1-4 ベクトル束の底変換とファイバー

ベクトル束が底の取り替えと両立すること、点の上のファイバーが既約ファイバーの双対空間に当たる数空間であること、局所自由な加群への射のなす関手もベクトル束で表されることを示す。底変換はファイバー積の存在ごと表現可能性の判定から得られ、ファイバーはそれを一点の底に当てて読む。ファイバーの次元が点ごとに変わる例と、目標の局所自由性を外した反例を置く。
前提知識: ベクトル束, 底変換, ファイバー積, 双対ベクトル空間, 局所自由層, 表現可能関手

この頁で示すこと

$S$ を解析空間、$\mathcal E$ を有限表示の $\mathcal O_S$ 加群とし、$V(\mathcal E)$ をそのベクトル束（本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の定義「ベクトル束」）、$\xi_{\mathcal E}$ を普遍元、$p\colon V(\mathcal E)\to S$ を構造射とする。点 $s\in S$ について、$e_s$ は $s$ だけからなる被約な閉部分空間、$i_s\colon e_s\to S$ はその包含である（本書『0-3 解析空間と数空間』の補題「点の部分空間の存在」）。記号は本書『0-6 記号と約束』のとおりである。
本頁の主結果は次の三つである。

1. ベクトル束の底変換（原論文 命題 1.7、印字 12-05）：$S$ 上の解析空間 $S'$ と $\mathcal E'=\mathcal E_{(S')}$ について、ファイバー積 $V(\mathcal E)\times_SS'$ が存在し、$V(\mathcal E')$ と $S'$ 上で標準的に同型である。［条件付き：本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果「ベクトル束の存在」による。ほかに使うのは、完結の入力である本書『0-4 表現可能性の判定法』の定理「スライス圏の間の底変換」「普遍問題の解の一意性」と本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」、および (3) の線形構造との両立に使う本書『1-3 ベクトル束の群構造と閉はめ込み』の主結果「ベクトル束のベクトル空間対象の構造」「ベクトル束の関手性」だけである］
2. ベクトル束のファイバー（原論文 系 1.8、印字 12-05）：点 $s$ の上のファイバー $V(\mathcal E)_s=V(\mathcal E)\times_Se_s$ は既約ファイバー $\mathcal E(s)$ のベクトル束に同型で、その点の集合は $\mathcal E(s)$ の双対ベクトル空間とベクトル空間として標準的に一対一、解析空間としては $E^n$（$n=\dim\mathcal E(s)$）に同型である。［条件付き：主結果 1、本書『1-3 ベクトル束の群構造と閉はめ込み』の主結果「ベクトル束のベクトル空間対象の構造」「ベクトル束の関手性」、本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題「底と数空間の積」（本書『0-3 解析空間と数空間』の定理「数空間への射と大域関数」、すなわち連作第 III 回の定理 1.1・系 1.2 に依る）、0-3 の補題「点の部分空間の存在」を引用。同じ 0-3 の定理「局所環の剰余体」と補題「一点の解析空間と終対象」「剰余体が基礎体の局所代数の射」（引用に依らずに証明済み）も使う。足した仮定：解析空間は分離的とは限らない、空の和と空の被覆を含める］
3. 加群の射の関手の表現（原論文 命題 1.9、印字 12-06）：$\mathcal E$ が有限表示、$\mathcal F$ が有限階数の局所自由なら、$T\mapsto\mathrm{Hom}_{\mathcal O_T}(\mathcal E_{(T)},\mathcal F_{(T)})$ は $V(\check{\mathcal F}\otimes\mathcal E)$ で表される。［条件付き：1-1 の主結果「ベクトル束の関手の二重関手性」「ベクトル束の存在」による。ほかに使うのは、完結の入力である本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「外積と双対の標準同型」「逆像と加群の演算」、および (3) の後半（加法とスカラー倍が射の和と $k$ 倍に当たること）に使う本書『1-3 ベクトル束の群構造と閉はめ込み』の主結果「ベクトル束のベクトル空間対象の構造」だけである］
   三つとも、ベクトル束の存在を本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』から受け取るので［条件付き］である。主結果 1 と 3 は、そのほかは加群の標準同型と第 9 巻『表現可能関手の一般形式』の完結した結果（線形構造との両立の部分は本書『1-3 ベクトル束の群構造と閉はめ込み』の主結果）だけで閉じる。主結果 2 は、一点の上の自明な束を底と数空間の積の補題で直接読むので、その補題の札をそのまま受け継ぐ。

