4-1 射影束の規約と底変換とファイバー

旗束が底の取り替えと両立し、一点の上のファイバーの点がその点の既約ファイバーの旗と一対一であることを示す。射影束では一点の上の点は超平面で、これを双対空間の直線と読み替えると、本書の射影束が従来の規約の双対の射影束に当たることが分かる。最後に、構造層の商の射影束がもとの閉部分空間そのものであることを示し、数直線の上でも射影束が冪零元をもつ例を置く。
前提知識: 射影束, 射影空間, 旗多様体, 底変換, ファイバー積, 閉部分空間, 冪零元

この頁で示すこと

$S$ を解析空間、$\mathcal E$ を $\mathcal O_S$ 加群、$m=(m_1,\dots,m_p)$ を $0$ 以上の整数の増加列（$p\ge0$）とする。旗、旗の関手 $\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)$、$\mathbf P(\mathcal E)$ は本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の定義「型の旗」と主結果「旗の逆像と旗の関手」のもので、$\mathcal E$ が有限表示のとき、それを表す旗束 $\underline{\mathrm{Drap}}_m(\mathcal E)$ と射影束 $\mathcal P(\mathcal E)$ は本書『2-3 旗束の存在定理』の定義「旗束」のものである。点 $s\in S$ について、$e_s$ は $s$ だけを台とし環 $k$ をもつ閉部分空間、$i_s\colon e_s\to S$ はその包含（本書『0-3 解析空間と数空間』の補題「点の部分空間の存在」）、$\mathcal E(s)=\mathcal E_s\otimes_{\mathcal O_{S,s}}k$ は $\mathcal E$ の $s$ での既約ファイバー、$X_s=X\times_Se_s$ は $S$ 上の空間 $X$ の $s$ の上のファイバーである（本書『1-4 ベクトル束の底変換とファイバー』の定義「点の上のファイバー」）。
本頁の主結果は次の三つである。原論文の番号の順ではなく、依存の順に並べる。

1. 旗束の底変換とファイバー（原論文 2.4、印字 12-09〜12-10）：$\mathcal E$ が有限表示なら、$S$ 上の空間 $S'$ について $\underline{\mathrm{Drap}}_m(\mathcal E_{(S')})\cong\underline{\mathrm{Drap}}_m(\mathcal E)\times_SS'$ であり、点 $s$ の上のファイバーの点の集合は $\mathcal E(s)$ の型 $m$ の旗の集合と一対一で、とくに射影束の $s$ の上の点は $\mathcal E(s)$ の超平面と一対一である。自由な加群では $\underline{\mathrm{Drap}}_m(\mathcal O_S^N)\cong\underline{\mathrm{Drap}}_m(k^N)\times S$ である。［条件付き：本書『2-3 旗束の存在定理』の主結果「旗束の存在定理」による。本書『0-3 解析空間と数空間』の補題「点の部分空間の存在」（同じ頁の定理「解析空間の開部分空間とはめ込み」に依る）を引用。足した仮定：旗の読み］
2. 射影束の二つの規約の比較（原論文 注意 2.3 の前半、印字 12-09）：$\mathcal E$ が有限階数の局所自由なら、$\mathcal P(\mathcal E)$ の $s$ の上の点は、$V(\mathcal E)$ の $s$ の上のファイバーの原点を通る直線と一対一で、$\mathcal P(\mathcal E)$ は従来の規約での $\check{\mathcal E}$ の射影束に当たる。［条件付き：主結果 1、本書『1-2 切断の関手と二つの規約』の主結果「二つの規約の比較」、本書『1-4 ベクトル束の底変換とファイバー』の主結果「ベクトル束のファイバー」による。足した仮定：旗の読み］
3. 商環の射影束（原論文 注意 2.3 の後半、印字 12-09）：$\mathcal O_S$ の有限型のイデアル $\mathcal J$ について、$\mathbf P(\mathcal O_S/\mathcal J)$ は閉部分空間 $Z(\mathcal J)$ で表され、$\mathcal P(\mathcal O_S/\mathcal J)$ は $Z(\mathcal J)$ と $S$ 上同型である。［条件付き：本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「閉部分空間の普遍性と閉はめ込みの計算」、本書『0-3 解析空間と数空間』の定理「解析空間の開部分空間とはめ込み」を引用。解析空間の定義の下では完結。足した仮定：旗の読み］
   札のほかに使うのは、完結の入力である次のものだけである。本書『0-4 表現可能性の判定法』の定理「スライス圏の間の底変換」「普遍問題の解の一意性」と注意「米田の約束」（第 9 巻『表現可能関手の一般形式』で［完結］）、本書『0-3 解析空間と数空間』の定理「局所環の剰余体」と補題「一点の解析空間と終対象」「剰余体が基礎体の局所代数の射」（引用に依らずに証明済み）、本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」「有限表示と局所自由の基本性質」、補題「茎による計算」「体の上の線形代数」、本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の［完結］の主結果と補題「商と核」。主結果 1 と 2 は旗束の存在を通して連作第 III 回 Gro61iii の定理に依るので、「解析空間の定義の下では完結」の句を添えない。主結果 2 は本書『1-4 ベクトル束の底変換とファイバー』の主結果「ベクトル束のファイバー」を通して、その札の足した仮定（解析空間は分離的とは限らない、空の和と空の被覆を含める）にも依るが、本書の規則（本書『0-6 記号と約束』）により、判定法を直接引かない主結果の札には書かない。主結果 3 は存在定理を経由せず、閉部分空間の普遍性だけで閉じる。

