0-2 環付き空間の上の加群

1. $P^+$ の芽は、定義により $x$ の近くで $\theta(s)$ と書けるので $\theta_x$ は全射で、$\theta(s)$ の芽が $0$ なら $s_x=0$ なので単射である。$\sigma\in P^+(U)$ が片 $W_\alpha$ の上で $\theta(s^{(\alpha)})$ に等しいとき、$s^{(\alpha)}$ と $s^{(\beta)}$ は重なりの各点で芽が一致し、したがって各点の近くで制限が一致する。$P$ が層なら層の条件で $s^{(\alpha)}$ は重なりで一致して貼り合わさり、その切断が $\sigma$ に写る。単射性も層の条件から出るので $\theta$ は同型である。$P\to\mathcal G$ については、$s^{(\alpha)}$ の $\mathcal G$ での像が同じ理由で貼り合わさるので、それを $\sigma$ の行き先とする。$P^+$ の切断は局所的に $\theta$ の像なので、経由の仕方はこれに限る。
2. $u(s)=0$ なら各点で $u_x(s_x)=0$ なので、$u_x$ が単射なら $s$ の芽はすべて $0$ で、層の条件から $s=0$ である。逆に $u_x(s_x)=0$ なら近傍 $W$ で $u(s|_W)=0$ となり、$u(W)$ が単射なら $s|_W=0$、$s_x=0$ である。すべての $u_x$ が全単射のとき、$t\in\mathcal G(U)$ に対し、各点 $x$ の近傍 $W_x$ と $s^x\in\mathcal F(W_x)$ で $u(s^x)=t|_{W_x}$ となるものがある（$u_x$ の全射性で芽を持ち上げ、近傍を小さくする）。重なりでは $u(s^x)=u(s^y)$ で、前半により $u$ は切断の上で単射なので $s^x=s^y$ である。層の条件で貼り合わせた $s$ が $u(s)=t$ を満たす。ゆえに各 $u(U)$ は全単射で、逆写像の族が逆の射を与える。射の貼り合わせは、$s\in\mathcal F(U)$ の行き先を $u_\alpha(s|_{U\cap U_\alpha})$ の貼り合わせとすれば定まり、一意性は $\mathcal G$ の層の条件による。
3. 開集合ごとのテンソル積の前層の茎は、有向な帰納極限 $\varinjlim_{U\ni x}\mathcal A(U)\otimes_{\mathcal R(U)}\mathcal B(U)$ である。$a\otimes b\mapsto a_x\otimes b_x$ がこれから $\mathcal A_x\otimes_{\mathcal R_x}\mathcal B_x$ への写像を与え、逆に $(a_x,b_x)\mapsto[a|_W\otimes b|_W]$（$W$ は $a$、$b$ が定義された近傍の共通部分）は代表の取り方によらず（極限が有向なので）、$\mathcal R_x$ 双線形なので逆の写像を定める。二つは生成元の上で互いに逆である。(1) により層化は茎を変えない。外積も同じで、直和は明らかである。核：$u_x(s_x)=0$ なら近傍 $W$ で $u(s|_W)=0$ なので、$s_x$ は核の層の芽である。像と余核も、同じく開集合ごとの像と余核の帰納極限を茎の像と余核と比べ、(1) を当てる。逆像：$s\in\mathcal F(V)$ について、$g^{-1}(V)$ の上の族 $(s_{g(t)})_t$ は $g^{-1}\mathcal F$ の切断なので写像は全射である。$\sigma(t)=0$ なら、$t$ の近くで $\sigma=(s_{g(y)})_y$ と書け $s_{g(t)}=0$ なので、$g(t)$ の近傍 $V'$ で $s|_{V'}=0$ となり、$\sigma$ は $t$ の近傍 $W\cap g^{-1}(V')$ の上で $0$ である。ゆえに単射である。$g^*\mathcal E$ の茎は、前半と同じ計算で $\mathcal O_{T,t}\otimes_{(g^{-1}\mathcal O_S)_t}(g^{-1}\mathcal E)_t$ で、これは $\mathcal O_{T,t}\otimes_{\mathcal O_{S,g(t)}}\mathcal E_{g(t)}$ である。$j$ が開集合の包含なら、$j^{-1}\mathcal O_X=\mathcal O_U$、$j^{-1}\mathcal E=\mathcal E|_U$（族は $U$ の上の切断の芽の族）で、$\mathcal O_U\otimes_{\mathcal O_U}\mathcal E|_U\to\mathcal E|_U$、$a\otimes x\mapsto ax$ は茎で同型なので (2) により同型である。