背景と動機

原論文の命題 1.7 は、底変換との両立を第 IV 回 Gro61iv の系 3.2 の特別な場合として一文で済ませる。その系（本書『0-4 表現可能性の判定法』の定理「スライス圏の間の底変換」）は、「制限した関手が表現可能であることは、ファイバー積が存在することと同値」と言う。ベクトル束の関手を $S'$ の上に制限すると $\mathcal E'$ のベクトル束の関手になり、それは命題 1.1 で表現可能なので、この同値を逆向きに使えば、ファイバー積 $V(\mathcal E)\times_SS'$ の存在まで一度に出る。解析空間のファイバー積の一般の存在（連作第 III 回の定理 2.1）を使わずに済むのは、この向きのおかげである。
原論文の系 1.8 は、これを一点の底に当てて、ファイバーを読む。原論文の証明は、$S'$ を $s$ の定める被約な部分空間にとって「$S$ が一点で局所環が $k$ の場合に帰着」し、ファイバーの台の集合を底の上の切断の集合として読む。双対規約のベクトル束では、ファイバーは既約ファイバーそのものでなく、その双対空間になる。$\mathcal E$ が局所自由でなければ、その次元は点ごとに変わる。
原論文の命題 1.9 は、目標が局所自由なら、射の集合を一次形式の集合に書き直せることを使う。これは注意 1.3（本書『1-2 切断の関手と二つの規約』）と §3 の旗束の構成が参照先として引く命題である。

定義と準備

ファイバーと、加群の射の関手に名前を付ける。

引用する事実

次の事実を本書の他の頁から使う。1 と 4 は連作第 III 回の定理 1.1・系 1.2 Gro61iii に依る条件付きの主結果（4 は 1 を通して）、2・3 は完結の入力、5 は引用に依る補題（点の部分空間の存在）と、引用に依らずに証明した定理・補題（完結の入力）、6 は連作第 III 回の定理に依る第 0 章の補題である。

1. ベクトル束の存在（本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果）：$\mathcal E$ が有限表示なら $F_{\mathcal E}(T)=\mathrm{Hom}_{\mathcal O_T}(\mathcal E_{(T)},\mathcal O_T)$ は $V(\mathcal E)$ で表される。
2. スライス圏の間の底変換（本書『0-4 表現可能性の判定法』の定理。第 9 巻の頁『2-1 制限と底変換』の主結果で［完結］）：$(\mathrm{An})_{/S}$ 上の前層 $F$ が $(X,\xi)$ で表され、$S'$ が $S$ 上の空間のとき、$F$ の $(\mathrm{An})_{/S'}$ への制限 $F_{/S'}$ が表現可能であることは、ファイバー積 $X\times_SS'$ が存在することと同値で、そのとき $(X\times_SS',\mathrm{pr}_2)$ と $F(\mathrm{pr}_1)(\xi)$ の組が $F_{/S'}$ を表す。
3. 普遍問題の解の一意性（同じ頁の定理）：同じ前層を表す二つの組は、普遍元を保つただ一つの同型で結ばれる。
4. ベクトル束のベクトル空間対象の構造とベクトル束の関手性（本書『1-3 ベクトル束の群構造と閉はめ込み』の主結果。どちらも 1 による［条件付き］）：$V(\mathcal E)$ は、$T$ 点と一次形式の同一視が $k$ 線形になる $k$ ベクトル空間対象の構造をもち、加群の射 $u$ から $V(u)$ が反変に定まって、この構造と両立する。
5. 一点の空間と点の部分空間（本書『0-3 解析空間と数空間』の補題「一点の解析空間と終対象」「点の部分空間の存在」「剰余体が基礎体の局所代数の射」と定理「局所環の剰余体」）：一点 $*$ だけからなる解析空間 $P$ から $X$ への射は、点 $x$ と $k$ 代数の射 $\mathcal O_{X,x}\to\mathcal O_{P,*}$ の組と一対一に対応する。$\mathcal O_{P,*}=k$ なら後者は剰余写像に限るので、$X$ の点は射 $e\to X$ と一対一である。$e_s$ は一点 $s$ に $k$ を与えた空間で、$e$ とただ一つの同型で結ばれる。
6. 底と数空間の積（本書『0-5 閉部分空間と零点と積』の補題。連作第 III 回の定理 1.1・系 1.2 に依る）：$V(\mathcal O_S^p)=S\times E^p$ で、これは $(\mathrm{An})$ での $S$ と $E^p$ の積である。

