3-2 Cousin 分解と余次元スペクトル系列
体 $k$ 上の滑らかなスキーム $X$ の de Rham コホモロジーを、点の余次元ごとに分けた局所コホモロジーで計算する道具が Cousin 分解（留数分解）である。原論文の原注 (8)・(9) は、これを de Rham 複体に施して得られる余次元によるスペクトル系列を、Atiyah–Hodge の超越的な Leray スペクトル系列に代わる純代数的な道具として提案し、特異スキームの代数的な特異ホモロジーの定義案まで述べる。本頁は、次元 1 の場合を完全に閉じ、一般次元では何が定義され何が証明されていないかを、原論文の言葉どおりに区別して示す。
この頁で示すこと
$k$ を体、$X$ を $k$ 上局所有限型で滑らかなスキーム（したがって局所ネーター的で正則）、$\mathcal E$ を局所自由 $\mathcal O_X$ 加群とする。$x\in X$ に対し $p=\dim\mathcal O_{X,x}$ を $x$ の余次元と呼び、$X^p$ で余次元 $p$ の点の集合を表す。$H^q_x(\mathcal E)=\varinjlim_n\operatorname{Ext}^q_{\mathcal O_{X,x}}(\mathcal O_{X,x}/\mathfrak m_x^n,\mathcal E_x)$ は点 $x$ に台をもつ局所コホモロジーである。
本頁の主結果は次の五つである。
- 次元 1 の Cousin 分解（原論文 原注 (8)、印字 p. 101）：$X$ が滑らかで連結な曲線なら、有理切断の層 $C^0(\mathcal E)=\mathcal E\otimes_{\mathcal O_X}K$ と加法的 Cousin データの層 $C^1(\mathcal E)=\bigoplus_x i_{x*}\bigl((\mathcal E_x\otimes K)/\mathcal E_x\bigr)$ は $\mathcal E$ の flasque 層による分解を与え、外微分 $d$ に関して関手的である。［完結］
- 次元 1 の Cousin 分解の入射性（原論文 原注 (8)「even injective」、印字 p. 101）：1 の $C^0(\mathcal E)$、$C^1(\mathcal E)$ は入射 $\mathcal O_X$ 加群でもある。［条件付き：準連接な入射 $\mathcal O_X$ 加群の直和が入射的であること（Gabriel の定理と Har66 II §7。後者は原論文より後の結果）を引用する］
- 一般次元の Cousin 複体と余次元スペクトル系列（原論文 原注 (8)、印字 pp. 100–101）：$C^p(\mathcal E)=\bigoplus_{x\in X^p}i_{x*}H^p_x(\mathcal E)$ を成分とする Cousin 複体が入射分解なら $E_1^{p,q}=\bigoplus_{x\in X^p}\mathbf H^{p+q}_x(\Omega^\bullet_{X/k})\Rightarrow H^{p+q}_{dR}(X)$ が得られる。［未完結：分解であることは Har66 の内容で、本書は該当箇所を確かめていない］
- 留数写像と系列 (S•)（原論文 原注 (8) の式 (R)・(S$^\bullet$)、印字 p. 101）：$k$ が標数 $0$ で、留数写像 $(R)\colon H^{q-p}_{dR}(k(x)/k)\to\mathbf H^{p+q}_x(\Omega^\bullet_{X/k})$ が同型なら、$E_1^{p,q}=\bigoplus_{x\in X^p}H^{q-p}_{dR}(k(x)/k)\Rightarrow H^{p+q}_{dR}(X)$ が収束する。［未完結：一般次元では (R) の定義と同型性を原論文は「theorem 1 を用いる超越的議論」とだけ書き、本頁も構成できない。仮定の下での形式的な帰結と、次元 1 の場合（曲線の留数完全列）は本頁で閉じる］
- 代数的特異ホモロジーの定義案（原論文 原注 (9) の式 (H)・(S$_\bullet$)、印字 p. 101）：標数 $0$ の体上の有限型スキーム $X$ を至るところ $n$ 次元の滑らかな $X'$ に閉埋め込みして $H_i(X)=\mathbf H^{2n-i}_X(X',\Omega^\bullet_{X'/k})$ と定める案と、ホモロジー版の系列 (S$_\bullet$)。［未完結：埋め込みによらないことは原論文自身が問題として残し、本頁も証明しない］
本頁で閉じるのは、1 の全部と、4 のうち曲線の場合（留数写像が同型で、系列 (S$^\bullet$) が留数完全列に戻ること）である。2 は古典的でない入力（準連接な入射加群の直和の入射性）に依るので分けて述べるが、超コホモロジーの計算には 1 の flasque 性で足り、以下で入射性を使う箇所はない。原論文が Hartshorne のセミナーに委ねた一般次元の Cousin 分解と、「theorem 1 を用いる超越的議論」とだけ書いた (R) の同型性は閉じない。何が足りないかを証明の欄に明記する。
背景と動機
Atiyah–Hodge AH55 は、$\mathbb C$ 上の非特異射影多様体 $X$ の上の「第二種」の閉有理形式を、開埋め込み $U\hookrightarrow X$ の Leray スペクトル系列（原論文の式 (12)）で定義した。本書『3-1 第二種の微分形式と Leray スペクトル系列』で見たとおり、比較定理の後ではこの定義は純代数的な条件に置き換わるが、Leray スペクトル系列そのものは依然として超越的である。原論文はその代数的な定義を問い（式 (12)、印字 p. 100）、答えの代わりに原注 (8) で別のスペクトル系列を提案する。
原注 (8) の出発点は、当時 Harvard で進んでいた Hartshorne の双対性のセミナー（のちの『Residues and Duality』Har66）である。正則スキーム上の局所自由層には、点の余次元ごとに局所コホモロジーを並べた標準的な入射分解、Cousin 分解（留数分解）がある。次元 1 では古典的な「repartitions」（各点での主要部の族）による分解である。原論文は、この分解が $\mathcal O_X$ 線型でない準同型についても関手的なので de Rham 複体に施せると述べ、点の余次元によるスペクトル系列を得る。さらに、留数によって各点の寄与を剰余体 $k(x)$ の de Rham コホモロジーで表せること、標数 $0$ ではその表示が同型であること、$k=\mathbb C$ では Zariski 閉集合によるフィルトレーションの帰納極限と解釈できること、$H^{2p}$ の最後の段が余次元 $p$ の代数的サイクルの類の張る空間であることを述べる。原注 (9) は、ホモロジーに移せば「正則」の仮定を外せるだろうと推測し、埋め込みによる定義 (H) と埋め込み不変性の問題を残す。この二つの原注は、後に Hartshorne の代数的 de Rham ホモロジー Har75 と Bloch–Ogus の coniveau スペクトル系列 BO74 として結実する。本頁では後代の結果を先取りせず、1963 年の紙面から何が閉じ、何が閉じないかを見る。
