で［完結］の結果（本書『0-4 表現可能性の判定法』の表で「完結の入力」とした行）、(iv) 定義、の四つだけである。これ以外の事実を引いた段が一つでもあれば［条件付き］とする。本書『0-4 表現可能性の判定法』の表で「条件付き（句）」とした行を引けば、札の理由に「解析空間の定義の下では完結」の句を添えてよい。条件は依存する主結果に伝わる。四つの入力・［条件付き］の内訳・句の定義の全文は本書『0-6 記号と約束』の「状態札の意味」にある。
本書の条件は、ほとんどが連作第 III 回の定理 1.1・系 1.2（本書『0-3 解析空間と数空間』の定理「数空間への射と大域関数」）一つに集まる。自明なベクトル束 $S\times E^p$ を作る本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「底と数空間の積」がこの定理に依り、その補題を使う『1-1』の主結果「ベクトル束の存在」を通して、ベクトル束・Grassmann 束・旗束の存在とその後の結果のすべてに伝わるからである。第 III 回の定理に依らない［完結］と［条件付き］は、ベクトル束の存在を経由しない主結果（下の集計の［完結］の 10 個と、句を添えた［条件付き］の 3 個）と、『1-2』の主結果「切断の関手の表現可能性と局所自由性」だけである。最後のものは、代わりに連作第 II 回の命題 2.3 a の前半（本書『0-3 解析空間と数空間』の定理「局所環のネーター性」）と Krull の交叉定理に依る。
本書が足した仮定は四つあり、その仮定の下での判定として、主結果の札と頁の注意の両方に内容で書いた。文言と、外したときに何が壊れるかは本書『0-6 記号と約束』の「本書が足した仮定」にある。札に書くのは、仮定を直接使う主結果だけで、それに依る後の主結果の札には書き写さない（本書『0-6 記号と約束』の規則。たとえば『4-1』の主結果「射影束の二つの規約の比較」と『4-2』の主結果）。

足した仮定を札に書いた主結果は、重なりを除いて 24 件である（旗の読みの 22 件に、『1-1』「ベクトル束の存在」と『1-4』「ベクトル束のファイバー」を足したもの）。分離性と空の被覆の二つは、証明の道が使う判定法の仮定で、本書の結論そのものは外しても壊れない。本書の関手はどれも空の空間で一点をとり、ベクトル束は分離的な読みでも存在し（本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の注意「足した仮定の効き方と分離的な読み」）、底が分離的なら旗束と Grassmann 束の積も分離的である（本書『4-2 旗束の射影束への閉はめ込み』の命題「分離的な読みでの旗束と Grassmann 束」）。旗の読みは、向きを逆にすると原論文の旗の判定が偽になる（本書『2-3 旗束の存在定理』の反例「反例：増加列の向きを逆に読むと旗の判定が崩れる」）。有限表示の読みを外すと、主張の始域が存在定理の空間でなくなり、主張が意味を失う。第 9 巻の足した仮定のうち「同値の対の読み」は第 9 巻の証明の中でだけ使われ、本書には引き継がない（本書『0-4 表現可能性の判定法』の注意「本書に効く第 9 巻の足した仮定」）。
原論文の不備は三つに分ける（本書『0-6 記号と約束』の「主張の偽と証明の段の不備」）。誤植は訂正した形で読み、主結果には数えない。主張の偽は一件で、原論文の注意 2.5「旗束は $\mathcal E$ の $p$ 個のテンソル積の射影束の閉部分空間に同型」である。本書は外積のテンソル積の射影束に直した『4-2』の主結果「旗束の射影束への閉はめ込み（訂正形）」を主結果とし、札の後に原論文の形が反例「反例：テンソル積の個数を印字どおりにすると閉はめ込みが無い」で破れることを添えた。原論文の他の主張はこの注意を使わない。札に［偽］は現れない。主張は正しいが原論文の証明の段が確かめを省いているものは五件で、札には影響させず、その頁の注意に書いた（『1-1』『1-3』『2-2』『2-3』『3-2』に一件ずつ）。どれも確かめを省いた段で、推論が誤っている段は無い。
状態札とは別に、原論文自身の確信度（「容易に示せる」「全く同様」「類似でより簡単」「Il est immédiat」の省略）を各頁の本文で添える。原論文の所見と評価（前置きの方針、Picard 多様体についての所見など）は主結果に数えず、注意のボックスや「背景と動機」に置いた。反例と例も主結果に数えず、各頁の「例と反例」の節に置く（第 1〜4 章で反例 7、例 22）。

本書全体の集計

第 1〜4 章の 11 頁の「この頁で示すこと」に並ぶ主結果の状態札を数えた。主結果は合わせて 37 個で、内訳は次のとおりである。所見・予告と反例・例、頁の中の補題・命題はこの数に含めない。［偽］の札は無い（主張の偽は訂正形で数える）。「句」は［条件付き］のうち札に「解析空間の定義の下では完結」を添えたものの数である。

