0-6 記号と約束
本書の全頁で共通に使う枠組みの規約と記号、記号の衝突の読み分け、本書が足した仮定とそれを外すと何が壊れるか、原論文の番号と印字頁の引き方と本書の頁との対応、状態札の意味、原論文の不備の分け方、原論文の誤植の読み方をまとめた頁である。各頁が「記号は本書『0-6 記号と約束』のとおり」と書くときはこの頁を指す。記号は各頁でも必要な箇所で短く繰り返し、頁の中だけで使う記号はその頁で定める。前提となる事実は本書『0-2 環付き空間の上の加群』『0-3 解析空間と数空間』『0-4 表現可能性の判定法』『0-5 閉部分空間と零点と積』に、読む順序と状態札の集計は本書『0-1 本書の読み方』にある。
枠組みの規約
本書全体で一つに決めた読み方である。どれも原論文が明示しないか、同じ語を二通りに読める所で、各頁はこの読みの下で判定する。
第 9 巻の上に立つこと
原論文は、同じ連作の第 IV 回 Gro61iv の判定法を番号（3.1、3.2、3.13、5.4、5.6、5.7、5.9）で引くだけで進む。第 IV 回は第 9 巻『表現可能関手の一般形式』の原典である。本書は第 IV 回の本文を開いて照合せず、それらを第 9 巻の頁で証明された結果として引用し、本書『0-4 表現可能性の判定法』に第 9 巻と同じ名前で主張だけ述べ直した。第 9 巻の証明は繰り返さない。第 9 巻の結果は、本書『0-4 表現可能性の判定法』の見出し名で引くか、「第 9 巻『表現可能関手の一般形式』の頁『4-2 局所的な関手の表現可能性』の主結果「…」」の形で引く。第 9 巻は他の巻の主結果を証明に使わなかったが、本書は第 9 巻の結果を証明に使う。その札の扱いは下の「状態札の意味」にある。
解析空間の定義
原論文は解析空間を定義しない。本書は同じ連作の第 II 回 Gro61ii の定義を枠組みとして受け取り、この立場を「解析空間の定義」と呼ぶ（第 9 巻と同じ）。完備付値体 $k$ の上の解析空間は、$k$ 代数の環付き空間で、各点が数空間 $E^n$ の有限表示の部分環付き空間に同型な開近傍をもつものである。射は $k$ 代数の環付き空間の射である。構造層が冪零元をもつことを許す。詳しくは本書『0-3 解析空間と数空間』の定義「解析空間の定義」「解析空間の射」にある。原論文の 1.4 の「le corps de base $k$」（印字 12-04）と 2.4 の局所環 $k$（印字 12-09〜12-10）はこの $k$ である。本書は $k$ の絶対値が自明でないものとする（本書『0-3 解析空間と数空間』の注意「基礎体の約束」）。原論文の紙面は $k$ に課す条件を書かず、この約束は本書の足した仮定には数えない。
原論文の §2 の前半（印字 12-06〜12-08）は、解析空間でなく一般の局所環付き空間 $S$ の上で述べられる。本書も、旗の集合と関手を定める本書『2-1 旗の関手と標準の写像』だけは局所環付き空間の上で書き、次の頁から解析空間に限る。
分離性の読み
解析空間の底の位相空間に分離性（Hausdorff 性）を要求しない。連作第 II 回の定義 2.1 の直後の注意による。これは本書が足した仮定の一つとして明示する（下の「本書が足した仮定」）。第 9 巻の判定法のうち、開部分関手で覆われる局所的な関手の判定は、分離的な解析空間だけの圏では一般に偽になる（第 9 巻『表現可能関手の一般形式』の頁『4-2 局所的な関手の表現可能性』の反例「反例：分離的な読みでは局所的な関手の判定が崩れる」）。ただし本書の存在定理の結論は分離的な読みでも成り立ち、ベクトル束については本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の注意「足した仮定の効き方と分離的な読み」、旗束と Grassmann 束については本書『4-2 旗束の射影束への閉はめ込み』の命題「分離的な読みでの旗束と Grassmann 束」で示す。後代の流儀との違いは本書『0-3 解析空間と数空間』の注意「分離性を課す流儀との違い」にある。
空の和と空の被覆
局所的な関手の「和を積に移す」の和には空の族を含め、層の条件には空集合の空の被覆を含める（第 9 巻と同じ）。したがって局所的な関手は空の解析空間 $\emptyset$ で一点をとる。これも足した仮定の一つである。本書が扱う関手は、空の空間の上の加群がすべて $0$ なので、どれも $\emptyset$ で一点をとる（本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果「ベクトル束の存在」の証明の段 1、本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の例「階数零と空の列と零の加群の旗」の (f)）。
双対規約
$S$ の上の加群 $\mathcal E$ のベクトル束 $V(\mathcal E)$ は、関手 $F_{\mathcal E}(T)=\mathrm{Hom}_{\mathcal O_T}(\mathcal E_{(T)},\mathcal O_T)$ を表す空間である（本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の定義「ベクトル束」）。$T$ 点は $\mathcal E$ の引き戻しの上の一次形式で、点 $s$ の上のファイバーは既約ファイバー $\mathcal E(s)$ の双対空間になる（本書『1-4 ベクトル束の底変換とファイバー』の主結果「ベクトル束のファイバー」）。$\mathcal E$ が有限階数の局所自由なら $V(\mathcal E)$ の切断の層は $\check{\mathcal E}$ である。切断の層が $\mathcal E$ になる空間を $\mathcal E$ に対応させる規約を、本書は従来の規約と呼ぶ。二つの規約の関係は本書『1-2 切断の関手と二つの規約』の主結果「二つの規約の比較」で扱う。
射影束 $\mathcal P(\mathcal E)$ も同じ向きで、その $T$ 点は $\mathcal E_{(T)}$ の可逆な商であり、一点の上の点は $\mathcal E(s)$ の超平面である（本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の例「一点の上の旗とベクトル空間の旗」）。$\mathcal E$ が局所自由なら、従来の規約での $\check{\mathcal E}$ の射影束（$\mathcal E(s)^*$ の直線の集合）に当たる（本書『4-1 射影束の規約と底変換とファイバー』）。後代の言葉では商の規約に当たる。
旗の読み
原論文の定義 2.1（印字 12-06）は、旗を「商加群の増加列」とだけ書く。本書は、商を全射の同値類（同じ核をもつ全射を同一視したもの、すなわち核である部分加群）と読み、増加を「後の成分が前の成分を押さえる」、すなわち各 $i< p$ で $\mathcal E\to\mathcal E_i$ が $\mathcal E\to\mathcal E_{i+1}$ を経由すると読む。後者は原論文 §3 の一般の旗の段の「$(\mathcal E_{i+1})_{(T)}$ が $(\mathcal E_i)_{(T)}$ を押さえる」（印字 12-12）と、階数の列 $m$ が増加であることに合う。この読みは本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の定義「型の旗」に組み込み、足した仮定「旗の読み」として札に書く（第 9 巻の「同値の対の読み」と同じ扱い）。
有限表示の読み
原論文の命題 2.2（印字 12-09）は、第 1 の射（全射 $\mathcal E\to\mathcal F$ から来る旗束の射）の $\mathcal F$ に有限表示を書かないが、§3 の同じ主張（印字 12-12）は書く。本書は命題 2.2 の第 1 の射の $\mathcal F$ と、Segre 射の $\mathcal E$・$\mathcal F$ を有限表示と読む。これも足した仮定で、本書『3-2 閉はめ込み定理』で扱う。§3 の第 1 の射の主張は原論文自身が有限表示を明記するので、足した仮定ではない。
閉部分空間と閉はめ込みは本書の中で扱う