定義と準備
点の余次元と局所コホモロジー
Cousin 複体は、層の切断を「どの点に台をもつか」で分ける。そのために点の余次元と、点に台をもつ局所コホモロジーを定める。
$X$ を局所ネーター的スキーム、$\mathcal E$ を $\mathcal O_X$ 加群とする。点 $x\in X$ の余次元を $\operatorname{codim}x=\dim\mathcal O_{X,x}$ と定め、$X^p=\{x\in X:\operatorname{codim}x=p\}$ とおく。$x$ に台をもつ局所コホモロジーを
$$H^q_x(\mathcal E)=\varinjlim_n\operatorname{Ext}^q_{\mathcal O_{X,x}}\bigl(\mathcal O_{X,x}/\mathfrak m_x^n,\ \mathcal E_x\bigr)$$
と定める（Ext関手の帰納極限）。$H^0_x(\mathcal E)$ は $\mathcal E_x$ のうち $\mathfrak m_x$ の冪で消される元の部分加群であり、$\mathcal O_{X,x}$ が整域（例えば $X$ が正則）で $\mathcal E$ が局所自由、$\operatorname{codim}x\ge1$ なら $0$ である。$X$ が整のとき、生成点 $\xi$（$\operatorname{codim}\xi=0$、$\mathfrak m_\xi=0$）では $H^0_\xi(\mathcal E)=\mathcal E_\xi$、$H^q_\xi(\mathcal E)=0$（$q\ge1$）。
$X^0$ は既約成分の生成点の集合で、$X$ が $k$ 上有限型で既約なら $X^{\dim X}$ は閉点の集合である。局所コホモロジーは $\operatorname{Ext}$ で定義したので $\mathcal O_X$ 線型な準同型については関手的だが、de Rham 複体の微分 $d$ は $\mathcal O_X$ 線型でない。原注 (8) はこの点を「任意のアーベル層の準同型に関して関手的」と述べる。次元 1 ではこれを直接確かめる（下の定理の証明の段 4）。一般次元では、$H^q_x(\mathcal E)$ を $x$ の開近傍 $U$ 上の $\overline{\{x\}}\cap U$ に台をもつコホモロジーの帰納極限に書き直せばアーベル層の準同型についても関手的になるが、その書き直しが上の定義と一致することは Har66 の内容で、本頁では確かめない。
Cousin 複体
$X$ を局所ネーター的スキーム、$\mathcal E$ を $\mathcal O_X$ 加群とする。$Z^p\subset X$ を余次元 $p$ 以上の点の集合（閉集合とは限らないが、余次元 $p$ 以上の閉集合の族で尽くされる）とし、$\mathcal E$ の $Z^p$ に台をもつ切断の層の導来関手の三角 $\mathbf R\Gamma_{Z^{p+1}}\mathcal E\to\mathbf R\Gamma_{Z^p}\mathcal E\to\mathbf R\Gamma_{Z^p/Z^{p+1}}\mathcal E\to$ から得られる層のスペクトル系列 $E_1^{p,q}=\mathcal H^{p+q}_{Z^p/Z^{p+1}}(\mathcal E)\Rightarrow\mathcal H^{p+q}_{Z^0}(\mathcal E)$（到達項は $p+q=0$ で $\mathcal E$、$p+q>0$ で $0$。$q$ は $0$ 以上の整数）の $q=0$ の行
$$0\to\mathcal E\to C^0(\mathcal E)\xrightarrow{d_1}C^1(\mathcal E)\xrightarrow{d_1}C^2(\mathcal E)\to\cdots,\qquad C^p(\mathcal E)=\mathcal H^p_{Z^p/Z^{p+1}}(\mathcal E)\cong\bigoplus_{x\in X^p}i_{x*}H^p_x(\mathcal E)$$
を $\mathcal E$ の Cousin 複体（留数複体、Cousin複体）という。ここで $i_x\colon\overline{\{x\}}\to X$ は閉包の包含で、$i_{x*}H^p_x(\mathcal E)$ は $\overline{\{x\}}$ 上の定数層を押し出したもの、右の同型は $\mathcal H^p_{Z^p/Z^{p+1}}$ が余次元 $p$ の各点の寄与に分かれることによる（Har66 IV）。$\mathcal E$ が Cohen–Macaulay（すべての $x$ で $H^q_x(\mathcal E)=0$、$q\ne\operatorname{codim}x$）なら $E_1^{p,q}=0$（$q\ne0$）で、Cousin 複体は $\mathcal E$ の分解になる。
定義の中の同型と、Cohen–Macaulay なら分解になるという主張は Har66 IV の内容として引用したもので、本頁では証明しない。次元 1 では Cousin 複体を定義に頼らず直接書き下し、分解であることを確かめる。
剰余体の de Rham コホモロジー
原注 (8) の系列 (S$^\bullet$) の $E_1$ 項は、点の剰余体 $k(x)$ の de Rham コホモロジーで書かれる。
$K/k$ を体の拡大とする。Kähler 微分の複体 $\Omega^\bullet_{K/k}$（$\Omega^p_{K/k}=\bigwedge^p_K\Omega^1_{K/k}$、微分は外微分）のコホモロジーを $H^n_{dR}(K/k)=H^n(\Omega^\bullet_{K/k})$ と書き、$K/k$ の de Rham コホモロジーという。原論文はこれを $H^\bullet(K)$ と印字する。
$K/k$ が有限生成で分離的なら、$K$ は $k$ 上滑らかな affine スキーム $U$ の関数体で、$\Omega^\bullet_{K/k}=\varinjlim_{U'}\Gamma(U',\Omega^\bullet_{U'/k})$（$U'$ は $U$ の空でない affine 開集合を動く）である。affine では de Rham コホモロジーが大域切断の複体で計算できる（本書『1-1 de Rham 複体と超コホモロジー』）ので、$H^n_{dR}(K/k)=\varinjlim_{U'}H^n_{dR}(U')$、すなわち原注 (8) の言う「滑らかな affine 模型の de Rham コホモロジーの帰納極限」になる。$X$ が滑らかな整スキームで $K$ がその関数体なら $\Omega^p_{K/k}=\Omega^p_{X/k}\otimes_{\mathcal O_X}K$ である。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は主に Har66、Har77、Mat89 で、該当箇所は本頁では確認していない。
