1-3 ベクトル束の群構造と閉はめ込み

段 1（誘導された演算は前層の構造である）．構造が与えられたとし、$S$ 射 $h\colon T'\to T$ について $h_X(h)\colon f\mapsto f\circ h$ が線形であることを示す。$(f,f')\circ h=(f\circ h,f'\circ h)$（ファイバー積の普遍性）なので $(\mathrm{add}_X\circ(f,f'))\circ h=\mathrm{add}_X\circ(f\circ h,f'\circ h)$ である。$p_T\circ h=p_{T'}$ なので零元は零元に移り、$\mathrm{neg}_X$、$\mu_\lambda$ は左から合成するだけなので逆元とスカラー倍も保たれる。
段 2（逆写像で戻る）．$h_X$ の上の構造が与えられたとし、(1) の式で組を定める。$f,f'\in h_X(T)$ について、前層の上の構造なので $S$ 射 $(f,f')\colon T\to X\times_SX$ について $h_X((f,f'))$ は線形で（定義「ベクトル空間の構造とベクトル空間対象」の (1)）、
$$\mathrm{add}_X\circ(f,f')=h_X((f,f'))(\mathrm{pr}_1+\mathrm{pr}_2)=\mathrm{pr}_1\circ(f,f')+\mathrm{pr}_2\circ(f,f')=f+f'$$
である。同じく $0_X\circ p_T=h_X(p_T)(0)=0$、$\mathrm{neg}_X\circ f=h_X(f)(-\mathrm{id}_X)=-f$、$\mu_\lambda\circ f=h_X(f)(\lambda\,\mathrm{id}_X)=\lambda f$ である。ゆえに組の誘導する演算は与えられた構造そのもので、とくに各 $\mathrm{Hom}_S(T,X)$ で $k$ ベクトル空間の公理を満たすので、組は $k$ ベクトル空間対象の構造である。
段 3（もう一方の合成）．$k$ ベクトル空間対象の構造 $(\mathrm{add}_X,0_X,\mathrm{neg}_X,(\mu_\lambda))$ から誘導された演算で (1) の式を計算すると、$\mathrm{pr}_1+\mathrm{pr}_2=\mathrm{add}_X\circ(\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2)=\mathrm{add}_X$、$h_X(S)$ の零元は $0_X\circ p_S=0_X\circ\mathrm{id}_S=0_X$、$-\mathrm{id}_X=\mathrm{neg}_X$、$\lambda\,\mathrm{id}_X=\mu_\lambda$ で、もとの組に戻る。段 2 と合わせて (1) が成り立つ。
段 4（(2)）．$\beta\colon h_X\to G$ を米田の対応が与える同型とする。$G$ の上の構造があれば、各 $h_X(T)$ に $\beta(T)$ で構造を引き戻すと、$\beta$ の自然性により $h_X(h)=\beta(T')^{-1}\circ G(h)\circ\beta(T)$ は線形で、$h_X$ の上の構造になる。逆向きも同じで、二つの対応は互いに逆である。これと (1) を合わせる。
段 5（(3)）．(3) の条件から $k$ ベクトル空間の公理が点ごとに出ること、逆に公理から (3) の条件が出ることを示す。まず、$\varphi$ が $\mathrm{End}(X)$ に入ることは、すべての $T$ と $f,f'$ について $\varphi\circ(f+f')=\varphi\circ f+\varphi\circ f'$ となることと同値である（$\Rightarrow$ は右から $(f,f')$ を合成し、$\Leftarrow$ は $T=X\times_SX$、$(f,f')=(\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2)$ に当てる）。同じく $\mathrm{End}(X)$ の和と積は、点ごとに $(\varphi+\psi)\circ f=\varphi\circ f+\psi\circ f$、$(\varphi\psi)\circ f=\varphi\circ(\psi\circ f)$ である。群が可換なので、$\mathrm{End}(X)$ は和について閉じ、環になる（点ごとの計算で、可換群の自己準同型環の公理に帰着する）。以上から、「$\mu_\lambda\in\mathrm{End}(X)$」は $\lambda(f+f')=\lambda f+\lambda f'$ と、「$\mu_{\lambda+\lambda'}=\mu_\lambda+\mu_{\lambda'}$、$\mu_{\lambda\lambda'}=\mu_\lambda\mu_{\lambda'}$、$\mu_1=\mathrm{id}_X$」は $(\lambda+\lambda')f=\lambda f+\lambda'f$、$(\lambda\lambda')f=\lambda(\lambda'f)$、$1f=f$ と、それぞれ同値である（$\Leftarrow$ は $T=X$、$f=\mathrm{id}_X$ に当てる）。これらは可換群の上の $k$ ベクトル空間の公理のすべてである。