背景と動機

原論文は §2 の終わりで、命題 2.2（閉はめ込み定理）の後に、番号の付いた注意を三つ置く（印字 12-09〜12-10）。注意 2.3 は射影束の規約についての所見と、構造層の商の射影束の計算である。2.4 は旗束の底変換、点の上のファイバー、自由な加群の場合をまとめる。2.5 は旗束を射影束に埋め込む主張で、本書『4-2 旗束の射影束への閉はめ込み』で扱う。どれにも証明らしい証明は無く、2.3 は「定義から直ちに確かめられる」とし、2.4 は連作第 IV 回 Gro61iv の系 3.2 から従うとだけ書く。
本頁は 2.4 を先に置く。注意 2.3 の前半、すなわち「射影束の従来の定義は本講演の定義の双対である」という所見を内容のある主張として読むには、射影束の一点の上の点が何であるかを知る必要があり、それを与えるのが 2.4 の二つ目の主張だからである。原論文の順と本頁の順の対応は頁末の表に示す。
双対になる理由は、ベクトル束と同じである。本書『1-2 切断の関手と二つの規約』で見たとおり、原論文はベクトル束 $V(\mathcal E)$ を一次形式の関手を表す空間として定め、局所自由な $\mathcal E$ では $V(\mathcal E)$ の切断の層が $\mathcal E$ でなく $\check{\mathcal E}$ になる。射影束も可逆な商の関手を表す空間として定めたので、一点の上の点は $\mathcal E(s)$ の直線ではなく超平面になる。超平面は双対空間の直線と一対一なので、本書の $\mathcal P(\mathcal E)$ は、従来の意味で $\check{\mathcal E}$ の定めるベクトル束の各ファイバーの直線の集まりに当たる。
原論文の注意 2.3 の後半は、局所自由でない加群の射影束の最も簡単な計算である。$\mathcal E=\mathcal O_S/\mathcal J$ なら、$T$ 点、すなわち $\mathcal E_{(T)}$ の可逆な商は、$\mathcal J$ が $T$ の上で消えるときに限ってただ一つある。したがって射影束は閉部分空間 $Z(\mathcal J)$ そのものになる。原論文はこれを受けて、底が数直線のような空間でも、その上の射影束は局所環に冪零元をもちうると述べる。冪零元を許す解析空間の枠組み（本書『0-3 解析空間と数空間』の定義「解析空間の定義」の (4)）で射影束を考える以上、これは避けられない現象である。原論文がこの所見で何を意図したかは紙面に書かれていないので、本書はそれを推し量らない。