閉部分空間の普遍性、閉はめ込みの底変換・合成・局所性・消去は、本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「閉部分空間の普遍性と閉はめ込みの計算」で本書が示す。第 9 巻の頁『0-4 解析空間』の定理「はめ込みの底変換」（連作第 II 回の注意 2.10 の後半）と頁『2-4 安定性と射のクラス』の主結果「解析空間のはめ込みのクラスの底変換」は使わない（本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の注意「第 9 巻のはめ込みの底変換を使わない」）。解析空間のファイバー積の一般の存在（連作第 III 回 Gro61iii の定理 2.1。本書『0-3 解析空間と数空間』の定理「解析空間のファイバー積の存在」）も判定に使わず、原論文の段を説明する注意でだけ触れる。本書が使うファイバー積は、開はめ込みに沿うもの、閉はめ込みに沿うもの、底と数空間の積、ベクトル束の自分自身との積と底変換、Grassmann 束の積のように、それぞれの頁で存在を示したものだけである。
米田の約束
表現可能な前層の間の射を表す空間の間の射とみること、$T$ について自然な全単射から空間の同型を得ること、部分前層が空間で表されることの意味は、本書『0-4 表現可能性の判定法』の注意「米田の約束」に従い、そのたびに断らない。関手の値の上の構造と空間の上の構造の対応は、群については第 9 巻の命題（本書『0-4 表現可能性の判定法』の命題「群構造と群対象の対応」）、$k$ ベクトル空間については本書『1-3 ベクトル束の群構造と閉はめ込み』の命題「ベクトル空間の構造とベクトル空間対象の対応」による。
訳語
| 原論文の語 | 本書の語 |
|---|---|
| fibré vectoriel、fibré projectif、fibré en drapeaux | ベクトル束、射影束、旗束 |
| drapeau de type $m$、suite croissante、majore | 型 $m$ の旗、増加列、押さえる |
| Module、Idéal | 加群（$\mathcal O_S$ 加群の層）、イデアル（$\mathcal O$ のイデアル層） |
| de type fini、de présentation finie、localement libre | 有限型、有限表示、局所自由 |
| immersion fermée、immersion ouverte | 閉はめ込み、開はめ込み（第 9 巻に合わせる。後代の慣用の「埋め込み」と同じもの） |
| morphisme de Plücker、morphisme de Segre | Plücker 射、Segre 射（集合の水準では Plücker の写像、Segre の写像） |
| homomorphisme de foncteurs | 関手の準同型 |
| de nature locale | 局所的（な関手） |
| $\mathcal E_s\otimes k$ | 既約ファイバー $\mathcal E(s)$ |
後代の名称（点の関手、商の Grassmann 関手、Quot 関手、Plücker 座標、Plücker 埋め込み、Segre 埋め込み、$\mathrm{Spec}\,\mathrm{Sym}$、$\mathrm{Proj}$）は説明と「その後の発展」で使うが、原論文自身の表記として帰属させない。主結果の名前は原論文の訳語に揃え、「閉はめ込み定理」「Plücker 射の閉はめ込み」と書く。
記号の衝突の読み分け
原論文は同じ文字を複数の意味に使い、本書の頁も証明の中だけの記号に同じ文字を使うことがある。取り違えやすいものを次のように読み分ける。「その箇所だけの記号」と書いたものは、使う頁の中で定め、他の頁へ持ち出さない。
- $e$、$e_t$、$e_l$：$e=E^0$ は一点に $k$ を与えた空間で、解析空間の圏の終対象である。$e_t$ は点 $t$ だけからなる被約な閉部分空間で、$e$ とただ一つの同型で結ばれる（本書『0-3 解析空間と数空間』の補題「点の部分空間の存在」）。本書『1-2 切断の関手と二つの規約』『1-4 ベクトル束の底変換とファイバー』は底の点 $s$ について $e_s$、$i_s$ と書き、原点については $e_0$ と書く（0-5・1-2・1-4 の例）。原論文は自由加群の基底に $e_i$ を使うが、本書は基底を $f_1,\dots,f_n$ と書く（0-2・1-1・1-3）。ただし本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「外積と双対の標準同型」「逆像と加群の演算」「有限表示と局所自由の基本性質」の証明と、本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「底と数空間の積」の証明の段 8 は、補助の自由加群の標準基底を $e_l$、$e'_j$、$e_J$ と書く。どれもその証明の中だけの記号で、空間 $e$ とは紛れない。
- $\varepsilon$、$\epsilon_i$：$\varepsilon$ は二重点の環 $k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ の元で、本書『0-3 解析空間と数空間』の例「二重点」、本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の例「座標の零点と二重点」、本書『1-2 切断の関手と二つの規約』の反例、本書『4-1 射影束の規約と底変換とファイバー』の例で使う。1-2 の反例の $\varepsilon_1=(\varepsilon,0)$、$\varepsilon_2=(0,\varepsilon)$ は環 $A_2\times_kA_2$ の元である。1-2 の補題「一点の空間の押し出し」の $\epsilon_i\colon B_i\to k$ は剰余写像で、字形を変えて区別した。外積と双対の標準同型は、本書『3-1 Plücker 射の局所計算』の主結果「外積の成分の射の計算」の (4) とその証明でだけ $\varepsilon$ と書く（二重点の $\varepsilon$ とは別の、その箇所だけの記号）。ほかの頁では記号を付けず、「標準同型」と書く。
- $\mathcal E$ と $E^n$：加群は花文字 $\mathcal E$、数空間は立体の $E^n$ で書く。原論文の印字は数空間を加群と似た花文字風の字形で書く（下の誤植の表）。
- $\mathcal P$、$\mathbf P$、$\mathrm P$ と $\mathbf V_P$：花文字の $\mathcal P$ は射影束（空間）、太字の $\mathbf P$ は関手、立体の $\mathrm P$ は集合である。原論文は §3 の Plücker 射の計算段で、ベクトル束の名にも $\mathcal P$ を使う（印字 12-14）。本書はそれを $\mathbf V_P$ と書く（本書『3-1 Plücker 射の局所計算』）。
- $\mathcal V$：原論文は 2.4 で一点の上の加群に、2.5 でテンソル積に、同じ $\mathcal V$ を使う（印字 12-09〜12-10）。本書は前者を $k^N$ と書き（本書『4-1 射影束の規約と底変換とファイバー』）、後者は本書『4-2 旗束の射影束への閉はめ込み』で加群を明示して書く。
- $\mathbf C$：複素数体（前置きと例だけ）。本書『0-4 表現可能性の判定法』では第 9 巻の一般の圏を $\mathbf C$ と書き、すぐ $(\mathrm{An})_{/S}$ に当てる。原論文の 1.4 の圏「C●●n)/S」（印字 12-04）は $(\mathrm{An})_{/S}$ と書く。本書『1-2 切断の関手と二つの規約』の $C=B_1\times_kB_2$ は有限次元の局所代数で、本書『0-2 環付き空間の上の加群』『0-5 閉部分空間と零点と積』の $\mathcal C$ は余核、本書『1-3 ベクトル束の群構造と閉はめ込み』の $\mathcal C$ は直和の補である。