4. $\varphi$ は $\mathcal O_U$ 線形なので、開集合 $W\subset U$ の上で $\varphi(a)=a\,\varphi(1)|_W$ となり、$\varphi(1)$ で決まる。逆に $m\in\Gamma(U,\mathcal M)$ に $a\mapsto a\,m|_W$ を対応させればよい。$\mathcal O_U^p$ は直和なので、後半は前半を成分ごとに当てたものである。

1. $N\otimes M\to N\otimes M''$ は生成元 $y\otimes b(x)$ に届くので全射で、合成は $0$ である。$C=\mathrm{Coker}(N\otimes M'\to N\otimes M)$ とする。$(y,x'')\mapsto[y\otimes x]$（$b(x)=x''$）は、$x$ の取り方の差が $a(M')$ に入り $y\otimes a(x')$ の類が $0$ なので矛盾なく定まり、双線形である。これが定める $N\otimes M''\to C$ は、$C\to N\otimes M''$ の逆写像である（生成元の上で確かめる）。ゆえに中央で完全である。外積：$\bigwedge^iM''$ は $b(x_1)\wedge\dots\wedge b(x_i)$ で生成されるので全射である。$a(x')\wedge y$ の生成する部分加群を $K$ とすると、$\bigwedge^ib(a(x')\wedge y)=0$ なので $K$ は核に含まれる。$Q=\bigwedge^iM/K$ とする。$(b(x_1),\dots,b(x_i))\mapsto[x_1\wedge\dots\wedge x_i]$ は、$x_k$ を $x_k+a(x')$ に替えても差が $\pm\,a(x')\wedge(\text{残りの積})\in K$ なので矛盾なく定まり、交代 $i$ 重線形である。これが定める $\bigwedge^iM''\to Q$ は $Q\to\bigwedge^iM''$ の逆写像なので、核は $K$ である。全射 $u$、$v$ のテンソル積は $(u\otimes1)(1\otimes v)$ で、どちらも生成元に届くので全射である。
2. 左辺から右辺への写像は、$A$ 双線形写像 $(x,y)\mapsto(1\otimes x)\otimes(1\otimes y)$（外積では交代多重線形写像 $(x_k)\mapsto(1\otimes x_1)\wedge\dots$）が普遍性で定める写像を $R$ 線形に延ばしたもので、逆向きの写像も $(r\otimes x,s\otimes y)\mapsto rs\otimes(x\otimes y)$ などの $R$ 双線形（交代多重線形）写像から普遍性で定まる。二つは生成元の上で互いに逆である。残りも同じである。
3. $\Lambda'=\bigwedge M'$、$\Lambda''=\bigwedge M''$ とし、$C=\Lambda'\otimes\Lambda''$ に、斉次元について $(x'\otimes x'')(y'\otimes y'')=(-1)^{pq}\,x'y'\otimes x''y''$（$p$ は $x''$ の次数、$q$ は $y'$ の次数）で積を入れる。三つの斉次元の積を二通りに計算すると符号はどちらも $(-1)^{|x''||y'|+|x''||z'|+|y''||z'|}$ なので、$C$ は $1\otimes1$ を単位とする結合的な $A$ 代数である。$\varphi(m',m'')=m'\otimes1+1\otimes m''$ は $\varphi(m)^2=m'^2\otimes1+m'\otimes m''-m'\otimes m''+1\otimes m''^2=0$ を満たすので、次数を保つ代数の射 $\Psi\colon\bigwedge(M'\oplus M'')\to C$ に延びる。逆に $\bigwedge(M'\oplus M'')$ の中で、次数 $p$、$q$ の斉次元は $xy=(-1)^{pq}yx$ を満たす（次数 $1$ では $(v+w)^2=0$ から $vw=-wv$ で、一般には次数 $1$ の元の積に分けて入れ替える）。ゆえに、$M'$、$M''$ の包含が誘導する射で $\Lambda'$、$\Lambda''$ を送った積 $\Phi(x'\otimes x'')=x'x''$ は代数の射である。$\Phi\Psi$ は生成元 $M'\oplus M''$ の上で、$\Psi\Phi$ は生成元 $M'\otimes1$、$1\otimes M''$ の上で恒等なので、どちらも恒等である。次数 $n$ の部分をとれば主張になる。