- 超コホモロジーの計算（本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』）：下に有界なアーベル層の複体 $K^\bullet$ と、各項が flasque な複体への擬同型 $K^\bullet\to L^\bullet$ があれば $\mathbf H^n(X,K^\bullet)=H^n(\Gamma(X,L^\bullet))$。二重複体 $L^{p,q}$ の全複体には、$p$ によるフィルトレーションのスペクトル系列 $E_1^{p,q}=H^q(\Gamma(X,L^{p,\bullet}))\Rightarrow H^{p+q}(\Gamma(X,\operatorname{Tot}L))$ がある。
- 滑らかな曲線の局所環（Har77 II.6、Mat89）：$k$ 上滑らかな曲線の閉点 $x$ で $\mathcal O_{X,x}$ は離散付値環である。$k(x)/k$ が分離的（標数 $0$ なら常に）なら、一意化元 $t$ について $dt$ が $\Omega^1_{X/k,x}$ を生成し、完備化は $\hat{\mathcal O}_{X,x}\cong k(x)[\![t]\!]$（$k$ 代数として）、$d$ は $\sum a_it^i\mapsto\sum ia_it^{i-1}dt$ である。
- 入射加群：単項イデアル整域上の可除加群と、体上の加群は入射的である。点 $x$ の摩天楼層 $i_{x*}M$ について $\operatorname{Hom}_{\mathcal O_X}(\mathcal F,i_{x*}M)=\operatorname{Hom}_{\mathcal O_{X,x}}(\mathcal F_x,M)$ で、茎をとる関手は完全なので、$M$ が入射的なら $i_{x*}M$ は入射 $\mathcal O_X$ 加群である。ネーター的スキーム上で、準連接な入射 $\mathcal O_X$ 加群の直和は入射的である。これは準連接層の圏が局所ネーター的であること（Gabriel の定理、1962 年）と、準連接層の圏で入射的なものは $\mathcal O_X$ 加群としても入射的であること（Har66 II §7）の組で、後者は原論文より後の結果である。$\mathcal O_X$ 加群の圏では入射的対象の直和が入射的とは限らないので、この事実を経由する。
- Cousin 分解の入射性（Har66 IV）：$X$ が正則（より一般に Gorenstein）で $\mathcal E$ が局所自由なら、$\mathcal E$ は Cohen–Macaulay で、$H^p_x(\mathcal E)$（$p=\operatorname{codim}x$）は入射 $\mathcal O_{X,x}$ 加群である。したがって Cousin 複体は $\mathcal E$ の入射分解である。本頁ではこれを主結果 3 を［未完結］とする理由として名指しし、証明には使わない。
主結果と証明
次元 1 では、局所コホモロジーは離散付値環の上の計算に尽きる。まずそれを済ませる。
離散付値環の上の局所コホモロジー
$\mathcal O$ を離散付値環、$t$ を一意化元、$K$ を商体、$M$ を階数 $r$ の自由 $\mathcal O$ 加群とする。$H^0_{\mathfrak m}(M)=0$、$H^1_{\mathfrak m}(M)\cong(M\otimes_{\mathcal O}K)/M\cong(K/\mathcal O)^r$、$H^q_{\mathfrak m}(M)=0$（$q\ge2$）。とくに $H^1_{\mathfrak m}(M)$ は可除加群で、$\mathcal O$ 加群として入射的である。
$M=\mathcal O^r$ としてよい。$H^0_{\mathfrak m}(\mathcal O)=\varinjlim\operatorname{Hom}(\mathcal O/t^n,\mathcal O)$ は $\mathcal O$ の $t$ 冪捩れ元の集合で、$\mathcal O$ は整域なので $0$。完全列 $0\to\mathcal O\xrightarrow{t^n}\mathcal O\to\mathcal O/t^n\to0$ に $\operatorname{Hom}(-,\mathcal O)$ を施すと、$\operatorname{Ext}^1(\mathcal O/t^n,\mathcal O)$ は $t^n\colon\mathcal O\to\mathcal O$ の余核 $\mathcal O/t^n$ で、$\operatorname{Ext}^q=0$（$q\ge2$、$\mathcal O$ の大域次元は $1$）。同じ列を $0\to\mathcal O\to K\to K/\mathcal O\to0$（$K$ は入射的）と比べると、$\operatorname{Ext}^1(\mathcal O/t^n,\mathcal O)\cong\operatorname{Hom}(\mathcal O/t^n,K/\mathcal O)=(K/\mathcal O)[t^n]=t^{-n}\mathcal O/\mathcal O$ であり、$n$ についての推移写像は包含 $t^{-n}\mathcal O/\mathcal O\subset t^{-n-1}\mathcal O/\mathcal O$ である。帰納極限は $\bigcup_nt^{-n}\mathcal O/\mathcal O=K/\mathcal O$。$K/\mathcal O$ は $t$ 倍が全射なので可除で、単項イデアル整域上の可除加群は入射的である（引用する事実 3）。
これで、曲線上の局所自由層は「余次元と一致する次数以外の局所コホモロジーが消える」という Cohen–Macaulay の条件を、閉点で満たすことが分かった。生成点では $H^0_\xi(\mathcal E)=\mathcal E_\xi$ が残る。二つを並べたものが repartitions による分解である。
次元 1 の Cousin 分解