- $V$ と $W$：$V$ は原則としてベクトル束 $V(\mathcal E)$ と射 $V(u)$ に使う。第 9 巻の頁『4-2 局所的な関手の表現可能性』が開部分空間に使う $V$ を、本書『0-4 表現可能性の判定法』は $W$ と書き直した。ただし、本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定義「環付き空間の上の加群」の (3)、本書『0-3 解析空間と数空間』の定理「局所環の剰余体」の証明と命題「開はめ込みの底変換と非交和」の (1)（$V$、$V'$）、本書『0-4 表現可能性の判定法』の定義「局所的な関手」（$V\subset U$）は $V$ を開集合に、本書『0-2 環付き空間の上の加群』の補題「体の上の線形代数」と本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の例は $V$、$W$ をベクトル空間に使う。どれも $V(\mathcal E)$ の形では現れない、その箇所だけの記号である。開集合には主に $U$、$W$ を使う。本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「閉部分空間の普遍性と閉はめ込みの計算」の (e) の $W$ は解析空間で、同じ頁の証明の $W_\lambda$ は数空間の開部分空間である。
- $\pi$、$\sigma$：$\pi_{\mathcal E}$ は Plücker の写像（本書『2-1 旗の関手と標準の写像』。集合と関手の水準）と Plücker 射（本書『3-2 閉はめ込み定理』。空間の水準）、$\sigma$ は Segre の写像と Segre 射である。本書『0-3 解析空間と数空間』の補題「有限次元局所代数の一点の空間」の証明の $\pi\colon k\{z\}\to B$ と、本書『1-2 切断の関手と二つの規約』の主結果「切断の関手の表現可能性と局所自由性」の証明の商写像 $\pi\colon R\to A_j$ は、その証明の中だけの記号である。1-2 の $\sigma\in\Gamma(T,\mathcal E_{(T)})$ は切断で、本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定義「層と茎」の $\sigma$ は茎の元の族である。
- $m$、$p$、$n$：$m=(m_1,\dots,m_p)$ は旗の型で、$p$ はその長さである。ほかに、加群の表示 $\mathcal O_S^m\to\mathcal O_S^n\to\mathcal E\to0$ の $m$、$n$（本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』『1-3 ベクトル束の群構造と閉はめ込み』）と、$E^p$、$\mathcal O^p$、$\Gamma^p$ の指数 $p$ がある。第 1 章の表示の $m$ は旗の型とは別物で、その頁の中で定める。$n$ は表示の生成元の個数のほか、Grassmann 束 $\mathbf{Grass}_n$ の階数、ファイバーの次元 $n=\dim\mathcal E(s)$ にも使う。
- $p$ と $p_T$：$p_T\colon T\to S$ は $S$ 上の空間 $T$ の構造射である。添字のない $p$ は、本書『0-3 解析空間と数空間』の補題「有限次元局所代数の一点の空間」の (2) と本書『1-2 切断の関手と二つの規約』の補題「一点の空間の押し出し」の証明では $S$ 上の空間 $X$ の構造射、本書『1-4 ベクトル束の底変換とファイバー』では $V(\mathcal E)$ の構造射で、その頁の中で定める。
- $s$：底の点に使う。ほかに、本書『0-4 表現可能性の判定法』の定義「スライス圏への制限」の $(S',s)$ は構造射、本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「零点の部分空間」の $\mathcal O_T^s$ の $s$ は整数、同じ頁の補題「底と数空間の積」の証明の段 6 の $s$ は射 $T\to S$、本書『1-3 ベクトル束の群構造と閉はめ込み』の主結果「局所自由な場合の部分ベクトル束」の証明の $s$ は分裂の射、同じ頁の反例の $s=p_T^\sharp(z)$ は関数である。どれもその箇所だけの記号である。
- $f$：$S$ 射 $f\colon T'\to T$ に使う。$f_1,\dots,f_n$ は自由加群の標準基底（上の $e$ の行）で、本書『2-2 Grassmann 束の存在』以後の $(f_i)_{i\in I}$ は加群を生成する切断の族である（原論文の $e_i$）。本書『0-4 表現可能性の判定法』の定理「開部分関手で覆われる局所的な関手の表現可能性」の $f_i\colon X_i\to Y$ は射、本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の例「原点で潰れた直線のベクトル束」の $f=p_T^\sharp(z)$ は関数である。
- $u$、$w$：$u$ は加群の射に使う（1-1〜1-3 の $u\colon\mathcal E\to\mathcal F$、3-1 の $u\colon\mathcal E''\to\mathcal E'$）。本書『0-4 表現可能性の判定法』の $u\colon F\to G$、$u_i\colon F_i\to G$ は第 9 巻の記号で前層の射である。本書『3-1 Plücker 射の局所計算』の $u_i$ は外積の成分の射で、これとは別である。本書『2-1 旗の関手と標準の写像』は全射を $w\colon\mathcal E\to\mathcal F$ と書く。本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の $w\colon T\to E^{N+p}$ と本書『1-2 切断の関手と二つの規約』の $w\in C^r$ は、その箇所だけの記号である。
- $\lambda$、$\mu$：$\lambda\in k$ はスカラーで、$\mu_\lambda$ は $\lambda$ 倍の射である（本書『1-3 ベクトル束の群構造と閉はめ込み』）。ほかに $\lambda$、$\lambda_j$、$\mu$ は一次形式や双対の加群の切断（0-2、0-5、1-2、1-3 の主結果「局所自由な場合の部分ベクトル束」、1-4、2-1 の例）に、$\lambda$ は開被覆の添字（0-5 の $X_\lambda$・$S_\lambda$、1-1 と 1-3 の $S_\lambda$）にも使う。どれもその箇所で定める。
- $\eta$、$\xi$：$\eta$ は旗の関手の $T$ 点（本書『2-2 Grassmann 束の存在』『2-3 旗束の存在定理』）と、第 9 巻のファイバー $F_\eta$ の添字、点での値 $\eta_t$ に使う。どれも $T$ 点についての用法なので衝突しない。$\xi$、$\xi_{\mathcal E}$ は前層を表す組の普遍元で、本書『0-2 環付き空間の上の加群』の外積の式と本書『3-1 Plücker 射の局所計算』の式 $u_i(\xi'\otimes\eta'')=\xi'\wedge(\bigwedge^iu)(\eta'')$ の $\xi'$、$\eta''$ は外積の元である。
- $\mathcal E'$、$\mathcal E''$：本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』では加群の射の目標（$u\colon\mathcal E\to\mathcal E'$）、本書『1-4 ベクトル束の底変換とファイバー』では $\mathcal E'=\mathcal E_{(S')}$、本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の定義「型の旗」の (2) では一般の商、本書『3-1 Plücker 射の局所計算』『3-2 閉はめ込み定理』では直和分解 $\mathcal E=\mathcal E'\oplus\mathcal E''$ の因子（$\mathcal E'$ は階数 $n$ の局所自由）である。どれもその頁の中で定める。原論文は直和を $\mathcal E'+\mathcal E''$ と書く。