4. $n$ についての帰納法による。$n=0$ では $A^0=0$ で、$\bigwedge^00=A$、$i\ge1$ で $\bigwedge^i0=0$ である。$\bigwedge^iA$ は $i=0,1$ で $A$、$i\ge2$ で $0$ である（$\bigwedge^2A$ は $a\wedge b=ab\,(1\wedge1)=0$ で生成される）。$A^n=A^{n-1}\oplus Af_n$ に (3) を当てると $\bigwedge^iA^n=\bigwedge^iA^{n-1}\oplus\bigl(\bigwedge^{i-1}A^{n-1}\wedge f_n\bigr)$ で、第 2 項は $y\mapsto y\wedge f_n$ で $\bigwedge^{i-1}A^{n-1}$ と同型である。帰納法の仮定から $f_J$ が基底になる。残りの二つは基底をとれば明らかである。

5. 上の補題（茎による計算）の (1) により、射 $\mathcal A\otimes\mathcal B\to\mathcal C$ は、開集合ごとの $\mathcal O_X(U)$ 双線形写像 $\mathcal A(U)\times\mathcal B(U)\to\mathcal C(U)$ で制限と両立するものの族と同じである。これは $b\in\mathcal B(U)$ ごとに射 $\mathcal A|_U\to\mathcal C|_U$、$a\mapsto\varphi(a\otimes b|_W)$ を与える $\mathcal O$ 線形な対応、すなわち射 $\mathcal B\to\mathcal Hom(\mathcal A,\mathcal C)$ と同じである。後半は同じ補題の (4) である。
6. 二つの射はどちらも大域的に定まっているので、同じ補題の (2) により、$\mathcal F|_U\cong\mathcal O_U^r$ となる開集合 $U$ の上で同型を示せばよい。$\check{\mathcal F}$ の局所自由性も局所的な主張なので、同じ $U$ の上で示す。$f_1,\dots,f_r$ を基底とすると、同じ補題の (4) により $\check{\mathcal F}|_U$ は双対基底 $\lambda_1,\dots,\lambda_r$（$\lambda_j(f_l)=\delta_{jl}$）をもつ自由加群である。$\mathcal F\to\check{\check{\mathcal F}}$ は $f_l$ を $\lambda_l$ の双対基底の元に送るので同型である。$\mathcal Hom(\mathcal E,\mathcal O^r)=\mathcal Hom(\mathcal E,\mathcal O)^r$（$\varphi=\sum_j\varphi_jf_j$）、$\check{\mathcal F}\otimes\mathcal E=\bigoplus_j\lambda_j\otimes\mathcal E\cong\mathcal E^{\oplus r}$ で、この同一視の下で射は $(\varphi_j)_j\mapsto(\lambda_j\otimes x\mapsto\varphi_j(x))_j$、すなわち恒等である。
7. 局所的な主張なので $\mathcal E=\mathcal O^n$ としてよい。$\mathcal O^{\binom ni}\to\bigwedge^i\mathcal O^n$ を標準基底の $e_J\mapsto f_J$ で定めると、上の補題（茎による計算）の (3) により茎の上では補題（可換環の上のテンソル積と外積）の (4) の同型なので、同型である。テンソル積と直和も、同じ補題の (4) の基底で同じように示す。
8. 開集合ごとに補題（可換環の上のテンソル積と外積）の (3) の写像を定め、補題（茎による計算）の (1) で層の射にする。茎の上では同じ補題の (3) の同型なので同型である。