定義と準備

本頁で新しく置く定義は無い。使う事実を並べ、一点の空間の点の読み方を補題として置く。

引用する事実

次の事実を第 0 章と前の頁から使う。第 0 章の結果の出典は、各頁の案内のとおりである。表現可能な前層の間の射を表す空間の射とみることは、本書『0-4 表現可能性の判定法』の注意「米田の約束」に従って断らずに行う。

1. スライス圏の間の底変換（本書『0-4 表現可能性の判定法』の定理。第 9 巻の頁『2-1 制限と底変換』の主結果で［完結］）：$(\mathrm{An})_{/S}$ 上の前層 $F$ が $S$ 上の空間 $X$ と $\xi\in F(X)$ の組で表され、$S'$ が $S$ 上の空間のとき、$F$ の $(\mathrm{An})_{/S'}$ への制限 $F_{/S'}$ が表現可能であることは、ファイバー積 $X\times_SS'$ が存在することと同値で、そのとき $(X\times_SS',\mathrm{pr}_2)$ と $F(\mathrm{pr}_1)(\xi)$ の組が $F_{/S'}$ を表す。
2. 普遍問題の解の一意性（同じ頁の定理）：同じ前層を表す二つの組は、普遍元を保つただ一つの同型で結ばれる。
3. 旗束の存在定理（本書『2-3 旗束の存在定理』の主結果）：$\mathcal E$ が有限表示なら、どの $m$ についても $\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)$ は $(\mathrm{An})_{/S}$ で表現可能である。$m=()$ なら $S$ が表す。
4. 一点の空間と点の部分空間（本書『0-3 解析空間と数空間』の補題「一点の解析空間と終対象」「剰余体が基礎体の局所代数の射」「点の部分空間の存在」と定理「局所環の剰余体」）：一点 $*$ だけからなる解析空間 $P$ から解析空間 $X$ への射は、点 $x\in X$ と $k$ 代数の射 $\mathcal O_{X,x}\to\mathcal O_{P,*}$ の組と一対一に対応し、射 $h\colon X\to X'$ との合成は組 $(h(x),\varphi\circ h^\sharp_x)$ に当たる。$e=E^0$ は $(\mathrm{An})$ の終対象である。$\mathcal O_{X,x}$ は剰余体 $k$ の局所 $k$ 代数で、剰余体が $k$ の局所環への $k$ 代数の射は局所的である。$e_s$ は $e$ とただ一つの同型で結ばれる。
5. 閉部分空間の普遍性と閉はめ込みの計算（本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題）：解析空間 $X$ の有限型のイデアル $\mathcal J$ と射 $g\colon T\to X$ について、$g$ が $Z(\mathcal J)$ を経由することは、イデアルの引き戻し $\mathcal J\mathcal O_T$（$g^*\mathcal J\to\mathcal O_T$ の像。同じ頁の定義「閉部分空間とイデアルの引き戻し」）が $0$ であることと同値で、経由の仕方はただ一つである。$Z(0)=X$、$Z(\mathcal O_X)=\emptyset$ である（同じ頁の定義「閉部分空間とイデアルの引き戻し」の (1)）。
   ほかに、本書『2-1 旗の関手と標準の写像』の補題「商と核」（商と核の一対一、同値な全射と核）、主結果「旗の逆像と旗の関手」「標準の写像の関手性」、本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理と補題を、証明の中で項目番号を添えて引く。

一点の空間の点

旗束のファイバーの点を数えるには、解析空間の点を一点の空間からの射として読めばよい。本書『1-4 ベクトル束の底変換とファイバー』の主結果「ベクトル束のファイバー」の証明と同じ読み方だが、本頁の主結果 1 がその頁に依らずに済むよう、補題として述べ直す。