- $\mathcal L$、$\mathcal M$：主に可逆な加群に使う。本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「零点の部分空間」の $\mathcal L$ は有限階数の局所自由（可逆とは限らない）である。
- $\mathcal J$ の添字：$\mathcal J_c$ は射 $c$ の零点のイデアル、$\mathcal J_t$ は点 $t$ で値 $0$ をとる切断のイデアル（本書『0-3 解析空間と数空間』の補題「点の部分空間の存在」）、$\mathcal J_\lambda$ は開被覆の片の上のイデアルである。$\mathcal J\mathcal O_T$ はイデアルの引き戻しである（下の記号の一覧）。
- $h$：$h_X$ は点の前層、$h_a$ は射 $a$ の定める前層の射である。添字のない $h$ は点の関手（本書『0-4 表現可能性の判定法』）か、その箇所で定める射（$h\colon X\to X'$ など）である。
- $H$：本書『2-2 Grassmann 束の存在』以後の $H$ は生成切断の添字集合の $n$ 元部分集合で、本書『0-2 環付き空間の上の加群』の補題「体の上の線形代数」の $H$ は超平面である。
- $i$、$j$、$\iota$：$i\colon Z\to X$ は閉部分空間の包含、$i_t$ は点の部分空間の包含、$j$ は開集合の包含（0-2、0-3、1-3）に使う。$\iota_1,\iota_2\colon\mathcal E\to\mathcal E\oplus\mathcal E$ は成分への包含、$\delta=\iota_1+\iota_2$ は対角である（本書『1-3 ベクトル束の群構造と閉はめ込み』）。
- $\alpha$、$\rho$、$\varphi$、$\psi$、$\theta$：$\alpha_T$、$\beta_T$ は本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の完全列の射、$\alpha\colon\mathcal A\to\mathcal B$ と $U_\alpha$ は本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「全射になる点の開集合」の記号である。$\rho\colon\mathcal O_{S,s}\to B$ は一点の空間 $P_B$ を $S$ 上の空間とみる射（0-3、1-2）で、ほかの $\rho$、$\varphi$、$\psi$、$\theta$ はどれもその箇所だけの記号である。
- $N$：$k^N$、$\mathcal E^{\otimes N}$ の $N$ のほか、本書『0-3 解析空間と数空間』の証明の冪の指数、本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の証明の模型の次元、本書『1-2 切断の関手と二つの規約』の証明の表示の核 $N$ に使う。
- 式番号 (*)：原論文は §1（印字 12-03）と §3（印字 12-13）で同じ番号を別の式に使う。本書は「有限表示から来る完全列」（本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』）、「外積の分解」（本書『3-1 Plücker 射の局所計算』）と内容で呼ぶ。本書『0-3 解析空間と数空間』『1-2 切断の関手と二つの規約』の $*$ は一点の空間のただ一つの点である。
- 番号の重複：原論文は定義 2.1 と命題 2.1、定義 2.2 と命題 2.2 に同じ番号を使う（印字 12-06、12-08、12-09）。本書は「定義 2.1（旗）」「命題 2.1（存在定理）」「定義 2.2（旗束の命名）」「命題 2.2（閉はめ込み定理）」と括弧で区別する。
記号の一覧
証明の中だけで使う記号（$\Omega_\lambda$、$W'_\lambda$、$A_j$ など）は載せない。「原論文」の欄の「同」は原論文と同じ記号であることを表す。
加群と環付き空間（第 0 章『0-2』）
| 記号 | 意味 | 原論文 |
|---|---|---|
| $S$、$T$、$T'$、$S'$ | 底の空間、$S$ 上の空間（テスト対象）、$S$ 上の空間 | 同 |
| $p_T\colon T\to S$ | $S$ 上の空間 $T$ の構造射 | 言葉で |
| $\mathcal O_X$、$\mathcal O_{X,x}$、$\mathfrak m_x$、$k(x)$ | 構造層、点の局所環、その極大イデアル、剰余体（解析空間では $k$） | 同 |
| $g^{-1}$、$g^*$、$g_*$、$g^\sharp$、$g^\sharp_t$ | 層の逆像、加群の逆像、順像、構造層の射、茎の射 | $f^*$ など |
| $\mathcal E_{(T)}$、$u_{(T)}$ | $\mathcal E$、射 $u$ の $p_T$ による逆像（切断 $f$ の引き戻しは $f_{(T)}$）。$f\colon T'\to T$ について $\mathcal E_{(T')}\cong f^*\mathcal E_{(T)}$（逆像の標準同型） | 同 |
| $\Gamma(U,\mathcal A)$、$s_x$ | 開集合 $U$ の上の切断、切断 $s$ の点 $x$ での芽 | 同 |
| $\mathcal Hom$、$\check{\mathcal E}$、$(\ )^\vee$ | 射の層、双対 $\mathcal Hom(\mathcal E,\mathcal O)$。式の中では $(\mathcal E_{(T)})^\vee$ とも書く | 同 |
| $\mathcal E(x)$、$u(x)$ | 既約ファイバー $\mathcal E_x\otimes_{\mathcal O_{X,x}}k(x)=\mathcal E_x/\mathfrak m_x\mathcal E_x$ と、射の誘導する線形写像 | $\mathcal E_s\otimes k$ |
| 有限型、有限表示、階数 $n$ の局所自由、有限階数の局所自由、可逆 | 本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定義「環付き空間の上の加群」の (4)（階数 $0$ の局所自由は $0$） | 同 |
| $\bigwedge^i$、$\otimes$、$\oplus$、$\mathcal E^{\otimes N}$、$\mathcal E^{\oplus n}$ | 外積、テンソル積、直和、$N$ 個のテンソル積、$n$ 個の直和 | 直和は $+$ とも |
| $f_1,\dots,f_n$、$f_J$ | 自由加群の標準基底と、その外積の基底 | $e_i$ |
| $V^*$、$\mathcal E(s)^*$ | 体の上のベクトル空間の双対空間 | 言葉で |
解析空間（第 0 章『0-3』。第 9 巻と同じ）
| 記号 | 意味 | 原論文 |
|---|---|---|
| $k$ | 完備付値体（絶対値は自明でない）。連作第 II 回の基礎体 | 「le corps de base $k$」 |
| $E^n$、$z_1,\dots,z_n$、$k\{z_1,\dots,z_n\}$ | 数空間、座標関数、原点での収束冪級数の環 | 花文字風の字形 |
| $e=E^0$ | 一点に $k$ を与えた空間（$(\mathrm{An})$ の終対象） | 言葉で |
| $(\mathrm{An})$、$(\mathrm{An})_{/S}$、$\mathrm{Hom}_S$ | 解析空間（分離的とは限らない）の圏、$S$ 上の解析空間と $S$ 射の圏、$S$ 射の集合 | 同 |
| $\emptyset$ | 空の解析空間（始対象、空の族の和） | 言葉で |
| $a(x)$ | 切断 $a$ の点 $x$ での値（剰余体 $k$ での像） | 言葉で |