9. 局所的に $f_1,\dots,f_n$ を基底とする。(2) により $\bigwedge^{n-1}\mathcal E'$ は $\hat f_k=f_1\wedge\dots\wedge\widehat{f_k}\wedge\dots\wedge f_n$ を、$\bigwedge^n\mathcal E'$ は $\omega=f_1\wedge\dots\wedge f_n$ を基底とし、$\hat f_k\wedge f_j$ は $j\ne k$ で $0$（同じ元を二度含む）、$j=k$ で $(-1)^{n-k}\omega$ である。したがって $f_j$ は「$\hat f_j$ を $(-1)^{n-j}\omega$ に、他の $\hat f_k$ を $0$ に送る射」に写り、補題（茎による計算）の (4) により $\mathcal Hom(\bigwedge^{n-1}\mathcal E',\bigwedge^n\mathcal E')$ の基底を符号を除いて基底に送る。ゆえに同型である。

1. 関手性は構成から明らかである。$g^{-1}\mathcal A\otimes g^{-1}\mathcal B\to g^{-1}(\mathcal A\otimes\mathcal B)$ を $\sigma\otimes\tau\mapsto(\sigma(t)\otimes\tau(t))_t$ で定める（$\sigma$、$\tau$ は局所的に $\mathcal A$、$\mathcal B$ の切断の芽の族なので、右辺は局所的に $\mathcal A\otimes\mathcal B$ の切断の芽の族である）。外積と直和も同じである。残りの同型は、開集合ごとに (2) の式で前層の射を定め、補題（茎による計算）の (1) で層の射にしたもので、同じ補題の (3) により茎の上では補題（可換環の上のテンソル積と外積）の (2) の同型なので、補題（茎による計算）の (2) により同型である。合成については、茎の同一視 $(g^{-1}\mathcal F)_{g'(t')}=\mathcal F_{gg'(t')}$ の下で、$g'^{-1}(g^{-1}\mathcal F)$ の切断は、$\mathcal F_{gg'(t')}$ の元の族で局所的に $\mathcal F$ の切断の芽の族であるものの全体になり、これは $(gg')^{-1}\mathcal F$ の定義そのものである。環の層の射も茎の射の合成として一致する。これと $g'^{-1}$ とテンソル積の可換性、補題（可換環の上のテンソル積と外積）の (2) の最後の同型から $(gg')^*\mathcal A\cong g'^*g^*\mathcal A$ を得る。
2. $r\otimes a=r(1\otimes a)$ なので生成される。二つの射の差は茎の上で $0$ になるので、補題（茎による計算）の (2) により $0$ である。標準同型の行き先は (1) の構成から読める。同じ二つの加群の間の標準同型の合成は、生成元 $1\otimes(\cdots)$ をどれも「各成分に $1\otimes$ を付けた元」に送るので、前半により等しい。
3. 完全性は茎で定義されるので、補題（茎による計算）の (3) により $\mathcal O_{T,t}\otimes_{\mathcal O_{S,g(t)}}-$ などの右完全性、すなわち補題（可換環の上のテンソル積と外積）の (1) に帰着する。Hom の列：$\mathcal A\to\mathcal A''$ は全射なので、それとの合成が $0$ の射は茎の上で $0$ である。$\mathcal A\to\mathcal M$ が $\mathcal A'$ の像を消せば、開集合ごとの余核を経由し、補題（茎による計算）の (1) によりその層化、すなわち $\mathcal A''$ を経由する（完全性から $\mathcal A''$ は余核と同型である）。