$X$ を体 $k$ 上滑らかで連結な曲線、$K$ をその関数体、$\mathcal E$ を階数 $r$ の局所自由 $\mathcal O_X$ 加群とする。$C^0(\mathcal E)=\mathcal E\otimes_{\mathcal O_X}K$（$K$ の定数層をテンソルした、有理切断の層）、$C^1(\mathcal E)=\bigoplus_{x}i_{x*}\bigl((\mathcal E_x\otimes K)/\mathcal E_x\bigr)$（$x$ は閉点を動く。加法的 Cousin データの層）とおく。
- (i) 列 $0\to\mathcal E\to C^0(\mathcal E)\to C^1(\mathcal E)\to0$ は完全で、$C^1(\mathcal E)\cong C^0(\mathcal E)/\mathcal E$。ここで第 2 の写像は各閉点での主要部をとる写像である。
- (ii) $C^0(\mathcal E)$、$C^1(\mathcal E)$ は flasque である。したがって $H^q(X,\mathcal E)=H^q\bigl(\Gamma(X,C^\bullet(\mathcal E))\bigr)$、すなわち $H^0(X,\mathcal E)=\ker\bigl(\mathcal E\otimes K\to\bigoplus_x(\mathcal E_x\otimes K)/\mathcal E_x\bigr)$、$H^1(X,\mathcal E)$ はその余核、$H^q(X,\mathcal E)=0$（$q\ge2$）。
- (iii) 外微分 $d\colon\Omega^p_{X/k}\to\Omega^{p+1}_{X/k}$ は $C^0(\Omega^p_{X/k})\to C^0(\Omega^{p+1}_{X/k})$、$C^1(\Omega^p_{X/k})\to C^1(\Omega^{p+1}_{X/k})$ を誘導し、$C^\bullet(\Omega^\bullet_{X/k})$ は二重複体になる。その全複体は $\Omega^\bullet_{X/k}$ の flasque 層による分解で、$H^n_{dR}(X)=H^n\bigl(\Gamma(X,\operatorname{Tot}C^\bullet(\Omega^\bullet_{X/k}))\bigr)$。
段 1（完全性）．茎で見る。閉点 $x$ では $C^0(\mathcal E)_x=\mathcal E_x\otimes K$、$C^1(\mathcal E)_x=(\mathcal E_x\otimes K)/\mathcal E_x$（他の閉点の摩天楼層の茎は $0$）なので、列は定義により完全。生成点 $\xi$ では $\mathcal E_\xi=\mathcal E_\xi\otimes K$、$C^1(\mathcal E)_\xi=0$ なので完全。
段 2（flasque 性）．$X$ はネーター的位相空間なので、任意の開集合は準コンパクトで、直和の切断は切断の直和である。$C^0(\mathcal E)$ は既約空間上の定数層なので、空でない開集合への制限はすべて同型で、flasque。$C^1(\mathcal E)(U)=\bigoplus_{x\in U}(\mathcal E_x\otimes K)/\mathcal E_x$ で、$V\subset U$ への制限は $x\in V$ の成分への射影であり全射。よって flasque。(ii) の残りは引用する事実 1 と、flasque 層が $\Gamma$ について非輪状であることによる。
段 3（関手性）．$d\colon\Omega^p_{X/k}\to\Omega^{p+1}_{X/k}$ は関数体の微分 $d\colon\Omega^p_{K/k}\to\Omega^{p+1}_{K/k}$ に延び（$\Omega^p_{K/k}=\Omega^p_{X/k}\otimes K$）、$d(\Omega^p_{X/k,x})\subset\Omega^{p+1}_{X/k,x}$ なので商 $(\Omega^p_{K/k})/\Omega^p_{X/k,x}\to(\Omega^{p+1}_{K/k})/\Omega^{p+1}_{X/k,x}$ にも降りる。主要部をとる写像は $d$ と可換だから、$C^\bullet(\Omega^\bullet_{X/k})$ は二重複体で、各列 $C^\bullet(\Omega^p)$ が $\Omega^p$ の分解なので全複体は $\Omega^\bullet_{X/k}$ からの擬同型を受け、各項は flasque。引用する事実 1 により (iii) が従う。
これで次元 1 では、原注 (8) の主張のうち、分解であること、アーベル層の準同型に関する関手性、de Rham 複体への適用が閉じた。$C^1$ の切断は各点での主要部の族で、有限個の点を除いて $0$ であるようなものであり、これが原注 (8) の言う repartitions である。超コホモロジーの計算に要るのは flasque 性だけで、ここまでに引いたのは古典的な事実だけである。
上の定理の $C^\bullet(\mathcal E)$ は、定義（Cousin 複体）の複体と一致する。実際 $X^0=\{\xi\}$、$X^1=$ 閉点の集合で、$H^0_\xi(\mathcal E)=\mathcal E_\xi$、$H^1_x(\mathcal E)=(\mathcal E_x\otimes K)/\mathcal E_x$（上の補題）だから次数付き層として一致し、微分は主要部をとる写像で、これは $\mathcal E\to C^0\to C^1$ の余核への標準写像として定義の $d_1$ と同じものである。ただし定義の中の同型 $\mathcal H^p_{Z^p/Z^{p+1}}(\mathcal E)\cong\bigoplus_{x\in X^p}i_{x*}H^p_x(\mathcal E)$ は Har66 IV から引用したものなので、この一致は定義の側の引用に依る。上の定理自身はこの一致を使っていない。
原注 (8) はこの分解が「even injective」だと述べる。入射性は超コホモロジーの計算には要らないが、原注の主張として次に分けて確かめる。入射加群の直和の入射性に原論文より後の結果を引くので、状態は条件付きである。
上の定理（次元 1 の Cousin 分解）の設定で、$C^0(\mathcal E)$ と $C^1(\mathcal E)$ は入射 $\mathcal O_X$ 加群である。
段 1（$C^0$）．$C^0(\mathcal E)=j_{\xi*}(\mathcal E_\xi)$（$j_\xi\colon\{\xi\}\to X$）で、$\mathcal E_\xi$ は体 $K$ 上の加群だから入射的、$j_{\xi*}$ は入射的対象を保つ（引用する事実 3。$\operatorname{Hom}_{\mathcal O_X}(\mathcal F,j_{\xi*}\mathcal E_\xi)=\operatorname{Hom}_K(\mathcal F_\xi,\mathcal E_\xi)$ で、茎をとる関手は完全）。