| $e_t$、$i_t$、$\mathcal J_t$ | 点 $t$ の被約な閉部分空間、その包含、$t$ で値 $0$ の切断のイデアル（$e_s$、$i_s$、$e_0$ とも） | 言葉で |
| $P_B$ | 剰余体が $k$ の有限次元局所 $k$ 代数 $B$ を一点に与えた空間。$P_k=e$ | 本書の記号 |
| $D$ | 二重点（一点に $k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$。0-3・0-5・4-1 の例） | 第 9 巻と同じ |
| 開部分空間、閉部分空間、開はめ込み、閉はめ込み | 本書『0-3 解析空間と数空間』の定理「解析空間の開部分空間とはめ込み」 | immersion |
閉部分空間と零点と積（第 0 章『0-5』）
| 記号 | 意味 | 原論文 |
|---|---|---|
| $Z(\mathcal J)$、$Z_Y(\mathcal J')$ | 有限型のイデアル $\mathcal J$ の閉部分空間（台 $\mathrm{Supp}(\mathcal O/\mathcal J)$、構造層 $\mathcal O/\mathcal J$）、$Y$ の閉部分空間 | 言葉で |
| $Z(c_1,\dots,c_m)$ | 関数 $c_1,\dots,c_m$ の生成するイデアルの閉部分空間（共通の零点の部分空間） | 言葉で |
| $\mathcal J\mathcal O_T$ | $g\colon T\to X$ によるイデアルの引き戻し $\mathrm{Im}(g^*\mathcal J\to\mathcal O_T)$。$g^{-1}\mathcal J$ の像の生成するイデアルと同じ | 本書の記号 |
| $\mathcal J_c$ | 射 $c\colon\mathcal K\to\mathcal L$（$\mathcal L$ は有限階数の局所自由）の零点のイデアル $\mathrm{Im}(\mathcal K\otimes\check{\mathcal L}\to\mathcal O)$。$Z(\mathcal J_c)$ は $c$ の零点の部分空間 | 「零切断の逆像」 |
| $U_\alpha$ | 射 $\alpha\colon\mathcal A\to\mathcal B$ が既約ファイバーで全射になる点の開集合 | 本書の記号 |
| $\Gamma^p$、$S\times E^p$ | 前層 $T\mapsto\Gamma(T,\mathcal O_T)^p$ と、それを表す空間（$(\mathrm{An})$ での積、$V(\mathcal O_S^p)$ に等しい） | $E^p\times S$ |
関手と表現（第 0 章『0-4』。第 9 巻の記号）
| 記号 | 意味 | 原論文 |
|---|---|---|
| $\mathbf C$、$\widehat{\mathbf C}$ | 一般の圏と、その前層の圏（頁 0-4 だけ） | 第 IV 回の記号 |
| $h_X$、$h_a$、$h$ | 点の前層 $\mathrm{Hom}(-,X)$（$(\mathrm{An})_{/S}$ では $\mathrm{Hom}_S(-,X)$）、射 $a$ の定める前層の射、点の関手 | 同 |
| $(X,\xi)$ | 前層を表す組（$\xi$ は普遍元） | 同 |
| $F_{/S}$、$F_{/S'}$、$G_{/S_i}$ | 前層のスライス圏への制限 | 同 |
| $F_\eta$、$F_{i\eta}$、$T_{i\eta}$ | 射 $u\colon F\to G$ と $\eta\in G(T)$ のファイバー、族の場合のファイバーとそれを表す開部分空間 | 同 |
| $\eta_t$、$T_\eta$ | $\eta$ の点 $t$ での値 $G(i_t)(\eta)$、$\eta_t$ が $u(e_t)$ の像に入る点の集合 | 同 |
| $\mathcal S$ | 射のクラス（本書では閉はめ込みのクラス）。対象 $S$ と区別する | 波線付きの S |
| $\mathrm{pr}_1$、$\mathrm{pr}_2$ | ファイバー積の射影 | 同 |
ベクトル束（第 1 章）
| 記号 | 意味 | 原論文 |
|---|---|---|
| $F_{\mathcal E}$、$F_u$ | ベクトル束の関手 $T\mapsto\mathrm{Hom}_{\mathcal O_T}(\mathcal E_{(T)},\mathcal O_T)$（双対規約）と、加群の射 $u\colon\mathcal E\to\mathcal E'$ の定める前層の射 $F_{\mathcal E'}\to F_{\mathcal E}$。$F_{\mathcal E}(f)(y)$ を $f^*y$ とも書く | 同 |
| $V(\mathcal E)$、$\xi_{\mathcal E}$ | $F_{\mathcal E}$ を表す空間（ベクトル束）と普遍元 | 同（定義 1.2） |
| $G_{\mathcal E}$ | 切断の関手 $T\mapsto\Gamma(T,\mathcal E_{(T)})$ | 同 |
| $V(u)$、$\check u$ | 加群の射 $u\colon\mathcal E\to\mathcal F$ の定める $V(\mathcal F)\to V(\mathcal E)$（反変）、$u$ の双対 $\check{\mathcal F}\to\check{\mathcal E}$ | 同 |
| $\mathrm{add}_X$、$0_X$、$\mathrm{neg}_X$、$\mu_\lambda$、$\mathrm{End}(X)$ | $k$ ベクトル空間対象の加法、零切断、逆、$\lambda$ 倍の射、自己準同型環（本書『1-3 ベクトル束の群構造と閉はめ込み』） | 言葉で |
| $X_s$、$V(\mathcal E)_s$ | $S$ 上の空間 $X$ の点 $s$ の上のファイバー $X\times_Se_s$ | 同 |
| $F_{\mathcal E,\mathcal F}$ | 加群の射の関手 $T\mapsto\mathrm{Hom}_{\mathcal O_T}(\mathcal E_{(T)},\mathcal F_{(T)})$（本書『1-4 ベクトル束の底変換とファイバー』） | 言葉で |
| 双対規約、従来の規約、切断の層 | 本書『1-2 切断の関手と二つの規約』の定義「二つの規約」 | 「la définition habituelle」 |
旗と旗束（第 2〜4 章）
| 記号 | 意味 | 原論文 |
|---|---|---|
| $m=(m_1,\dots,m_p)$ | 型（$0$ 以上の整数の増加列、$p\ge0$。$p=0$ の空の列も許す） | 同 |
| 商、押さえる | 全射の同値類（核と一対一）、$\mathcal E\to\mathcal E''$ が $\mathcal E\to\mathcal E'$ を経由すること（旗の読み） | quotient、majore |
| 型 $m$ の旗 $(\mathcal E_1,\dots,\mathcal E_p)$ | 階数 $m_i$ の局所自由な商の列で、各 $i< p$ で $\mathcal E_{i+1}$ が $\mathcal E_i$ を押さえるもの | drapeau de type $m$ |
| $\mathrm{Drap}_m(\mathcal E)$、$\mathrm{Grass}_n(\mathcal E)$、$\mathrm P(\mathcal E)$ | 旗の集合、$m=(n)$ の場合、さらに $n=1$ の場合（可逆な商の集合）。立体は集合 | 同 |
| $\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)$、$\mathbf{Grass}_n(\mathcal E)$、$\mathbf P(\mathcal E)$ | 旗の関手 $T\mapsto\mathrm{Drap}_m(\mathcal E_{(T)})$ など。太字は関手 | 波下線 |