段 1（積）．本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (1)(2) により、標準同型 $(\mathcal E\oplus\mathcal E)_{(T)}\cong\mathcal E_{(T)}\oplus\mathcal E_{(T)}$ があり、これは $(\iota_j)_{(T)}$ を第 $j$ 成分への包含に移す。直和からの射は二つの成分への制限の組で決まるので、$y\mapsto(y\circ(\iota_1)_{(T)},y\circ(\iota_2)_{(T)})=(F_{\iota_1}(T)(y),F_{\iota_2}(T)(y))$ は全単射 $F_{\mathcal E\oplus\mathcal E}(T)\to F_{\mathcal E}(T)\times F_{\mathcal E}(T)$ で、$T$ について自然である（引用する事実の 2）。$\mathcal E\oplus\mathcal E$ は有限表示なので（同じ定理の (4)）、$P=V(\mathcal E\oplus\mathcal E)$ が存在する（引用する事実の 1）。上の定義（ベクトル束の間の射）により、合成の全単射 $\mathrm{Hom}_S(T,P)\cong F_{\mathcal E\oplus\mathcal E}(T)\cong F_{\mathcal E}(T)^2\cong\mathrm{Hom}_S(T,X)^2$ は $g\mapsto(V(\iota_1)\circ g,V(\iota_2)\circ g)$ である。ゆえに $(P;V(\iota_1),V(\iota_2))$ は $(\mathrm{An})_{/S}$ での積で、本書『0-4 表現可能性の判定法』の補題「スライス圏」の (2) により $(\mathrm{An})$ でのファイバー積 $X\times_SX$ でもある。
段 2（構造の存在と一意性）．引用する事実の 2 により、$F_{\mathcal E}(T)$ の $k$ ベクトル空間の構造は前層 $F_{\mathcal E}$ の上の $k$ ベクトル空間の構造である。$F_{\mathcal E}$ は $(X,\xi_{\mathcal E})$ で表され、段 1 により $X\times_SX$ が存在するので、上の命題（ベクトル空間の構造とベクトル空間対象の対応）の (2) により (2) が成り立つ。
段 3（書き下し）．同じ命題の (1) の逆写像により、$\mathrm{add}_X$ は $\mathrm{pr}_1+\mathrm{pr}_2$、すなわち一次形式 $\mathrm{pr}_1^*\xi_{\mathcal E}+\mathrm{pr}_2^*\xi_{\mathcal E}$ に対応する $S$ 射である。$\zeta=\xi_{\mathcal E\oplus\mathcal E}$ と書くと $\mathrm{pr}_j^*\xi_{\mathcal E}=V(\iota_j)^*\xi_{\mathcal E}=\zeta\circ(\iota_j)_{(P)}$ で、逆像は射の和を和に移すので、和は $\zeta\circ(\iota_1+\iota_2)_{(P)}=\zeta\circ\delta_{(P)}=V(\delta)^*\xi_{\mathcal E}$ である。ゆえに $\mathrm{add}_X=V(\delta)$ である。$0_X$ は $F_{\mathcal E}(S)$ の零元に対応し、$V(\mathcal E\to0)^*\xi_{\mathcal E}$ は $\xi_0$ と零射の合成なので零元である。$\mathrm{neg}_X$ と $\mu_\lambda$ は $-\xi_{\mathcal E}=\xi_{\mathcal E}\circ(-\mathrm{id})_{(X)}$、$\lambda\xi_{\mathcal E}=\xi_{\mathcal E}\circ(\lambda\,\mathrm{id})_{(X)}$ に対応する。$T$ 点の上の記述は、同じ命題の段 2 の計算そのものである。
段 4（(4)）．同じ命題の (3) による。