段 2（$C^1$ の各項）．閉点 $x$ の項 $i_{x*}\bigl((\mathcal E_x\otimes K)/\mathcal E_x\bigr)$ は、上の補題（離散付値環の上の局所コホモロジー）により入射 $\mathcal O_{X,x}$ 加群 $H^1_x(\mathcal E)\cong(K/\mathcal O_{X,x})^r$ の摩天楼層なので、引用する事実 3 により入射的である。
段 3（直和）．各項は準連接である。実際 $x$ を含む affine 開集合 $\operatorname{Spec}A$ 上で、$A$ 加群 $M=(K/\mathcal O_{X,x})^r$ に付随する準連接層 $\widetilde M$ の茎は、$x$ では $M$、生成点では $M\otimes_AK=0$（$M$ は捩れ加群）、他の閉点 $x'$ では $0$（$M$ の各元は $\mathfrak m_x$ の冪で消され、$\mathfrak m_x^n\not\subset\mathfrak m_{x'}$）なので、$\widetilde M=i_{x*}M$ である。よって引用する事実 3 の後半により、準連接な入射 $\mathcal O_X$ 加群の直和 $C^1(\mathcal E)$ は入射的である。
段 3 で引いたのは、準連接層の圏が局所ネーター的であること（Gabriel）と、そこで入射的なものが $\mathcal O_X$ 加群としても入射的であること（Har66 II §7）で、後者は原論文より後の結果である。原論文の「even injective」の一語はこの入力に依る。以下で入射性を使う箇所はなく、次元 1 の de Rham コホモロジーの計算は上の定理だけで済む。
一般次元では、同じ筋を通すために二つの入力が要る。Cousin 複体が $\mathcal E$ の分解であること（局所コホモロジーが余次元と一致する次数にしか現れない Cohen–Macaulay 性）と、外微分 $d$ が各項に作用すること（関手性）である。各項が flasque なことは定義の形（既約閉集合上の定数層の押し出しの、ネーター空間上の直和）から分かるので、系列を得るのに入射性は要らない。原論文は前者を Hartshorne のセミナーに委ねる。
一般次元の Cousin 複体
$X$ を $k$ 上滑らか、$\mathcal E$ を局所自由とする。
- (i) Cousin 複体 $C^\bullet(\mathcal E)$ は $\mathcal E$ の入射分解である。
- (ii) $C^\bullet$ は外微分 $d$ について関手的で、$C^\bullet(\Omega^\bullet_{X/k})$ は二重複体になり、$p$ によるフィルトレーションのスペクトル系列
$$E_1^{p,q}=\bigoplus_{x\in X^p}\mathbf H^{p+q}_x(\Omega^\bullet_{X/k})\Longrightarrow H^{p+q}_{dR}(X),\qquad\mathbf H^{p+q}_x(\Omega^\bullet_{X/k}):=H^q\bigl(H^p_x(\Omega^\bullet_{X/k})\bigr)$$
が収束する。ここで $H^p_x(\Omega^\bullet_{X/k})$ は $d$ から誘導される微分をもつ複体である。
要点のみ述べる。段 1（(i)）．引用する事実 4 の内容であり、本書は Har66 IV の該当箇所を開いていないので閉じない。(ii) に要るのは (i) のうち分解であること（完全性）だけで、各項が flasque なことは定義の形から分かる。段 2（関手性）．$d$ が $H^p_x$ に作用することは、局所コホモロジーのアーベル層による書き直し（定義の後の段落）を要し、これも本頁では確かめない。段 3（(ii) の形式的な部分）．(i) と段 2 を認めれば、各列 $C^\bullet(\Omega^q_{X/k})$ は flasque 分解だから全複体は $\Omega^\bullet_{X/k}$ の flasque 分解で、$\Gamma(X,C^p(\Omega^q))=\bigoplus_{x\in X^p}H^p_x(\Omega^q)$（ネーター性により直和と可換）。引用する事実 1 の $p$ によるフィルトレーションのスペクトル系列がそのまま (ii) である。段 4（次元 1）．曲線では、(ii) は上の定理（次元 1 の Cousin 分解）の (iii) そのものであり、入射性なしに閉じる。(i) は上の注意（Cousin 複体の定義との一致）を通して上の定理（分解であること）と上の命題（次元 1 の Cousin 分解の入射性）に帰着し、後者の分だけ条件付きである。
記号 $\mathbf H^{p+q}_x(\Omega^\bullet_{X/k})$ は原注 (8) のもので、点 $x$ に台をもつ超コホモロジーの意である。本頁ではそれを段 3 で現れる形 $H^q(H^p_x(\Omega^\bullet))$ の意味で使い、超コホモロジーの導来関手としての定義との一致は問わない。$E_1$ の各項は局所的な量だけで書かれ、点の間の貼り合わせは微分 $d_r$ に押し込まれる。次に原論文は、この局所的な量を留数で剰余体の de Rham コホモロジーに置き換える。
留数写像と系列 (S•)
$x\in X^p$ とする。原注 (8) の留数写像とは、微分形式の留数を用いて定まる標準的な準同型
$$(R)\colon\ H^{q-p}_{dR}(k(x)/k)\longrightarrow\mathbf H^{p+q}_x(\Omega^\bullet_{X/k})$$
のことである。原論文はその構成を書かない。本頁では次元 1 の場合に限って定義する。$p=0$（$x=\xi$ 生成点）では $H^q_{dR}(K/k)=H^q(H^0_\xi(\Omega^\bullet))$ の恒等写像。$p=1$（閉点、$k(x)/k$ 分離的）では、$\mathbf H^{1+q}_x(\Omega^\bullet_{X/k})$ は複体 $K/\mathcal O_{X,x}\xrightarrow{d}\Omega^1_{K/k}/\Omega^1_{X/k,x}$ の $q$ 次コホモロジーで、一意化元 $t$ による留数 $\operatorname{res}_x\colon\Omega^1_{K/k}/\Omega^1_{X/k,x}\to k(x)$（$\sum_{m\ge1}a_mt^{-m}dt\mapsto a_1$）は $d(K/\mathcal O_{X,x})$ を消し（$d(at^{-m})$ に $t^{-1}dt$ の項はない）、写像 $\mathbf H^2_x(\Omega^\bullet_{X/k})\to k(x)=H^0_{dR}(k(x)/k)$ を誘導する。$(R)$ をその切断 $a\mapsto[a\,t^{-1}dt]$ と定める。$q\ne1$ では左辺が $0$（$\Omega^1_{k(x)/k}=0$）なので $(R)$ は零写像である。