頁別の内訳（完結／条件付き／未完結）は、1-1 が 2/1/1、1-2 が 0/3/0、1-3 が 0/4/0、1-4 が 0/3/0、2-1 が 4/0/0、2-2 が 2/4/0、2-3 が 0/3/0、3-1 が 2/1/0、3-2 が 0/3/0、4-1 が 0/3/0、4-2 が 0/1/0 である。
［完結］の 10 個は、空間の存在を使わず、加群と関手の水準で閉じる主結果である。『1-1』の主結果「ベクトル束の関手の二重関手性」「有限表示から来る完全列」、『2-1』の四つ（「旗の逆像と旗の関手」「全射から来る写像と成分への分解」「Plücker の写像と Segre の写像」「標準の写像の関手性」）、『2-2』の主結果「標準の開部分関手」「標準の開部分関手による被覆」、『3-1』の主結果「射影束の標準の開部分関手の記述」「外積の成分の射の計算」で、どれも定義、本書『0-2 環付き空間の上の加群』の証明付きの事実、本書『0-3 解析空間と数空間』で引用に依らずに証明した三つ、本書の前の頁の［完結］の結果と頁内の補題だけで閉じる。このうち七つ（『2-1』の四つ、『2-2』の二つ、『3-1』の主結果「射影束の標準の開部分関手の記述」）は、足した仮定（旗の読み）の下での判定である。
［条件付き］の 26 個は、何に依るかで三つに分かれる。

1. 連作第 III 回の定理 1.1・系 1.2 に依るもの（22 個）：札で本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「底と数空間の積」を直接名指すのは『1-1』の主結果「ベクトル束の存在」と『1-4』の主結果「ベクトル束のファイバー」の二つで、残りの 20 個（『1-2』の主結果「局所自由な加群の切断の関手」「二つの規約の比較」、『1-3』の四つ、『1-4』の主結果「ベクトル束の底変換」「加群の射の関手の表現」、『2-2』の主結果「標準の開部分関手のベクトル束による表現」「Grassmann 束とその積の存在」、『2-3』の三つ、『3-1』の主結果「Plücker 射の標準の開集合での計算」、『3-2』の三つ、『4-1』の主結果「旗束の底変換とファイバー」「射影束の二つの規約の比較」、『4-2』の主結果）は『1-1』の主結果「ベクトル束の存在」を通して依る。これらには「解析空間の定義の下では完結」の句を添えない。
2. 連作第 II 回の命題に依るもの（1 個）：『1-2』の主結果「切断の関手の表現可能性と局所自由性」。本書『0-3 解析空間と数空間』の定理「局所環のネーター性」と本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「Krull の交叉定理」を引き、第 III 回の定理は使わない。同じ頁の主結果「二つの規約の比較」は、局所自由でない場合の部分でこの主結果にも依る。
3. 「解析空間の定義の下では完結」の句を添えたもの（3 個）：『2-2』の主結果「旗の関手の局所性」（第 9 巻の局所的な関手と底の開被覆による判定）、「標準の開部分関手のファイバーは開集合」（本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「全射になる点の開集合」と第 9 巻の補題「開部分空間が表す前層」）、『4-1』の主結果「商環の射影束」（0-5 の補題「閉部分空間の普遍性と閉はめ込みの計算」と 0-3 の定理「解析空間の開部分空間とはめ込み」）。
   解析空間の定義とその直後の事実、層と環付き空間の貼り合わせ、連作の定理を使わない 0-5 の補題、第 9 巻で句の付いた判定法を完結の側に数える緩い基準をとれば、完結は $10+3=13$ 個、条件付きは $22+1=23$ 個、未完結は 1 個になる。本書の札は厳しい基準による。

原論文が閉じていない点

［未完結］は一つだけで、『1-1』の主結果「相対スキームの解析化による移し替え」である。原論文は前置きで、解析空間の上の有限型の相対スキームに解析空間が対応し、ベクトル束・旗束などの構成と形式的性質が代数幾何から移せ、複素数体の上では射影的な場合に Hilbert スキーム・Picard スキームのような構成にも及ぶと述べ、講演時に準備中とされた文献（原論文の文献 [1]、Gro61sea）と GAGA（Ser56）に送る。移し替えの証明は本講演にも本書にも無い。本書は「原論文はこう述べる」と書き、証明したとは書かない。本講演の本文はこの経路を使わず、解析空間の圏の中だけで構成を進めるので、第 1〜4 章のほかの主結果はこの主張に依らない。
このほか原論文の証明の段の不備は、本書がすべて別の道または書き足しで埋めた（上の「状態札の読み方」の五件）。原論文が証明を書かない主張（注意 1.3 の「容易に示せる」、全射から来る旗束の射の「全く同様」、Segre 射の「類似でより簡単」）にも、本書が証明を補った（『1-2』『2-3』『3-2』）。

第 9 巻と連作の他の回との関係

本書は「古典を読む」の第 10 巻である。第 9 巻『表現可能関手の一般形式』は、同じ連作の第 IV 回を原典とし、他の巻の主結果を証明に使わなかった。本書はそれと違い、第 9 巻の結果を証明に使う。