段 1（(1)）．引用する事実の 2 により $F_{v\circ u}=F_u\circ F_v$、$F_{\mathrm{id}}=\mathrm{id}$ である。米田の対応は前層の射の合成を空間の射の合成に対応させ（引用する事実の 3）、$V(v\circ u)$ と $V(u)\circ V(v)$ はどちらも $F_{v\circ u}$ に対応するので、本書『0-4 表現可能性の判定法』の定理「点の関手の充満忠実性」の単射性により等しい。恒等も同じである。別の選び方 $(V'(\mathcal E),\xi'_{\mathcal E})$ については、普遍元を保つ同型 $\varphi_{\mathcal E}\colon V(\mathcal E)\to V'(\mathcal E)$ がただ一つあり（本書『0-4 表現可能性の判定法』の定理「普遍問題の解の一意性」）、$V'(u)\circ\varphi_{\mathcal F}$ と $\varphi_{\mathcal E}\circ V(u)$ はどちらも $F_u$ に対応するので等しい。
段 2（(2)）．$S$ 射 $g_1,g_2\colon T\to V(\mathcal F)$ の一次形式を $y_1,y_2$ とする。$V(u)\circ(g_1+g_2)$ の一次形式は $(y_1+y_2)\circ u_{(T)}=y_1\circ u_{(T)}+y_2\circ u_{(T)}$ で、これは $V(u)\circ g_1+V(u)\circ g_2$ の一次形式である。上の定理の (2) により一次形式との同一視は線形で単射なので、$V(u)\circ(g_1+g_2)=V(u)\circ g_1+V(u)\circ g_2$ である。$T=V(\mathcal F)\times_SV(\mathcal F)$、$(g_1,g_2)=(\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2)$ に当てると第 1 式を得る。零元とスカラー倍も、$F_u(T)$ が線形であることから同じく出る（$T=S$、$T=V(\mathcal F)$ に当てる）。
段 3（(3)）．逆像は射の和と定数倍を保つので $y\circ(u+u')_{(T)}=y\circ u_{(T)}+y\circ u'_{(T)}$、$y\circ(\lambda u)_{(T)}=\lambda\,(y\circ u_{(T)})$ である。ゆえに $T$ 点の上で $V(u+u')\circ g=V(u)\circ g+V(u')\circ g=\mathrm{add}_{V(\mathcal E)}\circ(V(u),V(u'))\circ g$ で、$g=\mathrm{id}$ として第 1 式を得る。第 2 式も同じである。

段 1（核と零点の部分空間）．$\mathcal E$ は有限型、$\mathcal F$ は有限表示なので、本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「有限表示と局所自由の基本性質」の (1) により $\mathcal K$ は有限型である。同じ頁の定理「逆像と加群の演算」の (4) により $\mathcal K_{(X)}$ も有限型で、$\mathcal O_X$ は階数 $1$ の局所自由なので、引用する事実の 4（補題「零点の部分空間」）が $c$ に当てはまる。
段 2（条件の言い換え）．$g\colon T\to X$ の一次形式を $y=g^*\xi_{\mathcal E}$ とする。完全列 $\mathcal K\xrightarrow{\kappa}\mathcal E\xrightarrow{u}\mathcal F\to0$ を逆像で引き戻すと、同じ定理の (3) により $\mathcal K_{(T)}\to\mathcal E_{(T)}\to\mathcal F_{(T)}\to0$ は完全で、同じ (3) の最後の主張により
$$0\to F_{\mathcal F}(T)\xrightarrow{F_u(T)}F_{\mathcal E}(T)\to\mathrm{Hom}(\mathcal K_{(T)},\mathcal O_T),\qquad y\mapsto y\circ\kappa_{(T)}$$
は完全である。ゆえに $y$ が $F_{\mathcal F}(T)$ から来ることは $y\circ\kappa_{(T)}=0$ と同値で、来るならただ一通りである。一方、逆像の標準同型 $g^*\mathcal K_{(X)}\cong\mathcal K_{(T)}$ の下で $g^*c$ は $y\circ\kappa_{(T)}$ に対応する（同じ定理の (1)(2)。本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果「ベクトル束の存在」の証明の段 4 と同じ計算）。したがって $g^*c=0$ は $y\circ\kappa_{(T)}=0$ と同値で、補題「零点の部分空間」により、これは $g$ が $Z$ を経由することと同値である。