$k$ を標数 $0$ の体、$X$ を $k$ 上滑らかとする。上の定理（一般次元の Cousin 複体と余次元スペクトル系列）の (i)(ii) が成り立ち、すべての $x\in X^p$ と $q$ について留数写像 $(R)$ が定義されて同型であるとする。このときスペクトル系列
$$(S^\bullet)\colon\quad E_1^{p,q}=\bigoplus_{x\in X^p}H^{q-p}_{dR}(k(x)/k)\Longrightarrow H^{p+q}_{dR}(X)$$
が収束する。$E_1^{p,q}=0$（$q< p$）であり、abutment のフィルトレーション $F^pH^n_{dR}(X)$ は $2p>n$ で $0$、$H^{2p}_{dR}(X)$ の最後の段 $F^pH^{2p}_{dR}(X)=E_\infty^{p,p}$ は $E_1^{p,p}=\bigoplus_{x\in X^p}H^0_{dR}(k(x)/k)$ の部分商である。ここで $H^0_{dR}(k(x)/k)=\ker(d\colon k(x)\to\Omega^1_{k(x)/k})$ は $k(x)$ の中での $k$ の代数的閉包で、$x$ が閉点なら $k(x)$ 自身である。
(R) が同型なら (ii) の $E_1$ 項を $H^{q-p}_{dR}(k(x)/k)$ で置き換えられる。$H^{q-p}=0$（$q< p$）から $E_1^{p,q}=0$（$q< p$）、よって全次数 $n=p+q$ の項は $p\le n/2$ にしかなく、$F^pH^n=0$（$2p>n$）。$n=2p$ では $F^pH^{2p}=E_\infty^{p,p}$。$H^0_{dR}(k(x)/k)$ の同定は、標数 $0$ で $a\in k(x)$ が $k$ 上超越的なら $da\ne0$（$\Omega^1_{k(a)/k}$ は $da$ を基底とし、$\Omega^1_{k(a)/k}\otimes k(x)\to\Omega^1_{k(x)/k}$ は分離拡大について単射）、代数的なら $da=0$ による。原論文の「theorem 1 を用いる超越的議論」で (R) が同型になるという段は、(R) の一般次元での定義と、局所コホモロジーを $\mathbb C$ 上の解析的な台付きコホモロジーと比較する議論を要し、本頁では閉じない。
一般次元では仮定の形でしか述べられない (S$^\bullet$) が、曲線では留数完全列そのものになる。それを確かめる。
$k$ を標数 $0$ の体、$X$ を $k$ 上滑らかで連結な曲線、$K$ をその関数体とする。各閉点 $x$ で $\mathbf H^1_x(\Omega^\bullet_{X/k})=0$、$\operatorname{res}_x$ は $d(K/\mathcal O_{X,x})$ を消して同型 $\mathbf H^2_x(\Omega^\bullet_{X/k})\cong k(x)$ を誘導し、$(R)$ は定義されて同型である。系列 (S$^\bullet$) は $E_2$ で退化し、完全列
$$0\to H^1_{dR}(X)\to H^1_{dR}(K/k)\xrightarrow{\ \operatorname{res}\ }\bigoplus_{x}k(x)\to H^2_{dR}(X)\to0,\qquad H^0_{dR}(X)=H^0_{dR}(K/k)$$
を与える。ここで $\operatorname{res}=(\operatorname{res}_x)_x$ で、$x$ は閉点を動く。
段 1（局所計算）．$K/\mathcal O_{X,x}=\varinjlim_n t^{-n}\mathcal O_{X,x}/\mathcal O_{X,x}$ と $\Omega^1_{K/k}/\Omega^1_{X/k,x}=\varinjlim_nt^{-n}\Omega^1_{X/k,x}/\Omega^1_{X/k,x}$ は有限長の加群の帰納極限なので完備化で変わらず、引用する事実 2 により $K/\mathcal O_{X,x}\cong t^{-1}k(x)[t^{-1}]$、$\Omega^1_{K/k}/\Omega^1_{X/k,x}\cong t^{-1}k(x)[t^{-1}]\,dt$、$d(at^{-m})=-mat^{-m-1}dt$（$a\in k(x)$、$d$ は $k(x)$ 上で $0$）。標数 $0$ なので $d$ は単射で、像は $t^{-m}dt$（$m\ge2$）の張る部分空間である。よって $\mathbf H^1_x=\ker d=0$、$\mathbf H^2_x=\operatorname{coker}d\cong k(x)$ で、同型は $t^{-1}dt$ の係数、すなわち $\operatorname{res}_x$ が与える。
段 2（一意化元によらないこと）．$t'=ut$（$u$ 単元）とすると $a\,t^{-1}dt=a\,t'^{-1}dt'-a\,u^{-1}du$ で $a\,u^{-1}du$ は正則なので、$\operatorname{res}_{t'}(a\,t^{-1}dt)=a$（$a\in k(x)$。$k(x)\subset\hat{\mathcal O}_{X,x}$ は Hensel の補題による一意な $k$ 代数としての埋め込みで、$t$ によらない）。$\operatorname{res}_t$ と $\operatorname{res}_{t'}$ はともに $d(K/\mathcal O_{X,x})$ を消し、段 1 により $\Omega^1_{K/k}/\Omega^1_{X/k,x}$ は $d(K/\mathcal O_{X,x})$ と $a\,t^{-1}dt$ たちで張られるので、両者は等しい。
段 3（系列）．次元 1 では、上の定理（次元 1 の Cousin 分解）の (iii) と引用する事実 1 により、上の定理（一般次元の Cousin 複体と余次元スペクトル系列）の系列 (ii) が入射性なしに得られる。$E_1^{0,q}=H^q_{dR}(K/k)$（$q=0,1$）、$E_1^{1,0}=\bigoplus_x\mathbf H^1_x=0$、$E_1^{1,1}=\bigoplus_x\mathbf H^2_x\cong\bigoplus_xk(x)$、他は $0$。$d_1\colon E_1^{0,1}\to E_1^{1,1}$ は Cousin 複体の微分（主要部をとる写像）が誘導するもので、段 1 により各点の留数である。$E_1$ が二列しかないので $E_2=E_\infty$ で、$H^1_{dR}(X)=\ker d_1$、$H^2_{dR}(X)=\operatorname{coker}d_1$、$H^0_{dR}(X)=E_1^{0,0}$。