| $\underline{\mathrm{Drap}}_m(\mathcal E)$、$\underline{\mathrm{Grass}}_n(\mathcal E)$、$\mathcal P(\mathcal E)$ | 表す空間：旗束、Grassmann 束、射影束。下線と花文字は空間 | 下線、立体の P から花文字へ |
| $\underline{\mathrm{Drap}}_m(k^N)$ | $e$ の上の $\underline{\mathrm{Drap}}_m(\mathcal O_e^N)$ | $\mathcal V$ |
| $\mathrm{Drap}_m(w)$ | 全射 $w\colon\mathcal E\to\mathcal F$ から来る $\mathrm{Drap}_m(\mathcal F)\to\mathrm{Drap}_m(\mathcal E)$ | 同 |
| $\pi_{\mathcal E}$、$\sigma$ | Plücker の写像・射 $\mathrm{Grass}_n(\mathcal E)\to\mathrm P(\bigwedge^n\mathcal E)$、Segre の写像・射（空間の水準の始域は $\mathcal P(\mathcal E)\times_S\mathcal P(\mathcal F)$） | 名前だけ |
| $(f_i)_{i\in I}$、$H$、$\varphi_H$、$\varphi_{H,T}$ | 加群を生成する切断の族、$I$ の $n$ 元部分集合、$f_i$（$i\in H$）が定める $\mathcal O_S^H\to\mathcal E$（$\mathcal O_S^H$ は $H$ で番号づけた基底をもつ自由加群で $\mathcal O_S^n$ と同一視）、その $T$ への引き戻し | $e_i$ ほか |
| $F_H$、$U_H$、$\mathcal E_1$ | 標準の開部分関手、そのファイバーを表す開集合、$\mathbf{Grass}_n$ の $T$ 点の商 | 同 |
| $X'$、$Y'$、$X_H$、$Y_H$ | Grassmann 束・射影束の標準の開部分空間 | 同 |
| $u_i$ | $\xi'\otimes\eta''\mapsto\xi'\wedge(\bigwedge^iu)(\eta'')$（式 (**)） | 同 |
| $\mathbf V_P$、$\mathbf V_Q$、$\phi$ | Plücker 射の計算段のベクトル束と、Plücker 射がそのグラフになる射 | $\mathcal P$ など |
本書が足した仮定
原論文が暗に使う読みのうち、定義からも紙面の他の文からも一つに決まらないものを、本書は足した仮定として明示する。足した仮定の下での判定は、主結果の札と頁の注意の両方に内容で書く。第 9 巻の足した仮定のうち「同値の対の読み」は第 9 巻の証明の中でだけ使われ、本書の主張には現れないので引き継がない（本書『0-4 表現可能性の判定法』の注意「本書に効く第 9 巻の足した仮定」）。
| 仮定 | 内容 | 札に書く主結果 | 外したとき |
|---|---|---|---|
| 解析空間は分離的とは限らない | $(\mathrm{An})$ は連作第 II 回の定義による解析空間の圏で、底の分離性を要求しない（第 9 巻と同じ） | 証明（または証明が直接使う補題）で第 9 巻の命題 5.6・系 5.7 に当たる判定を引く主結果：1-1「ベクトル束の存在」、1-4「ベクトル束のファイバー」、2-2「旗の関手の局所性」「Grassmann 束とその積の存在」 | 証明の道（開部分関手で覆われる局所的な関手の判定）が分離的な読みでは一般に偽になるが、結論は壊れない。底が分離的なら、ベクトル束・旗束・Grassmann 束の積は分離的である |
| 空の和と空の被覆を含める | 「和を積に移す」の和に空の族を含め、層の条件に空集合の空の被覆を含める（第 9 巻と同じ） | 上と同じ 4 件 | 本書の関手はどれも空の空間で一点をとるので、結論は壊れない。壊れるのは判定法を空の被覆・空の添字集合で引く段だけで、直接の議論に置き換わる |
| 旗の読み | 「商加群」は全射の同値類（核）、「増加列」は後の成分が前の成分を押さえる列と読む | 旗を使う主結果 22 件（2-1 の 4、2-2 の 6、2-3 の 3、3-1 の 2、3-2 の 3、4-1 の 3、4-2 の 1） | 全射そのものと読むと集合にならず、引き戻しが目標の同型を除いてしか定まらないので前層が定まらない。向きを逆に読むと、ある $i< p$ で $m_i< m_{i+1}$ となる型（とくに $p\ge2$ の狭義増加の型）では空でない $T$ で旗の集合が空になり、原論文 §3 の旗の判定が偽になる |
| 有限表示の読み | 命題 2.2 の第 1 の射の $\mathcal F$ と、Segre 射の $\mathcal E$・$\mathcal F$ を有限表示と読む | 3-2「Segre 射の閉はめ込み」「閉はめ込み定理」 | 主張の始域が存在定理の空間でなくなり、主張が意味を失う（偽になるのではない）。関手の水準の写像は有限表示なしで定まる |
外すと壊れる例と、壊れない理由の証明は次の所にある。分離性については、第 9 巻の反例「反例：分離的な読みでは局所的な関手の判定が崩れる」（判定そのものが崩れる例）と、本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の注意「足した仮定の効き方と分離的な読み」、本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の注意「底と数空間の積の札と分離性」、本書『4-2 旗束の射影束への閉はめ込み』の命題「分離的な読みでの旗束と Grassmann 束」（結論が壊れない理由）。空の被覆については、第 9 巻の反例「反例：空の被覆を除くと判定が崩れる」（空の空間で二点をとる前層で判定が崩れる例。本書の関手ではこの型は起きない）。旗の読みについては、本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の注意「旗の読み」と本書『2-3 旗束の存在定理』の反例「反例：増加列の向きを逆に読むと旗の判定が崩れる」。逆の向きでも、一点の上のファイバーの旗の集合を述べる原論文 2.4 (ii) の等式は、ある $i< p$ で $m_i< m_{i+1}$ となる型では両辺がともに空になって壊れない（それ以外の型では、同じ階数の局所自由な商の間の全射は同型なので、二つの読みは同じ旗を与える）。有限表示の読みについては本書『3-2 閉はめ込み定理』の注意「有限表示の読み」。
底が一点のときなど、底が一つの模型で覆われる場合は、第 9 巻の判定を自明な被覆でしか使わないので、分離性と空の被覆の仮定は結論に効かない（本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の注意「底と数空間の積の札と分離性」の (2)）。それでも札には、証明が引く判定の仮定として書く。
原論文の引き方
- 「原論文」は Grothendieck Gro61v、すなわち Séminaire Henri Cartan 第 13 年（1960/61）の exposé n° 12 で、連作「Techniques de construction en géométrie analytique」の第 V 回「Fibrés vectoriels, fibrés projectifs, fibrés en drapeaux」（1961 年 2 月 6 日、15 頁）を指す。頁は印字頁 12-01〜12-15 で引き、「印字 12-11」のように書く。Numdam で公開されている PDF の頁番号 $n$ は印字 12-$(n-1)$ に当たる（PDF の 1 頁目は Numdam の表紙）。
- 構成は、前置き「Remarques préliminaires」（印字 12-01〜12-02）、§1 ベクトル束（12-02〜12-06）、§2 旗束など：定義といくつかの標準の射（12-06〜12-10）、§3 存在定理とはめ込み定理の証明（12-10〜12-14）、文献表 [1]〜[3]（12-15）である。脚注は無い。