$\mathcal E$ が有限型なら、生成する切断の像が $\mathcal E(s)$ を生成するので（本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (6)）、$\mathcal E(s)$ は有限次元である。原論文の記号 $V(\mathcal E)_s$ は (1) の意味で、存在は下の主結果「ベクトル束の底変換」が与える。

$F_{\mathcal E,\mathcal F}$ が前層であることは、本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の主結果「ベクトル束の関手の二重関手性」の (1) の証明の $\mathcal O_T$ を $\mathcal F_{(T)}$ に替えればそのまま通る（標準同型の両立は本書『0-2 環付き空間の上の加群』の定理「逆像と加群の演算」の (1)(2)）。値は $\Gamma(T,\mathcal O_T)$ 加群で、写像は $k$ 線形である。

主結果と証明

底変換

この定理の要は、ファイバー積を先に作らず、制限した関手が別の構成で表現可能だと知ってから、判定法の同値を逆に使ってファイバー積を得たことである。$S'$ が $S$ の開部分空間 $U$ なら、ファイバー積は $p^{-1}(U)$ の開部分空間で（本書『0-3 解析空間と数空間』の命題「開はめ込みの底変換と非交和」）、定理はそれが $V(\mathcal E|_U)$ であることを言う。本書『1-1 双対規約のベクトル束とその存在』の注意「足した仮定の効き方と分離的な読み」と本書『1-3 ベクトル束の群構造と閉はめ込み』の注意「原論文の段と閉はめ込みの消去」は、この場合を使った。次に、$S'$ を一点にとる。

ファイバー

この定理で、原論文の 1.4 の「とくに各ファイバーの台の集合は $k$ ベクトル空間」が、$\mathcal E(s)^*$ の構造として確かめられた（本書『1-3 ベクトル束の群構造と閉はめ込み』の注意「図式で書く公理と三重の積」）。ファイバーの次元 $n=\dim\mathcal E(s)$ は $\mathcal E$ が局所自由なら局所的に一定だが、一般には点ごとに変わる（下の例「原点で潰れた直線のファイバー」）。札に書いた足した仮定と、原論文の証明の段を注意する。

加群の射の関手

目標 $\mathcal F$ が局所自由なら、射 $\mathcal E_{(T)}\to\mathcal F_{(T)}$ は $\check{\mathcal F}$ との組で一次形式に書き直せる。これは逆像と両立するので、関手の同型になる。

二つの特別な場合がある。$\mathcal F=\mathcal O_S$ なら $\check{\mathcal O}_S\otimes\mathcal E\cong\mathcal E$ で、定理は $F_{\mathcal E}$ が $V(\mathcal E)$ で表されることに戻る。$\mathcal E=\mathcal O_S$ なら $F_{\mathcal O_S,\mathcal F}(T)=\Gamma(T,\mathcal F_{(T)})$ は切断の関手 $G_{\mathcal F}$ で、定理は $G_{\mathcal F}$ が $V(\check{\mathcal F})$ で表されることを言う。これは本書『1-2 切断の関手と二つの規約』の主結果「局所自由な加群の切断の関手」で、原論文の注意 1.3 がそこに「Cf. 1.9」を添えるのはこの意味である。

例と反例

局所自由でない最も簡単な加群で、ファイバーの次元が点ごとに変わることを確かめる。次に、主結果「加群の射の関手の表現」の目標の局所自由性が外せないことを見る。

その後の発展

以下は後代の文献の紹介である（本書は文献を開いて該当箇所を確かめていない）。

• 代数幾何での底変換とファイバー（1961 年）：EGA2 は、準連接な加群の対称代数のスペクトルとしてのベクトル束が底変換と両立すること、点の上のファイバーが既約ファイバーの双対空間の上のアフィン空間であることを扱う。
• 射の層の表現と線形なファイバー空間：局所自由な目標への射の関手をベクトル束で表す形は、加群の層の射の層を扱う一般の枠組み Stacks にも現れる。局所自由でない加群のベクトル束はファイバーの次元が跳ぶ空間で、本頁の例がその最も簡単な場合である。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Gro61v である。印字頁は PDF の頁番号から 1 を引いたもの（PDF $n$ が印字 12-$(n-1)$）である。