4. 性質はどれも局所的で、$g^*$ は開集合への制限と可換である（(1) の合成の同型と補題（茎による計算）の (3) の $j^*\mathcal E=\mathcal E|_U$）。$g^*\mathcal O^n\cong\mathcal O^n$ と (3) により、全射・表示・同型が $g^*$ で移る。直和は表示の直和をとる。表示 $\mathcal O^m\xrightarrow{\alpha}\mathcal O^n\to\mathcal A\to0$、$\mathcal O^{m'}\xrightarrow{\beta}\mathcal O^{n'}\to\mathcal B\to0$ から、(3) を二度使って $\mathcal A\otimes\mathcal B$ は $(\alpha\otimes1,1\otimes\beta)\colon(\mathcal O^m\otimes\mathcal O^{n'})\oplus(\mathcal O^n\otimes\mathcal O^{m'})\to\mathcal O^n\otimes\mathcal O^{n'}$ の余核で、上の定理（外積と双対の標準同型）の (2) によりこれは有限階数の自由加群の間の射である。$\bigwedge^i\mathcal A$ は $\bigwedge^i\mathcal O^n$ の商で、補題（可換環の上のテンソル積と外積）の (1) を茎に当てると、核は有限個の切断 $\alpha(e_l)\wedge f_J$（$|J|=i-1$）で生成される。有限型の場合は全射だけを見ればよい。
5. 局所的に $\mathcal F=\mathcal O^r$ とすると、$g^*\mathcal F$ は $1\otimes f_j$ を、$g^*\check{\mathcal F}$ は $1\otimes\lambda_j$ を基底とし、射は $1\otimes\lambda_j$ を $1\otimes f_j$ の双対基底の元に送る。
6. $\mathcal O_{S,g(t)}\to k(t)$ は $g^\sharp_t$ が局所的なので $k(g(t))$ を経由し、補題（可換環の上のテンソル積と外積）の (2) により $(\mathcal O_{T,t}\otimes\mathcal A_{g(t)})\otimes_{\mathcal O_{T,t}}k(t)\cong\mathcal A(g(t))\otimes_{k(g(t))}k(t)$ である。全射性は同じ補題の (1)、生成は茎の生成元の像による。逆像の族の芽は $1\otimes(f_i)_{g(t)}$ なので、(2) により茎を生成する。$\mathcal O^n(x)=k(x)^n$ である。

1. 生成元の個数 $r$ の帰納法による。$r=0$ なら $M=0$ である。$x_r=\sum_ia_ix_i$（$a_i\in\mathfrak m$）と書けば、$1-a_r$ は可逆なので $x_r$ は $x_1,\dots,x_{r-1}$ の一次結合で、$M$ は $r-1$ 個で生成される。後半は $M/N$ に当てる。
2. $\mathcal M_x$ は有限生成で $\mathcal M_x/\mathfrak m_x\mathcal M_x=0$ なので、(1) により $\mathcal M_x=0$ である。近傍で $\mathcal M$ を生成する有限個の切断の芽が $0$ なので、より小さい近傍でそれらは $0$ で、そこで $\mathcal M=0$ である。
3. 余核 $\mathcal C$ は有限型で、補題（茎による計算）の (3) と補題（可換環の上のテンソル積と外積）の (1) により $\mathcal C(x)=\mathrm{Coker}\,u(x)=0$ である。(2) を当てる。

1. 生成する族から、既に選んだ元の張る空間に入らない元を順に加えれば基底になる。
2. 次元公式により前の三つは同値である。同型なら $\bigwedge^nf$ は $\bigwedge^nf^{-1}$ を逆にもち、補題（可換環の上のテンソル積と外積）の (4) により $\bigwedge^nV\cong K\ne0$ である。全射でなければ $f$ は次元 $< n$ の像を経由し、同じ補題の (4) によりその $\bigwedge^n$ は $0$ なので $\bigwedge^nf=0$ である。$n=0$ ではどれも成り立つ。
3. 二つの全射の核が等しいことは、一方が他方と同型の合成であることと同じで（準同型定理）、核は次元公式により超平面、逆に超平面 $H$ は $V\to V/H$ の核である。$H$ の基底を $V$ の基底に延ばした双対基底で見れば、$H^\perp$ は直線で $H$ はその元の共通の核であり、逆に直線 $K\lambda$（$\lambda\ne0$）は超平面 $\mathrm{Ker}\,\lambda$ から来る。
4. 双対基底をとればよい。