- 番号付きの主張は、本文では「命題 1.1」「定義 1.2」「注意 1.3」「系 1.8」と訳して引き、番号だけの 1.4・2.4・2.5 は「1.4」「2.4」「注意 2.5」と書く。§3 には番号が無いので「§3 の段 a.」「§3 の Plücker 射の段」と書く。ボックスの名前と「この頁で示すこと」の名前には番号を入れない。
- 原論文の文献 [1]〜[3] は、準備中とされた『Schémas et espaces analytiques』（Gro61sea）、EGA1、Serre の GAGA（Ser56）で、どれも前置きでだけ引かれる（本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』）。本書は「原論文の文献 [1]」と書き、連作の回は「連作第 III 回」と書いて書き分ける。
- 原論文自身の確信度（「容易に示せる」「全く同様」「類似でより簡単」「Il est immédiat」など）は各頁の本文で添える。本書の状態札とは別のものである。原論文が外に送る先は次のとおりである。第 IV 回の番号 3.1、3.2、3.13、5.4、5.6、5.7、5.9 は本書『0-4 表現可能性の判定法』（第 9 巻）、「le corps de base $k$」と解析空間は連作第 II 回（本書『0-3 解析空間と数空間』）、命題 1.1 の証明が出典なしで使う $\Gamma(T,\mathcal O_T)^p$ の表現は連作第 III 回の定理 1.1・系 1.2（同じ頁の定理「数空間への射と大域関数」）に当たる。前置きが名を挙げる有限性定理は、同じ連作の第 VIII 回 Car61b が報告する（本書の補足。本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の「背景と動機」。本書は本文を開いていない）。印字 12-08 の「(Cf. Introduction)」の参照先は確定しない（本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の注意「印字の読み（§2 の前半）」）。
原論文 印字頁 本書の頁 前置き、§1 冒頭の $\mathcal E_{(T)}$ と $F_{\mathcal E}$、命題 1.1 と式 (*)、定義 1.2、文献表 12-01〜12-03、12-15 1-1 注意 1.3 12-03〜12-04 1-2 1.4 とその後の段、命題 1.5、注意 1.6 12-04〜12-05 1-3 命題 1.7、系 1.8、命題 1.9 12-05〜12-06 1-4 §2 の設定、定義 2.1、関手、四つの写像と関手の準同型 12-06〜12-08 2-1 §3 冒頭の局所性、$F_H$、段 a.〜c. 12-10〜12-11 2-2 命題 2.1、定義 2.2、§3 の一般の旗の段と全射から来る射 12-08〜12-09、12-11〜12-12 2-3 §3 の Plücker 射の計算段（式 (*)(**)） 12-13〜12-14 3-1 命題 2.2、§3 の Plücker 射の帰着段と Segre 射 12-09、12-12〜12-13 3-2 注意 2.3、2.4 12-09〜12-10 4-1 2.5 12-10 4-2
状態札の意味
- 状態札は ［完結］／［条件付き：何を引用したか］／［未完結：何が足りないか］ の三つで、基準は第 4〜9 巻と同じ厳しい基準である。
- ［完結］は、次のものだけで閉じる主結果である。(i) 本書の他の頁で［完結］とした主結果と、頁の中で引用に依らずに証明した補題・命題。(ii) 本書『0-2 環付き空間の上の加群』で証明まで書いた加群の事実（定義「層と茎」、補題「茎による計算」「可換環の上のテンソル積と外積」「体の上の線形代数」、定理「外積と双対の標準同型」「逆像と加群の演算」「中山の補題」「有限表示と局所自由の基本性質」）と、同じ頁の冒頭で既知とした前提（可換環の上のテンソル積と外積代数の普遍性、体の上の基底と次元の初歩）、本書『0-3 解析空間と数空間』で引用に依らずに証明した定理「局所環の剰余体」、補題「剰余体が基礎体の局所代数の射」「一点の解析空間と終対象」。どれも定義から直接証明でき、本格的な定理を引かないので、第 0 章で証明したうえで完結の入力に数える。(iii) 第 9 巻で［完結］の結果と、第 9 巻で集合と圏の基本事実だけから証明された補題・命題（本書『0-4 表現可能性の判定法』の表で「完結の入力」とした行）。(iv) 定義（解析空間の定義を定義として使うことを含む）。
- ［条件付き］は、上の外の事実を引いた段が一つでもある主結果である。本書で当たるのは、本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「環付き空間と層の貼り合わせ」「Krull の交叉定理」、本書『0-3 解析空間と数空間』の引用（定理「解析空間の開部分空間とはめ込み」「局所環のネーター性」「数空間への射と大域関数」）とそれに依って証明した補題・命題、本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題、本書『0-4 表現可能性の判定法』の表で「条件付き（句）」とした行である。条件は依存する主結果に伝わる。
- ［条件付き］の札には、何を引用したかを頁と見出し名で書く。他の主結果を通して依るときは「本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果「ベクトル束の存在」による」と書き、その先の引用を並べ直さない。完結の入力のうち何を使ったかを「ほかに使うのは…だけである」と添えることがある。
- 札の理由に「解析空間の定義の下では完結」と添えることがある。証明が、完結の入力に加えて、解析空間の定義とその直後の事実（本書『0-3 解析空間と数空間』の定理「解析空間の開部分空間とはめ込み」とそれに依る補題・命題）、本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「環付き空間と層の貼り合わせ」、本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「閉部分空間の普遍性と閉はめ込みの計算」「零点の部分空間」「全射になる点の開集合」、本書『0-4 表現可能性の判定法』の表で「条件付き（句）」とした行だけで閉じ、連作の定理（本書『0-3 解析空間と数空間』の定理「局所環のネーター性」「数空間への射と大域関数」、それに依る本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「底と数空間の積」）を使わないという意味である。札の種類ではなく、札の理由の補足である。
- 連作の定理に依る主結果の多くは、本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果「ベクトル束の存在」と本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「底と数空間の積」を通して、連作第 III 回の定理 1.1・系 1.2 の一つに依る。本書『1-2 切断の関手と二つの規約』の主結果「切断の関手の表現可能性と局所自由性」は、代わりに連作第 II 回の命題 2.3 a の前半（局所環のネーター性）と Krull の交叉定理に依る。
- ［未完結］は、原論文にも本書にも証明が無いものである。原論文が事実として述べた主張も主結果に立てて［未完結］とする。本書に当たるのは、本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果「相対スキームの解析化による移し替え」の一件である。
- 本書が足した仮定に依る主結果は、札に「足した仮定：…」と内容で書く。原論文の主張が印字のままでは成り立たないときは、訂正した主張を主結果とし、名前に「訂正形」と入れるので、札に［偽］は現れない。
- 定義、設定、所見、予告は主結果にしない。定義に事実として添えられた小さな主張（ベクトル束の関手の二重関手性、旗の逆像と旗の関手など）は主結果に立てた。例と反例は主結果に数えない。第 0 章の頁は準備の頁なので札を付けない。札の集計は本書『0-1 本書の読み方』にある。