この完全列は、本書『3-1 第二種の微分形式と Leray スペクトル系列』の留数完全列（完備曲線 $X$ から有限個の点 $S$ を除いた $U$ についての $0\to H^1_{dR}(X)\to H^1_{dR}(U)\to\bigoplus_{s\in S}k(s)\to H^2_{dR}(X)\to0$）で $S$ を大きくした帰納極限にほかならない（$X$ が完備のとき）。$H^1_{dR}(K/k)=\varinjlim_SH^1_{dR}(X-S)$ だからである。原注 (8) の (S$^\bullet$) は、この留数完全列の高次元版として読める。
原注 (8) の残りの主張は、標数 $0$ の一般次元で (R) が同型であることに依存する。閉じないものを閉じないまま記録する。
原注 (8) は $k=\mathbb C$ のとき、(S$^\bullet$) が、$X$ を次元の減る Zariski 閉部分集合の列でフィルトレーションしたときの $H^\bullet(X^h,\mathbb C)$ の台によるスペクトル系列の、列を細かくした帰納極限と解釈でき、$H^{2p}$ の最後の段 $F^pH^{2p}$ が余次元 $p$ の代数的サイクルの類で生成される部分空間だと述べる。上の定理（留数写像と系列 (S•)）の仮定のもとでは、最後の段が $E_1^{p,p}=\bigoplus_{x\in X^p}H^0_{dR}(k(x)/k)$（各項は $k$ の有限次拡大）の部分商であることまでは形式的に出る。それが代数的サイクルの類の張る空間と一致することには、(a) 閉集合 $Z$ に台をもつ $H^\bullet_{Z}(X^h,\mathbb C)$ の系列と (S$^\bullet$) の比較（(R) の同型性と同じ入力）、(b) 余次元 $p$ の既約閉集合 $Z$ について $H^{2p}_Z(X^h,\mathbb C)\to H^{2p}(X^h,\mathbb C)$ の像が $Z$ の類で張られること（Thom 同型）が要る。本頁はどちらも示さず、状態は未完結である。
原注 (8) 末は、$E_1$ は大きいが $E_2^{p,q}$ は既に $k$ 上有限次元だろうと推測し、$\dim X\le2$ または小さい $p,q$ では確かめられると述べる（計算は書かれていない）。曲線では上の命題（曲線での留数写像と系列 (S•)）により $E_2=H^\bullet_{dR}(X)$ で、完備曲線の de Rham コホモロジーの有限次元性（連接層コホモロジーの有限性と Hodge–de Rham スペクトル系列）と留数完全列から有限次元である。次元 $2$ の計算は本頁では行っていない。
特異スキームの代数的特異ホモロジー
原注 (9) は「正則」の仮定をホモロジーに移して外す案を述べる。定義案と、それに付随する問題を記録する。
$k$ を標数 $0$ の体、$X$ を $k$ 上有限型のスキーム（正則とは限らない）、$X\hookrightarrow X'$ を $k$ 上滑らかで至るところ $n$ 次元のスキームへの閉埋め込みとする。原注 (9) の定義案 (H) は
$$H_i(X):=\mathbf H^{2n-i}_X\bigl(X',\Omega^\bullet_{X'/k}\bigr)$$
（$X$ に台をもつ超コホモロジー）である。原論文は台の添字を斜体の $i$ と印字しているが、直後に「$X$ に台をもつ超コホモロジー」と説明しているので、本書は台を $X$ と読む（読解の記録では誤植 9-16）。原注は、$k=\mathbb C$ のとき $H_i(X)$ が $X^h$ の任意台の特異ホモロジー（コンパクト台コホモロジーの双対）に一致するだろうと推測する。
定義案 (H) の右辺が埋め込み $X\hookrightarrow X'$ によらないことを、原注 (9) は Hartshorne のセミナーの不変性問題と同じ型の問題として残す。二つの埋め込み $X\hookrightarrow X'_1$、$X\hookrightarrow X'_2$ は対角埋め込み $X\hookrightarrow X'_1\times X'_2$ で支配されるので、独立性は「滑らかなスキームの閉埋め込み $X'\hookrightarrow X''$（余次元 $c$）で $X\subset X'$ のとき $\mathbf H^{i}_X(X',\Omega^\bullet_{X'/k})\cong\mathbf H^{i+2c}_X(X'',\Omega^\bullet_{X''/k})$」という型の主張に帰着する。$\mathbb C$ 上なら比較定理と Thom 同型から期待されるが、本頁では証明しない。原注 (9) はさらに、$\Omega^\bullet_{X'/k}$ の留数分解からホモロジー版の系列
$$(S_\bullet)\colon\quad E^1_{p,q}=\bigoplus_{x\in X_p}H^{p-q}_{dR}(k(x)/k)\Longrightarrow H_{p+q}(X)$$
（$X_p$ は閉包の次元が $p$ の $X$ の点の集合）を述べる。$x\in X_p$ の $X'$ での余次元は $n-p$ で、上の定理（留数写像と系列 (S•)）の $E_1$ を台 $X$ に制限し次数を $2n-i$ に読み替えるとこの形になる。したがって (S$_\bullet$) は (R) の同型性に依存し、未完結である。
例と反例
次元 1 の Cousin 二重複体は、具体的に書き下して de Rham コホモロジーを計算できる。
$k$ を標数 $0$ の代数閉体、$K=k(t)$ とする。$H^0_{dR}(K/k)=k$ で、$H^1_{dR}(K/k)=\Omega^1_{K/k}/dK$ は類 $[dt/(t-a)]$（$a\in k$）を基底にもつ。実際、部分分数分解により $f\,dt$ は多項式部分と $c_{a,m}(t-a)^{-m}dt$ の和で、$t^ndt=d(t^{n+1}/(n+1))$、$(t-a)^{-m}dt=d(-(t-a)^{1-m}/(m-1))$（$m\ge2$）は完全形式であり、$[dt/(t-a)]$ たちは $a$ での留数 $1$、他の点で $0$ なので一次独立である。