段 0（持ち上げ）．全射 $u\colon\mathcal A\to\mathcal B$、$b\in\mathcal B(U)$、点 $x\in U$ について、$x$ の近傍 $W$ と $a\in\mathcal A(W)$ で $u(a)=b|_W$ となるものがある（$u_x$ の全射性で芽を持ち上げ、近傍を小さくする）。
(1) 局所的に全射 $\mathcal O^p\to\mathcal A$ をとれば、$\mathcal A\to\mathcal E$ の核は $\mathcal O^p\to\mathcal E$ の核の像なので、$\mathcal A=\mathcal O^p$ としてよい。表示 $\mathcal O^m\xrightarrow{\rho}\mathcal O^n\xrightarrow{\psi}\mathcal E\to0$ と全射 $\phi\colon\mathcal O^p\to\mathcal E$ について、段 0 により局所的に $\phi\alpha=\psi$、$\psi\beta=\phi$ となる $\alpha\colon\mathcal O^n\to\mathcal O^p$、$\beta\colon\mathcal O^p\to\mathcal O^n$ がある。$\mathrm{Ker}\,\phi$ の切断 $y$ について $\beta y\in\mathrm{Ker}\,\psi=\mathrm{Im}\,\rho$ なので、局所的に $y=\sum_ly_l(e_l-\alpha\beta e_l)+\alpha\rho(z)$ と書ける。ゆえに $\mathrm{Ker}\,\phi$ は、そこに入る有限個の切断 $e_l-\alpha\beta e_l$、$\alpha\rho(e'_j)$ で生成される。
(2) $\mathcal E=\mathcal A\oplus\mathcal B$ を有限表示とする。局所的な全射 $\psi\colon\mathcal O^n\to\mathcal E$ の核は (1) により有限型で、$\mathcal B$ は $\mathcal E$ の商なので有限型である。射影との合成 $\mathcal O^n\to\mathcal A$ の核 $\psi^{-1}(\mathcal B)$ は、$\mathrm{Ker}\,\psi$ の生成元と $\mathcal B$ の生成元の持ち上げで生成される。
(3) 目標を局所的に $\mathcal O^r$ とし、基底を段 0 で持ち上げる。
(4) 補題（茎による計算）の (2) により茎で示せばよい。可換環 $R$ の上の全射 $\phi\colon R^n\to R^n$ は、目標が自由なので右逆 $s$ をもつ。補題（可換環の上のテンソル積と外積）の (4) により $\bigwedge^nR^n\cong R$ で、$\bigwedge^n\phi\circ\bigwedge^ns=\mathrm{id}$ なので $\bigwedge^n\phi$ は可逆元 $c$ 倍である。$\phi(x)=0$ なら、どの $\xi\in\bigwedge^{n-1}R^n$ についても $c\,(\xi\wedge x)=\bigwedge^n\phi(\xi\wedge x)=\bigwedge^{n-1}\phi(\xi)\wedge\phi(x)=0$ で、$\xi\wedge x=0$ である。$\xi=\hat f_k$（定理（外積と双対の標準同型）の (4) の証明の記号）とすれば $\hat f_k\wedge x$ は $x$ の第 $k$ 座標の $\pm$ 倍の $\omega$ なので、$x=0$ である（$n=0$ では自明）。ゆえに $\phi$ は単射で、同型である。
(5) 基底の芽を近傍の切断に代表させて $\alpha\colon\mathcal O^r\to\mathcal E$ を作る。余核は有限型で茎が $0$ なので、中山の補題の (2) の証明のとおり近傍で $0$ である。そこで $\alpha$ は全射で、核は (1) により有限型、茎が $0$ なので近傍で $0$ である。
(6) $M/\mathfrak mM$ の基底を $M$ に持ち上げた $r$ 個の元は、中山の補題の (1) の後半により $M$ を生成する。核 $N$ は (1) の議論を環の段で行って有限生成で、$k^r\to M/\mathfrak mM$ が同型なので $N\subset\mathfrak mR^r$ である（$M=0$ なら $r=0$）。