段 3（同型）．$V(u)^*\xi_{\mathcal E}=\xi_{\mathcal F}\circ u_{(V(\mathcal F))}$ は $\kappa$ の像の上で消えるので、段 2 により $V(u)$ は包含 $i\colon Z\to X$ を経由し、$V(u)=i\circ\varphi$ となる $\varphi\colon V(\mathcal F)\to Z$ がある。各 $T$ で、$\mathrm{Hom}_S(T,V(\mathcal F))\to\mathrm{Hom}_S(T,X)$ は $F_u(T)$ と同じもので単射、像は段 2 により $\{g:g^*c=0\}$ で、これは $\mathrm{Hom}_S(T,Z)\to\mathrm{Hom}_S(T,X)$（単射）の像と一致する。ゆえに $\varphi\circ-\colon\mathrm{Hom}_S(T,V(\mathcal F))\to\mathrm{Hom}_S(T,Z)$ はすべての $T$ で全単射で、本書『0-4 表現可能性の判定法』の注意「米田の約束」の (2) により $\varphi$ は同型である。$\mathcal J_c$ は有限型なので、$V(u)$ は閉はめ込みである（本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の定義「閉部分空間とイデアルの引き戻し」の (2)）。
段 4（(3)）．$\mathcal E\to0$ は全射で、$V(0)=S$ である。

段 1（(1) の前から後）．本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「有限表示と局所自由の基本性質」の (3) により、各点の近傍 $W$ で $u\circ s=\mathrm{id}$ となる $s\colon\mathcal F|_W\to\mathcal E|_W$ がある。双対をとる操作は合成の順を逆にするので $\check s\circ\check u=(u\circ s)^\vee=\mathrm{id}$ で、$\check u$ は $W$ の上で単射、$\check{\mathcal E}|_W=\check u(\check{\mathcal F})\oplus\mathrm{Ker}\,\check s$（$x=\check u\check s(x)+(x-\check u\check s(x))$）である。単射であることは茎で確かめられるので、$\check u$ は単射である（同じ頁の補題「茎による計算」の (2)）。
段 2（(1) の後から前）．$W$ の上で $\check{\mathcal E}=\check u(\check{\mathcal F})\oplus\mathcal C$ とし、$r\colon\check{\mathcal E}|_W\to\check{\mathcal F}|_W$ を第 1 成分への射影と同型 $\check{\mathcal F}\cong\check u(\check{\mathcal F})$ の逆の合成とすると、$r\circ\check u=\mathrm{id}$ である。双対をとると $\check{\check u}\circ\check r=\mathrm{id}$ で、$\check{\check u}\colon\check{\check{\mathcal E}}\to\check{\check{\mathcal F}}$ は全射である。同じ頁の定理「外積と双対の標準同型」の (1) の同型 $\mathcal E\cong\check{\check{\mathcal E}}$、$\mathcal F\cong\check{\check{\mathcal F}}$（$x\mapsto(\lambda\mapsto\lambda(x))$）の下で、$\check{\check u}$ は $x$ の評価を $\lambda\mapsto\lambda(u(x))$、すなわち $u(x)$ の評価に送るので、$u$ に対応する。ゆえに $u$ は $W$ の上で全射で、全射性は茎で確かめられるので $u$ は全射である。
段 3（(2)）．包含 $j\colon W\to S$ について $\mathcal E_{(W)}=j^*\mathcal E=\mathcal E|_W$（補題「茎による計算」の (3)）なので、$S$ 射 $W\to V(\mathcal E)$ は $F_{\mathcal E}(W)=\mathrm{Hom}(\mathcal E|_W,\mathcal O_W)=\Gamma(W,\check{\mathcal E})$ の元と一対一である。$W'\subset W$ への制限は $F_{\mathcal E}$ の包含に沿う写像で、これは射の制限である（本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果「ベクトル束の存在」の証明の段 1）。$V(\mathcal F)$ の切断 $y\in\Gamma(W,\check{\mathcal F})$ に $V(u)$ を合成したものの一次形式は、上の定義（ベクトル束の間の射）により $y\circ u|_W=\check u(y)$ である。
段 4（(3)）．上の定理（全射から来るベクトル束の閉はめ込み）により $V(u)$ は閉はめ込みで、(1)(2) により切断の層の射は単射 $\check u$、像は局所的な直和因子 $\check u(\check{\mathcal F})$ である。