• 第 9 巻『表現可能関手の一般形式』（連作第 IV 回 Gro61iv）：原論文が番号で引く第 IV 回の 3.1、3.2、3.13、5.4、5.6、5.7、5.9 と、黙って使う米田の対応と関手で与える群構造を、第 9 巻の頁で証明された結果として引く。本書『0-4 表現可能性の判定法』に第 9 巻と同じ名前で述べ直し、第 9 巻の頁名と札を添えた。第 9 巻で［完結］の結果は本書でも完結の入力で、第 9 巻で［条件付き］の第 4 章の判定法とそれに付く補題・命題（局所的な関手、開部分関手と底の開被覆による判定、開はめ込みの点ごとの判定、開部分空間が表す前層）は、使えば本書でも［条件付き］になる。本書は第 IV 回の本文を開いて照合していない。第 9 巻の足した仮定のうち、分離性と空の和・空の被覆は本書にも効き、同値の対の読みは効かない。第 IV 回の命題 3.10 (iii)（印字のままでは偽で、第 9 巻が訂正形にしたもの）は本講演が引かない。第 9 巻は、第 V 回がベクトル束・Grassmann 束・旗束の表現可能性を第 IV 回の局所性の判定で示すとされることを、第 V 回を開かずに紹介した。本書の『1-1』の主結果「ベクトル束の存在」（底の開被覆による判定）と『2-2』の主結果「Grassmann 束とその積の存在」（開部分関手で覆われる局所的な関手の判定）が、その内容を確かめたことになる。一方、第 9 巻の頁『0-4 解析空間』の定理「はめ込みの底変換」と頁『2-4 安定性と射のクラス』の主結果「解析空間のはめ込みのクラスの底変換」は、本書では使わない。
• 連作第 II 回 Gro61ii・第 III 回 Gro61iii：本書の解析空間の枠組みの出典である。第 II 回からは解析空間の定義、開部分空間とはめ込み、局所環のネーター性（命題 2.3 a の前半）を、第 III 回からは数空間への射と大域関数の定理（定理 1.1・系 1.2）を引く（本書『0-3 解析空間と数空間』）。第 III 回のファイバー積の存在（定理 2.1）は、原論文の段を説明する注意と、それを使わずに済ませたことを断る説明の中でだけ触れ、判定には使わない。
• 連作第 VIII 回 Car61b：原論文の前置きが名を挙げる有限性定理を、同じ連作で報告する回である。本書は『1-1』の「背景と動機」と『0-6』の「原論文の引き方」で名前だけ挙げ、本文を開いていない。
• 連作第 IX 回 Gro61ix：Quot 関手・Hilbert 関手を扱う回とされる。本書の Grassmann 束（局所自由な商の Grassmann 関手）は、Quot 関手の最も簡単な場合に当たる。本書は第 IX 回を開いておらず、紹介は『0-3』『2-1』『2-2』『2-3』『4-1』『4-2』の「その後の発展」にとどめる。
• 原論文の文献 [1]〜[3]（Gro61sea、EGA1、Ser56）：どれも前置きでだけ引かれ、本書は『1-1』の主結果「相対スキームの解析化による移し替え」とその注意で扱う。文献 [1] は講演時に準備中とされた著作で、連作の回とは別のものである。
  原論文の後に来る問題（相対スキームの解析化、Picard スキームと Hilbert スキーム、Quot 関手と Douady 空間、分離性を課す後代の解析幾何、代数幾何での $\mathrm{Proj}\,\mathrm{Sym}$ の射影束と旗多様体の射影埋め込み）は本書の範囲外で、各頁の「その後の発展」で名前だけ挙げ、内容を原論文に帰属させない。

記号と約束

全頁に共通する記号（$S$、$T$、$p_T$、$\mathcal E_{(T)}$、$\check{\mathcal E}$、$\mathcal E(s)$、$k$、$E^n$、$e$、$e_s$、$(\mathrm{An})_{/S}$、$Z(\mathcal J)$、$F_{\mathcal E}$、$V(\mathcal E)$、$G_{\mathcal E}$、$m=(m_1,\dots,m_p)$、$\mathrm{Drap}_m$・$\mathbf{Drap}_m$・$\underline{\mathrm{Drap}}_m$、$\mathrm{Grass}_n$、$\mathrm P$・$\mathbf P$・$\mathcal P$、$F_H$、$U_H$ など）、枠組みの規約（第 9 巻の上に立つこと、解析空間の定義、分離性の読み、空の和と空の被覆、双対規約、旗の読み、有限表示の読み、閉部分空間と閉はめ込みを本書の中で扱うこと、米田の約束、訳語）、記号の衝突の読み分け、本書が足した仮定の文言、原論文の番号と印字頁の引き方、状態札の意味、原論文の不備の分け方と誤植の読み方の一覧は、本書『0-6 記号と約束』にまとめてある。