$X=\mathbb P^1_k$ では、閉点は $a\in k$ と $\infty$ で、$E_1^{1,1}=\bigoplus_{a}k\,e_a\oplus k\,e_\infty$。$s=1/t$ とすると $dt/(t-a)=-ds/(s(1-as))$ なので $\infty$ での留数は $-1$ であり、$d_1[dt/(t-a)]=e_a-e_\infty$。$d_1$ は単射で、余核は「留数の和」$\bigoplus k\to k$ により $k$ に同型である。よって $H^0_{dR}(\mathbb P^1)=k$、$H^1_{dR}(\mathbb P^1)=0$、$H^2_{dR}(\mathbb P^1)\cong k$ で、$H^2$ の生成元は「留数の和が $1$ の repartition」の類である。
$X=\mathbb A^1_k$ では $E_1^{1,1}=\bigoplus_ak\,e_a$、$d_1[dt/(t-a)]=e_a$ は同型で、$H^1_{dR}(\mathbb A^1)=H^2_{dR}(\mathbb A^1)=0$。$\mathbb P^1$ と比べると、$\infty$ を除いたことで $H^2$ を担っていた留数の和の制約が消えている。
留数写像 (R) の同型性で標数 $0$ が要ることは、曲線の局所計算に既に現れる。
標数 $0$ の仮定を外す。$k$ を標数 $p>0$ の体、$X=\mathbb A^1_k$、$x$ を原点、$t$ を座標とする。$K/\mathcal O_{X,x}\to\Omega^1_{K/k}/\Omega^1_{X/k,x}$ で $d(t^{-p})=-pt^{-p-1}dt=0$ なので $d$ は単射でなく、$\mathbf H^1_x(\Omega^\bullet_{X/k})$ は $t^{-mp}$（$m\ge1$）の類を含んで $0$ でない。また $t^{-mp-1}dt$ は像に入らないので $\mathbf H^2_x(\Omega^\bullet_{X/k})$ は $k(x)=k$ より大きい。
- 満たす条件：$X$ は滑らかな曲線で、上の定理（次元 1 の Cousin 分解）はそのまま成り立つ。
- 破る条件：標数 $0$。
- 破る結論：$H^{-1}_{dR}(k(x)/k)=0\ne\mathbf H^1_x$、$H^0_{dR}(k(x)/k)=k\not\cong\mathbf H^2_x$ で、(R) は同型でない。系列 (ii) は成り立つが (S$^\bullet$) の形にはならず、$E_1^{1,0}\ne0$ が $H^1_{dR}(\mathbb A^1_k)$ の無限次元性（本書『1-1 de Rham 複体と超コホモロジー』の $x^{mp-1}dx$ の類）に対応する。
その後の発展
以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（本頁の執筆時点 2026 年の知識による。本書は以下の文献の該当箇所を開いていない）。
- Cousin 複体と留数複体：原注 (8) が引く Hartshorne のセミナーは『Residues and Duality』Har66（1966 年）として刊行され、その第 IV 章が Cousin 複体、Cohen–Macaulay 性、Gorenstein スキーム上の入射性（本頁の引用する事実 4）を扱う。これが入れば主結果 3 の (i) は条件付きで閉じる。
- 代数的 de Rham ホモロジーと埋め込み不変性：Hartshorne Har75（1975 年）は、標数 $0$ の体上の有限型スキームの de Rham コホモロジーとホモロジーを、滑らかなスキームへの埋め込みと形式的完備化で定義し、埋め込みによらないことを示した。原注 (9) の定義案 (H) と本頁の注意（埋め込み不変性の問題）に対応する。同論文は台付きコホモロジーの純性（本頁の (R) の同型性に当たる Gysin 型の同型）も代数的に扱うと本書は理解しているが、該当箇所は確かめていない。
- coniveau スペクトル系列：Bloch–Ogus BO74（1974 年）は、Poincaré 双対性をもつコホモロジー理論について余次元フィルトレーション（coniveau フィルトレーション）のスペクトル系列 $E_1^{p,q}=\bigoplus_{x\in X^p}H^{q-p}(k(x))\Rightarrow H^{p+q}(X)$ を構成し、$E_2^{p,q}$ が Zariski 層 $\mathcal H^q$ のコホモロジー $H^p(X,\mathcal H^q)$ に一致すること、$E_2^{p,q}=0$（$p>q$）を示した。原注 (8) の (S$^\bullet$) はこの系列の de Rham 版である。
- Gersten 予想：Bloch–Ogus の題名にある Gersten 予想は、1970 年代初めに $K$ 理論について提出された、正則局所環上の Cousin 型の複体の完全性の予想で、Quillen が体上有限型の場合を示し、Bloch–Ogus がコホモロジー版を示したと本書は理解している。原注 (8) の $E_2$ の有限次元性の推測との関係を含め、本書は確かめていない。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Gro66 である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 背景と動機：Leray スペクトル系列の代数的定義の問い | 式 (12) とその後の段落 | 100 |
| 定義（点の余次元と局所コホモロジー） | 原注 (8) の $H^p_x(\mathcal E)$ | 100 |
| 定義（Cousin 複体） | 原注 (8)「Cousin resolution」「residue resolution」 | 100–101 |
| 定理（次元 1 の Cousin 分解）、注意（Cousin 複体の定義との一致） | 原注 (8)「repartitions」による分解 | 101 |
| 命題（次元 1 の Cousin 分解の入射性） | 原注 (8)「even injective」 | 101 |
| 定理（一般次元の Cousin 複体と余次元スペクトル系列） | 原注 (8) の $E_1^{p,q}$ の式 | 101 |
| 定義（体の拡大の de Rham コホモロジー） | 原注 (8) の $H^\bullet(K)$ | 101 |
| 定義（留数写像 (R)）、定理（留数写像と系列 (S•)）、命題（曲線での留数写像と系列 (S•)） | 原注 (8) の (R)、(S$^\bullet$) | 101 |
| 注意（幾何的解釈と代数的類） | 原注 (8) の括弧書きと「algebraic」の段落 | 101 |
| 予想（$E_2$ の有限次元性） | 原注 (8) 末 | 101 |
| 定義（代数的特異ホモロジーの定義案） | 原注 (9) の (H) | 101 |
| 注意（埋め込み不変性の問題） | 原注 (9) の不変性問題と (S$_\bullet$) | 101 |
参考文献
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