3. を $Y=e_s$ に当てると、ファイバー $X_s$ の点は、$X$ の点で構造射による像が $s$ であるものと、第 1 射影で一対一になる（$e_s$ の点は $s$ だけである）。ファイバーの「点の集合」は、この意味で構造射の逆像 $p_X^{-1}(s)$ と同じものである。ただしファイバーの構造層は、逆像の集合だけからは読めない（下の例「非特異な直線の上の冪零元をもつ射影束」）。

主結果と証明

まず旗束の底変換を示す。制限した関手が底の上の旗の関手と一致することを確かめ、存在定理と判定法の同値を組み合わせて、ファイバー積の存在ごと同型を得る。次にそれを一点の底に当ててファイバーの点を数え、射影束の二つの規約を比べる。最後に、存在定理を経由しない計算として、構造層の商の射影束を求める。

底変換とファイバー

以下、$\mathcal E$ が有限表示のとき $F=\underline{\mathrm{Drap}}_m(\mathcal E)$、$p_D\colon F\to S$ を構造射、$\xi\in\mathbf{Drap}_m(\mathcal E)(F)$ を普遍の旗とする。$S$ 上の空間 $S'$ の構造射を $g\colon S'\to S$ とし、$\mathcal E'=\mathcal E_{(S')}=g^*\mathcal E$ とおく。$e$ 上の加群 $\mathcal O_e^N$ を原論文にならって $k^N$ と書き、その旗束を $\underline{\mathrm{Drap}}_m(k^N)=\underline{\mathrm{Drap}}_m(\mathcal O_e^N)$ と書く（$e$ は終対象なので、$e$ 上の空間は解析空間と同じものである）。

段 2 の要は、ファイバー積を先に作らず、制限した関手が存在定理で表現可能だと知ってから、判定法の同値を逆に使ってファイバー積を得たことである。本書『1-4 ベクトル束の底変換とファイバー』の主結果「ベクトル束の底変換」と同じ型の議論で、原論文もベクトル束の命題 1.7 と同じく第 IV 回の系 3.2 を挙げる。ただし原論文はその系を当てる前に、底の上の旗の関手 $\mathbf{Drap}_m(\mathcal E')$ が表現可能であること、すなわち $\mathcal E'$ が有限表示であることと命題 2.1 を $\mathcal E'$ に当てることを書かない。本頁ではその一歩を段 2 の最初に置いた。
(2) が述べるのは点の集合までで、ファイバーの解析空間としての形は (4) が与える。$\dim\mathcal E(s)$ は点ごとに変わりうるので、ファイバーの形も点ごとに変わりうる。たとえばある $m_i$ が $\dim\mathcal E(s)$ を超えれば、$\mathcal E(s)$ に型 $m$ の旗は無く、$s$ は $p_D$ の像に入らない。$p=0$ ならどの点の上にも空の旗が一つだけあり、(2) は $\underline{\mathrm{Drap}}_{()}(\mathcal E)=S$ と合う。

射影束の二つの規約

主結果（旗束の底変換とファイバー）の (2) により、射影束の一点の上の点は既約ファイバーの超平面である。これをベクトル束のファイバーと突き合わせる。講演は従来の射影束の構成を書かないので、本書は「従来の規約での $\mathcal F$ の射影束」を、各点 $s$ の上の点が「従来の意味で $\mathcal F$ の定めるベクトル束」の $s$ の上のファイバーの原点を通る直線（点のなす $k$ ベクトル空間の一次元部分空間）であるもの、と点の集合の水準で読む。従来の意味のベクトル束は本書『1-2 切断の関手と二つの規約』の定義「二つの規約」の (2) のものである。

2. と (3) を合わせると、局所自由な加群の範囲では、本書の射影束と従来の射影束は双対をとる操作で入れ替わるだけである。ベクトル束の二つの規約の関係（本書『1-2 切断の関手と二つの規約』の主結果「二つの規約の比較」の (2)(3)）が、そのまま射影束に移った形である。既約ファイバーの側で言えば、$\check{\mathcal E}$ の既約ファイバーは $\mathcal E(s)^*$ と同型で（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (5) を $i_s$ に当てる）、本書の $\mathcal P(\mathcal E)$ の点は $\check{\mathcal E}(s)$ の直線、従来の $\mathcal E$ の射影束の点は $\check{\mathcal E}(s)^*\cong\mathcal E(s)^{**}\cong\mathcal E(s)$ の直線である（最後の同型は本書『0-2 環付き空間の上の加群』の補題「体の上の線形代数」の (4)）。