主張の偽と証明の段の不備
本書は原論文の不備を三つに分ける。一つ目は誤植で、近くの式や文が正しい形を与え、誤った形に理由が添えられていないものである。訂正した形で読み、下の表にまとめる。
二つ目は主張の偽で、本書に当たるのは一件である。注意 2.5（印字 12-10）は、旗束が $\mathcal E$ の $p$ 個のテンソル積の射影束の閉部分空間に同型であるとするが、零の加群と $m=(0)$ の例、$k^4$ と $m=(2)$ の例で破れる。原論文は「(2.2) を使えば」とだけ書き、近くに正しい形を与える文も無い。本書は外積のテンソル積の射影束に直した主結果「旗束の射影束への閉はめ込み（訂正形）」と、反例「反例：テンソル積の個数を印字どおりにすると閉はめ込みが無い」を置く（本書『4-2 旗束の射影束への閉はめ込み』）。原論文の他の主張はこの注意を使わない。
三つ目は、主張は正しいが原論文の証明の段が不備なもので、主張の札には影響させず、その頁の注意に書く。本書に当たるのは次の五件で、どれも確かめを省いた段であり、推論のままでは結論に届かない段は無い。
- 原論文の命題 1.1 の証明が、積 $E^p\times S$ の存在に触れない（本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の注意「原論文の段と積の存在」）。
- 原論文の命題 1.5 の証明が、閉はめ込みの目標の上での局所性と消去を述べずに使う（本書『1-3 ベクトル束の群構造と閉はめ込み』の注意「原論文の段と閉はめ込みの消去」）。
- §3 が、Grassmann 束の積を空間として使い、その存在を示さない（本書『2-2 Grassmann 束の存在』の注意「原論文の段と積の表現可能性」）。
- §3 の一般の旗の段が、命題 1.9 を当てる核の有限表示性に触れない（本書『2-3 旗束の存在定理』の注意「原論文の段と核の有限表示性」）。
- §3 の Plücker 射の段が、標準の開集合が全体を覆うことと閉はめ込みの消去を述べない（本書『3-2 閉はめ込み定理』の注意）。
このほか、原論文が証明を書かない主張（注意 1.3 の「容易に示せる」、全射から来る旗束の射の「全く同様」、Segre 射の「類似でより簡単」）は、本書が証明を補った（本書『1-2 切断の関手と二つの規約』『2-3 旗束の存在定理』『3-2 閉はめ込み定理』）。
原論文の誤植の読み方
誤植と記号の揺れは主結果に数えず、割り付けた頁の注意に「原論文の印字は…、…と読む」と書く。「留保」は、読みを一つに確定できないが判定に影響しないものである。記号の衝突と番号の重複は上の「記号の衝突の読み分け」に、偽の注意 2.5 は上の節にある。
| 印字 | 原論文の印字 | 本書の読み | 頁 |
|---|---|---|---|
| 12-01、前置き | 「pour X projectif sur Y」の $Y$ | 留保（底の $S$ か一般の $Y$ か） | 1-1 |
| 12-02、§1 冒頭 | 「désignons pas」 | par | 1-1 |
| 同 | $f^*$ の右辺の立体の E | $\mathcal E_{(T')}$ | 1-1 |
| 同 | $F_{\mathcal E}(\mathrm I)$ | $F_{\mathcal E}(T)$ | 1-1 |
| 12-03、12-05 | 数空間が加群と似た花文字風の字形 | 数空間 $E^p$、$E^n$ | 1-1、1-4 |
| 12-03、命題 1.1 の証明 | 「(1.●)」 | (1.1) | 1-1 |
| 12-04、1.4 | 「C●●n)/S」 | $(\mathrm{An})_{/S}$ | 1-3 |
| 12-05、命題 1.5 の証明 | $\mathcal E$ と $\mathcal F$ の入れ替わり | $V(\mathcal F)\to V(\mathcal E)\to V(\mathcal O_S^n)$ | 1-3 |
| 12-05、命題 1.7 | $V(\mathcal E)\times_S\mathcal E'$ | $V(\mathcal E)\times_SS'$ | 1-4 |
| 12-06、命題 1.9 | 「typefini」 | type fini | 1-4 |
| 12-06、定義 2.1 の後 | 「F(ℰ) l'ensemble」 | $\mathrm P(\mathcal E)$ | 2-1 |
| 12-06〜12-09 | 射影束の記号が立体の P から花文字 $\mathcal P$ へ | 同じもの | 2-1 |
| 12-08、関手の準同型 | $\mathbf P(\mathcal E\times\mathcal F)$ | $\mathbf P(\mathcal E\otimes\mathcal F)$ | 2-1 |
| 12-08、命題 2.1 の直前 | 「(Cf. Introduction)」 | 留保（前置きか第 IV 回の序か） | 2-1 |
| 12-08、12-09 | Segre の写像・射の始域の $\times$ | 空間の水準では $\times_S$（誤りでなく記号の読み） | 2-1、3-2 |
| 12-10、§3 冒頭 | 「épimorphiemes」 | épimorphismes | 2-2 |
| 12-11、段 a. | $V(\mathcal O_T^n)^n$ | $V(\mathcal O_S^n)^n$ | 2-2 |
| 12-11、段 b. | $\mathcal F_{(T)}$ の商 $\mathcal E_1$ | $\mathcal E_{(T)}$ の商 | 2-2 |
| 同 | $\mathcal O_{1,t}\otimes k$ | $\mathcal E_{1,t}\otimes k$ | 2-2 |
| 12-12、一般の旗の段 | 「3.13」に括弧の重ね打ち | 第 IV 回の 3.13 | 2-3 |
| 同 | 「(8f. 1.9)」 | Cf. 1.9 | 1-4、2-3 |
| 同 | 「partie ouvert」 | partie ouverte | 2-3 |
| 12-12、Plücker 射の段 | $Y=\mathcal P(\mathcal E)$ | $Y=\mathcal P(\bigwedge^n\mathcal E)$ | 3-2 |
| 12-13 | $(\bigwedge^n\mathcal E_H)_{(T)}\to\mathcal O_T$ | 同型 $(\bigwedge^n\mathcal E_H)_{(T)}\cong\mathcal O_T$ の意 | 3-2 |
| 同 | 「induit par le morphisme de Segre」 | Plücker 射 | 3-1 |
| 12-14、式 (**) の前 | $u_i$ の式の $\bigwedge^{n-i}$ の後の崩れた字 | $\mathcal E'$ | 3-1 |
ほかに、印字の軽い崩れ（打ち損じ、重ね打ち）で数学の内容に影響しないものは一覧に入れない。
頁の読み方の約束
- 第 1 章以後の各頁は「この頁で示すこと」「背景と動機」「定義と準備」「主結果と証明」「例と反例」「その後の発展」「原論文との対応表」の順に並ぶ。「定義と準備」の初めの「引用する事実」に、その頁が他の頁から使う事実を並べる。
- 頁をまたぐ参照は「本書『n-m 頁名』の主結果「…」」の形で、第 0 章の事実は「本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「零点の部分空間」」のように見出し名で書く。第 9 巻は上の「第 9 巻の上に立つこと」の形で引く。巻の題名は作業題である。
- 定理類はボックスに書き、ボックスは名前で引く。主結果の名前は各頁の「この頁で示すこと」の名前と同じである。
- 原論文の文言の引用は短い句に限り、訳して述べる。「その後の発展」は時点を明記し、本書が文献を開いて確かめていないものはそう書く。
- 「例」「反例」を使い、反例ではどの条件を外したかを最初に書く。
参考文献
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