構造層の商の射影束

原論文の注意 2.3 の後半は、局所自由でない加群の射影束を定義から直接求める。可逆な商の関手の値が高々一点であることが分かれば、閉部分空間の普遍性がそのまま表現を与える。

証明は旗束の存在定理を使っていない。$\mathcal O_S/\mathcal J$ は有限表示なので（局所的に $\mathcal J$ の生成元が表示を与える）存在定理も当てはまるが、上の証明の段 4 のとおり、得られる空間は同じである。$\mathcal J$ が有限型であることは、$Z(\mathcal J)$ が解析空間であることと閉部分空間の普遍性に使われた。(3) の $\mathcal P(\mathcal O_S)=S$ は、本書『4-2 旗束の射影束への閉はめ込み』が訂正形の境界 $p=0$ で使う。

例と反例

まず注意 2.3 の冪零元の例を、ファイバーと突き合わせて確かめる。次に、ファイバーが空になる境界の場合を見る。最後に一点の上で二つの規約を比べ、局所自由な加群の旗束が局所的に積になることを確かめる。本頁の三つの主結果には、外すと破れる仮定を示す反例は置かない（旗の読みを外した場合は本書『2-3 旗束の存在定理』の反例「反例：増加列の向きを逆に読むと旗の判定が崩れる」で扱い、その (d) のとおり、ある $i< p$ で $m_i< m_{i+1}$ となる型では、上の主結果（旗束の底変換とファイバー）の (2) の等式は逆の読みでも両辺がともに空になって壊れない）。

原論文は冪零元の出現を、底が非特異で一次元であっても起こる現象として述べる（印字 12-09）。上の例はその最も簡単な場合で、射影束がもとの底の閉部分空間そのものになるため、底の関数のイデアルがどれだけ冪をもつかが射影束の構造層に残る。

(c) は原論文の 2.4 の三つ目の主張を開集合の上で当てたもので、原論文は一般の加群の局所自明性を主張していない。(a) の $N=2$ の貼り合わせは、(c) の積の形の最も簡単な因子である。

その後の発展

以下は後代の文献の紹介である（本書は文献を開いて該当箇所を確かめていない）。

• 射影束の規約（1961 年〜）：Grothendieck–Dieudonné EGA2（1961 年）は準連接な加群 $\mathcal E$ に対称代数の Proj として射影束を対応させ、その点を可逆な商で記述するとされ、本講演と同じ商の規約である。教科書 Har77（1977 年）も同じ規約をとるとされる。一方、Ful98（1998 年）は局所自由な加群の射影束を直線の束として定める規約をとるとされ、上の主結果（射影束の二つの規約の比較）の意味で本書の $\mathcal P(\check{\mathcal E})$ に当たる。文献を読むときは、どちらの規約かを最初に確かめる必要がある。
• 商環の射影束（1961 年〜）：代数幾何では、準連接なイデアル $\mathcal J$ について $\mathcal O/\mathcal J$ の対称代数の Proj がもとの閉部分スキームになることが、上の主結果（商環の射影束）の対応物とされる（EGA2）。射影束が冪零元をもつことは、スキームの枠組みでは自然なこととして扱われる。
• 局所自由でない加群の射影束（1961 年〜）：同じ連作の第 IX 回 Gro61ix は局所自由とは限らない商の関手（Quot 関手）を扱い、可逆な商の関手はその特別な場合に当たる。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Gro61v である。印字頁は PDF の頁番号から 1 を引いたもの（PDF $n$ が印字 12-$(n-1)$）である。原論文は注意 2.3 を 2.4 の前に置くが、本頁は依存の順に 2.4 を先にした。